Предельные теоремы для броуновского движения и некоторых процессов с ним связанных

Предельные теоремы для броуновского движения и некоторых процессов с ним связанных.
Оглавление.
Введение.
Глава 1. Расщепляющие моменты.
§1.1. Расщепляющие моменты и их свойства.
§1.2. Представление расщепляющего момента для нормированного случайного блуждания.
Глава 2. Функциональные предельные теоремы.
§2.1. Предельные теоремы для поведения нормированного случайного
блуждания и броуновского движения после расщепляющего момента.
§2.2. Предельные теоремы для поведения нормированного случайного
блуждания и броуновского движения до расщепляющего момента.
§2.3. Случайное блуждание и броуновское движение, рассматриваемые из точки максимума.
§2.4. Марковское свойство для предельных процессов.
2
Введение.
В последние годы в области функциональных предельных теорем в пространстве (7[0,1] — непрерывных действительных функций, определенных на отрезке [0,1] с равномерной метрикой, значительный интерес вызывают так называемые условные предельные теоремы для случайных блужданий [8], [17], [18], [19], [24], [26], марковских цепей [20], ветвящихся процессов [9], [10], [14], [15] и броуновского движения [21], [22]. Пусть X : П —> (7[0,1] — некоторое отображение измеримого пространства (ИУР) с вероятностной мерой Р на нём в пространство (С[0,1],С), где С — сг-алгебра, порожденная открытыми множествами в С[0,1] относительно равномерной метрики, Рх — вероятностная мера на (С[0,1],С), индуцированная отображением X :
Рх(А) = Р(и,гХ(и>)<= А), АеС.
Отображение X называют случайным элементом в ((7[0,1],С), Рх — его распределением вероятностей. Случайный элемент X называют также случайным процессом, имея в виду, что X = Х<(о?),0 £ ^ 1, является функцией
переменного 1. Для краткости мы будем опускать зависимость Х*(о>) от а? и употреблять запись (Х(£) : 0 ^ £ ^ 1).
Пусть Л € С некоторое событие положительной меры РХ- Положим Х-1(Л) = {о; : Х(о?) € Л} и введем отображение (X | Л) измеримого пространства (Х-1(Л), Х_1(Л) П Т) с вероятностной мерой
Р(А | Х-'(Л)) = р(х*1Ау)> АеГПХ-ЦА),
в пространство (А, Л П С). Случайный элемент (X | Л) имеет распределение вероятностей
= Й(§’ Б€ЛПС-
Далее для отображения (X | Л) будем также употреблять обозначение (Х(£) : 0 ^ £ ^ 1 | Л) и называть условным процессом. Мы будем рассматривать последовательность случайных элементов Хп из (С[0,1 ],С) и, соответственно, последовательность Рх„ их распределения вероятностей .Если имеет место слабая сходимость вероятностных мер [1]
Рхп => Рх, 71 ОО,
и X случайный элемент с распределением вероятностей Рх, то мы будем говорить, что последовательность Хп сходится по распределению к X и записывать это в виде
р
Х„ —> X, п —^ сю.
Функциональной условной предельной теоремой мы будем называть утверждения вида
(Хп I Л„) Д У, п ^ оо,
3
где Лп - некоторая последовательность множеств положительной меры.
После классических условных предельных теорем для ветвящихся процессов и некоторых их обобщений возрождение интереса к подобной проблематике связано с работами Белкина [17], [18]. Приведем один из результатов работы [18].
Обозначим В = (В(4) : 4 ^ 0) - процесс броуновского движения, заданный на вероятностном пространстве (П,^,Р). Определим случайные величины Т\
и т2
т\ = вир {4 ^ 1 : В(Ь) = 0}, г2 = шГ {4 ^ 1 : Н(4) = 0},
к положим
в+(<) _ Д(П+(1-Г!)<)
+ , . _ в(т, + (т2 - П )<) о(,_ (Тi-ч)*/» ’
при 0<4<1.
Пусть + (2 Н---Ь(п, So =0, п = 1,2,... — случайное блуждание, по-
строенное по последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин (1,(2,« ••»(*>» ^6 ~ -Ofi = 0-210 < <г2 < оо. При любом
n > 1 введем кусочно-линейный процесс ЙТ» = (Xn(t) : 0 < 4 < 1), положив
^) = Й’ (2>
для точек вида < = fe/n,0<fc<n, и определяя процесс с помощью линейной интерполяции при остальных значениях t.
Предположим, что введенные выше случайные величины (1,(29 • • • >{»* • • • яв" ляются целочисленными. Пусть Л е С — множество всех непрерывных функций на отрезке [0,1], не принимающих значение ноль на (0,1]. Тогда [18]
{Xn(t): 0 ^ 4 < 1 | Л) Д В+, п -> оо. (3)
Случайный элемент В+ = (J9+(4) : 0 ^ 4 ^ 1) называют броуновской извилиной или броуновским меандром (Brownian meander) со знаком, Bq — (Bq (4) : 0 ^ 4^1) называют броуновской экскурсией (Brownian excursion) со знаком.
