Расщепление сепаратрис и комплексная динамика

Содержание
1 Введение. 5
1.1 Общая характеристика работы ........................ 5
1.2 Исторический комментарий. Обзор результатов........ 12
2 Расщепление сепаратрис для отображений, близких к
тождественному 23
2.1 Параметризация сепаратрис.......................... 23
2.2 Аппроксимация сепаратрис........................... 26
2.3 Существование двоякоасимптотических траекторий . . 28
2.4 Величины, характеризующие расщепление сепаратрис . 30
2.5 Локальное выпрямление отображения.................. 32
2.6 Экспоненциальная малость расщепления............... 37
3 Асимптотические формулы для расщепления сепаратрис 41
3.1 Обобщенное стандартное отображение................. 41
3.2 «Стохастическая паутина»............................ 46
3.3 Постоянная О]...................................... 49
3.4 Основные этапы вывода формул для расщепления сепаратрис обобщенного стандартного отображения............. 56
3.5 Аппроксимация сепаратрис с помощью рекуррентной
системы дифференциальных уравнений.................. 57
3.6 Сепаратрисы в окрестности особенности............... 60
1
2
4 Доказательство экспоненциально малой трансверсальности сепаратрис для стандартного отображения Чи-
рикова 63
4.1 Расщепление сепаратрис стандартного отображения . . 64
4.2 Формальная сепаратриса................................ 69
4.3 Первая теорема об аппроксимации....................... 71
4.4 Полустандартное отображение........................... 72
4.5 Вторая теорема об аппроксимации....................... 74
4.6 Сравнение устойчивого и неустойчивого многообразий . 77
4.7 Аналитический интеграл и асимптотическая формула
для гомоклинического инварианта....................... 81
4.8 Построение формальной сепаратрисы (предложение 4.4 ) 88
4.9 Доказательство первой теоремы об аппроксимации
(предложение 4.5 ).................................... 91
4.10 Доказательство существования сепаратрис полустан-дартного отображения (Теорема 4.6 )........................ 98
4.11 Доказательство теоремы 4.7 об экспоненциальной близости сепаратрис полу стандартного отображения .... 103
4.12 Существование разложения, начинающегося с сепаратрисы полустандартного отображения (Предложение 4.8) 111
4.13 Доказательство второй теоремы об аппроксимации
(предложение 4.9).....................................113
4.14 Существование второго решения уравнения в вариациях (предложение 4.10) .....................................116
4.15 Построение ряда для расстояния между сепаратрисами стандартного отображения (предложение 4.11) 118
4.16 Доказательство теоремы об аналитическом интеграле (теорема 4.13) ............................................122
3
5 Аналитические инварианты конформных отображений
с точки зрения теории динамических систем 131
5.1 Аналитическая классификация Воронина................131
5.2 Построение обратных функций Абеля...................135
5.3 Инвариантные слоения................................138
5.4 Вычисление аналитических инвариантов................143
6 О применимости метода Мельникова к исследованию систем со слабым высокочастотным возмущением 145
6.1 Постановка задачи...................................145
6.2 Формулировка, условий применимости метода Мельникова ...................................................148
6.3 Метод усреднений, устойчивость и периодические траектории ................................................156
6.4 Инвариантные многообразия...........................158
6.5 Аналитическое выпрямление потока....................162
6.6 Квалифицированная оценка сверху для расщепления сепаратрис ...............................................169
6.7 Завершение доказательства теоремы 6.2...............170
6.8 Об аналитических свойствах функции Мельникова . . . 173
7 Модельные системы в комплексном фазовом пространстве 175
7.1 Асимптотики для расщепления сепаратрис..............176
7.2 Процедура сведения к модельной системе..............182
7.3 Сепаратрисы модельных систем........................188
7.4 Численные методы для корректирующего множителя . . 196
8 Расщепление сепаратрис для маятника с высокочастотным возмущением большой амплитуды 201
8.1 Асимптотика расщепления сепаратрис маятника .... 203
4
8.2 Периодическая траектория и параметризация сепаратрис208
8.3 Асимптотические ряды для сепаратрис..................211
8.4 Выпрямление потока в окрестности сепаратрисы .... 224
8.5 Экспоненциально малые оценки погрешности.............231
9 Аналитическая теория конечно-разностных уравнений235
9.1 Метод вариации произвольных постоянных...............236
9.2 Линейные уравнения второго порядка...................239
9.3 Лемма об интеграле Коши..............................241
9.4 Уравнения вида Да = д в областях типа (.4. ±) и Ал . . 244
9.5 Равномерные оценки для решения системы двух уравнений ...................................................250
Глава 1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
Хорошо известно, что при малом возмущении интегрируемой гамильтоновой системы большая часть инвариантных торов сохраняется. Движение на каждом таком торе носит почти--периодический характер. Инвариантные торы образуют регулярную компоненту, которая является объектом теории KAM (Колмогоров-Арнольд-Мозер [24, 2, 34]). Для систем, близких к интегрируемым, регулярная компонента имеет асимптотически полную меру. Исследование динамики в дополнение к регулярной компоненте является одной из важнейших и интереснейших задач современной теории динамических систем. Со времен работ А. Пуанкаре, посвященных задаче трех тел, хорошо известно, что важную роль в этой части фазового пространства играют гиперболические инвариантные торы, гиперболические периодические траектории, а также их инвариантные (устойчивые и неустойчивые) многообразия, которые мы по сложившейся традиции будем называть сепаратрисами.
