Обратные задачи теории волновых процессов

Введение
1. Деление задач на прямые и обратные примерно соответствует следующей точке зрения на их содержание. Представим физическую систему, на которую оказывается внешнее воздействие. Если известны структура (параметры) системы и характер воздействия, то можно поставить задачу об описании отклика системы на иеі*о. Это прямая задача.Предположим, что наблюдатель изучает систему по ее отклику на внешнее воздействие и ставит целью восстановить параметры системы. Подобные задачи относя? к обратным.
Предмет этой работы — обратные задачи для систем (сред), проводящих волны, распространяющиеся с конечной скоростью. Опишем типичную ситуацию. Пусть такая среда заполняет пространственную область П. Вне области или на ее границе Г размещены источники, действие которых инициирует в О волновой процесс. Волны распространяются вглубь П и взаимодействуют с неоднородностями среды. Как результат, появляются рассеянные волны, возвращающиеся к Г и несущие информацию о строении среды в зоне, недоступной для прямых измерений. Рассеянные волны регистрируются внешним наблюдателем, находящимся на Г. Спрашивается, может ли последний извлечь из наблюдений информацию о среде? Если да, то как это сделать? Если же регистрируемые на Г характеристики волнового поля недостаточны для восстановления нужных параметров среды, что надо дополнительно знать о ее свойствах, чтобы компенсировать недостаток информации? Можно ли описать весь класс возможных данных (наблюдений), отвечающих выбранной математической модели среды?
Говоря о наблюдениях, сделаем одно уточнение. В работе в основном рассматриваются динамические обратные задачи, т.е. такие, в которых в качестве данных задаются значения (амплитуды) волновых нолей. Последнее отличает их от так называемых кинематических обратных задач, в которых полагаются известными лишь времена пробега волн через сред}'.
Освещение затронутых выше вопросов в разнообразных конкретных ситуациях и составляет содержание работы. Излишне говорить об их важности для приложений, в числе которых геофизика, акустика, теория упругости, электродинамика. Как след-
,4-
егвие, посвященная нм литература очень обширна и разнообразна. Дать ее полноценный обзор — весьма трудная задача. Автор ставил перед собой существенно более скромную цель — представить свои и результаты в этой области и непосредственно с ними связанные. Для систематического ознакомления с предметом мы могли бы рекомендовать основательные монографии 141], [50], [541, (60[, [621, [69|.
2. В первых трех главах рассматриваются обратные задачи в ситуации, когда свойства среды описываются функциями лишь от одной независимой переменной. При этом следует различать случай, когда распространение воли происходит в одномерной среде (или, что эквивалентно, функции, описывающие волны, зависят лишь от одной пространственной переменной и от времени) и случай, когда волновое поле зависит от многих переменных. В первой ситуации соответствующие обратные задачи мы называем одномерными, во второй — говорим об обратных задачах в слоистых средах. Другой принцип классификации обратных задач связан с разделением волновых нолей на скалярные и векторные. В скалярном случае волновой процесс описывается одним уравнением в частных производных, в векторном — системой таких уравнений. Четвертая глава посвящена задачам интегральной геометрии.
Рассмотрим подробнее содержание каждой главы.
Глава I посвящена методам решения одномерных обратных задач. Эти методы являются основой для дальнейших рассмотрений (Главы 2 и 3). Заметим, что их отличительной чертой
является локальный характер. Чтобы пояснить суть дела, сформулируем типичную задачу.
Пусть распространение волн описывается уравнением:
Un = и„ \- q{x) 11, х > 0, (0.1)
причем u(x,t) удовлетворяет начальному и граничным условиям:
и]«о = 0; н|х=0 - F(t), их|х=о - G(t). (0.2)
Как известно, если мы знаем коэффициент <7(т), то для нахождения волнового поля u(x,t) достаточно задать какую-нибудь одну из функций F(t) или G(t). Поэтому при известном q(x) задание обеих функций F(l) и G(t) делает задачу переопределенной, следовательно, имеет смысл считать q(x) неизвестной
2
и изучать вопрос об отыскании q(x) но известным F(t) и 0(t). Оказывается, справедлив результат:
функция q(x) однозначно определяется но F(t) и G(t).
