Геометрия действий торов на многообразиях флагов

Оглавление
1 Введение 4
1.1 История вопроса........................................... 4
1.2 Основные результаты работы................................ 7
1.3 Определения и обозначения................................ 12
1.4 Результаты используемые в работе......................... 14
1.5 Благодарности............................................ 16
2 Вариация фактора Мамфорда для действия Т на С/В 17
2.1 Структура множества полустабильных точек......... 17
2.2 Результаты о множестве полустабильных точек для (7 = £Х/-ц 23
2.3 Изучение носителей полустабильных Т-орбит................. 29
3 Вычисление ранга Рю(Х38//Т) 40
3.1 Вычисление ранга в случае группы (7 свободной от компонент типа Ап 40
3.2 Вычисление групп Р1сг(-^££).............................. 47
3.3 Вычисление ранга Рю{Х[^//Т).............................. 52
4 Микровесовые представления и поверхности дель-Пеццо 65
4.1 Предварительные замечания................................ 65
2
4.2 Утверждения о многообразиях флагов.......................... 70
4.3 Фактор Є/Р по однопараметрической подгруппе Л............... 77
4.4 Фактор по подгруппе Л грассманиана О/Р из Р(д) в случае группы типа Е%............................................. 87
4.5 Вложение торсера над Хд в аффинный конус над С/Р. . . . 105
4.6 О пересечении грассманиана с проективным подпространством 125
3
Глава 1
Введение
1.1 История вопроса
Диссертация посвящена изучению действий подторов полупростой группы <7 на многообразиях флагов.
Введем необходимые обозначения, а также напомним читателю основные определения. Пусть С — связная иолупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, Т — максимальный тор в <7, а В — содержащая его борелевская подгруппа. Рассмотрим действие Т на Є/В левыми сдвигами. Иными словами, элемент тора- £ Є Т переводит смежный класс дВ в ЬдВ.
Пусть х — некоторый вес тора Г, строго доминантный относительно борелевской подгруппы В. Хорошо известно, что С/В вкладывается (7-эквивариантно в проективизацию Р(К(^)) неприводимого модуля У(х) старшего веса х как проективизация орбиты старшего вектора. Обозначим через Ьх ограничение на С/В (7-линеаризованного пучка 0(1) на Р(У(х))* Так реализуются все обильные (7-линеаризованные линейные расслоения на С/В (см. [11]).
4
Также можно рассматривать параболические подгруппы Р С С, содержащие фиксированную борелевскую подгруппу В. Известно, что та-кая подгруппа Р является стабилизатором прямой, натянутой на старший вектор неприводимого представления У(х)> Для некоторого доминантного веса х- Группа, порожденная такими весами х» отождествляется с группой характеров Е(Р) параболической подгруппы Р. Аналогичным образом, обозначим через Ьх ограничение на С/Р ^-линеаризованного пучка 0( 1) на Р(К(х))- Хорошо известно, что так могут быть реализованы все обильные (^-линеаризованные линейные расслоения на О/Р (см. [11]).
Зафиксировав обильное (^-линеаризованное линейное расслоение на многообразии X = (7/Р, согласно [3], можно определить открытое по Зарисскому подмножество Х3^ флагового многообразия X = С/Р, для которого существует категорный фактор Х[3 ЦТ для действия Т. Этот фактор мы назовем фактором Мамфорда.
Для удобства читателя напомним определение множества (полуСтабильных точек.
Определение 1.1.1. Пусть X — алгебраическое многообразие с действием группы //, Ь — обратимый обильный Я-линеаризованный пучок на X.
(I) Множеством нолустабильных точек называется
X? = {хеХ:Зп>0,Зае Г{Х, £®п)я : а(х) ф 0}.
(II) Множеством стабильных точек называется
Х[ — {ж € Х'ь : орбита Нх замкнута в Х™ и стабилизатор Нх конечен}.
Еще раз повторимся, что для множества Х8Ь существует геометрический фактор XI/Я, а для X™ — соответственно категорный фактор X]3//И.
5
В нашем случае, когда Н = Т, X = G/Р, а в качестве пучка L берется г*0( 1), (где г : G/Р с Р(К(7га))), через (G/P)a* мы будем обозначать множество точек х 6 (G/P)3, для которых стабилизатор Тх — Z{G).
Сделаем краткий обзор результатов, которые были получены ранее другими авторами в связи с изучением торических орбит на многообразиях флагов.