Устойчивая (неустойчивая) сепаратриса не может пересекать ни саму себя, ни другую устойчивую (неустойчивую) сепаратрису. Однако могут существовать точки пересечения устойчивой и неустойчивой сепаратрис, называемые гомоклиническими или гетероклиническими в зависимости от того, соответствуют ли сепаратрисы одной периодической траектории (инвариантному тору) или нет. Траектории го-моклинических и гетерок л ииических точек Пуанкаре назвал двояко-
6
асимптотическими. Наличие точек трансверсального пересечения сепаратрис ведет к образованию стохастической компоненты в фазовом пространстве, т.е. на некотором инвариантном замкнутом подмножестве движение оказывается сопряженным со сдвигом Бернулли.
В интегрируемых системах сепаратрисы являются сдвоенными поверхностями: устойчивая сепаратриса одновременно является неустойчивой. Подобная ситуация не является общей и может быть разрушена под воздействием сколь угодно малого возмущения (см. рис. 1.1). Возмущенная система может обладать трансвереальными
Рис. 1.1: Пример: расщепленные отрезки сепаратрис неподвижной гиперболической точки сохраняющего площадь отображения х1 = х 4- */ь у\ = у + ех(\ - х2) при е = 0.31
двоякоасимптотическими траекториями, при этом сепаратрисы образуют запутанную сеть (см. Рис. 1.2).
Расщепление сепаратрис является одним из универсальных механизмов возникновения стохастических явлений, и его роль выходит далеко за рамки теории гамильтоновых систем. В связи с этим, проблемам, связанным с расщеплением сепаратрис уделяется много внимания в научной литературе. Интерес к исследованию расщепления сепаратрис сильно возрос в последнее время также вследствие развития вычислительной техники и открывшейся возможности приложения теории динамических систем к задачам самой различной природы. Явление расщепления сепаратрис играет заметную роль в задачах физики плазмы, например при исследовании устойчивости магнитных бутылок и стохастического ускорения частиц. В адиабатической теории расщепление сепаратрис может приводить к несохра-нению адиабатических инвариантов. В гидродинамике расщепление
7
«.2
0.1$ 0.1 0 05 0
0.05 •0.1 0.15 • 0.2
Рис. 1.2: Пример: расщепленные сепаратрисы на фоне, образованном итерациями одной точки. Показана часть фазового пространства, соответствующая квадрату на Рис. 1.1
сепаратрис может обуславливать стохастизацию линий тока.
Актуальность темы подтверждается также постоянным расширением круга исследователей, занимающихся задачами, связанными с расщеплением сепаратрис, а также ростом числа публикаций на эту тему в ведущих российских международных журналах и публичными дискуссиями, проходящими в компьютерной сети интернет.
Хорошо известно, что в целом ряде интересных с точки зрения возможных приложений задач величина расщепления сепаратрис оказывается по порядку величины меньше любой степени параметра возмущения. В подобных задачах стандартные методы теории возмущений, использующие разложения по степеням малого параметра, не позволяют исследовать эффекты, связанные с расщеплением сепаратрис. Подобная ситуация возникает в частности в следующих задачах:
• расщепление сепаратрис под воздействием высокочастотных периодических по времени возмущений автономных систем;
• расщепление сепаратрис в окрестности простых резонансов в почти интегрируемых гамильтоновых системах с двумя степенями
8
свободы;
• расщепление сепаратрис сохраняющих площадь отображений, близких к тождественному;
• расщепление сепаратрис в окрестности бифуркаций периодических траекторий в однопараметрических семействах сохраняющих площадь отображений.
Все эти задачи имеют между собой много общего. В частности, экспоненциальная малость расщепления для каждой из них может быть выведена из теоремы Нейштадта [36] о точности разделения переменных в системах с быстро вращающейся фазой. С другой стороны, для приложений важно иметь также оценки снизу. Эти оценки оказываются крайне чувствительными к малым изменениям уравнений. В результате возникает необходимость рассматривать каждую из систем индивидуально. При этом методы для дифференциальных уравнений и для отображений развиваются параллельно.
