Содержание
Введение \
Краткое содержание работы 7
I Контрастные структуры типа ступеньки в одномерном квазилинейном параболическом уравнении 9
§1 Постановка задачи.................................................... 9
§2 Построение асимптотическою разложения............................. 10
§3 Обоснование асимптотики методом барьерных функций................... 29
§4 Асимптотическая оценка для производной ди/дх........................ 41
§5 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность контрастной
структуры .......................................................... 54
§6 Пример.............................................................. 59
II Контрастные структуры типа ступеньки с дифференциальным уравнением для линии перехода 62
§1 Постановка задачи................................................... 62
§2 Построение асимптотического разложения............................. 62
§3 Обоснование асимптотики методом барьерных функций................... 75
§4 Асимптотическая оценка для производной ди/дх........................ 81
§5 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность контрастной
структуры .......................................................... 83
§6 Пример.............................................................. 85
IIIКонтрастные структуры типа ступеньки в двумерном квазилинейном эллиптическом уравнении в кольце 89
§1 Постановка задачи................................................... 89
§2 Построение асимптотического разложения............................. 90
§3 Обоснование асимптотики методом барьерных функций................... 96
§4 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность контрастной
структуры .......................................................... 99
§5 Пример............................................................. 101
IV Погранслойные решения для одномерного квазилинейного интегро-дифференциального уравнения второго порядка 103
§1 Постановка задачи.................................................. 103
§2 Построение асимптотического разложения.............................104
§3 Теорема о существовании иогранслойных решений.......................109
§4 Асимптотическая оценка для производной и'...........................113
2
§5 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность погранслой-
пых решений............................................................115
§6 Пример................................................................. 117
Дополнение 118
§1 Основные обозначения и определения..................................... 118
§2 Вывод априорных оценок для Vu.......................................... 120
§3 Эволюционное уравнение в банаховом пространстве.........................121
§4 Начально-краевая задача для параболического уравнения...................125
§5 Теорема о существовании периодических решений для параболического
уравнения............................................................. 135
§6 Краевая задача для эллиптического уравнения ............................140
3
Введение
Многие физические, химические [1], биологические [2) и социальные [3] системы, рассматриваемые современной наукой, описываются нелинейными сингулярно возмущенными дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями, то есть уравнениями, содержащими малый параметр при старших производных. Нелинейный характер таких уравнений делает невозможным в подавляющем большинстве случаев их точное аналитическое решение. Вместе с тем, именно, он служит причиной возникновения многих интересных явлений, неизвестных линейному анализу. В такой ситуации весьма полезным оказывается факт наличия в сингулярно возмущенной задаче малого параметра, что позволяет при определенных условиях построить асимптотическое разложение ее решения и выявить тем самым как качественные, так и количественные закономерности его поведения.
На сегодняшний день в теории сингулярных возмущений разработаны многочисленные асимптотические методы. Наиболее известными из них являются метод пограничных функций [1], метод регуляризации [4], метод сращивания асимптотических разложений [5,6], методы типа ВКВ [7,8], метод релаксационных колебаний [9,10]. В этом ряду особо выделяется широтой своей области применения метод пограничных функций. Его развитый аппарат позволяет эффективно исследовать как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных.
В последнее время на базе этого метода активно ведутся исследования так называемых контрастных структур. Напомним, что контрастными структурами называются такие решения сингулярно возмущенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, которые быстро изменяются (в пределе, при малом параметре равном нулю — бесконечно быстро) в окрестности некоторой точки1 или кривой2, целиком лежащей внутри области, в которой рассматривается задача. Традиционно контрастные структуры подразделяют на два вида: контрастные структуры типа ступеньки и контрастные структуры типа всплеска. К первой категории относятся решения, которые вблизи точки (линии) перехода быстро изменяются от одного решения вырожденного уравнения3 к другому его решению. Ко второй категории относятся решения, которые в окрестности точки (линии) всплеска быстро отходят на конечную величину от решения вырожденного уравнения и сразу вслед за этим возвращаются к нему же.
В ряде работ последних лет (смотри списки литературы в обзорах [11,12]) исследовались вопросы существования и свойства контрастных структур типа ступеньки, возникающих в задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений типа
:Для одномерных задач.
2Для многомерных задач.
3Вырожденным называется уравнение, которое получается из исходного сингулярно возмущенпого уравнения, если в нем положить малый параметр равным нулю.
