Пространство решеток и функции на нем

2
Содержание
Предисловие..............................................4
Введение.................................................6
Глава 1. Пространство решеток 28
§1. Лучевые функции, звездны«* тела и нормы 28
§2. Операторные нормы матриц.................... 39
§3. Метрики на пространстве решеток и полнота
пространства решеток............................ 43
§4. Алгоритм вычисления расстояния между двумя
целочисленными решетками........................ 56
Глава 2. Количество точек сдвинутой решетки
в гиперболических звездных телах 59
§5. Объемы гиперболических звездных тел......... 63
§6. Асимптотическая формула для числа точек сдвинутой решетки в гиперболическом кресте .... 67
§7. Асимптотическая формула для числа точек
сдвинутой решетки в гиперболической звезде 71
§8. Асимптотическая формула для числа точек сдвинутой решетки в модифицированном гиперболическом кресте................................. 76
Глава 3. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета - функции решеток и ее аналитическое продолжение 84
§9. Обобщенная гиперболическая дзета функция
решеток как ряд Дирихле......................... 85
§10. Непрерывность обобщенной гиперболической
3
дзета - функции решеток......................... 88
§11. Аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета функции для целочисленных и рациональных решеток................ 93
Глава 4. Рекурсивные алгоритмы для решеток 99
§12. Простейшие свойства гиперболического
параметра...................................... 100
§13. Гиперболический параметр двумерной 1>е-
шетки.......................................... 100
§14. Линейные порядки на целочисленном гиперболическом кресте........................... 111
§15. Рекурсивный алгоритм...................... 117
Глава 5. Пространства сеток и некоторые
пространства периодических функций 123
§16. Сетки, классы функций и квадратурные
формулы........................................ 123
§17. Линейное пространство и алгебра сеток
с весами....................................... 130
§18. Нормированное пространство сеток с весами .......................................... 136
§19. Образ пространства сеток свесами в
сопряженном пространстве ЛГв*.................. 138
§20. Метрическое пространство сеток............ 140
§21. Нормированная алгебра сеток с весами .... 143
Список литературы......................................149
Приложения.............................................156
•4
Предисловие
Работа посвящена изучению аналитических и алгоритмических проблем геометрии чисел и приложениям теории чисел к вопросам приближенного анализа. Рассматриваются структуры метрического пространства на множестве решеток, изучаются аналитические свойства обобщенной гиперболической дзета - функции решеток с помощью вывода асимптотической формулы для числа точек сдвинутой решетки в гиперболических звездных телах, строятся алгоритмы вычисления гиперболического параметра решеток, предлагаются конструкции нормированного пространства и нормированной алгебры на множестве сеток с весами.
Нумерация параграфов общая для всей работы. Определения, леммы, формулы и доказываемы«' в работе теоремы нумеруются двумя числами, первое из которых — номер главы. Теоремы, приводимые без доказательства, обозначаются буквой. Нумерация констант С (Л) единая для всей работы. Когда формулы переносятся на следующую строку, знак дублируется в начале каждой строки.
Цель работы
1. Рассмотреть различные способы задания метрики на множестве решеток.
2. Получить асимптотические формулы для количества точек сдвинутой решетки в гиперболическом звездном теле.
3. Получить аналитическое продолжение для обобщенной гиперболической дзета функции целочисленной и рациональной решеток.
4. Построить и обосновать рекурсивным алгоритм вычисления гиперболического параметра решетки.
5
о. Построить нормированные пространство и алгебру сеток с весами и метрическое пространство сеток.
б. Выразить норму линейного функционала погрешности приближенного вычисления коэффициентов Фурье на классе ££ через обобщенную гиперболическую дзета - функцию целочисленной решетки.
Объем работы
Диссертация состоит из предисловия, введения, пяти глав, 21 пара-графа, списка литературы из 55 наименований и приложений.
Публикации
Основное содержание диссертации отражено в 4 публикациях.