Отметим особо, что аналитичность является ключевым свойством, определяющим масштабы рассматриваемых явлений. Всегда, если только явно не указано обратное, отображения, многообразия и другие объекты будут подразумеваться аналитическими.
Целью диссертаци и является главным образом исследование расщепления сепаратрис в аналитических гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. При этом рассмотрены системы как с непрерывным (потоки), так и с дискретным (каскады, отображения) временем.
В настоящее время стандартным инструментом количественного исследования расщепления сепаратрис является метод Пуанкаре-Арнольда-Мельникова, который для краткости часто называют просто методом Мельникова. Этот метод использует первые члены в разложении сепаратрис по степеням малого параметра. Для широкого класса задач применение этого метода требует специального обоснования, так как изучаемые эффекты оказываются экспоненциально ма-
9
лыми по сравнению с параметром возмущения, и стандартная оценка погрешности оказывается недостаточной. Однако, для широкого круга задач эта оценка может быть существенно улучшена. В этой ситуации значительный интерес представляет вопрос о пределах применимости метода Мельникова.
В 1984 В. Ф. Лазуткин вывел асимптотическую формулу для угла расщепления сепаратрис стандартного отображения Чирикова [25]. Несмотря на то, что работа не содержала полного обоснования результата и существенным образом опиралась па две гипотезы, доказательства которых в полном объеме пет до настоящего времени, она положила начало целому ряду работ по оценкам экспоненциальпо малых величин, характеризующих расщепления сепаратрис как для отображений, так и для потоков.
В основе метода лежала гипотеза о возможности выпрямления отображения в достаточно широкой окрестности сегмента одной пз сепаратрис с помощью аналитической канонической замены координат. Вторая сепаратриса оказывается при этом графиком периодической функции. Исследование аналитического продолжения этой функции позволяет оценить её коэффициенты Фурье и получить экспоненциально тонкие оценки для вещественных величин, непосредственно связанных с расщеплением сепаратрис.
Развитие этой идеи позволило разработать единый подход к решению ряда задач, которые и составляют основу диссертации.
Н а у ч и а я н о в и з н а. Подавляющая часть представленных в диссертации результатов являются новыми. В обзоре литературы, помещенном в первой главе диссертации, содержится подробное сопоставление с имеющейся литературой.
II а у ч н а я и п р а к т и ч е с к а я ценное т ь. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть интересны специалистам цо теоретической и математической физике, занимающимся нелинейными задачами, а также специалистам по теории динам ичес.к их систем.
10
Достоверность полученных результатов обеспечивается математической строгостью обоснования применяемых методов, а также сравнением теоретических предсказаний с результатами численных экспериментов, проведенных как соискателем, так и другими исследователями.
А и р о б а ц и я. Результаты, вошедшие в диссертацию, были представлены на ряде международных и всесоюзных конференций: на рабочих семинарах по теории бифуркаций (Пущино, 1986 и 1988 гг.), на Всесоюзной конференции по теории нелинейных колебаний (Горький, 1990 г.), на международных конференциях «Дни динамики» (Берлин, 1991 г.) и «Динамические системы» (Санкт-Петербург, 1991 г.), «Гамильтоновы системы с тремя и более степенями свободы» (С.-Агаро, 1994 г.), конгрессе испанского общества прикладной математики (Вик, 1995), международной конференции по теории дискретных динамических систем (Брюссель, 1997), международной конференции «Диффузия, расщепление сепаратрис и небесная механика» (Оссуа, 1998). Кроме того результаты работы докладывались на научных семинарах С.Петербургского отделения математического института им. Стсклова, С.Петербургской академии аэрокосмического приборостроения, Университета Париж-7, бюро долгот Французской академии наук, Свободного Университета г. Берлин, Университета г. Барселона, Брин Мавр Колледж (Пенсильвания), БХШУ в Стони Брук, Миланского Университета, Университетов гг. Комо и Падуя, Университета «Тог уег§а1а» (г. Рим), института Вейер-штрасса (г. Берлин).
Результаты, представленные в настоящей диссертации, опубликованы в [9-15], [73-84].
Первые результаты, показавшие возможность адаптации метода к системам со многими степенями свободы и тем самым определившие перспективы дальнейшего развития теории, опубликованы в [55-58].
На защит у в ы н о с и т с я метод, предназначенный для
11
исследования эффектов, экспоненциально малых по сравнению с параметром возмущения, и позволивший получить решение следующих задач:
1. Построение квалифицированной оценки сверху для расщепления сепаратрис преобразований плоскости, близких к тождественному, без условия сохранения площади.