4
реакция-диффузия (reaction-diffusion equation):
^ = V(D(x)Vu) + x € ft С JRn, t € M>
«I эа=д(х) или = <?(x), 0)
(начальные условия) или (условия периодичности по / ) и соответствующих им эллиптических уравнений для стационарных но t распределений:
V(D(r)Vu) + f{u,x) = 0, xe(lClRN,
(2)
ди
и\дп=9(х) или
= <?(*)•
on
Приведенные задачи описывают широкий круг явлений в теории теплопроводности, теории полупроводников, химической кинетике и других разделах физики. Однако существует ряд явлений, не укладывающихся в эту схему. В частности, сюда относятся процессы тепло-массопереноса с конвективными потоками и уравнения гидродинамики вязкой жидкости. Характерной особенностью таких процессов является то, что они описываются уравнениями более общего типа, а именно, уравнениями типа реакция-адвекция-диффузия (reaction-advection-diffusion equation). В этом случае параболическая задача (1) должна быть переформулирована в виде
^ = V(D(x) Vu) + V(tі, х, t) ■ Vu 4- /(u, x, <), x ЄП С Ifi,
u\d£i = g(x) ИЛИ Ф±\ = д(х), (3)
ии\дП
(начальные условия) или (условия периодичности по t) а эллиптическая задача (2) — в виде:
V(D(x)Vu) + V(u, х) • Vu + f (u, x) = 0, ібПс#,
= g{x).
«І9П = g{x) или
И)
ап
Как видим, главное отличие задач (3), (4) от задач (1), (2) состоит в наличии в первых двух из них дополнительного слагаемого V • V«, где V — вектор заданных коэффициентов, а Чи — вектор градиента от неизвестной функции. Поскольку Уи вхолит в уравнения задач (3), (4) линейным образом, но с нелинейным по и коэффициентом, то такие уравнения принято называть квазилинейными. Как показывает практика, исследование задач (3) и (4) значительно сложнее, чем исследование задач (1) и (2). В особенности это проявляется при переходе к многомерному случаю. Качественным подтверждением сказанного может служить следующий факт. Более тридцати лет назад было установлено [13] существование контрастных структур типа ступеньки в простейшей сингулярно возмущенной задаче вида (4):
ду" = А(у,х)у' + В(у>х), ж €(0,1),
(5)
У( 0,/і) = Уо, у( 1,д) =У\•
5
Примерно тогда же на основе метода пограничных функций А.Б.Васильевой была построена и обоснована их асимптотика по малому параметру /*. Значительно позднее в работе [14] была исследована устойчивость таких контрастных структур. Однако попытки перенести эти результаты на задачи типа (3) и многомерные задачи типа (4) не предпринимались или почти не предпринимались ввиду технической сложности метода доказательства утверждений, предложенного в [13], [14].
Ситуация изменилась после того, как Н.П.Нефедовым был предложен [15] и развит в ряде его работ (смотри списки литературы в [11,12]) новый способ обоснования асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач — метод дифференциальных неравенств на основе модификации формальной асимптотики4. Следует заметить, что в теории дифференциальных уравнений метод дифференциальных неравенств известен давно. Впервые он был сформулирован для начальных задач С.А.Чаплыгиным [16]. Впоследствии М.Нагумо (M.Nagumo) перенес его на краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений [17], а П.Файф (Р.Fife), Д.Х.Саттингер (D.H.Sattingcr) и Г.Лманн (H.Amann) распространили его на краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных [18]-[21]. На сегодняшний день известны также теоремы о дифференциальных неравенствах для интегро-дифференциальных уравнений [22].
Кратко, суть метода, предложенного Н.Н.Нефедовым, состоит в следующем, путем модификации формальной асимптотики строятся две так называемые барьерные функции, удовлетворяющие некоторым дифференциальным и конечным неравенствам. Вели такие функции построены, то на основании теорем, доказанных в работах [16]—[22] делается вывод о существовании решения исходной задачи, лежащего между барьерами. Чем ближе друг к другу лежат барьеры, тем точнее определено заключенное между ними решение. Описанный метод не чувствителен к размерности задачи, в том смысле, что добавление новых измерений не усложняет его построений. Однако и у него есть свои недостатки, в частности, процесс построения барьерных функций неалгорит-мизирован и содержит ряд интуитивно-эмпирических моментов.
Тем не менее барьерная техника позволила за короткое время совершить реальный прорыв в области нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в частных производных. Так, на ее основе были исследованы решения широкого круга сингулярно возмущенных задач вида (1), (2) (смотри обзоры [11,12]), в числе которых особенно много контрастных структур типа ступеньки. Еще одним важным следствием метода дифференциальных неравенств явилась недавно разработанная на его основе В.Ф.Бутузовым и И.В.Неделько методика доказательства асимптотической устойчивости и единственности решений сингулярно возмущенных задач [23]. Приме-
4Под формальной асимптотикой мы подразумеваем ряд по целым степеням малого параметра, каждая конечная сумма которого удовлетворяет рассматриваемой сингулярно возмущенной задаче но невязке.