Апробация
Результаты работы докладывались на III й Международной конференции ’’Современные щюбломы теории чисел” (Тула, 1096). Международной конференции ’’Теория приближений и гармонический анализ” (Тула, 1998), теоретике - числовом семинаре иод руководством кандидата физ.- мат. наук Н. М. Добровольского в ТГІІУ им. Л. Н. Толстого, теоретике - числовом семинаре пол руководством доктора физ.- мат. наук Д. А. Митькнна в МПГУ, семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук В. И. Иванова в ТулГУ.
Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям доктору фиэико - математических наук, профессору В. И. Нечаеву и кандидату физико математических наук, доценту Н. М. Добровольскому за руководство и помощь при работе над диссертацией, доктору физико - математических наук, профессору Д. А. Митькину за внимание, полезные советы и обсуждение работы.
6
Введение
Актуальность темы
Центральное понятие геометрии чисел - решетка - позволяет на единообразном языке обсуждать разные вопросы теории чисел. Так, например, решеткой является множество ... ,«*;JV) решений линейного
сравнения
«і • х'1 + ... + at • xt = 0 (mod Ar), (1)
а также множество всех целых алгебраических чисел чисто вещественного расширения К степени $ поля рациональных чисел Q
\{К) = {(0(1).....0<‘>) | 0<1) Є ZK), (2)
где Zk — кольцо целых алгебраических чисел поля А', и 6(1)....О1*1
- система алгебраически сопряженных чисел.
Как известно (см. [3], стр. 117). общее определение теоретико - числовой решетки в геометрии чисел следующее.
—4 -4
Пусть Ai,...,Am, т < $ — линейно независимая система векто-ров вещественного арифметического пространства /?’. Совокупность Л всех вектоіюв вида
ЛіА] + ... + amAm, где cij независимо друг от друга пробегают все целые рациональные
—4 ■*
числа, называется т - мерной решеткой в Я\ а сами векторы А|,..., А,„ - базисом этой решетки. Если m = s, то решетка называется полной, в противном случае — неполной. Так как в этой работе рассматриваются только полные решетки, то, следуя традиции многих изложений (см. [23]), для краткости будем говорить просто о решетках, опуская слово полная.
7
Множество всех л - мерных полных решеток из /?‘ будем обозначать через РП„
На формирование геометрии чисел как самостоятельного раздела теории чисел огромное влияние оказали два выдающихся математика родившихся в России в 60 ых годах XIX столетня — Г. Мннковский и Г. Ф. Вороной.
Основатель геометрии чисел, Герман Мннковский, родился 22 июня 1864 года в местечке Алексоты Минской губернии. С 1893 года он профессор университета в Бонне, а с 1894 — в Кенигсберге. Минков-ский впервые употребил геометрические методы для ]хчиення трудных вопросов теории чисел (см. [29]). От геометрии чисел Мннковский перешел к работам по теории многогранников и геометрии выпуклых тел (теорема Минковского 1896 г.), где им были получены важные результаты. В частности, доказательство теоремы Дирихле о строении группы единиц конечного расширения поля рациональных чисел существенно упрощается при использовании понятия решетка и теоремы Минковского о выпуклом теле.
V
Одновременно и независимо от Минковского геометрию чисел разрабатывал Георгий Феодосьевич Вороной. Он родился 28 апреля 1868 гола в селе Журавка Черниговской области. С 1907 года Г. Ф. Вороной был членом - корреспондентом Петербургской АП. Его работа ’’ Об одной задаче из теории асимптотических функций ” стимулировала развитие современной аналитической теории чисел. В этой работе Г. Ф. Вороной сделал существенное продвижение в проблеме делителей Дирихле, которая на геометрическом языке формулируется как проблема о количестве целых точек под гиперболой х-у = N. Продолжая традиции Петербургской школы теории чисел, Вороной занимался теорией алгебраических чисел, в которой успешно развивал геометрические методы в алебраиче-
8
ском изложении. Вместо в - мерном решетки он рассматривал систему из в линейных форм от 5 целочисленных переменных.