2. Полное обоснование для асимптотической формулы, характеризующей расщепление сепаратрис стандартного отображения Чи-рикова, включая доказательство существования аналитического интеграла вдоль неустойчивой сепаратрисы стандартного отображения.
3. Построение асимптотики расщепления сепаратрис для некоторых классов полиномиальных отображений плоскости, близких к тождественному.
4. Нахождение достаточно общих достаточных условий для применимости метода Мельникова, к исследованию слабых высокочастотных возмущений.
5. Исследование границы применимости метода Мельникова к исследованию расщепления сепаратрис под воздействием высокочастотного периодического возмущения для ряда полиномиальных гамильтоновых систем.
6. Вывод асимптотических формул в случае, когда метод Мельникова не дает правильного предсказания для величины расщепления.
Кроме того
7. Получена теорема о возможности (локального) выпрямления отображения, близкого к тождественному, с помощью аналитической замены координат.
12
8. Получена новая интерпретация для значений аналитических инвариантов конформных отображений в окрестности вырожденной неподвижной точки.
1.2 Исторический комментарий. Обзор результатов
Открытие А. Пуанкаре
В ноябре 1890 г. в журнале Acta Mathematica была опубликована работа французского математика А. Пуанкаре “О проблеме трех тел и уравнениях динамики”, удостоенная премии1, учрежденной в честь шестидесятилетия короля Швеции и Норвегии Оскара II. Идеи, сформулированные в этой работе, на многие десятилетия определили направления исследования качественной теории дифференциальных уравнений, имеющие многочисленные приложения не только в задаче трех тел и небесной механике, но и в разнообразных областях математической и теоретической физики, заложив основу методов, известных в настоящее время под названием теории динамических систем.
Одним из важнейших открытий, сделанных в этой работе, является доказательство существования асимптотических поверхностей, называемых часто сепаратрисами, а также двоякоасимптотических (гомоклинических и гетероклинических) траекторий.
В качестве иллюстрации к своим идеям Пуанкаре использовал систему, состоящую из маятника, слабо связанного с линейным осциллятором [39]. Эту систему он описал при помощи гамильтониана
р + q1 - 2// sin21 - ре cos x ф(у) ,
где (i и e являются очень малыми параметрами, а ф(у) является периодической функцией с периодом 27Г. Подразумевается, что (х,р) и
‘Некоторые детали, проливающие свет на историю появления этой работы стали достоянием общественности только спустя сто лет после ее публикации [46]
13
(у. q) образуют пары канонически сопряженных координат. Уравнения движения принимают при этом вид
х = 1 , у = 2q ,
р = —с sin ж <£(*/) , q = —р sin у 4- ре cos х ф'(у) .
Подобная система может быть рассмотрена, как модель движения в окрестности простого резонанса для гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, близкой к интегрируемой. Несложно видеть, что при е = 0 система имеет периодическую траекторию
X = t, р = 0 , q = 0 , у = 0 .
Характеристические показатели этой траектории равны ±У2/1, то есть, траектория является гиперболической. Соответствующие асимптотические поверхности удобно представить с помощью производящей функции:
dSo <Э5о с , 0 У
Р=&Г’ 9 = ~д^’ So = ±2^cos-,
откуда вытекает, что
Таким образом, асимптотические поверхности отгораживают область фазового пространства толщиной порядка у/р. Именно поэтому асимптотические поверхности получили название сепаратрис: они отделяют область, в которой маятник вращается, от области, в которой маятник совершает колебания.
К аналогичному выводу приводит анализ разложения сепаратрис по возрастающим степеням /р при фиксированном є Ф 0. Независимо от того, какое число членов ряда принимается во внимание, качественно результат остается одним и тем же, то есть, во всех приближениях сепаратрисы образуют замкнутые поверхности, разделяющие фазовое пространство на инвариантные подмножества. Пуанкаре поставил вопрос о сходимости получающегося ряда. Для доказательства того, что ряд расходится, он предложил зафиксировать р
14
и искать производящую функцию, определяющую асимптотическую поверхность
дБ дБ
р ~ дх и 4 ~ ду ’ в виде ряда по возрастающим степеням вспомогательного малого параметра в:
Подстановка ряда в уравнение Гамильтона-Якоби приводит, после приравнивания слагаемых первого порядка по е, к следующему уравнению
Это линейное уравнение в частных производных несложно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, положив 5) = Яе(е1ЖФ(у)), при этом функция Ф удовлетворяет уравнению
Общее решение последнего уравнения имеет вид
Неустойчивой сепаратрисе соответствует выбор 0 в качестве нижнего предела, интегрирования, а устойчивой - 2тг. Разность между этими двумя решениями пропорциональна интегралу
который при ф(у) = sin у может быть легко вычислен с: помощью теории вычетов, при этом получается
2 7П
Таким образом, Пуанкаре открыл, что в интересующей его задаче асимптотические поверхности не совпадают, то есть имеет место расщепление сепаратрис, при этом, расщепление сепаратрис не только
S — Sq + £S\ + £2*$2 + • • •
J =
15
меньше любой степени параметра ц (это следует из невозможности обнаружить расщепление сепаратрис в рядах по возрастающим степеням уу!), но и экспоненциально мало по сравнению с параметром возмущения /.I (так как ,/ = 0(е-т/2^)).