Одним из наиболее характерных свойств уравнения (0.1) является конечность скорости распространения возмущений (конкретно в случае уравнения (0.1) эта скорость равна единице). Это означает, что если мы выбираем какую-либо точку Xq > 0, то волна, порождаемая источником, находящимся в точке х = 0, успевает достичь точки то за время t — х0. Благодаря неоднородности среды (непостоянству коэффициента ^(х)) происходит рассеяние волны. Волна, рассеянная в окрестности точки хо, успевает добежать до наблюдателя, находящегося в точке х — 0, к моменту t = 2х0. Поэтому, наблюдая рассеянные волны на временном интервале (0,2хо), мы можем получить информацию о том, как изменяется коэффициент q{x) на интервале (0, х0). Если же мы наблюдаем рассеянную волну при t € (0,2xj), Х\ > х0, то эта волна содержит информацию о поведении г/(х) при х > xq. Эта информация является помехой, если мы интересуемся коэффициентом </(х) лишь при х € (0,хо). Поэтому естественным представляется, что для того, чтобы восстановить q{x) на интервале (0, То), достаточно знать данные обратной задачи при t. G (0. 2xq). Такой результат действительно имеет место в задаче (0.1), (0.2), а также в целом ряде сходных обратных задач.
Мы развиваем два метода решения обратной задачи, каждый из которых явно, но по-своему учитывает высказанное обстоятельство (и этом и проявляется локальность методов).
Первые два параграфа первой главы носят вводный характер и не содержат новых результатов. Б них обсуждается постановка прямой и обратной задач, их физический смысл, устанавливаются необходимые для дальнейшего свойства решения прямой задачи. Основные методы решения одномерной обратной задачи изложены в $$ 1.3,1.4,1.6. Первый из упомянутых методов основан на сведении обратной задачи к нелинейной системе воль-террового (или близкому по своим свойствам к вольтерровому) типа, ему посвящен $1.3. Этот метод впервые предложен автором в статье [23]. Следующий $1.4 и $1.6 посвящены второму метод}', с помощью которого обратная задача сводится к линейному интегральному уравнению типа Фредгольма — уравнению типа Гельфанда- Левитана-М.Крейна-Марченко (см. (39), (45),
3
I
|4б), [51]). Для краткости, назовем первый метод нелинейным, второй — линейным. Сравнивая эти два метода, можно констатировать, что в ситуации, когда они оба применимы (например, в задаче (0.1)—(0.2)), второй из них приводит к более сильным результатам: с его помощью можно дать полное исследование обратной задачи, включая теоремы существования и единственности, и в некоторых случаях даже явное построение решения. С помощью нелинейного метода можно, как правило, лишь установить теорему единственности и (в малом!) теорему существования. Причем, в связи с тем, что система интегральных уравнений, лежащая в основе этого метода, в некоторых ситуациях не является все же вольтерровой, иногда теорему единственности удастся доказать лишь в малом, а доказательство теоремы существования не проходит даже в малом. Однако, область применения указанного метода шире: он работает в ряде случаев, где линейный метод применить не удается.
И тот и другой метод используют два основных факта, справедливых для уравнений и систем гиперболического типа; ^конечность скорости распространения возмущений, 2) возможность явного выражения сингулярностей решений через коэффициенты уравнений. В рамках обоих методов попутно при отыскании коэффициентов уравнения приходится находить и некоторое решение восстанавливаемого дифференциального уравнения. При использовании нелинейного метода — эго решение, описывающее реальный физический процесс. В линейном методе — это вспомогательное решение (некоторая разновидность функции Грина). Отметим, что существенным ограничением применимости линейного метода является требование инвариантности дифференциального уравнении относительно обращения времени. Это фактически означает отсутствие поглощения в среде.
В § 1.5 изложенный в § 1.4 метод распространяется на случай, когда допускаются скачки свойств среды (разрывы искомых коэффициентов дифференциального уравнения).
§ 1.7 посвящен построению явного решения обратной задачи в случае, когда данные обратной задачи имеют специальный вид линейной комбинации экспонент или произведений полиномов на экспоненты. Показано, что в этой ситуации построение решения обратной задачи сводится к нахождению корней полинома
Л
и последующему решению линейной алгебраической системы.
В § 1.8 устанавливается связь между обратными задачами (при специальных данных обратной задачи) и системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнении.
§ 1.9 посвящен распространению метода линейных интегральных уравнений на случай обратной задачи для системы
( Фи + Ф\у = <?1 ^2,
-^2у = 92^1-
§ 1.10 стоит несколько особняком в этой главе, в нем рассматривается задача восстановления коэффициентов в граничном условии, возникающих на мембране, погруженной в акустическую среду.
Вторая глава посвящена скалярным обратным задачам распространения волн в слоистой среде. Слоистость среды, то есть зависимость коэффициентов, описывающих свойства среды, лингь от одной координаты приводит к возможности применять метод разделения переменных в той или иной форме. В результате этого возникает уже одномерная обратная задача, решаемая методами Главы I. Решив ее, мы находим некоторую функцию, зависящую от коэффициентов исходного, многомерного уравнения, а также от параметров (постоянных разделения переменных). Варьируя эти параметры, в некоторых ситуациях можно бывает восстановить все коэффициенты исходного уравнения, в других — доказывается, что такое однозначное восстановление невозможно.
В § 2.1 изучаются обратные задачи акустики в слоистой среде, то есть задачи для уравнения
а ии — (Ну (Ьдгай и), (0.3)
а и Ь — функции одной декартовой координаты г ("вертикальной "переменной). В частности, изучаются задачи в ситуациях, когда распространение волн происходит в полупространстве ^ >
0, точечный источник находится на границе. Заданы: 1) зна-чепия функции й(к, 0, £) для двух значений параметра к, здесь й(ку г, I) — преобразование Фурье от и но "горизонтальным"переменным х, к — двойственная к х переменная; или 2) значения при г — 0 преобразования Радона от и как функции от х и t при двух фиксированных направлениях нормали к плоскости интегрирования. Еще одна рассматриваемая задача — задача рассеяния,
В § 2.3 — задача рассеяния плоской полны, падающей из однородного полупространства (при г < О Ь есть оператор Лапласа). Доказано, что даже имея самую полную информацию о данных обратной задачи: зная ?х(х, 0,£) при всех х и Ь (в случае задачи в полупространстве) или рассеянную волну при любом угле падения падающей полны (в случае задачи рассеяния), невозможно однозначно определить все коэффициенты оператора Ь. Однозначно определяются лишь некоторые функции от 2, выражающиеся через коэффициенты Ь. Число этих функций существенно меньше числа коэффициентов (например, в трехмерном случае число коэффициентов равно 10, число могущих быть найденными функций — б).
В § 2.4 обсуждаются некоторые вопросы, связанные с теоремами существования решения обратных задач в слоистых средах. Важность этого вопроса обусловлена отнюдь не только стрем лением к математической красоте и завершенности, но также и тем, что условия существования решения являются, с одной стороны, условиями алгебраического типа (то есть условия тина некоторого соотношения, которому должны удовлетворять заданные функции) и, следовательно, допускают эффективную проверку. С другой стороны, выполнение условий существования является средством контроля за правильностью выбранной математической модели среды (например, предположения о ее слоистости).
В § 2.4 приводятся соответствующие результаты в случае телеграфного уравнения (многомерного аналога уравнения (0.1)) и в случае задачи рассеяния для уравнения (0.3). Если для телеграфного уравнения теорема существования почти тривиальна, то для уравнения акустики она имеет довольно сложный вид.
§ 2.5, заключающий вторую главу, посвящен обратной задаче для случайной среды. Здесь мы предполагаем, что коэффициент в дифференциальном уравнении, описывающем распространение волн, содержит малую случайную добавкз', а. Ставится задача приближенного отыскания детерминированного слагаемого и двух первых моментов: а, т(г) = Е(а(г)) и г(г 1,22) = Е{сс{г{)а{г2)), где символ Е( •) обозначает математическое ожидание. Термин 11 приближенный в данном контексте, означает, что мы пренебрегаем членами, имеющими порядок о(а2).
В Главе 3 проводится рассмотрение обратных задач для век-
7
торных волновых полей, или, иначе, для гиперболических систем уравнений в частных производных.
В §3.1 изучается важная для геофизики задача Лэмба: задача о колебаниях слоисто-неоднородного упругого иолу пространства, под действием мгновенного, сосредоточенного в точке на границе, воздействия. Показано, что если это воздействие направлено наклонно к дневной поверхности, то по наблюдениям за колебаниями поверхности можно однозначно восстановить параметры среды, зависящие от глубины: плотность и параметры Ламе А ид.
В §§ 3.2 и 3.3 изучаются обратные задачи акустики движущейся среды. В § 3.2 рассматривается случай, когда среда и ее движение имеют слоистый характер: все характеристики среды (включая вектор скорости течения в среде) являются функциями только от одной декартовой координаты 2, вектор скорости течения направлен перпендикулярно оси 2. Установлено, что если на такую среду падают плоские волны из однородного неподвижного полупространства и известны отраженные волны при пяти различных углах падения плоской волны (удовлетворяющих некоторому дополнительному требованию типа неравенства). то по этим данным все акустические характеристики среды однозначно восстанавливаются.