Работы Г. Мииковского и Р. Ф. Во]юного дополняют друг друга и являются фундаментом в развитии геометрии чисел.
Важные результаты по теории чисел и геометрии чисел были получены Борисом Николаевичем Делоне ([12]). Основные его труды в этой области относятся к теории неопределенных уравнений 3-п степени с двумя неизвестными, а по геометрии •— к теории правильного разбиения пространства, теории приведения квадратичных форм, теории решетчатых покрытий пространства сферами. В более позднее время ^ометрией чисел занимались Дмитрий Константинович Фаддеев, Александр Васильевич Малышев, Борис Фадесвич Скубенко и другие Российские математики.
Многие задачи геометрии чисел формулируются в терминах сдвинутых решеток, то есть множеств вида Л + х, где Л — решетка, а х — произвольный вектор (точка) из Я3, и нормы Л'(£} = |х1 •... - хл|.
Так знаменитая неоднородная гипотеза Мииковского состоит в том, что в пространство Я" для любой унимодулярной решетки А и любой точки т сдвинутая решетка А + х содержит точку у = (од,..., уп), для которой
М = N(у) < 2~п.
Гипотеза Мииковского была доказана для п = 2 (Минковскнй), п = 3 (Ремак, 1923 - 24), п = 4 (Дайсон. 1948). Для п > 4 имеется оценка II. Г. Чеботарева (1934)
М < 2"п/2.
Эта оценка несколько раз уточнялась; лучший результат был получен
9
Бомбьери (1963):
М <(3 4* Ю“4)»?* • 2 п/2 лля п > п0>
где г}п —> (2с — 1) 1 при п -» се.
В середине 00 - х гг. Б. Ф. Скубенко заинтересовался этой знаме-нитой гипотезой Минковского и в 1972 г. доказал её для п = 5. что по оценке специалистов явилось математической сенсацией. Для доказательства Борис Фадеевич разработал новый метод в геометрии чисел (’'Метод паруса”), который позволил ему доказать гипотезу Минковского сразу для всех п < 5 (см. [40]).
Через несколько лет Б. Ф. Скубенко рассмотрел гипотезу Мннков-ского для больших п ([41]) и получил оценку
значительно усиливающую результат Бомбьери.
Среди целого ряда других результатов Б. Ф. Скубенко по геометрии чисел важное значение для приложений теории чисел имеют теоремы переноса, в которых речь идет о связи неоднородных И ОДНО|ЮДНЫХ минимумов унимодулярной решетки, а также теоремы изоляции для алгебраических решеток [43], то есть решеток, подобных решеткам вида
(2). Очень интересные работы Б. Ф. Скубенко [44], [45] были посвящены исследованию норменного минимума решетки, то есть величины АГ(А). В этих работах особую роль играет метрическая структура пространства решеток, критерий компактности Малера и дальнейшее развитие метода паруса. Позднее эти идеи, а также смежные вопросы, нашли отражение в работах М. М. Скрнганопа [33] - [39].
10
Для произвольной решетки Л Є PRS норме иным минимумом ([1]) называется величина
N(\)= inf N(.r). (3)
*€Л\<0)
(Иногда дают другое определение ЛГ'(Л) = ЛГ(Л)/detЛ, [27].)
С норменным минимумом тесно связан усеченный норменный минимум или гиперболический параметр решетки, так называется величина
([15])
ч(А)=Ач{^ (4)
которая имеет простой геометрический смысл : гиперболический крест К(Т) не содержит ненулевых точек решетки Л при Т < (/(А). Гиперболическим крестом называется область
К(Т) = {£ I Ч(х) < Г}, (5)
где q(x) = Х\ • ‘ xs — усеченная норма х, и для вещественного х
обозначаем х = тах(1, |гг|), ([26], 1963).