Отметим особо, что вышеприведенные рассуждения, строго говоря. верны только при \е\ С е-"2'/* так как только при этом условии найденная разность меньше вклада от слагаемого £252 и членов более высоких порядков в разложении Б по степеням малого параметра е, вклад от которых не принимался во внимание.
Метод Мельникова
В настоящее время стандартным инструментом для исследования расщепления сепаратрис является метод, предложенный В. К. Мельниковым [33]. В [33] была рассмотрена периодически-неавтономная аналитическая снстема второго порядка, аналитически зависящая от малого параметра. Предполагалось, что при нулевом значении параметра система автономна и имеет две неподвижные гиперболические точки, соединенные двояко-асимптотическим решением. Предполагалось также, что возмущение равно нулю на циклах, которые соответствуют этим точкам в расширенном фазовом пространстве, а период возмущения постоянен и не зависит от малого параметра. Использованный в [33] метод основан на разложении возмущенных асимптотических решений в ряды по степеням малого параметра. В первом порядке расщепление сепаратрис описывается несобственным интегралом, который был впоследствии назван функцией Мельникова.
Исследуя расщепление сепаратрис нормально-гиперболических двумерных торов в неавтономной гамильтоновой системе с двумя степенями свободы, В. И. Арнольд [3] предложил использовать в качестве части координат в фазовом пространстве невозмущенные первые интегралы системы, что приводит к особенно простому виду интегралов, возникающих в методе Мельникова. Несколько более подробное описание метода Мельникова, в элегантной форме, предложенной
16
В. И. Арнольдом [3], приведено в начале главы 6.
Несуществование интегралов движения и расщепление сепаратрис
Говорят, что функция Г является (первым) интегралом движения. если она постоянна на траекториях. Постоянная функция всегда является интегралом движения. На связь между расщеплением сепаратрис и несуществованием первых интегралов указывал еще А. Пуанкаре, однако, доказательств этой связи он не приводил.
А. Пуанкаре знал о том, что расщепление сепаратрис может приводить к сложному поведению траекторий. Так например, сепаратрисы седловых точек диффеоморфизма плоскости являются вложениями вещественной прямой К в фазовое пространство. При этом сепаратрисы наследуют упорядоченность из М. Если диффеоморфизм Г : 5 —► 5, где 5 является компактным подмножеством плоскости К2, сохраняет площадь, то между любыми двумя различными гомо-клиническими точками на сепаратрисе имеется по крайней мере еще одна гомоклиническая точка. Из этого утверждения в частности следует, что между любыми двумя гомоклиническими траекториями на сепаратрисе имеется бесконечно много других гомоклинических траекторий [39].
Строгое доказательство отсутствия нетривиального аналитического первого интеграла у аналитического диффеоморфизма плоскости, имеющего трансверсальную гомоклиническую точку было дано В. М. Алексеевым методами символической динамики [1]. Элементарное доказательство несуществования первых интегралов было получено Р. Кашменом [54]. Дополнительные сведения по истории этого вопроса можно найти в обзорной статье В.В.Козлова [22] и в книге того же автора [23].
17
Стандартное отображение
Наряду с системами с непрерывным временем, описываемых системами дифференциальных уравнений, часто рассматривают системы с дискретным временем, порожденные итерациями отображений. На возможность сведения этих задач друг к другу указывал еще А. Пуанкаре. Одной из первых моделей, использованных физиками (по-иоводу ее истории и физических приложений см. статью Б. В. Чи-рикова в ЖЭТФ 110 (1996) с. 1174, а также [7]), является стандартное отображение Чирикова. «Хаотические» движения в окрестности резонанса были замечены в численных экспериментах Н. Н. Филоненко, Р. 3. Сагдеева и Г. М. Заславского [67]. Для описания этих явлений Г. М. Заславский и Н. Н. Филоненко (ЖЭТФ 54 (1968) 1590) ввели (неявно) сепаратрисное отображение и получили правильные по порядку величины значения его амплитуды. Б. В. Чириков [53] провел более аккуратные численные оценки амплитуды сепаратрисного отображения. Результаты этих вычислений эквивалентны определению постоянной Лазуткина 01 с относительной погрешностью менее 10% (см. также [7]).