В § 3.3 изучается одномерная обратная задача: акустическое поле зависит только от координаты г е (0, со), вектор скорости течения направлен вдоль оси 2. Волновое поле порождается источником, находящимся в точке г = 0. Требуется по наблюдаемому при 2 = 0 волновому полю восстановить акустические характеристики среды при 2 > 0. Оказывается, что полное восстановление всех свойств среды невозможно. Возможно найти какую-либо одну или две (в зависимости от направления вектора скорости течения в среде) характеристики при известных остальных. Отметим, что если искомой функцией является скорость течения, то задача приводится к весьма специфической системе интегральных уравнений, в которой участвуют операторы интегрирования неизвестной функции вдоль кривых, которые сами зависят от неизвестной функции.
В § 3.4 рассмотрена общая одномерная гиперболическая система первого порядка. Рассмотрены обратные задачи восстановления части неизвестных коэффициентов при заданных осталь-
8
пых.
В § 3.5 изучены две обратные задачи для системы уравнений второго порядка:
C-2UU-UXX = QU,
где С, Q, U — матрицы 2 х 2, С = Q,“) (0 < с < 1), Q = Q{x). Известны
t/ix=o = ад в, v\x=0 = с-1 ut + ig*=0 = m
(Е1 — единичная матрица). Требуется восстановить Q(x) по заданной F(t). Доказано, что если матрица F(t) задана на интервале (0,2Т), то Q{x) на интервале (0,Т) однозначно восстановлена быть не может. Для однозначного восстановления Q(t) необходимо и достаточно знать значения некоторых компонент матрицы Q(x) на некоторых интервалах (разных для разных компонент), примыкающих к точке х = Т. Если же дополнительно известно, что правее некоторой точки I (}{х) = 0, то матрица Q(.t) может быть однозначно восстановлена по матрице F(t). При этом имеет место и теорема существования при произвольной F(t)> если элементы первого столбца матрицы F заданы на интервале (0,/(1 + ^)), второго столбца — па интервале (0, \). (2 —удвоенное время пробега медленной волной интервала (0,1)\ 1(1 + і) — время, необходимое для пробега интервала (0,1) а одну сторону быстрой волной, в обратную — медленной). Все результаты этого параграфа справедливы в малом.
Четвертая глава существенно отличается от первых трех как по характеру поставленных задач, так и но методам их рассмотрения. Она посвящена задачам интегральной геометрии, то есть задачам нахождения функций по заданным интегралам от этих функций по многообразиям, образующим некоторое семейство. К такого рода задачам естественно сводятся многие обратные задачи теории распространения нестационарных волн. Некоторые пути, приводящие от обратных задач к задачам интегральной геометрии, описаны в § 4.1, носящему вводный характер. Результаты этого параграфа не принадлежат автору настоящей работы. Они приведены ради связности изложения.
Оригинальными являются результаты трех следующих параграфов. В § 4.2 рассмотрена задача М.М. Лаврентьева-В.Г. Романова восстановления функции с носителем в полупространстве но известным интегралам от нее по семейству вытянутых
9
эллипсоидов вращении с фиксированным фокусом, в предположении, что оба фокуса находятся на границе полупространства. Доказано, что с помощью простой замены переменных задача сводится к задаче обращении преобразования Радона от функции с носителем, заключенным внутри одной полы конуса, если преобразование Радона задано на множестве всевозможных гиперплоскостей, имеющих компактное пересечение с этой полой.
В § 4.3 изучаются разные варианты сходных задач обращения преобразования Радона но неполным данным, ігри наличии априорных ограничений на носитель искомой функции: требуется, чтобы он был заключен в множестве вида х К"' X Кп, где 2* — /с-мерный симплекс, — произведение полуосей. В случае каждой из задач §§ 4.2, 4.3 найдено соответствующее интегральное преобразование, диагонализующее оператор задачи, и тем самым резко упрощающее ее исследование. /Двойственными операторам задачи оказались операторы умножения на функции, явно выражающиеся через Г-функции Эйлера. Исследована асимптотика указанных функций. В связи с быстрым убыванием этих функций при уходе их аргументов вдоль некоторых направлений на бесконечность, рассматриваемые задачи не являются корректными.
