Содержание
Введение .....................................................3
1 Комплекс Шафаревича свободной ассоциативной алгебры и его применение к некоторым проблемам бернсай-довского типа. 24
1.1 Комплекс Шафаревича...................................24
1.2 Применения к некоторым проблемам бернсайдовского типа. 29
2 Стандартные базисы и гомологии комплекса Шафаревича. 34
2.1 Стандартные базисы идеалов в фильтрованных алгебрах. . 34
2.2 Критерий стандартности базиса....................... 37
2.3 Вычисление первого модуля гомологий комплекса Шафаревича для фильтрованных алгебр...........................43
2.4 Алгебра гомологий комплекса Шафаревича свободной алгебры.....................................................45
3 Гомологическая характеризация некоммутативных полных пересечений. 50
3.1 Некоммутативная конструкция Тейта....................50
3.2 Сильно свободные множества.......................... 56
3.3 Некоммутативные полные пересечения.................. 59
Цитированная литература......................................64
2
Введение
Под комплексом Шафаревича понимается комплекс, построенный И.Р. Шафаревичем в 1963г. [42]. Этот комплекс является некоторой аппроксимацией к резольвенте двустороннего идеала в ассоциативной алгебре и представляет собой некоммутативный аналог имеющего многочисленные приложения комплекса Козюля для коммутативных колец. Напомним сначала определение комплекса Козюля [4]. Пусть Я — коммутативная алгебра над некоторым коммутативным кольцом к (все кольца и алгебры, если не оговорено противное, обладают единицей), и пусть в Я задано семейство элементов х = {ж;}. Пусть Е — свободный к-модуль с базисом е = {е;}, элементы которого находятся в биективном соответствии с элементами семейства х. Тогда комплекс Козюля К(х, Я) = 0 Кр(х> Я) как градуированная к-алгебра есть тензорное про-
р
изведение (над к) Я<%>А(Е) алгебры Я и внешней алгебры А(Е) к-модуля Е. Однородные компоненты Кр(х, Я) = Я®АР(Е) являются свободными Я-модулями с базисом {е;1 А ... А е^.}, и на базисных элементах дифференциал в К(х, Я) задается по формуле
р
А ... А е,„) = 52 ( — 1) » А ... А ёук А ... А е^.
*=1
Можно проверить, что (Р = 0.
Разумеется, мы приходим к тому же самому комплексу, полагая к = Я (так это обычно и делается). Однако, при рассмотрении градуированной алгебры Я удобно считать, что ее однородные компоненты являются модулями над некоторым основным кольцом к, чаще всего, нолем; кроме того, рассмотрение Я как к-алгебры делает более прозрачной аналогию с некоммутативным случаем. Если I обозначает идеал, порожденный семейством х, то легко видеть, что Я-модули гомологий
3
//,,(А'(х, Я)) комплекса А'(х,Я) «іннулиру юті я идеалом / и г»*м самым являются модулями над алгеброй 4 - Я//. н частности. //«»1 А'іх.Я)) канонически отождествляется с .4
Перейдем теперь к некоммутативному случаю. Пусть Я .»<< о циативная алгебра над коммутативным кольцом к и / - {/,} никоторое семейство элементов в Я Пусть Г свободный к модуль с базисом и = {и,}, элементы воторої о находятся в биективном «<»-ответствии с элементами семейства / Тогда комплекс Шафаренича 5А(/, Я) = 0 £/*,,(/, Я) [42] (обозначение было предложено в [45;) как
р
градуированная к-алгебра есть свободное произведение (над к) Я*Т(1/) алгебры Я и тензорной алгебры Т(И) к модуля V. Таким образом,
5Ар(/, Я) = А 0 и 0 А 0 ... ® и 0 А,
где число множителей (/ равно р (тензорнре произведение над к). Дифференциал в 5А(/, Я) задается по формуле:
</(а<) 0 иіх 0 аі 0... 0 щг 0 ар) =
р
= Е(-1)'_1а0 0 0 ... 0 Уд,, 0 <и-]/да* 0 0 ... 0 и3р 0 ар.
к= 1
Легко проверяется, что с^2 = 0. Как и в случае комплекса Козюля, идеал / (двусторонний), порожденный семейством /, аннулирует Я-Я-бимодули гомологий комплекса 5А(/, Я), которые мы будем обозначать через Нр(/, Я); Яо(/, Я) канонически отождествляется с к-алгеброй Я//.