В. Ф. Лазуткин [25] вывел асимптотическую формулу для угла расщепления сепаратрис стандартного отображения. Доказательство, приведенное в [25] не является полным, так как оно опирается на две гипотезы, доказательство которых отсутствует до настоящего времени. По-видимому, в полном объеме эти гипотезы неверны, однако, последующие исследования подтвердили правильность полученного результата. Уточнение это результата было получено в совместной работе В. Ф. Лазуткина, Н. В. Сванидзе и соискателя [82], однако эта работа также не была полностью строгой. Полное доказательство было получено совсем педавпо соискателем [79]. Доказательство опирается на теорему об аналитическом интеграле, являющуюся модифицированной версией Гипотезы Б работы [25] (см. гл. 4).
Недавно Д. В. Трещев [113] использовал новый вариант метода усреднений для независимого вывода первого члена вышеприведенной
18
формулы. Однако, полное обоснование применимости этого метода к исследованию расщепления сепаратрис стандартного отображения отсутствует на момент написания настоящей работы.
В физической литературе встречаются и другие отображения. Асимптотики расщепления сепаратрис для некоторых из них были получены в работах [11, 83]. Описание соответствующих результатов приведено в главе 3
Экспоненциальная малость расщепления сепаратрис
По всей видимости, первые математически строгие оценки, установившие экспоненциальную малость расщепления сепаратрис в окрестности простого резонанса для почти интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, а также для высокочастотных периодических возмущений гамильтоновых систем с одной степенью свободы, были получены А. И. Нейштадтом, который показал, что в аналитическом случае метод усреднений может быть использован для исключения быстрой переменной с экспоненциально высокой точностью. Однако, этот метод не предлагал способа нахождения постоянной в экспоненте. Квалифицированная оценка была получена несколько позднее Э. Фонтихом и К. Симо, сперва для отображений [70], а затем и для потоков [68, 69]. При этом постоянная в показателе экспоненты оказалась связанной с расстоянием от вещественной оси до ближайшей особенности невозмущенной сепаратрисы в плоскости комплексного времени. Метод, использованный в этих работах, опирался на идеи, предложенные В. Ф. Лазуткиным [25]. Кроме того, были использованы сходящиеся нормальные формы Биркгоффа [97, 19]. В главе 2 мы покажем, что от использования нормальных форм можно отказаться, расширив тем самым класс рассматриваемых систем. В частности, оказывается, что условие сохранения площади не является существенным, и может быть заменено на условие существования главной гомоклинической траектории, которое может быть обусловлено, например, симметрией системы, а не сохранением
19
площади [75].
Маятник с высокочастотным возмущением
Система, рассмотренная Пуанкаре, может быть переписана как высокочастотное периодическое возмущение маятника, описываемое неавтономным гамильтонианом:
У* t
— 4- cos х 4- цф(х) sin - .
—■ С
Отметим, что но сравнению с обозначениями А. Пуанкаре, которых мы придерживались при описании его результатов, параметры ц и е поменялись ролями. Подобные обозначения лучше соответствуют современной традиции, так как реально интерес представляет задача, в которой единственным малым параметром является период возмущения.
Как уже отмечалось ранее, стандартный метод Мельникова предполагает независимость периода возмущения от малого параметра, поэтому его применение к вышеописанной системе требует специального обоснования, так как период пропорционален малому параметру е. При этом основная трудность связана с экспоненциальной малостью, как функции Мельникова, так и расщепления сепаратрис по сравнению с е.
Имеется значительное число работ, авторы которых предпринимали попытки получить двухсторонние оценки на величину расщепления сепаратрис в предположении, что р = ер при достаточно большом значении р. Напомним, что рассуждения Пуанкаре, как и метод Мельникова, позволяют установить оценку только для р экспоненциально малых по сравнению с е. Чаще всего при этом рассматривался случай ф{х) = х. Несмотря на то, что последний выбор ведет к непериодичности гамильтониана по ж, уравнения движения остаются периодическими. Соответственно, х по прежнему может считаться угловой переменной. Модели Пуанкаре соответствует выбор ф(х) = sin .т. Были опубликованы результаты, как численных
20
(например [47]), так и многочисленных аналитических исследований. Возрождению интереса к этой задаче способствовали работы [102] и [89].
Методы исследования включали:
a) сходящиеся итерационные методы в специальных Банаховых пространствах [91, 65], [89, 104];
b) методы вариационного исчисления [45];
c) непосредственную оценку вклада каждого из слагаемых рядов возмущения по ц с помощью диаграммной техники [72];
с1) теорию ресургентных функций Ж. Экаля [64], однако рассмотренный в [103] гамильтониан не является вещественным, и до настоящего времени применимость метода к вещественно аналитическим гамильтонианам не выяснена.
