Наилучшее приближение периодических функций двух переменных и значения квазипоперечников некоторых классов функций в L2

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................................................
Глава I. ІІаилучшее приближение дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщенными полиномами в гильбертовом пространстве
-МФ), Я = {0 < X, у < 27г}.............................
§1.1. Основные определения и вспомогательные факты.........
1.1.1. Необходимые обозначения.............................
1.1.2. Приближение двумерных функций обобщенными полиномами .
1.1.3. Смешанные модули непрерывности в пространстве Ь2{Я) . . .
1.1.4. Основная лемма......................................
§1.2. О приближении непрерывно-дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщенными три юнометрически ми полиномами в Ь2(С))..................................
§1.3. О иаилучшем приближении функций /(х,у) Є Ь2'*\я) обобщенными полиномами, структурные свойства которых определяются усредненными значениями модулей непрерывности старшей частной производной....................................
§1.4. О наилучшем приближении дифференцируемых функций обобщенными полиномами, структурные характеристики которых задаются обобщенными модулями гладкости ...............
Глава II. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных . .
§2.1. Постановка задач и необходимые определения...........
^ .
3
20
22
22
22
24
26
29
37
45
49
49
§2.2. Квазипоперечники некоторых классов функций, определяемые
усредненными модулями непрерывности высших порядков ... 52 §2.3. Квазипоперечники классов функций, определяемые обобщенными модулями непрерывности в Ь^{0) 63
Литература.............................................67
I
Введение
Среди экстремальных задач теории приближения функций многих переменных наиболее трудными являются задачи нахождения точных оценок приближения на классах функций, связанные с отысканием значений поперечников и квазипоперечников в различных банаховых функциональных пространствах. В связи с этим исследования задач, связанных с приближением функций п (п > 2) переменных, продвинуто не так далеко, как н одномерном случае.
Определения понятий различных квазииоперечников компактов дало возможность перейти к изучению тех экстремальных задач теории приближений функций многих переменных, круг которых для обычных поперечников очертил А.Н.Колмогоров [35].
При решении экстремальных задач теории приближения функций многих переменных одной из важных является задача о приближении заданной функции . -. ,яп) суперпозициями функции меньшего
числа переменных, то есть требуется построить такой полином, в котором коэффициенты определяются но заданным п (п > 2) переменным каким-либо процессом приближения и являются функциями не более к (0 < < к < п — 1) переменных. При этом указанный полином должен иметь лучшие аппроксимативные свойства по сравнению с любой другой линейной формой полиномов, содержащих функции не более к переменных. Такой постановке задачи приближения функций многих переменных отвечают обобщенные полиномы (так называемые квазиполиномы), порожденные тензорным произведением одномерных функций.
Вопросами приближения функций многих переменных суперпозициями
3
функций меньшего числа переменных в разное время занимались Б.Б^апси [43], Н.П.Корнейчук [29], А.И.Вайидинер [14], М.К.Потапов [40], В.Ю.Брудный [11], В.Н.Темляков [49], М.-Б.А.Бабаев [7], А.Н.Литвин [37], В.В.Федько [52], С.В.Переверзев [39], С.Б.Вакарчук [16-18], С.Б.Вакарчук и М.Ш.Шабозов [19,20] и многие другие.
Дальнейшему развитию указанной тематики и посвящена данная работа, целыо которой является решение следующих задач:
1. Получить неравенства типа Джексона-Стсчкина для дифференцируемых периодических функций двух переменных, связывающие наилучшее приближение функций обобщенными полиномами с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в пространстве £2(<Э), Я = {(я> у) • 0 <х, у < 2п}.
2. Вычислить точные значения Колмогоровой их и линейных квазипоперечников классов дифференцируемых периодических функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных В пространстве -£2(Ф)-
В работе широко использованы общие методы функционального анализа, методы решения экстремальных задач функции многих переменных, а также некоторые подходы к решению многомерных задач вариационного содержания. В диссертационной работе:
- найдены новые точные неравенства, связывающие наилучшие приближения обобщенными полиномами функций двух переменных с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций 13 £2(0);
- вычислены точные значения колмогоровских и линейных ква-
4
зипоперечников классов функций, определяемых усредненными модулями непрерывности ВЫСШИХ порядков частных производных функций В 1/2(0) с положительными весами.
Полученные в диссертации результаты носят в основном теоретический характер. Установленные в ней факты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач, связанных с интегральными уравнениями.
Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог, 2002-2005 гг.), на международной конференции „Развитие горных регионов в XXI веке“(Хорог, Таджикистан 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции
"Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), на международной конференции „Современные проблемы математического анализа и их приложений“, посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).
Основные результаты диссертации опубликовать в работах [3-5,54,56]. В работах [54,56], выполненных в соавторстве с М.Ш.Шабозовым, последнему принадлежат постановки задач и выбор объекта исследований.
Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной