О дифференцированиях и лиевых изоморфизмах первичных колец

Содержание
Введение.................................................
1 Дифференцирования в первичных кольцах
1.1 Основные понятия.....................................
1.2 О композиции дифференцирований.......................
1.3 Подкольца, порожденные дифференциальными коммутаторами [х*,х]..............................................
1.4 Подкольца, порожденные дифференциальными коммутаторами [я*, ж)п............................................
2 Лиевы изоморфизмы первичных колец
2.1 Некоторые результаты из теории функциональных тождеств
2.2 Лиевы изоморфизмы простых колец......................
2.3 Лиевы изоморфизмы первичных колец с инволюцией ....
2
9
9
14
20
24
35
35
40
56
1
Введение
Начиная с шестидесятых годов этого века задачи, связанные с дифференцированиями и лиевыми изоморфизмами первичных колец, привлекали внимание многих математиков. Из первых работ о дифференцированиях колец отметим статью Познера [59]. Он показал, что композиция двух ненулевых дифференцирований первичного кольца не может быть ненулевым дифференцированием, если характеристика кольца отлична от 2, и что ненулевое дифференцирование первичного кольца Я является коммутирующим отображением (то есть [х<*, х] = х*х — хх<1 = 0 для всех х е Я) тогда и только тогда, когда кольцо Я - коммутативно. Эти результаты имели многочисленные обобщения. Отметим только некоторые из них. Вопрос о том, когда композиция трех дифференцирований первичного кольца является дифференцированием, был исследован Лански [41]. В случае положительной характеристики (р > 0) первичного кольца задача о композиции р дифференцирований была рассмотрена Чуангом [32].
Вукманом [63] было доказано, что ненулевое дифференцирование с1 некоммутативного первичного кольца Я характеристики, отличной от 2, не может удовлетворять тождеству [ха,х]2 = [[х^,х],х] = 0 для всех х € Я. Лански [43] обобщил этот результат, показав, что ненулевое дифференцирование (I некоммутативного первичного кольца Я не может удовлетворять тождеству [х*,х]п == [• • • [хй, х],..., х] = 0 для всех X £ Я) одновременно сняв ограничения на характеристику. Наконец, Брешаром и Вукманом [31] была решена задача о том, когда подкольцо некоммутативного первичного кольца Я, порожденного коммутаторами [х^,х], где (I - ненулевое дифференцирование кольца Я, х € Л, содержит ненулевой односторонний идеал кольца Я.
Вопросы описания коммутирующих отображений, решенные Познером для дифференцирования, Вукманом для отображения [хл,х\ и Лански для отображения [х^,х]п, имеют самое непосредственное отношение к задачам о лиевых изоморфизмах. Мэйн [57] получил аналог теоремы Познера для коммутирующих автоморфизмов. Его результат также многократно обобщался различными авторами. Из этих работ следует выделить статью Брешара [18], который описал все коммутирующие отображения первичных колец, то есть все аддитивные отображения / : Я —> Я, удовлетворяющие тождеству [Дх),х] = 0 для всех
2
х £ Я. Более общий результат об аддитивных отображениях / : I Я левого идеала Ь в первичное кольцо Я, удовлетворяющих тождеству [...Л[/(аг),ж*1],:с*2],...,2:*п] = 0 был получеп Бейдаром, Фонгом, Ли и Вонгом [6]. Описание Брешаром [17] биаддитивных коммутирующих отображений стало ключевым результатом в решении им проблемы Хер-стейна о лиевых изоморфизмах первичных колец. Аналогично, описание триаддитивных коммутирующих отображений в кольцах с инволюцией Бейдаром, Мартиндейлом и Михалевым [9] привело их к решению проблемы Херстейна о лиевых изоморфизмах первичных колен с инволюцией. Наиболее общие результаты об п-аддитивных коммутирующих отображениях были получены Ли, Лин, Вопг и Ванг ['16], их существенное развитие дает теорема Бейдара о функциональных тождествах [о]. Результаты об п-аддитивных коммутирующих отображениях в кольцах с инволюцией могут быть получены как следствия теоремы Бейдара-Мартиндейла о функциональных тождествах в кольцах с инволюцией [8].
Из первых работ о лиевых изоморфизмах важно отметить статью Хуа [38], где была рассмотрена задача описания лиевых автоморфизмов для колец матриц порядка п > 3 над телом в случае характеристики, отличной от 2 и 3.
В случае простых колец Я характеристики 2 задача описания лиевых изоморфизмов была исследована Херстейном и Клейнфельдом [36] при дополнительном предположении о том, что лиев изоморфизм ф сохраняет третью степень, то есть ф(х3) = ф(х)3 для всех х £ Я.
В 1961 году Херстейном [33] были сформулированы две следующие проблемы:
1). Всякий ли лиев автоморфизм ф простого ассоциативного кольца Я имеет вид <7+г, где а - автоморфизм или взятый со знаком ” антиавтоморфизм кольца Я, а т - отображение кольца Я во множество элементов, коммутирующих с элементами из Я?