6
чательно, что эта методика позволяет не только доказать факт устойчивости решения, но и дает возможность получить реальные оценки для его области влияния и времени его установления.
В данной работе, исходя из барьерной техники, доказан ряд теорем существования для контрастных структур типа ступеньки в квазилинейных сингулярно возмущенных параболических и эллиптических уравнениях. В частности, получены следующие результаты:
1. По методу пограничных функций построена асимптотика любого порядка для контрастных структур типа ступеньки.
2. Путем модификации формального асимптотического разложения получена оптимальная форма верхнего и нижнего решений для квазилинейных задач.
3. Исходя из свойств функции Грина параболического оператора получена асимптотическая оценка для частной производной от найденного решения.
4. Обоснована локальная единственность и асимптотическая устойчивость построенных решений. Получены оценки ширины их области влияния и времени выхода на стационарный режим.
Другим направлением, активно разрабатываемым в последнее время по методу пограничных функций, является теория сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений. Причем, если в прежние годы в этой области в основном рассматривались начальные задачи для ннтегро-дифференциальных уравнений первого порядка [24], [25], то теперь акцент перенесен в область краевых задач типа (1)-(4) с нелинейными интегральными слагаемыми в правой части [26], [27]. Такие задачи часто используются для описания систем с нелокальным характером взаимодействия и поэтому тоже заслуживают повышенного внимания. В связи с этим в заключительной главе представленной работы рассмотрена двухточечная краевая задача для одномерного квазилинейного сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения второго порядка. Показано, что барьерная техпика с успехом может быть применена и к исследованию такой задачи. А именно, доказаны существование, локальная единственность и асимптотическая устойчивость ее погранслойных решений; построены и обоснованы их асимптотические разложения по малому параметру.
Краткое содержание работы
Диссертация состоит из четырех глав, каждая из которых содержит шесть параграфов5.
В Г лаве I рассмотрена краевая задача для одномерного квазилинейного параболического уравнения на отрезке. Исследован вопрос существования в такой задаче контрастной структуры типа ступеньки, а также вопрос ее устойчивости. Первый параграф
53а исключением, Главы III, разбитой на 5 параграфов.
7
главы вводный: он посвящен постановке задачи. Во втором параграфе на основе метода пограничных функций построена асимптотика решения рассматриваемой задачи и сформулированы достаточные условия, при которых она имеет смысл. В третьем параграфе с помощью метода дифференциальных неравенств доказана теорема существования решения исследуемой задачи с асимптотикой из предыдущего параграфа. В четвертом параграфе, исходя из оценок функции Грина параболического оператора, обосновывается асимптотическое разложение производной найденного решения. Полученная оценка используется в следующем, пятом, параграфе для доказательства асимптотической устойчивости и локальной единственности построенного решения. Заключительный шестой параграф содержит пример применения полученных в Главе I результатов.
В Главе II рассмотрена та же задача, что и в Главе I, но с усиленной зависимостью от первой производной по времени. Обнаружено, что такое изменение приводит к существенному изменению алгоритма построения асимптотики. А именно, члены ряда, задающего линию перехода контрастной структуры, определяются в этом случае не из конечных алгебраических, а из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Содержащиеся в этой главе параграфы приведены в той же последовательности, что и в Главе I.
В Главе III рассмотрена краевая задача для двумерного квазилинейного эллиптического уравнения в кольце. Проведено ее исследование по схеме Главы I, а именно, построена асимптотика контрастной структуры типа ступеньки и доказано существование соответствующего ей решения.
В Главе IV исследован качественно другой объект: краевая задача для интегро-диффсренциального уравнения второго порядка. Для такой задачи построена асимптотика ее погранслойного решения и изучены его некоторые свойства, такие как локальная единственность и асимптотическая устойчивость.
В конце диссертации приведено Дополнение, содержащее полные тексты доказательств теорем о дифференциальных неравенствах, которые применялись для обоснования результатов, полученных в Главах 1-1V.