В § 4.4 изучается задача обращения преобразования Радона в том случае, когда в пространстве задан выделенный вектор. Преобразование Радона известно для всех гиперплоскостей, не параллельных этому вектору. Если искомая функция достаточно быстро убывает на бесконечности по всем направлениям, то задача сводится к классическому обращению преобразования Радона. Рассматривается ситуация, когда искомая функция допускает степенной рост в направлениях, параллельных выделенному вектору. В этом случае единственность обращения преобразования Радона утрачивается. Полностью описан класс решений однородной задачи, а также построена диагонализация оператора задачи.
10
Глава 1. ОДНОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ.
§1.1. Постановка задачи для уравнения струны
1.1.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Данная глава посвящена методам решения обратных задач для уравнения струны и родственных им задач. Ниже предлагаются два метода. Первый из них основан на применении нелинейных вольтерровскнх систем интегральных уравнений. Этот метод, по-видимому, впервые появился в работе [23) и широко использовался во многих последующих работах (см., например, [60|). Второй — на использовании линейных интегральных уравнений. Уравнения такого типа для обратных задач впервые были выведены в серии работ И.М.Гельфаида, В.М.Левитана, М.Г.Крейна В.А.Марченко, [39), (45], [46), [51). Ближе в идейном отношении к нашим рассмотрениям стоят работы [26], [55], [75]. Сравнивая (и ситуации, когда применимы оба метода), укажем: второй из них — лучше, так как он дает более полные результаты. В то же время первый способ имеет более широкую область применимости: его можно применять для решения ряда обратных задач для уравнений, отличных от уравнения струны, в которых второй метод отказывает.
Оба метода являются локальными: если мы хотим знать поведение искомых коэффициентов уравнения на интервале (0,:го), то мы используем (и это отвечает сути дела) лишь информацию о поведении решения в граничной точке х = 0 на временном интервале (0,£о)> где <о ~ удвоенное время пробега волн от нуля до хо. При этом точка может быть произвольной точкой, может быть граничной, правее точки ха могут быть сингулярности искомых коэффициентов, может даже меняться тип уравнения. Как заданная информация о решении, так и применяемая методика решения обратных задач индифферентна по отношению к этим " неприятностям
11
1.1.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ. Уравнение колебаний струны (при отсутствии поглощении) имеет вид
рии = 4z(TUx), (1.1)
ОХ
где р > 0 - плотность струны, Г > 0 - ее натяжение, р и Т мы предполагаем зависимыми от х. Пусть уравнение (1.1) имеет место при х > 0. Предположим, что струна при t < 0 неподвижна.1
u\t<о - 0 (1.2)
Нам известны значения отклонения точки х = 0 струны от положения равновесия
uUo = Fit) (1.3)
и приложенная к ней сила
Tux\x=Q = G(t). (1.4)
Мы пока не обсуждаем вопроса о классах искомых и заданных функций. Требуется но заданным F(t) и G(t.) восстановить одну из функций р(х) или Т(х) (другая при этом считается из-
вестной) или какую-либо их комбинацию (например, скорость распространения волн с = \Jt]р или акустическую жесткость о = у/Тр). Для определенности, в дальнейшем будем говорить об отыскании акустической жесткости. После того, как она найдена (при условии, что одна из функций р, Т или с известна), коэффициенты уравнения (1.1) тривиально находятся (например, если известна с и найдена а, то Т = <тс, р = а /с.)
1.1.3. ФИЗИЧЕСЖАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДАННЫХ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ. Данные (1.3), (1.4) обратной задачи возникают в следующей физических ситуациях:
1) Точка х — 0 является концом струны, заданы: условие закрепления конца, выражаемое граничным условием вида
т~-Ых_,а = в1(1) (1.5)
1 Вместо начального услоиия «|с<о — В, часто пишут эквивалентное ему: и|{-о =» = О
12
и результат наблюдений за движением конца струны
«и,=т. (1.6)
Условие (1.5) означает, что конец х = 0 закреплен упруго (постоянная h - коэффициент упругости закрепления, при h = 0 конец свободен) и находится под воздействием внешней приложенной силы Gi(t).
Коэффициент h считаем известным, так что данные (1.5), (1.G), по существу, эквивалентны (1.3), (1.4) (надо положить в (1.4) G(t)-<?!(*) +A F(t)).