2). Пусть Я - простое кольцо с инволюцией * и К - лиево кольцо кососимметрических элементов (то есть К = {х <Е Я | х* = -я}). Всякий ли лиев автоморфизм ф кольца К индуцирован автоморфизмом кольца
Л?
В случае характеристики, отличной от 2 и 3, задача 1) была исследована Мартиндейлом (в 1963 г. для примитивных колец с дополнительным предположением о существовании трех ортогональных идемпотен-
3
тов, сумма которых равна 1 [49]; в 1969 г. для простых и первичных колец с предположением о существовании двух ортогональных идемпо-тентов, сумма которых равна 1 [50, 52]). В 1993 год)' была опубликована работа Брешара [17], в которой опущено предположение об ортогональных идемпотснтах, но были сделаны следующие ограничения: рассматриваются первичные кольца характеристики, отличной от 2, и кольца не удовлетворяющие стандартному тождеству 5*4. Как сообщил автору Мартиндейд, его студепт Бла-у изучил лиевы изоморфизмы первичных колец, удовлетворяющих стандартному тождеству 5*4 [13].
Для инволюции второго рода частный случай проблемы 2) был изучен Роузен [61]. Для инволюции первого рода при дополнительном предположении, что характеристика отлична от 2 и 3, проблема была решена Бейдаром, Мартиндейлом и Михалевым [9].
Современное состояние теории дифференцирований и лиевых изоморфизмов в первичных кольцах отражено в книгах [10] и [39].
Цель данной работы состоит в решении ряда открытых проблем, возникших при исследовании дифференцирований и лиевых изоморфизмов первичных колец.
В работе используются методы и результаты теории колец с обобщенными полиномиальными, обобщенными дифференциальными и функциональными тождествами.
Краткое содержание работы.
В первой главе решаются задачи, связанные с дифференцированиями в первичных кольцах. Первый параграф посвящен изложению основных понятий теории колец с обобщенными полиномиальными тождествами, дается определение правого и симметрического мартиндейловского кольца частных, расширенного центроида, X-внутреннего дифференцирования, приводятся необходимые результаты теории первичных колец с обобщенными дифференциальными тождествами.
Во втором параграфе доказывается
Теорема 1 Пусть Я - первичное кольцо. Пусть композиции д = с!п ненулевых дифференцирований п > 1, является диф-
ференцированием кольца Я. Предположим, что характеристика кольца Я больше п или равна 0. Тогда:
1) По крайней мере три дифференцирования из набора {б*1,...,<4} являются X-внутренними.
4
2) (I - X-внутреннее дифференцирование.
3) Если с1„,.. 1 <*!<...< < п, к < п, - все X-внутренние
дифференцирования из набора {с^,... ,<£»»}, то
</ч'2 • • • д1к — 0.
В доказательстве используются результаты Харченко [2] и Мартин-дейла [51].
Третий параграф посвящен доказательству следующею результата:
Теорема 2 Пусть Л - некоммутативное первичное кольцо характеристики, отличной от 2, и пусть Г) - ненулевое дифференцирование кольца К. Тогда подкольцо I! кольца Я, порожденное всеми коммутаторами [х1\х\,х € Н, содержит ненулевой двусторонний идеал кольца Я.
Помимо упомянутых выше результатов Харченко и Мартиндейла, в доказательстве используется результат Брешара и Вукмана [31].
Заметим, что результат Познера [59] о том, что ненулевое дифференцирование первичного кольца Я является коммутирующим отображением (то есть [Xе1, я] = х*х — хх* — 0) тогда и только тогда, когда кольцо коммутативно, переносится на коммутаторы более высоких порядков: результат Лански [43] утверждает, что ненулевое дифференцирование д. некоммутативного первичного кольца Я не может удовлетворять тождеству [х ,х]п = [... (х^,х],.. . ,х] = 0 для всех х € Я. Однако, получить аналогичный ’’перенос” для подкольда, порожденного коммутаторами [х^, х]п без дополнительных ограничений не удается. Для х,у 6 Я положим [у,х] 1 = [у,х\ = ух - ху, [г/,х]*+1 = [[у,х)*,х], к = 1,2,.... В четвертом параграфе доказывается
Теорема 3 Пусть Я - некоммутативное первичное кольцо, () - симметрическое мартиндейловское кольцо частных, С - расширенный центроид. Пусть О - дифференцирование кольца Я и п > 2 - целое чимо. Предположим, что V ф ад(а) (то есть О не является X-внутренним дифференцированием, определяемым элементом а € ($) ни для какого а € (2, удовлетворяющего условию (а + с)2 = 0 для некоторого с 6 С, и пусть характеристика кольца Я больше п или равна 0. Тогда подкольцо Я кольца Я, порожденное коммутаторами {[х°,х]п_1 | х € Я], содержит ненулевой двусторонний идеал кольца Я.
5