ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение................................................................3
0.1. История вопросов, исследуемых в диссертации.....................3
0.2 Основное содержание диссертации.................................10
Глава 1. Аналог теоремы С.Н.Бернштейна для функций,
неограниченных на оси..................................................20
Глава 2. Приближение функций из класса Гель дера на полуоси............36
2.0. Некоторые определения и формулировка результата................36
2.1. Предварительные соображения по способу аппроксимации функции £.......................................................... 38
2.2. Окончательный вариант приближающей функции.....................47
2.3. Оценка Г1(х)-Сс(х) при х>0.....................................52
Глава 3. Обратная теорема о приближении функций на полуоси.............71
Литература.............................................................82
з
ВВЕДЕНИЕ
0.1. История вопросов, исследуемых в диссертации.
Первыми результатами, относящимися к описанию классов функций, заданных на неограниченных множествах, скоростью их поточечной аппроксимации, из определенных подклассов целых функций, были теоремы С.Н.Бернштейна об описании классов ограниченных функций с какими-то условиями на их гладкость скоростью их наилучшего приближения так называемыми целыми функциями конечной степени.
Сформулируем классическую теорему С.И.Бернштейна для классов Гёльдера, которую можно считать первым результатом в развитии последующей теории.
Итак, пусть 0<а<1, Аа - пространство комплекснозначных функций £ определенных и ограниченных на вещественной оси К и удовлегворяющих на И условию Гёльдера порядка ос, то есть таким, что
І Дхі)-Дх2)I <с| хгх21а, х,уєІІ и |Г(х)|<Аг.
Пусть, далее, Ва - это класс целых функций первого порядка и типа не больше а, ограниченных на всей оси Я.
Теорема А (С.Н.Бернштейн [1]). Для того, чтобы ограниченная функция Ї принадлежала классу Ла, 0<а<1, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная Со=Со(0, не зависящая от а и х, такая, что для всякого о>0 нашлась бы целая функция (рсє В0 такая, что
4
1^(х)-<Ро(х)|<с0а‘а, х<=Я
(1)
В работах С.Н.Бернштейяа [1], [2], [3] рассмотрены классы функций на оси
Я более общие, чем Ла, однако условие ограниченности функций из соответствующего класса для получения его конструктивного описания всегда накладывалось.
Это замечание по существу относится и к тем ситу ациям, в которых рассматриваются классы функций вида где g - фиксированная функция первого по-
рядка экспоненциального тина, а Ге Ла, так как приближение находится в форме
g+Ф<т, ф0 - приближающая целая функция для Г, см. |4], [5].
Конечно, теорема А описывает в форме оценки (1) приближения функциями классов Вс на вещественной оси и классы ограниченных аналитических функций в нижней полуплоскости С_={2\ 1т г<0}, удовлетворяющих условию Гёльдера порядка а.
Следующим этапом в развитии обсуждаемой проблематики можно считать работы Кобера [6], [7]:
Теорема В. Пусть функция ^ определена и ограничена на оси Я. Для того, чтобы функция f была равномерно непрерывной на Я, необходимо и достаточно, чтобы
Фо<=В0 хбК
т£ 5ир|Дх)-фо(х)|=0
(2)
5
Теорема С. Пусть функция f определена и ограничена на полуоси R+=[0;oo), Са+ - класс функций порядка ~ и типа не больше ст. Для того, чтобы выполнялось соотношение
inf sup |f(x)-go(x)|=0 (3)
8 oGW+ xgR +
л
необходимо и достаточно, чтобы функция F(x)=f(x ), была равномерно непрерывна на всей оси R.
Отметим, что в теоремах В и С речь идет о классе всех равномерно непрерывных (в своих ситуациях) функций и они вновь предполагаются ограниченными. Кобером рассмотрены [7] и аналогичные (2) и (3) утверждения об описании классов аналитических в угле, ограниченных и в определенном смысле равномерно непрерывных функций.
Следующее продвижение в развитии конструктивных описаний классов функций скоростью их поточечного приближения целыми функциями было сделано в работе М.М.Джрбашяна и А.П.Тамадяна [8]. В ней рассмагривались уже неограниченные углы, обвинение таких симметричных углов и полуоси. Приведем некоторые из результатов этой работы; подчеркнем, что все классы рас-смагривасмых в ней функций предполагались содержащими только 01раниченные функции. Будем цитировагь формулировки, адаптированные к гладкости классов Гёльдера порядка а, 0<«<1, которая является нашей основной модельной гладкостью, хотя в [8J фигурируют более общие шкалы гладкости.
Теорема D [8]. Пусть р>1,
литических в Ор, ограниченных и удовлетворяющих в Эр условию Гб ль дер а порядка а, 0<а<1; ЕР;СТ - класс целых функций, ограничешшх на Эр порядка р и
типа не больше а; тогда для каждой функции Ге Аа(Бр) найдется постоянная с=сг такая, что
а>0.
Отметим, что обратные теоремы в [8] на множестве в Бр не согласуются с прямыми:
Теорема Е [8]. Пусть Ї - ограниченная функция на Бр, аналитическая в Бр ; предположим, что существует постоянная с такая, что
<т>0, 0<сс<1. Тогда Ге Ла (Бр).
Подчеркнем, что для нео!раниченных множеств Бр в теоремах Б и Е фигурируют только ограниченные функции £ а, кроме тою, прямые теоремы не согласуются с обратными (ср. неравенства (4) и (5)).
а
ІПҐ 8ир|ґ(2)-£ст(2)|<са Р,
8о є^р,0 2єРр
(4)
(5)
- Київ+380960830922