Так как max(l,iV(f)) < q(x), го шах(1,ЛГ(А)) < q(A) для любой решетки Л, а из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что
<7(Л) < max(det А, 1).
В 1957 - 1959 годах вышли первые работы [24], [25] Н. М. Коробова, в которых были применены методы теории чисел к вопросам численного интегрирования кратных интегралов. Выделение класса периодических функций позволило для оценки погрешности приближенного интегрирования использовать методы гармонического анализа и теорию тригонометрических сумм, важный раздел аналитической теории чисел.
Первые результаты по применению тео]>етико - числовых сеток для вычисления интегралов п]юизвольной кратности были получены в работе [24] для периодических функций, разлагающихся в абсолютно
11
сходящийс я ряд Фурье. В этих работах Н. М. Коробова в связи с изучением погрешности приближенного интегрирования для квадратурных формул с параллелепипедальными сетками на классе периодических функций с быстросходящимися коэффициентами Фурье (см. [25]), наверное, впервые встречается частный случай гиперболической дзета - функции решетки для вещественного а > 1 и решетки А = A(ei,...,o,; N):
г < *... х ^ м«1 • W1 + ... + о, ■ ms)
Ся(Лр) = Ь 7ZZ ---> (6J
где
... 1 при т = 0 (mod JV),
dv(m) =
О при т £ 0 (mod Лг), и (aj,N) = 1 (j = 1,...,«). При этих условиях det-Л = N. Здесь и
далее £' означает, что суммирование проводится по всем ненулевым
точкам.
Гиперболическая дзета - функция вида (6) вступается в работах многих исследователей. В частности, Н. С. Бахвалов ([2]. 1059) доказал оценку
ЫЛИ «(1П,,(У'"- Р)
Н. М. Коробов ([25], 1959) показал, что для таких решеток
..... In*'1 det Л ...
Си(Л|о) 31' <ллл)* (8)
при лк>бом выборе целых «1,... ,ав, взаимнопростых с N.
Были построены алгоритмы нахождения сц,...,ав таких, что
Ся(А|а) « (Н‘ М' К°Р°6ов’ 1960>’ (9)
(let. \
Су/(А|ог) ^ Л)<*— ^ ^ Бахвалов, Н. М. Коробов). (10)
12
В обшем виде гиперболическая дзета функция решеток встречается в работах К. К. Фролова [47]. [48]. В кандидатской диссертации [47] К. К. Фролов показал, что для любого а > 1 и произвольной $ мерной решетки Л ряд
*е»\
сходится абсолютно.
Рассмотрев алгебраическую решетку вида (2), К. К. Фролов показал, что при f > 1 для решетки Л(г, Л') = <Л(/\) с с^Л^А*) = V <1е1 Л(Л ) справедлива оценка
„ ... .... . ЪГ'йЛАЬК) ... <ч
С»(Л(1,ЛГ)| (11)
Развитие метода К. К. Фролова содержится в работах [4], (5] В. А. Быковского и работах [13], [16], [17] Н. М. Добровольского.
Термин "гиперболическая дзета - функция решетки” был введен Н. М. Добровольским в работах [15], [16], в которых получены нижние оценки для гиперболической дзета - функции произвольной 6 мерной решетки
0/(Л|а) > С\((х, .$)(<1е1 Л)-3 при 0 < АеЬА < 1,
<//(Л|*т) > С2(«,«)(<1е1 А)'а1п<“1 йсЛЛ при Л > 1, (12)
где С\(а,я), С-2(<у, §)>() — константы, зависящие только от а и 8, доказана верхняя оценка для гиперболической дзета - функции $ - мерной решетки
<я(Л|о-) < Сз(см)С1(Л)* при г/(Л) = 1,
С//(Л|а) < С.,(а,8)с/"0(Л)(1|и/(Л) + 1),_1 при д(А) >1. (13)
13
Эта теорема является обобщением теоремы Н. С. Бахвалова, то есть обобщением неравенства (7). Из оценки (13) получены различные следствия. В частности, из нее автоматически следует результат К. К. Фролова (11), так как гиперболический параметр ц(Л{/, К)) = Ґ при і > 1.