8
I Контрастные структуры типа ступеньки в одномерном квазилинейном параболическом уравнении
§1 Постановка задачи
Пусть 12 := {(я, І) | а < х < 6, —оо < і < +оо} — бесконечная полоса в двумерном координатном пространстве 1112, заданная двумя вещественными постоянными а и Ь, а А{и, х, 2) и В(и, я, 2) — две достаточно гладкие функции, определенные на множестве Ш, хП (их действительная степень гладкости будет указана ниже при формулировке соответствующих теорем). Тогда в области 12 может быть рассмотрено следующее сингулярно возмущенное параболическое дифференциальное уравнение:
Цр] '= € - ж) “ - В(и,г,0 = 0 при (я, 0 € П, (1)
где € — положительный малый параметр. Наряду с нелинейным слагаемым В(и,х,і), зависящим только от неизвестной функции и и координат х и 2, это уравнение содержит также слагаемое пропорциональное нелинейному коэффициенту А(ц,я,2) и первой производной ди/дх, поэтому оно является квазилинейным в сформулированном выше смысле.
Для однозначности постановки рассматриваемой задачи дополним уравнение (1) краевыми условиями Дирихле:
и(а,2) = нв(2) при — оо < і < +оо,
(2)
д(6,2) = н&(2) при — оо < 2 < Ц-оо,
где иа(І) и щ(і) — некоторые достаточно гладкие функции (их действительная степень гладкости будет указана ниже). Заметим, что метод построения асимптотики решения уравнения (1), применяемый в этой работе, нечувствителен к характеру краевых условий, поэтому он с равным успехом может быть применен как к краевой задаче Неймана, так и к краевой задаче третьего рода.
В дальнейшем в этой главе мы везде будем предполагать, что функции А(и, я,2), /?(н,я,2), иа(і) и иь(і) являются Т-периодическими но переменной 2 на всей своей области определения. Поэтому естественно возникает вопрос о существовании решений и(х, 2, с) задачи (1), (2) со свойством Г-периодичности по той же переменной. Будем ниже придерживаться следующего определения:
Определение 1. Функция и(я,2) € называется Т-периодическим класси-
ческим решением задачи (1), (2), если она удовлетворяет поточечно уравнению (1) и краевым условиям (2), и если, кроме того, во всех точках (я, 2) области 12 выполняется равенство и(я, і 4- Т) — и(х, 2).
При этом класс функций С^(П) определяется традиционным образом (смотри, например, [28]).
9
Уравнение (1) не может быть решено в обшем случае ввиду нелинейного характера, содержащихся в нем коэффициентов. Однако, при определенных условиях его исследование может быть проведено асимптотическими методами. Действительно, если в (1) положить 6 = 0, то получим вместо исходного параболического вырожденное уравнение:
А(и,х,1)— + В(иухА) = 0. (3)
Очевидно, что уравнение (3) является обыкновенным дифференциальным уравнением, в которое переменная £ входит всего лишь как параметр, поэтому его решение является более простой задачей, чем решение исходного уравнения (1). Однако, как хорошо известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [29]. любое решение уравнения (3) может удовлетворить, вообще творя, только одному из краевых условий (2). Поэтому в соответствии с теорией сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений [1] решение задачи (1), (2), близкое к решению уравнения (3), должно обладать одним или несколькими пограничными или внутренними слоями. Ниже в данной главе будет доказано существование и построена асимптотика по параметру е контрастной структуры типа ступеньки (смотри Введение), как наиболее интересного из решений задачи (1), (2). Кроме того, будет исследован ряд свойств такого решения, касающихся его единственности и устойчивости.
§2 Построение асимптотического разложения
В соответствии с методом пограничных функций [1] асимптотическое разложение контрастной структуры типа ступеньки для квазилинейного уравнения обычно ищется в виде ряда:
( Е + при х<Х(г,е)>
и{ху1,е) = и{х^,с) + С){(,1уе)=1к^ (4)
Е £ [4 }0м) + Фа- }(£,0] при х>Х(г,е).