2) Задача рассеяния. Точка х = 0 не является концом струны. Функции F(£) и G(t)> входящие в граничные условия (1.3), (1.4), являются результатом измерений. Типичный случай, когда реализуется такая ситуация: левее точки х = 0 струна однородна, коэффициенты р и Т являются известными постоянными. Уравнение (1.1) имеет при х < 0 вид ult — с2 ихх, еде с — постоянная. Решение уравнения струны в этом случае представимо в форме
uU<0 = f\{t - -) + f2(t + '-)■
(/ С-
Первое слагаемое /](/ — |) есть падающая волна ( мы предполагаем, что вначале струна покоится, то есть f\(t) = f2(t) — 0 при t < 0). Второе, f2(t4 -), - волна, отразившаяся от неоднородностей струны, находящихся правее нуля. Если заданы функции Л и /2, то, очевидно,
u*=0 — fl(t) 4 /2(0» их)х=0 = 4- ЛМ)
с
(точка обозначает дифференцирование). Видно, что опять-таки данные задачи сводятся к случаю (1.3), (1.4), где
m=/,(о+ш), сц) = |(-/,(t)+hm
Из условия (1.2) при i>0c неизбежностью следует, что F(t) = G{t) — 0 при t < 0.
3) Возможны обобщения описанной выше ситуации, заключающиеся в том, что при х < 0 струна неоднородна (н|х<о также удовлетворяет уравнению (1.1)). Есть две возможности:
13
а) свойства струны при х < 0 также неизвестны — задана пара функций F{^), (7(4). Тогда возникают, по существу, две обратные задами: определения коэффициентов уравнения (1.1) при х > 0 и при х < 0, вторая сводится к первой заменой х —> —х. Заметим, что условие м|«о = 0 при х > 0 и при х < 0 означает, что волны порождаются точечным источником, находящимся в точке .т = 0.
б) При х < 0 свойства струны полностью известны. Известны также функции, описывающие источники воли, сосредоточенные при х < 0. Тогда, очевидно, достаточно задать одну из функций Г(1) или (7(4) : по этой функции, решая корректную прямую задачу при х < 0, восстанавливаем и(х,Ь)\х<о> по и(х, £) при 2; = 0 находим недостающее данное обратной задачи (0(0 или /'’(0)- Отметим, что в последней ситуации интервал струны, лежащей левее точки х — 0, может быть как бесконечным, так и конечным (в последнем случае на левом конце струны должно быть поставлено граничное условие одного из классических типов).
1.1.4. ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ В ТЕРМИНАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. Сделаем две замены переменных. Первая из них, замена независимой переменной .т - принципиально важна. Вторая, переход от уравнения второго порядка к системе первого порядка, — не принципиальна, хотя и удобна.
Итак, введем вместо х координату у
Очевиден физический смысл у : это время пробега волны в струне от нуля до точки х. После перехода к координате у скорость ноли в струне становится равной единице. Так как
(1.7)
о
дх с ду
уравнение (1.1) приобретает вид
- Ц.1. " Утду’
14
или
1 д ( ди\ /1 й\
и* = - йГС^ог)- О-8)
а ду ду
Граничное условие (1.4) после замены приобретает вид
<тщ\у=и = 0(1). (1.9)
Вторая замена — замена неизвестной функции. Уравнение
(1.8) можно переписать в виде ии = ищ + Положим Ф! = Щ - Щ, Фг = и* Ф Щ- Тогда
+ ^ = = =1<(ф2-ф1}
дЬ ду дЬ ду а у 2 а
или
§ + Л§ = ОФ, (1.10)
-Г*
где Ф — вектор с компонентами (Фь Ф-2), Л и С) - матрицы 2x2
л=(о -°х)> $ = «(-1 0’ ? = ст72ст-
Введем вектор-функцию Ф с помощью формулы Ф = К Ф, где К - диагональная невырожденная матрица. При произвольном выборе К уравнение для Ф сохраняет вид (1.10) с той лишь разницей, что матрица С} заменяется новой матрицей (}. Действи-тельно, подставляя вместо Ф его выражение, получим
<9Ф О'Ф ~
К — Ч- А + Л АуФ = О К Ф, дЬ ду
откуда, умножая на /С“1 и учитывая, что Ли К коммутируют, получим
^ + Л = (К-ЧЭ к - К-'А К’у)Ф И <ЗФ.
Магриц>г К всегда можно выбрать гак, чтобы диагональные элементы матрицы С} были равны нулю, для этого достаточно положить
*-М1 ?)■
15
тогда
(мі)
Напишем еще раз уравнение, а также начальные условия и дан-
где Я(0 = (#,(!), Я2(0) = ^(0)((Я - С), (Я + С)).