Также Н. М. Добровольским доказана теорема: для любой целочисленной решетки Л и натурального п справедливо представление
где В2п(х) — полином Бернулли порядка 2п и Л/(Л) — обобщенная параллелепипедальиая сетка решетки А. Эта теорема указывает на аналогию между гиперболической дзета функцией решетки и дзета функцией Римана, для которой
Для гиперболической дзета - функции решетки А(£, К) Добровольским Н. М., Ваньковой В. С., Козловой С. Л. ([18]) была получена асимптотическая формула
где Я — регулятор поля К ([7]) и в сумме суммирование
п]юводится но всем главным идеалам кольца .
Гиперболической дзета - функцией Ся(Л|а) решетки А {[16]) для комплексного аргумента а называется функция, задаваемая в правой
(Н)
(15)
полуплоскости а = а + it {о > 1) абсолютно сходящимся рядом
Ся(Л|а) = Е'(®і-...-^Г- (16)
*ел
По теореме Абеля {[öl], C.10G) гиперболическую дзета - функцию |>ешоток можно представить в следующем интегральном виде
СЛ H = a/Ä (17)
где £)(Т|Л) — количество ненулевых точек решетки А В ГИІіербоЛИЧІ»-ском кресте К(Т).
Прежд<* всего заметим, что гиперболическая дзета - функция реше-ток является рядом Дирихле. Действительно, ладим несколько определений и обозначений.
Норменным спектром решетки А называется множество значений нормы на ненулевых точках решетки А:
Nep(A) = {А j А = iV(f), f є Л\{б}}. (18)
Соответственно, усеченным норменным спектром решетки А — множество значений усеченной нормы на ненулевых точках решетки:
Qx{ДА) «{А | А = *{.?),£ Є Л\{0}}. (19)
Усеченный норменный спектр является дискретным числовым множеством, т.е.
= {Лі < Л2 < ... < А* < ...} и lim А* = ос.
л ОС
Очевидно, что
15
Порядком точки спектра называется количество точек решетки с заданным значением нормы. Если таких точек решетки бесконечно много, то говорят, что точка спектра имеет бесконечный порядок. Порядок точки Л норменного спектра обозначается через «(А), а порядок точки А усеченного норменного спектра, соответственно, </(А).
Из дискретности усеченного норменного спектра вытекает, что гиперболическую дзета функцию произвольной решетки Л можно представить как ряд Дирихле:
С//(ЛИ = Е'Огг.-.■*«)-* = £я(*)~а = ЕяМК° = £ ^{А)А-а.
х€Л Т€Л к= 1 Ае<^,(Л)
(20)
Так как £)(Г|Л) = 0 при Т < д(А), то
О,(ЛИ = о / (21)
9(Л)
Из равенства (20) следует, что для любого комплексного а = а + И в правой полуплоскости {а > 1) оп]>сдслена регулярная функция комплексного переменного, заданная рядом (16), и справедливо неравенство
|Ся{АИ| < С(Л|<7). (22)
Возникает естественный вопрос о продолжении для произвольной решетки Л гиперболической дзета - функции ]>ешеткн 0/(Л|о) на всю комплексную плоскость. В работах [19], [53], эти вопросы исследовались для PZ!f — множества всех целочисленных решеток, РС}(, - множества всех рациональных решеток, Р1)* — множества всех решеток с диагональными матрицами. Доказано, что для любой целочисленной }>ешетки Л € РЯ9 гиперболическая дзета функция £//(А|а) является регулярной функцией во всей а - плоскости, за исключением точки а = 1, в которой она имеет полюс порядка з.