1) Отметим особо работу А. Дельзамса и Т. Сеары [60], выполненную на основе сочетания методов, разработанных автором диссертации, и сходящих нормальных форм Биркгоффа.
Во всех вышеперечисленных работах устанавливалось, что при условии, что постоянная р достаточно велика, оценка метода Мельникова может быть улучшена настолько, что функция Мельникова правильно описывает величину расщепления. При этом наилучший результат (р > 0 в случае ф{х) = х) был достигнут в [60]. С точки зрения применяемых методов этот результат качественно соответствует случаю р > 2 для случая ф(х) — эта:.
Соискателем было установлено, что метод Мельникова правильно предсказывает расщепление сепаратрис вплоть до р > —3/2 в случае ф(х) = х и до р > 0 при ф(х) = втх [74, 76, 78]. Кроме того, было установлено, какие поправки необходимо сделать, чтобы получить правильные асимптотики при еще меньтпих значениях р [76]. Соответствующие результаты изложены в главах 7 и 8 диссертации.
Отметим, что в настоящее время существует единственный альтернативный метод, позволяющий получить решение этой задачи [113, 114]. Этот метод, предложенный Д. В. Трещевым, был разработан почти одновременно и независимо от метода, описанного в на-
21
стоящей работе. Метод Д. В. Трещева основан на особой процедуре, которую можно рассматривать как разновидность метода усреднений. Метод, описанный в настоящей диссертации, значительно менее чувствителен к форме зависимости гамильтониана от времени. Тем не менее, в настоящее время кажется преждевременным делать окончательные заключения о сравнительных преимуществах этих методов, так как описанный в настоящей диссертации метод разработан значительно шире и был использован для решения более широкого круга задач. В частности, в работе [114] рассмотрен случай, когда ф(х) является произвольным тригонометрическим полиномом первого порядка. Несомненно, случай ф(х) = х. р = —2, может быть рассмотрен аналогичным образом, однако применение метода работы [113], требует дополнительных исследований.
Как показали исследования, проведенные соискателем совместно с группой А. Дельзамса, метод может быть применен к исследованию квазиперыодических возмущений, являющемуся частным случаем гамильтоновых систем с тремя степенями свободы [57, 56]. Исследование расщепления сепаратрис для систем с тремя и более степенями свободы тесно связано с вопросом о неустойчивости движений, механизм которой получил название диффузии Арнольда [3].
Метод Мельникова и экспоненциальная малость расщепления
Имеется ряд работ, задачей которых являлось отыскание условий, при которых наивное применение метода Мельникова правильно описывает расщепление сепаратрис для высокочастотных периодических возмущений автономных систем [61, 62, 63]. Эти работы были направлены на обобщение результатов по исследованию высокочастотных возмущений математического маятника. Однако в силу избыточных аналитических условий, поставленных А. Дельзамсом и Т. Сеарой па решение невозмущенной задачи, имеется весьма мало систем, удовлетворяющих этим условиям. Значительно менее ограничительные
22
условия накладываются в Главе 6 настоящей диссертации [77]. Расширение круга рассматриваемых систем связано, главным образом, с отказом от требования мероморфности нсвозмущенной сепаратрисы. Кроме того, в силу того, что метод не использует сходимости нормальных форм Биргкоффа, он допускает рассмотрение негамильтоновых систем уравнений, а также пригоден для исследования расщепления сепаратрис, связанных с параболическими периодическими траекториями.
Глава 2
Расщепление сепаратрис для отображений, близких к тождественному
В настоящей главе приведены основные определения, используемые в настоящей работе. Кроме того, в качестве иллюстрации к описываемому методу, получена оценка сверху для расщепления сепаратрис отображений, близких к тождественному.
2.1 Параметризация сепаратрис
Рассмотрим динамическую систему, порожденную итерациями диффеоморфизма F : 5 —► 5 двумерной поверхности 5. Точка р0 £ £> называется неподвижной точкой отображения Г, если -Р(ро) = Ро-Собственные числа Т'(р0) называются мультипликаторами..
Если на 5 имеется форма площади О. инвариантная относительно отображения Т, то произведение мультипликаторов с необходимостью равняется единице. Пусть больший по модулю мультипликатор обозначен Л. Второй мультипликатор равен тогда Л"1. Неподвижная точка сохраняющего площадь отображения может быть только одного из следующих типов:
а) гиперболическая, если |А| > 1;
б) параболическая, если А = ±1;
в) эллиптическая, если |А| = 1 и А ф ± 1.