Броуновская экскурсия (без знака) Wq — (4) : 0 ^ 4 ^ 1), броуновская
извилина (без знака) W* = (W*(t) : 0 ^ 4 ^ 1) определяются соотношениями
W+ = |В+|, (4)
W? = l«fl- (5)
Следующий результат в этом направлении принадлежит Иглхарту [24], который установил, что
(Х„(г): 0 < t < 1 I Г+ > «) ® W+, п -> оо, (6)
4
где Т* — inf {n > 0 : 5"« ^ 0}, при условии Е | £i |3< оо. Усиление этого результата с использованием другого подхода принадлежит Болтхаузепу 119]. При этом условие Е | |3< оо оказалось излишним.
В статье Кэя [26] для целочисленного случайного блуждания с шагом 1 доказана сходимость
(Л-„(«):0^г^1|Г = п) д. В+, п-> оо, (7)
где Т = inf {п > 0 : Sn — 0}.
Отметим другой тип условных предельных теорем, в которых рассматривается случайный процесс (X(i) : 0 ^ ^ 1) — случайный элемент пространства
(С[0,1],С) при условии семейства событий \е, зависящего от непрерывного параметра е > 0, при е —> 0. И речь идет о слабой сходимости условного процесса
(X(t): <К * < 1 | А«) 3 Y, £-+0,
полагая, что слабая сходимость имеет место для любой последовательности
еп —* 0 при 71 —у оо. При этом, естественно, более интересен случай когда Р(Х-1(Ае)) —У 0 при е ~> 0.
Приведем, для примера, следующие условные предельные теоремы для условного броуновского движения (W(t) : 0 ^ t ^ 1) [21], [22]:
(W(t) : 0 < t < 1 | ш > -е) 3 £ -► 0, (8)
где m — inf {W(t) : 0 ^ t ^ 1}; для броуновской извилины
{W+(t) : 0 < i < 1 I W+(l) < £) Д W+, £ —^ 0, (9)
и для броуновского моста W°(£) = VP(£) — tW( 1) :
(W°(l) : 0 < t < 1 | mo > -£) 4 И#\ £ -)■ 0, (10)
где тщ = inf : 0 ^ t ^ 1}.
Целью диссертации является получение условных функциональных предельных теорем двух указанных выше типов. Делается шаг в построении общей теории на основе использования так называемых расщепляющих моментов. Перейдем к изложению содержания диссертации.
Представим (3), (6) в несколько иной форме. Для этого введем функционал то : С[0,1] -У [0,1]
т0(/) = sup {£ € [0,1]: f(t) = 0},
/€С[0,1].
Тогда результат (3) работы [18] записывается в виде
(*„(*) : 0 « t 1 I т0(Хп) = 0) ® в+,
Предельную теорему (6) можно представить в виде
(X„(i) : 0 < t < 1 | т„»(Х„) = 0) 3 W+,
п
оо.
п
оо.
(И)
(12)
5
где функционал тт : С[0,1] —* [0,1] определяется формулой
тт(Я = sup{< € [0,1] : /(*) = т},
где / £ С\0,1], т = inf {f(s) : 0 < s > 1}.
Далее, определим семейства отображений Н~,Н£ из С[0,1] в (7[0,1] для фиксированного а € (0,1) формулами
#-/(<) = /И)/«1/2,
II+tU\ /(« + (! - а)г) ~ f(a)
Н» - (1 — а)1/2 ’
0 < 1.
Обратим внимание на то, что по определению
В+ = я+в,
а равенство по распределению
W+ = Д+ |В),
следует из результатов диссертации. Тем самым, предельные условные теоремы (11), (12) формулируются в виде
(*„(«) : 0 < t < 1 | г0(Л-„) = 0) Д Я+В, п ^ оо. (13)
(рГп(*)|:0<*<1|тт(|ДГп|) = 0)Дл+ |Я|, га -> оо, (14)
Ряд теорем, полученных в диссертации, имеют вид, аналогичный соотношени-ям (13), (14):
(*„(<) :0<*<1|т(Хп) = 0)Дя+(ИГ(1):(К*^1), п-юо. (15)
(Xn(t) : 0 < t < 1 | тХп = 1) Д H~(W(t) : 0 < i < 1), га -> оо, (16)
где, однако, в качестве т(/) берется измеримый функционал некоторого общего вида.
В главе 1 даются определения и излагаются свойства расщепляющих моментов, которые позднее используются при доказательстве условных функциональных предельных теорем.
Обозначим (С*УС*) измеримое пространство действительных непрерывных функций, определенных на отрезке [0,а] для з € (0, оо) и на полупрямой [0, оо) при s = оо, с <т-алгеброй С порожденной открытыми множествами, положим
С°° = С, С°° = С.
Функции /,<7 € С* назовем (Й-) - эквивалентными, 0 < t < «, и введем для этого обозначение / ~ д, если f(u) = д(и) при и £ [t,*]. Назовем / ид (£—) -эквивалентными: / ~ д, если f(u) = д(и) при и € [0,£], t < ä.
6