Введение
1. Пусть Л — самосопряженный эллиптический дифференциальный оператор (ДО) второго порядка в Кс/, (1 > 1. Ниже рассматриваются вопросы, связанные с изучением дискретного спектра, который ПОЯВЛ5ІЄТСЯ в лакунах спектра оператора .4 при возмущении неотрицательным ДО с убывающими коэффициентами. Знак возмущения оказывает существенное влияние как на характер обнаруживаемых эффектов, так и на выбор технических средств. Случай неположительных или незиакоопределенных возмущений изучен в некоторых отношениях полнее (см., например, [12], [7]). Но тогда заведомо нарушается дискретность спектра в лакуне уже при возмущениях второго порядка. В случае неотрицательных возмущений содержательный анализ дискретного спектра возможен для возмущающих ДО сколь угодно высокого порядка. Подобные задачи представляют принципиальный и (отчасти) прикладной интерес. Исследованию некоторых задач такого типа посвящена предложенная работа.
2. В пионерской работе [10] в качестве невозмущенного оператора рассматривался оператор Шредингера
А = -А +р(аг), (0.1)
для которого существует «интегрированная плотность состояний». В частности, допускался периодический оператор (0.1) Предполагалось, что спектр о(А) оператора .4 имеет внутреннюю лакуну (а,/?). Оператор .4 возмущался неотрицательным непрерывным потенциалом П’2(;г), убывающим степенным образом:
и» ~ с|*г,/2. И-юо, 7 > о.
Основным, предметом исследования являлась считающая функция iV(A,.4AF. г), Л Є (а,/?), т > 0, — число собственных значений оператора B(t) = .4 + /IV2, прошедших через точку «наблюдения» А при увеличении t от 0 до т. Разумеется, эти собственные значения могут двигаться только слева направо. Была получена асимптотика
ЛГ(Л, .4. И', г) ~ c0rdh, т —> со, (0.2)
где (1 — размерность. Асимптотический коэффициент Со был вычислен в терминах интегрированной плотности состояний оператора А.
Более трудным является вопрос об асимптотике считающей функции, когда точка наблюдения выводится на левый край лакуны; тогда по определению
Л7(а,.4ДГ, т) := lim А(А,.4Л1», г > 0. (0.3)
А—ю +0
В статье [1G] асимптотика этой величины изучалась для случая периодического р(г). Для функции Д7(а. .4, \\\ т) была получена асимптотика вида (0.2). Однако теперь потребовалось ограничение д > 2, которое лежит в существе дела. При этом асимптотический коэффициент Со был вычислен в [1G) в терминах разложения Флоке оператора .4.
В работе [13] в качестве иовозму[ценного оператора рассматривался периодический эллиптический оператор второго порядка
А = - divg(x) grad + р(х). (0.4)
Точка наблюдения снова предполагается совпадающей с краем лакуны. Основное внимание в [13] уделено неположительным возмущениям, но некоторые результаты получены и для неотрицательных. Именно, исследовался вопрос о конечности спектра оператора B(t) в лакуне (а, в) и получены некоторые оценки вел и ч и и ы А:(о . .4, W. т ).
В работе 111]. рассматривались дифференциальные возмущения. Невозмущенный оператор имел вид
.4 = — t\Wg(x) grad.
В статье [11] рассматривалась достаточно гладкая эллиптическая матрица-функция д(х). такая что оператор .4 имеет интегрированную плотность состоянии. Последнее заведомо выполнено, если матрица д — периодическая. Возмущение в [11] также представляло собой ДО и имело вид
И'ЧГ = - cliv/(.r) gracl; (0.5)
здесь /(.г) — неотрицательная матрица-функция, имеющая асимптотику
/(х) ~ CxN’^(j-). И -¥ ос-. С'оо > 0, 7 > 0. (0.6)
Таким образом, матрица / жестко согласовывалась с матрицей д. В [11] была получена асимптотика вида (0.2). При этом асимптотическмй коэффициент Со был вычислен в терминах оператора .4.
В статьях [10], [11]. было существенно, что А — внутренняя точка лакуны.
3..Настоящая работа посвящена исследованию дискретного спектра, возникающего в лакунах спектра эллиптического ДО второго порядка, при возмущении неотрицательным ДО, вообще говоря, более высокого порядка. В некоторых случаях, однако, наши результаты остаются содержательными п для возмущений потенциалом или ДО второго порядка.