У к—О
Здесь — регулярные, а — погранслойные члены асимптотики,
£ = [х - Х{1у£)\/£ — иогранслойная переменная, а! = Х(1уе) — уравнение кривой, целиком лежащей в области П, в окрестности которой имеет место внутренний переходный слой. Через й(я,Чс) и б) обозначены соответственно суммы всех регулярных
и погранслойных слагаемых. Аналогично неизвестной функции и(я, I, с), будем искать линию Х(1,е) в виде разложения по целым степеням малого параметрам:
*(«,£) = (5)
к=О
Подставим теперь ряд (4) в дифференциальный оператор Ь[и] и произведем в полученном выражении выделение регулярной и погранслойной составляющих по методу
10
(6)
(8)
пограничных функций [1]. В результате очевидных тождественных преобразований получим
= е (І? ” $г) ~ а№(х>Ъ£)>х>1)ш~ #(«0М,е)>М)+
_ ^ + ~ [л(и(^(М) + є£»М)>Х^е) + є£,0є щ-
-А(й(Х(і,є) + є£,і,є),Х(1}є) + е£, і)\Щ -
- [В{и(Х(1,є) + Х(і,є) + є^Ь) - В(й(Х(г,б) + е£,М)>*(М) + еМ)Ь
Раскладывая далее каждое из слагаемых в (б) в ряд Тейлора по параметру е и группируя члены с одинаковыми степенями этого параметра, преобразуем (6) к виду
ци} = -<эьо + 52ек{Гк + д1м\, (7)
5 к=О
где через Тк и обозначены выражения следующего вида:
Г0 := -ЖЯоОМ)>М)§^- В(йо(М),М)>
<ЭЬо := ^ - Л(й0(Х0(<М) + СЗоіІ, і),Хо(<),
І* := -А{й„(х,і),х,і)^- - Дг,г)й* + £>*(г,і), (£ > 1),
{Ж{,0ШС<) + й*(*о(0>01}- ?К,0**(0 - я*(Є,0, (*>»)■
При этом в записи соотношений (8) для их сокращения были использованы следующие обозначения:
(1) для любой функции Р(и,М)> по определению,
:= Г(И0(Хо(0»0 + Qo(Є,t),Xo(t)}t),
7(і):=Г(щ(Хо(1)ЛМ*)Л
причем в записях вида Ри(£5 I) или Ги(<), которые встречаются ниже, предполагается, что сначала берется частная производная от функции Г и лишь затем в ней производятся указанные выше подстановки;
(2) РОМ) := Аи[Щ(хЛ*>*)ъЦ- + В»(йоОМ)>М);
(3) *>(М) := {Д.({,0^(*о(*М) + Д.«,*)}
(4) £*0М) — некоторая функция, рекуррентно выражающаяся через регулярные члены ряда (4) от 0-го до (к — 1)-го порядка включительно и их производные, причем:
П ( ,ч _ 32йо ^0 £>і(М)- дх2 дг'
и
(5) #*(£, і) — некоторая функция, рекуррентно выражающаяся через члены рядов (4) и (5) от 0-го до (к - 1)-го порядка включительно и их производные, причем:
Я,(4,0 = *({,«){ + [Як, о - *(0] ~{ХоШ) + [в«,<) - В(/)] -
Заметим, что в выражениях (8) и комментариях к ним везде опущены индексы (±), поэтому если в дальнейшем какая-либо из перечисленных выше функций будет встречаться в тексте с индексом (-ь) или (—) сверху, то это будет означать, что этот индекс надо поставить у всех функций її*(ж,£) и входящих в ее определение. То же
будет относится и к любым другим функциям, выражающимся через регулярные или погранслойные члены асимптотики (4).
Приравнивая нулю все члены ряда (7), несложно получить дифференциальные уравнения для определения членов разложения (4). Однако, для однозначной разрешимости этих уравнений к ним следует добавить еще краевые условия. Будем считать0, что все погранфуикции <) имеют экспоненциальную оценку на бесконечности, а именно,
для каждой из них существуют положительные константы С и к, такие, что:
^ Се< ПРИ |<?1+)(£>*)| <Се-** при £>0.
Тогда краевые условия для задач, определяющих регулярные члены Щ(х, *), могут быть получены путем приравнивания слагаемых при одинаковых степенях параметра є в следующих равенствах:
й(-)(а,<,е) = ц0(*), її(+)(М,є) = щ(і)- (9)
Этих условий, как станет ясно из дальнейшего анализа, вполне достаточно, чтобы определить все регулярные слагаемые ряда (4).
Несколько иначе обстоит ситуация с задачами для определения погранфункций Одно из краевых условий для таких задач стандартно [1]. Это условие стремления погранфуикции к нулю па бесконечности:
ФаГ *(£>0 0 ПРИ £ -0°> 0 ПРИ £ +00*
Остальные же краевые условия могут быть определены, исходя из требования непрерывности и гладкости ряда (4) на линии перехода х = Х(і,є):
«<->(Х(І,е),*,е) = и«\Х(1,є),і,є), (Ю)
Здесь выражение ди/дп обозначает производную от функции и(х,Ь,е) в направлении нормали п — {I + [Х'(^,£)]2}_1^2{1, — Х'(Ь^е)} к кривой х ~ Х(£,е).
6Этотфакт будет следствием применяемого алгоритма построения асимптотики.
12
- Київ+380960830922