Оглавление
I Базисные алгебры конечной гомологической размерности 12
1. Необходимые сведения о базисных алгебрах 12
2. Композиция базисных алгебр и композиция по двум гомоморфизмам. 20
II Представления двухвершинных алгебр 30
3. Сверхжёсткие объекты в производных категориях модулей над петельными алгебрами 30
4. Двухвершинные алгебры гомологической размерности 2 42
5. Исключительные пары 49
1
Введение
В диссертации изучаются представления базисных алгебр над полем. Вели основное поде агебранчсски замкнуто, то любая конечномерная алгебра Морита-эквивалентна своей базисной алгебре, и в этом случае охватываются представления всех конечномерных алгебр.
Категория представлении конечномерной алгебры (как и её производная) порождена конечным числом объектов. Такие категории возникают в линейной алгебре, алгебраической геометрии, теории представлений алгебр Ли, в некоторых физических теориях, к их алгебраическая интерпретация может оказаться очень полезной. Особенно важен случай модулей над алгебрами конечной гомологической размерности. Следует сразу сказать, что не всякая насыщенная триангулированная категория (4) (аналог абелевой категории конечной гомологической размерности), порожденная конечным числом объектов, эквивалентна производной категории модулей пад конечномерной алгеброй. Как видно из результатов пятой главы диссертации (пример 5.9), примером может служить категория, порождённая иекдючитетьпой парой < Е, Р > с ненулевыми пространствами
Е«‘(Я,**). Ьс£2(£, Р), Е л3(£\ Г).
Интерес к представлениям конечномерных алгебр первоначально возник в связи с задачами линейной алгебры, например с задачей о четвёрке линейных подпространств (20). В этих задачах возникали алгебры путей колчанов без соотношений. Если такая алгебра конечномерна (это равносильно отсутствию в графе петель и ориентированных циклов), то её гомологическая размерность не превосходит 1. Обратно, всякая базисная алгебра гомологической размерности 1 является алгеброй путей колчана без соотношении. Любой комплекс модулей над такой алгеброй квазнкэоморфен сумме своих когомологий (это верно для любой абелевой категории гомологической размерности 1). Однако абелева категория представлений таких алгебр может быть устроена очень сложно. В 1972 году Габриэль доказал (17), что у алгебры связного колчана число неизоморфных неразложимых представлений конечно в том и только в том случае, когда граф колчана - схема Дьгакпна. В работе (3) были введены так называемые функторы отражения, или обра-
2
щеиия стрелок, выходящих (входящих) из одной вершины, которые впоследствии были осмыслены как эквивалентности производных категорий представлений различных колчанов. Достаточно хорошо изучен более широкий, но вполне обозримый класс ручных колчанов (счётное количество неразложимых модулей).
Следующий по сложности класс базисных алгебр — это упорядоченные алгебры. Это алгебры путей упорядоченных колчанов с соотношениями. Иначе говоря, базисная алгебра называется упорядоченной, если её ортогональные идемпотскты р, можно упорядочить таким образом, чтобы пространства Aij = fcApj были нулевыми при i > j9 и, кроме того, dim A^i = 1. Гомологическая размерность таких алгебр меньше числа вершин.
Тесно связанными с представлениями наследственных алгебр оказались категории ко-герентых пучков на некоторых проективных многообразиях с группой Гротендика конечного ранга, в частности на многообразиях Фано. В 1978 году в статье Бейлипсопа [I] была установлена эквивалентность производных категорий когерентных пучков на Рп и стабильной гомотоппческой категории пучков O(i), 0 < i < п, а в статье Бернштейна,
Гельфанда и Гельфаеда [2] — с факгоркатегориси Af*(A)fF Z-градуированных конеч-нопорождённых модулей по свободным над алгебой ®"=0 Лв(Е), где Е — (n -f 1)-мерное векторное пространство. В дальнейшем выяснилось, что эта категория имеет более простое описание: 13 работе Бондала [4] доказывается, что она эквивалентна, производной категории модулей над алгеброй эндоморфизмов полного исключительного набора пучков. Для Р» этот набор состоит из пучков 0(1),0(2),... ,0(n -f 1). Алгебра эндоморфизмов исключительного набора является наследственной. Исключительные наборы были построены и детально изучены для широкого класса многообразий.