Замечание:Функцию У^ {уЛ) №2(1/, I)) естественно интерпретировать как волну, бегущую вправо (влево). Действительно, в том случае, когда струна однородна, то есть а' = 0, из системы
(1.12) легко получаем, что
При а' -ф 0 бегущие волны, взаимодействуя с неоднородностями среды, порождают отраженные волны, бегущие в противоположном направлении. В самом деле, если записать систему
(1.12), обозначив правую часть <?Ф = 9, то компоненты вектор-функции 0, 0\(у,1) и 0-2(у,1). имеют физический смысл источников волн, бегущих соответственно вправо и влево. Тот факт, что Ох (у, I) = ^ ■ Фг(г/, *) означает, что роль источника для волн, бегущих вправо, играют функции, пропорциональные волнам, бегущим влево, и наоборот.
Укажем еще на один эквивалентный способ формулировки обратной задачи. Мы предполагаем, что осуществлена замена переменной (1.7), у - время пробега волны. Уравнение имеет вид (1.8). Пусть рассматривается задача рассеяния
ные обратной задачи в терминах функции ^(у,£) :
(1.12)
*1«о = 0.
Условия (1.3), (1.4) переписываются в виде
*и#(0.
(1.13)
(1.14)
'Мз/,0 = фі(* - у) (Фг(у» 0 = 'М* + у))-
у Є (-00,2/0) (2/о > 0), о(у<0 = 1
и\у<0 = /і(і - у) + /а(* + у),
10
где Д^) = /2(<) = 0 при Ь < О, будем считать, что носитель /\{£) ограничен также и сверху, откуда и{у,1) = 0 при достаточно больших по модулю отрицательных у.
Введем функцию
У
у{у> 0 “ / ^ЫМз/ь'Иг/,.
—оо
Непосредственно из определения функции V следует соотношение:
ьу -Ь <тщ = 0. (1.15)
Для производной VI имеем
у У ^
щ- - У = - У ^-<7-мУ1 г/у1 = -гтну.
-оо -оо
Или
VI Ч* (7Ну = 0. (1-16)
Соотношения (1.15), (1.16) представляют собой систему уравнений первого порядка, зквивалентную уравнению (1.8). Очевидно,
у у д
4<о = -/ М^-У\)^У1 = - / = М-у)
-оо -оо
/ • } ■
уу<о = - ] ] /2{ь+у1)(1у1 = М1-у)-Мг+у).
-00 -оо
Отметим, что если поменять ролями и и в (ввести функции Н1 := V, У\ := и), то вектор-функция (^1,1^) удовлетворяет также системе (1.15’), (1.16'), совпадающей с (1.15), (1.16), если и ной <7(у) заменить на (сг(у))"1. Отсюда следует, что если в данных обратной задачи изменить знак у отраженной волны /2, то решение а{у) заменится на о--1. Функция у(уЛ) является решением уравнения
±(1.
&у а
Тем самым, вместо данных рассеяния
уи = (1Л7)
17
u|x<o = fi(t ) 4- h{t 4- —),
с с
можно задавать данные
сс
u\t<0 = fl{t -
с
uUo = Mt -- h(t +-)■
с с
Аналогичные результаты имеют место для интервала (0, уо), если функцию v(y, t) ввести равенством
У t
v{y.t) ■=- f а{у\)й{у\,£) dy\ - J G{t\)dt\
O -oo
{(2{£) определена равенством (1.9)). Функции и и v являются решением системы (1.15), (1.16), v удовлетворяет уравнению (1.17).
1.1.5. НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТРУНЫ ПО а (у) И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ информации. Из рассмотрений предыдущего пункта (см. формулы (1.8), (1.9)) ясно, что при заданных а(у) и £?(£), u(y,t), а, следовательно, и F(t) определены однозначно. Поэтому в процессе решения обратной задачи по известным G{t) и F(t) не может быть получено больше информациия, чем га, что заключена в функции а(у) . Для того, чтобы найти все коэффициенты уравнения (1.1) как функции от расстояния х от конца струны, нужна дополнительная информация.2 Пред-положим, что нам задана одна из четырех функций с(х:), р(х), Т{х) или oq(x). Пусть, решив обратную задачу, мы нашли а{у).
В первом случае (задана с(я)) мы можем непосредственно найти функцию у(х) по формуле (1.7). Подставляя у{х), найдем <то : 0о(я) = <т{у{х)). Зная <То{х) и с(х), найдем р{х) и Т{х).