Комплекс 5Л(/, Я) был введен И.Р. Шафаревичем в применении к случаю, когда Я — свободная ассециативная алгебра над полем к с множеством свободных порождающих х = {х,}, для доказательства того, что алгебра А = Я// бесконечномерна, если число соотношений {/,•} в некотором смысле мало по сравнению с числом ее порождающих {?,} (х обозначает образ элемента х Є Я в Я//).
В §1 главы I диссертации рассматривается свободная ассоциативная алгебра (с единицей) Я над полем к с множеством свободных пережданого 00
щих х = {х,}, которую наделяем градуировкой Я = 0 Я^, предписывая
п=0
каждому Хі некоторую положительную целую степень Щ. Семейство / состоит из однородных элементов (форм) /у положительной степени
4
kj, так что идеал 1 однородный и алгебра А = R/I градуированная
оо
А = ф Ап. Степень однородного элемента а градуированной алгебры
«=о
А обозначается через |а|. Мы предполагаем, что число элементов х,- и каждой фиксированной степени конечно; тогда однородные компоненты алгебр R и А являются конечномерными векторными пространствами над к и можно рассматривать их ряды Гильберта. Ряд Гиль-
ос.
берта £ (dimfc ЛП)Г1 алгебры А обозначается через A(t). Для свободной
п=0
алгебры R хорошо известно, что
од = (1-Е ГГ*.
і
Как обычно, для градуированного модуля А через А(т) обозначается градуированный модуль с А(т)п — Д„+ш. Доказывается
Теорема 1 [42] Имеется точная последовательность градуированных левых- А-модулей
»Д-*к—»0, (3)
3 ‘
в которой отображение р инъективно в том и только том случае, если #,(/,/*) = 0.
Точная последовательность (3) приводит к неравенству для степенных рядов, понимаемому покоэффициентно:
Следствие 1 Ц2] Справедливо неравенство
A(t\i 1 - V t"< + > 1, (4)
3
Тіричім p<l*f НПЗІЬО UMftin UK-ThO Ь ШО.И и только том случае, если
//|(А /о - и
Следуя Анику |27|, будем называть семейство / (в данном случае это семейство однородных »леменгов в свободной аЛГебре) сильно свободным множеством, если оно \донлегн«»ряет эквивалентным условиям:
11 1 отображение .1 в гп'іні'И последовательности (3) инъективно;
5
(2) в соотношении (4) имеет место равенство;
(3) Hi(fyR) = 0.
В рассматриваемой ситуации легко показать, что этим условиям эквивалентно также
(•1) //*,(/, /?) = 0 при всех р > 1.
Понятие сильно свободного множества является некоммутативным аналогом регулярных последовательностей / в коммутативных кольцах, которые в случае однородных элементов положительной степени в градуированной алгебре (или, более общо, если для порождаемого / идеала
ОС'
I пересечения П /п = {0} (см. [4])) могут быть определены эквивалентными условиями:0
(3’) Hl(K(f,R)) = Q-
(4’) НР(К({, Я)) = 0 для всех р > 1.
Однако, основное определение регулярной последовательности / = {/;} состоит в том, что каждый ее элемент является неделителем нуля по модулю предыдущих. Это условие, как хорошо известно, равносильно тому, что ассоциированное градуированное кольцо 6'г/(Я) =
0 jtnjj»«+] являстся алгеброй многочленов Я//[{/<}], где /, -образ /, в
/л=1)
1/1\ или, иначе говоря, естественное сюръективное отображение
<p:A®k [{Y,}}-* Gr,(R)
является биективным, і де .4 = H/І и <p{Yj) = /р
Пусть алгебра Я градуированная и / = {/,■} состоит из однородных элементов положительных степеней kr Рассматриваем градуировку на (>r,{R), индуцированную градуировкой на Я, т.е. Gr/(R)rl =
0 (/’"//”'*1 Тогда ряды Гильберта Я(/) и (7г/(Я)(£) совпадают и на-
личие « юрьеь г ивног о отображения <р дает неравенство для рядов Гиль-
б*»|>'| а
П(1-«*Т!>Я(0, К)
б
- Київ+380960830922