В статье [4] также предложена общая теория исключительных наборов. Другой взгляд на проблему, связанный с понятием тилтинг-пучка можно найти в статье Баер (10). Тилтинг-пучок — это такой когерентный пучок F, что Ext*(F,F) = 0 при i > 0, прямые слагаемые F порождают всю производную категорию когерентных пучков Db(Coh - А') и hdim(End(F)) < со. В этой ситуации категории Db(Cah - X) и D^(Mod — End(F)) эквивалентны.
3
Понятие тнлтпиг-объекта имеет смысл в любой триангулированной категории Крудля-Шмидта. При наличие такого объекта в ряде случаев категория эквивалентна производной категории модулей над алгеброй его эндоморфизхсов. (Для производной категории модулей над конечномерной алгеброй это было установлено в статьях (18, 23]). Обратно, эквивалентность триангулированной категории и производной категории А-модулей задаётся тилтинг-объектохе А <Е ОЬ(Х). Примером тилтинг-объекта является прямая сумма объектов сильного исключительного набора (набора, в котором нет ненулевых Ех1-оъ между объектами). Алгебра его эндоморфизмов — упорядоченная алгебра.
Можно предположить эквивалентность триангулированных категорий, порождённых исключительными наборами с изоморфными градуированными алгебрами эндоморфизмов (включающих все Однако здесь возникают существенные препятствия. Для
установления этой эквивалентности нужна дополнительная структура на категории, так называемое оснащение [6]. Оно существует, к примеру, на "некоммутативных проективных многообразиях" - в триангулированных категориях, получающихся путем деформации производных категорий когерентных пучков на проективных многообразиях. Такие категории возникают в теории ноля. Также иногда приходится рассматривать полные подкатегории производных категорий когерентных пучков, порождённые конечным числом пучков (комплексов пучков). Эти категории могут оказаться эквивалентными производным категориям модулей над базисными алгебрами, уже не обязательно наследственными. Остается открытым вопрос: всякую ли производную категорию модулей над конечномерной алгеброй конечной гомологической размерности можно вложить в производную категорию когерентных пучков на некотором гладком просктивнох! многообразии?
Одновременно с проективной геометрией представления базисных алгебр стали возникать в трёх тесно связанных между собой теориях: представлений редуктивных алгебр Ли, ходжевых О-модулей и превратных пучков. В 1988 году Клин, Паршалл и Скотт ввели понятие квазинаслсдственной алгебры. Алгебра А называется кваэпнаследственной, если существует цепочка идеалов 0 = Л С А С ... С 4 таких, что является наслед-
I
ствеяпым идеалом в факторалгебре Идеал называется наследственным, если он
проективен, идемпотентен и алгебра его эндоморфизмов как /1-модуля полупроста. В начале 90-х годов теория квазинаслсдствснных алгебр быстро развивалась. Было установлено (16), что производная категория модулей над кваэинаследственкой алгеброй порождена исключительным набором, что гомологическая размерность квазннаследствешюй алгебры не превосходит 2« - 2, где п — число вершин. Всякая алгебра гомологической размерности 2 является кваэинасдедствепной. В диссертации описаны исключительные объекты в производных категориях модулей над кваэинаследствеиыыми базисными 2-вершннными алгебрами. Изучались также обобщения кваэинаследственных алгебр — нит-алгебры (15).
Автора настоящей диссертации ин тересует действие функтора Ех1 в категориях представлении конечномерных алгебр и их ограниченных производных категориях. Основной инструмент для вычисления Ех1-оя между объектами ограниченной производной категории служат спектральные последовательности Эйленбсрга-Мура (7). Если гомологическая размерность алгебры конечна, то в категории её представлений достаточно много проективных объектов, и эти последовательности существуют и сходятся. Для алгебр бесконечной гомологической размерности имеет смысл рассмотрение абелевой подкатегории модулей, порождённой проективными (инъективными) модулями. В этой категории также достаточно мпого проективных (инъективных) объектов, и спектральные последовательности Эйленберга - Мура сходятся. Однако такая категория не является насыщенной в смысле Бонд ала и Капранова (5), то есть не всякий точный функтор в производную категорию векторных пространств представим. А именно, (контравариантный) функтор образующих
С(А') = ф кГ\Х)1Нк(Х)11а<1(Л){к1
где [Рк{Х) — минимальный проективный комплекс для X (в случае подкатегории, порожденной проективными модулями) представим суммой неприводимых Л-х«одудей, которая нс лежит в подкатегории в силу бесконечности гомологической размерности А. 13 случае конечной гомологической размерности, напротив, категория является насыщен-
5
- Київ+380960830922