23
24
Если отображение не сохраняет плошадь, то единственное ограничение на возможные пары значений мультипликаторов возникает только из условия вещественности Р. Будем говорить, что неподвижная точка является седло вой, если один из мультипликаторов по модулю больше единицы, а другой - меньше. Гиперболическая неподвижная точка сохраняющего площадь отображения всегда седловая. Иногда мы будем обозначать мультипликаторы седловой точки через Аи и А6.
Согласно теореме Адамара-Перрона [38] седловая точка р0 обладает одномерными локальным устойчивым и неустойчивым многообразиями:
тм = {р е5 <^(^п(р),р0) < ь V« > о},
ЩМ) = {ре5:с!;81(^(р),р0)<г,Уп<0},
где Р" = Го...оГ обозначает степень отображения Г1 относительно операции композиции, а 6 - достаточно малое положительное число. Согласно устоявшейся традиции мы будем называть устойчивые и неустойчивые многообразия сепаратрисами. Касательные к сепаратрисам в точке р0 совпадают с собственными векторами Р'(Ро)- Гиперболическая неподвижная точка и ее локальные сепаратрисы сохраняются при малых возмущениях и непрерывно (гладко, аналитически, ...) зависят от отображения.
Локальные сепаратрисы могут быть неограниченно продолжены при помощи итераций диффеморфизма Р, в результате получаются глобальные инвариантные многообразия, которые можно определить как множество всех точек, стремящихся при итерациях Р (со-отв., F~1) к р„:
И"(Ро) = {ре5:пИштеГ"(р) = р0},
^“(Ро) = {рей: Ню Г(р) = р0},
• о * ОС-
Из определения очевидным образом следует, что неустойчивые сепаратрисы двух различных неподвижных точек не могут пересекаться.
25
Сепаратрисы являются одномерными инвариантными кривыми, проходящими через точку Ро- Каждая сепаратриса является вложением без самопересечений вещественной прямой М в 5. Удобно реализовать это вложение с помощью решения уравнения
Ф\К*) = П«*)) . ф\0) = Ро, (2.1)
где 2 ей. Если I7 аналитично в окрестности седловой точки р0, то это уравнение имеет решение, аналитичное в окрестности нуля. В классе аналитических функций отображение фи определено с точностью до подстановки г и С'г, где С - произвольная отличная от нуля постоянная. Отображение фи сопрягает сужение К на IVй с умножением на
Если отображение Р имеет целое аналитическое продолжение, то фи тоже является целой. Действительно, если фи аналитична в некотором круге < г, то в силу уравнения (2.1), она аналитична также в большем круге \г\ < |А„|г. Повторяя это рассуждение, продолжаем фи на. всю комплексную плоскость.
Неподвижная точка разбивает каждую из сепаратрис на две части. Для параметризации этих частей часто бывает удобно ввести аддитивный параметр I = \пг и положить
га) = <яе').
Функция ф = фи удовлетворяет конечно-разностному уравнению
+ Ь) = , (2.2)
где /г = 1п Аи, снабженному граиичпым условием
Дш1^и(*) = р0 .
Построение параметризации для устойчивой сепаратрисы полностью аналогично. В частности, можно повторить все вышеприведенные рассуждения, заменив отображение Р на обратное. При этом удобно ввести параметр /. = — \nz, тогда параметризующая функция
26
г/;(2) = фв^) = ф*(е *) будет удовлетворять тому же уравнению (2.2) с к = 1п Л“1 >0, снабженному граничным условием
= Ро •
Аддитивная параметризация для устойчивой и неустойчивой сепаратрис определена с точностью до сдвига по параметру I.
Точка называется периодической, если она является неподвижной точкой некоторой степени отображения Г. Обобщение вышеприведенных результатов на случай периодических точек прямолинейно.
Все вышеприведенные определения и рассуждения легко переносятся на случай, когда 5 является двумерным комплексным многообразием.
В заключение отметим, что в аналитическом случае теорему А дам ара- Перрона можно доказать, шця решение уравнения (2.1) в виде рядов по степеням 2 и строя для них сходящиеся мажоранты.
2.2 Аппроксимация сепаратрис
В настоящей главе мы получим оценки для расщепления сепаратрис отображений вида
Ыр) =Р + с/(р) + £2<?(р,г), Р € К2 . (2.3)
При малых 6* естественно сравнить это отображение с потоком, порождаемым дифференциальным уравнением
Р = Яр) ■ (2.4)
Дифференциальное уравнение (2.4) называют предельным потоком отображения Р€. Подобная связь между потоком и отображением возникает при численном интегрировании дифференциального уравнения (2.4). К виду (2.3) может быть приведено также отображение последования за период возмущения для высокочастотного периодического по времени возмущения уравнения (2.4).