Переходим к описанию работы. При этом ссылки на точные результаты (на теоремы) предполагают обращение при чтении к основному тексту работы. В диссертации четыре главы. В главах 1, 2 получены основные результаты абстрактного характера, которые являются опорными при исследовании ДО. Пусть .4 — самосопряженный полуограинченный снизу оператор в гильбертовом пространстве Н. спектр которого содержит лакуну (a,ß). Пусть
B(t) = В*(і) = А + MF4F, / > 0, — семейство возмущенных операторов. Неотрицательное возмущение IF* И7, вообще говоря, неограниченно. Более того, оператор П’(.4 —/7)“1 не предполагается ограниченным. Случай такого «сильного» возмущения раньше рассматривался в теории рассеяния [1| (в дальнейшем результаты работы [1) применялись к задачам, в которых А — эллиптический ДО. a W*И’ — ДО более высокого порядка).
В главе 1 рассматриваются несколько (возрастающих но сложности) вопросов относительно спектра B(t) в (а, 3). Именно, ищутся достаточные условия, при которых спектр B(t) в (а./3) 1) дискретен, 2) не накапливается к правому концу лакуны и 3) конечен. В последнем случае указывается также оценка для полного числа собственных значений (с учетом их кратности) оператора B(t) в (а,/3). Кроме того, исследуется считающая функция ЛГ(А, .4, И’ г), Л Є [а,/3), г > 0.
Даются достаточные условия дискретности спектра B(t) в (а./3), не предполагающие разность (В — И)~1 — (.4 — il)~l компактной. Этому посвящены теоремы 1.1.1. 1.1.5. Теорема 1.1.5 дает также условие ненакоплення спектра оператора В (і) в (о, /3) к правому концу лакуны. Условие конечности спектра оператора B(f) в (cv,Æ) дается теоремой 1.1.11. Та же теорема дает оценку величины -Y(a. .4. IF, г).
Оценки спектра оператора B{f) в (cv,/?) следуют из теоремы 1.1.7. Последняя сводит задачу о спектре оператора B(t) к задаче о возмущении части оператора Л, отвечающей спектру .4, лежащему левее лакуны (а,/3). При этом возмущение является компактным оператором, который нелинейным образом зависит от. t. Возмущенный оператор, таким образом, имеет лишь дискретный спектр правее точки о (см. п. 1.1.3). Это дает возможность воспользоваться вариационными средствами при оценке сверху величины N(А, .4, W. т),а также суммарной кратности собственных значений оператора B(t) в (о, в).
4. В главе 2 развивается подход главы 1. Рассматривается вопрос о главном члене степенной асимптотики считающей функции ДГ(А. ЛД-F, т), т -> оо,
А Є [с\,3). В теореме 2.1.1 вычисление асимптотики ЛГ(А, А, ТУ, г), т -» ос-, А Є (а. /З). сводится к вычислению спектральной асимптотики некоторого самосопряженного компактного оператора. Этот оператор зависит от А > а. Предложение 2.1.2 п следствие 2.1.3 дают достаточные условия (в терминах этого оператора) справедливости асимптотики при А = а. Заметим, что теорема 2.1.1 содержит некоторое условие согласованности возмущения и невозмущенного оператора. Если в качестве невозмущенного оператора взять эллиптический оператор второго порядка (0.4). а в качестве возмущения — потенциал 1Г2(т), имеющий степенную асимптотику, то условие согласованности окажется выполненным автоматически (по крайней мере в «гладкой» ситуации). В случае дифференциального возмущения эго условие приводит к дополнительным ограничениям. Так для возмущений типа (0.5) — это ограничение (0.G).
5. Глава 3 — основная в диссертации. Здесь результаты главы 1 применяются к дифференциальным операторам. В гильбертовом пространстве И = /^2(Мг/), (I > 1. рассматривается самосопряженный эллиптический ДО .4 второго порядка вида (0.4). Предполагается, что спектр .4 полуограничен снизу и имеет внутреннюю лакуну (a, J3). Возмущение задается выражением вида W*W> где IF — дифференциальный оператор
1Г= ,/^7Г(-Л)"'. у'(.с) > 0, тек (0.7)
Коэффициенты </(т). р(х) и удовлетворяют некоторым требованиям гладкости. Возмущенный оператор B(t) = .4 4- iW*W, t > 0, содержит «константу связи» /. Точное определение B(t) дается через квадратичную форму.
Теорема 3.1.1 дает условия совпадения существенных спектров оператора .4 н оператора B(t) при всех t > 0. Основное из этих условий состоит в требовании
- Київ+380960830922