Перечислим результаты связанные с изучением замыканий орбит действия максимального тора Т на флаговых многообразиях. В работе [18] доказывается нормальность замыканий типичных Т-орбит на G/Р (где Р Э В — параболическая подгруппа). В работе [16] изучается нормальность необщих Т-орбит на G/Р, точнее построены примеры ненормальных замыканий Т-орбит, а также изучены Т-орбиты для простых групп О малого ранга. Когомологии замыканий общих Т-орбит изучались в работе А.А.Клячко [8]. Пусть х € G/B — точка общего положения. Тогда вложение Тх С G/В индуцирует на когомологиях рассматриваемых многообразий естественный гомоморфизм ограничения H*(G/B,Z) —» Н*(Тх, Z). Этот гомоморфизм был описан в вышеназванной работе.
Следующая серия работ посвящена изучению множества полустабиль-ных точек, а также факторов Х™ ЦТ. В [25] выясняется вопрос, для каких групп G и их параболических подгрупп Р возможно равенство {G/P)™ = (G/P)% для некоторого обильного пучка L. Кольца рациональных когомологий факторов X™J/T были посчитаны в работах [21] и [22] с помощью методов симплектической геометрии.
Последняя часть диссертации посвящена гипотезе Батырева, которая утверждает наличие связи между универсальными торсерами над поверх-
6
ностями дель-Пеццо и аффинными конусами над грассманианами, вложенными в микровесовые представления. Укажем, какие результаты были получены другими авторами в этом направлении.
Случай поверхности дель-Пеццо степени 5 был разобран Скоробогато-вым в [27]. Расскажем подробнее об этом результате. Рассмотрим грассма-ниан двумерных подпространств в пятимерном векторном пространстве, который иначе может быть представлен как вЬ5/Р, для соответствующей параболической подгруппы Р. В цитируемой работе было показано, что фактор Мамфорда Т\(ЗЬь/РУ грассманиана ЗЬъ/Р по максимальному тору Т с «9Х/5 изоморфен поверхности дель-Пеццо степени 5. Отметим, что последняя поверхность, является плоскостью с раздутыми 4 точками в общем положении, и с точностью до бирегулярного автоморфизма существует только одна такая поверхность.
Полные координатные кольца над поверхностями дель-Пеццо были вычислены в работе [15] Батыревым и Поповым. Также посредством этих вычислений им удалось выяснить связь между поверхностями дель-Пеццо и соответствующими микровесовыми представлениями. Геометрическое описание этой связи появилось в работе Скоробогатова и Сергановой [28] для поверхностей дель-Пеццо степени больше 1.
1.2 Основные результаты работы
В этом параграфе мы дадим краткий обзор основных результатов работы.
Вторая и третья глава посвящены изучению действия максимального тора Т на многообразии полных флагов С?/В.
Вначале мы изучим вопрос о вариации фактора Мамфорда в зависимо-
сти от Т-линеаризованного пучка Ьх. Мы напомним критерий численной стабильности, принадлежащий Сешадри. Затем, воспользовавшись им, мы получим формулу, описывающую множество полустабильных точек относительно расслоения Ьх как пересечение клеток Брюа, сдвинутых на некоторые элементы группы Вейля. Последняя формула также позволит построить разбиение внутренности камеры Вейля С, которая является в данном случае конусом обильных линейных расслоений, на классы йГГ-эквивалентности. Напомним, что классом С1Т-эквивалентности называется такое максимальное подмножество конуса Т-линсаризованных обильных линейных расслоений, такое что множества иолустабильных точек, построенные по расслоениям из вТТ-класса, совпадают. Отметим, что С1Т-классы являются полиэдральными конусами.
Приведем формулировки соответствующих теорем.
В главе 2 нами получена формула, выражающая множество полустабильных точек через пересечение сдвигов на элементы группы Вейля некоторых клеток Шуберта.
Теорема 1.2.1. (см. 2.1.4) Рассмотрим О-эквивариантпое замкнутое влооюение С/В «-»• Р(У(х)). Тогда мпооюество полустабильных точек относительно действия тора (с линеаризацией, пришедшей со стандартного действия Т па V (х)) может быть найдено по следующей формуле:
х% = П и ЯВюВ/В,
IV ш€ IV*,1
где IVх — множество таких ги 6 \У, что {гох] А) ^ О для. любого А е С из камеры Вейля.
8
Из этой теоремы получается теорема о вариации фактора Мамфорда.
Пусть А — конус, порожденный простыми корнями. Определим по элементу х С конус ах = С П р| wA.
we\V
Теорема 1.2.2. (см. 2.1.7) (Вариация фактора Мамфорда)
Множество конусов ах для % е С0 конечно. Они образуют веер с носителем С.
Внутренности этих конусов отвечают классам GIT-эквивалентности.
В этой главе приведены вспомогательные результаты, описывающие множество полустабильных точек в коразмерности 1. Также получены технические результаты об устройстве линейных оболочек носителей стабильных Т- орбит.
Поскольку факторы XfjT устроены достаточно сложно, представляет интерес вычисление каких-либо их инвариантов. Одним из важных инвариантов многообразий (в особенности, когда они проективны) является группа Пикара. В данном случае несложно показать, что Pic(Х™ ЦТ) — конечно порожденная свободная абелева группа. Поэтому последняя группа определяется своим рангом, вычислению которого будет посвящена третья глава.
Хорошо известно, что имеет место вложение 0 —> Pic(X£*/T) —> Picrpf£p, где Picт(Хьх) обозначает группу Т-линеаризованных расслоений mXi8. Заметим, что вопрос вычисления Pic(Xf3 ЦТ) как подгруппы в
X X
Picr(*£5x) достаточно сложен. Совсем недавно Ш.Кумаром [24] был выяснен вопрос при каких целых к расслоение kLx € Picпринадлежит подгруппе Pic(XfJ/T). Стоит отметить, что из наших результатов, опуб-
9
ликованных раньше чем |24), следует, что кЬх € Рю(Х^ ЦТ) для некото-рого достаточно большого к.
Глава 3 посвящена вычислению ранга группы Пикара фактора Х[5 ЦТ. В случае, когда группа С не имеет компонент типа Ап имеет место теорема.
Теорема 1.2.3. (см. 3.1.1) Пусть х ~ строго доминантный вес, которому отвечает вло'лсение С/В ^ Р(^(х))- Пусть {А^} — всевоз-мооюные насыщенные подсистемы корней в А такие, что 0 6 'шгсох + О+ач. Тогда элемент р = (ро] Р\) <Е (Р\с(С/В) х Е(Т)) ® <0>
а,б(ду)4 п™д+
принадлежит 7гяРю(Х£*/Т) <8 (13 тогда и только тогда, когда
■Ш1И0ЦО + АИ е
3
для всех гсгио € \У//. Ранг группы Пикара Р\с(Х 1^//Т) равен размерности линейного пространства, натянутого на точки р, удовлетворяющие условиям, описанным выше.
Имеет место аналогичная теорема для (7 = бХг+ь В этом случае дополнение к множеству полустабильных точек может иметь компоненты коразмерности 1. Это приводит к тому, что вычисление группы Рют(Х^) становится нетривиальным (последнее вычисление произведено в главе 3). Мы опустим формулировки соответствующих утверждений, которые аналогичны приведенным выше, но более громоздки.
Глава 4 посвящена гипотезе Батырева, которая утверждает наличие связи между универсальными торсерами над поверхностями дель-Пеццо и микровесовыми представлениями, точнее с грассманианами, вложенными в нроективизации этих микровесовых представлений.
10
Хорошо известно [9], что поверхности дель-Пеццо степени д < 6 можно сопоставить систему корней ранга 9 — д из следующего списка: Л\, Д, Д, Д, Д. Каждой такой поверхности соответствует простая группа С?. У группы С, в свою очередь, есть квазимикровесовое представление У(7га) (а именно представление, на ненулевых весах которого группа Вейля действует транзитивно) со старшим весом 7га, соответствующим отметке 1 на концевой вершине диаграммы Дынкина. Отметим, что в случае рассматриваемое представление У(7га) является присоединенным, а в остальных случаях — микровесовым (то есть таким представлением, что на его весах группа Вейля действует транзитивно). В проективизации этого представления существует единственная замкнутая орбита — грассманиан С/Р. Нашей целыо является построение локально замкнутого вложения торсера над поверхностью дель-Пеццо относительно тора Т, полученного расширением максимального тора Т с помощью тора, действующего гомотетиями на У(7га), в аффинный конус над соответствующим грассма-нианом (2/Р. ;
Основным результатом является сформулированная ниже теорема (в случае поверхностей дель-Пеццо степени > 1 доказанная Скоробогатовым и Сергановой (28]).
Рассмотрим тор Т х Iх, первая компонента которого действует на неприводимом представлении V(тта) стандартным образом, а вторая с по-мощыо гомотетий. Обозначим через Т фактор тора Т х 1КК по ядру неэффективности действия на У{ка).
Теорема 1.2.4. Суи^ествхует локально замкнутое Т-эквивариаитпос
л
влооісение универсального торсера Т с действием тора Т над поверхно-
11