Во втором и третьем случаях (заданы р(х) или Т(а:)) мы заметим, что
Если сг(у) известна и известны р{х) или Т(х), то (1.18) подставляет собой в любом случае дифференциальное уравнение
2Следует различать функцию а как фуикиию аргумента х и как функцию аргумента у. Для удобства а(х) будем обозначать в этом пункте через ао(х), так что оо(х) •* с(}/(*))•
18
первого порядка с разделяющимися переменными относительно у(х) : у'(х) — ^ или у'(х) = Решая его, найдем
V х
I <т{у)с1у = I р{х)(1х о о
или
у[ (1у _ г йх I *{у) I Т(хУ что дает неявное выражение у через х. Зная ао(х) = а(у(х)) и р(х) (или Т(:е)), мы легко найдем остальные дне функции.
Рис. м.
Несколько более сложная ситуация в четвертом случае, когда задана функция ао(х) и найдена о (у). Мы будем предполагать, что <7о(я) непрерывная функция, имеющая локально- конечное число максимумов и минимумов. Тогда с необходимостью о обладает теми же свойствами, точнее имеет столько же интервалов монотонности, следующих в том же порядке, и те же значения в точках экстремумов, что и а^х). В противном случае информация , содержащаяся в данных задачи: 1) в функции ао(#) и
2) в паре функций F(^) и 0{(), определяющей сг(у), — внутренне противоречива, решения задачи не существует.
19
Если указанное совпадение свойств а(у) и сг0(х) имеет место, то для нахождения у(х) в точке х следует: 1) определить, какому интервалу монотонности о{х) принадлежит а*, и найти соответствующий интервал монотонности а(у)\ 2) найти решение 2/(т) уравнения а(у) — а0(х) относительно у (гг-параметр), принадлежащее нужному интервалу монотонности (см. рис.1.1).
Если найдена у(х), то легко находятся с(х) = (й)”1, а также р(х) и Т(х).
§1.2. Особенности решения. Формулировка прямой задачи.
1.2.1. КОРРЕКТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ.
В дальнейшем будет рассматриваться ситуация, когда источник, порождающий волны в струне, таков, что соответствующее ему решение системы (1.12) имеет ВИД
(ы9)
где 6 — дельта-функция Дирака, фх (г = 1,2) — непрерывные при I > у функции, имеющие, возможно, разрывы при I = у, эиррфх(у,I) С {у,£ : £ > у). Как будет видно из дальнейшего, для возможности представления (1.19) достаточно предположения, что о{у) непрерывно дифференцируема.
Поясним, что мы будем понимать под решением прямой задачи. Пусть компоненты Ф1(у,0, Фг(!/.0 связаны при у = 0 соотношением
ФДО.г) = аф2(0,0 4-ЛД£), (1.20)
где а = сотдеб, М(£) — заданная функция, А/(£) = (?(£) 4- т(£). Будем пока действовать формально. Решение прямой задачи естественно искать в виде (1.19). Положим по определению, что Ф*(у»01ку = 0- Обозначим независимые переменные вместо у, £ через 7/ и т и проинтег рируем первое уравнение системы (1.12) Ф|Т 4- Ф^ = у(г})^42(71ут) Вдоль характеристики т — г) — I — у, проходящей через фиксированную точку у, £ :
1Му.*)= / <г(г-*4-1/)Ф2(т-£4-!лт)<*т4- ФДО, £-«/).
ь-у
20
Второе уравнение Ф2г — ^2п = “<7(7?)'=М7?>г) проинтегрируем вдоль характеристики т + у = і + у :
*
Фа(М) = ІЯІЬ-Т+ у)У1{Ь-т-\-у,т)(1т. о
В этом уравнении учтен тот факт, что Ф2(?/, 0) = 0. Характеристики, вдоль которых ведется интегрирование, изображены на рис. 1.2.
Учитывая, что 1) Ф |<<8, — 0. 2) Ф, имеет ^-образную особенность при I = у и 3) при Ь > у &{(&,() = ^(у,(), получим при I > у :
*
^1 (2/,0= / <1(т-1 + у)Фг(?-1 + У*т)<1т + ф1{0л*-?/), (1.21)
ЫУ>*)= / 4'(* + 1/-г)^1(4 + у-г|г)^г + 1д(^^). (1.22)
Последнее слагаемое в (1.22) является вкладом в интеграл от ^-образного слагаемого. Подставив вместо ^ (0, Ь - у) его выра-
21