Пентагональное уравнение : Приложения в теории узлов и квантовых интегрируемых системах

Введение
В основе алгебраического подхода к квантовым интегрируемым системам в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния |2-1| лежит (квантовое) уравнение Я>іга Ьаксткра (УЯБ) (82, 15), решения которого обычно принято называть 1?-матрицами Но этой причине сам квантовый метод обратной задачи рассеянии иногда называется методом I?-матрицы. Важная роль Я матриц пршшляется и и теории точно решаемых двумерных моделей статистической физики |16|, теории узлов И зацеплений (37) и в трехмерной топологической квантовой теории пап я |79).
Квантовые группы |22), введенные как адекватная абстрактная алгебраическая основа для построения конкретных 1?-матриц, являются алгебрами Хоифа с дополнительной структурой — квазитреуічільностью -означающей наличие специальною элемента, называемого универсальной К-.матриисй, в тензорном квадрате алгебры. которая помимо прочего удовлетворяет УЯБ в абстрактном алгебраическом смысле. Типичные примеры квантовых трупп это д-деформированные универсал ь-ные обертывающие алгебры папу простых апгебр Ли. Мощный способ построения квантовой группы нз иронзнольной апгебры Хоифа это конструкция дубля Дринфельда, где универсальная И-матрица дается каноническим элементом. Вышеупомянутые примеры квантовых групп, например, могут быть построены как дубли Дринфельда своих боре.пев схих подалгебр с последующей факторизацией по цеиру.
В работах (68, 11, 75, 61) с произвольной алгеброй Хопфабмл ассоцн-иронан ‘‘дубль Гейзенберга" ассоциативная алгебра, которая и отличие от дубля Дринфельда но является алгеброй Хопфа, но тем не менее так же обладает каноническим элементом в своем тензорном квадрате, удо-
2
влетвориющим нелинейному тождеству, известному как пентагоиалыюе уравнение (ПУ) |14|. Это уравнение в той или иной форме возникает и теории представлений групп, алгебр Хопфа и киралышх алгебр двумерной квантовой конформной теории моля. Впервые оно появилось в теории углового момента в форме тождества Биденхарна Эллиота на брсимволы или коэффициенты Рака. По существу. ПУ отражает свойство коассоцн ативности алгебры Хопфа и аккумулирует в себе как ее алгебраическую структуру, так и структуру соответствующей теории представлений. В специальной, возможно наиболее общей форме ПУ играет важную роль в теории квазихопфовых алгебр (1| обобщений алгебр Хопфа путем ослабления свойства коассоциативносги.
Основная цель диссертации состоит в исследовании приложений ПУ в теории квантовых интегрируемых систем, а также в теории узлов и зацеплений Достижение этой цели осуществляется путем решения следующих задач:
• исследование алгебраической природы ПУ и его связи с УЯВ (їла ва 1);
• исследование различных вариантов обобщения дилогарнфми'іеской функции на основе ПУ (Главы 1, 2);
• построение и исследование свойств инвариантов узлов и зацеплений ассоциированных с циклическим квантовым дилогарифмом (Глава 3);
• построение квантовой теории пространств Тейхмюллера двумерных поверхностей с проколами и исследование ее связи с квантовой теорией уравнения Лиувнлля (Главы 4, 5).
То, что понятие алгебры Хопфа тесным образом связано и с ПУ. и с УЯБ означает, что эти два уравнения должны быть связаны и друг с другом. Разница между двумя уравнениями отражается в харахтере их связи с алгебрами Хопфа . Гели решения (постоянного) УЯБ фиксируют перестановочные соотношения между образующими элементами алгебры Хопфа |7), то решения ПУ задают правила умножения для линейного ба зиса и ней [14|. В этом смысле ПУ значительно бодее сложный обьект.
3
В частности, наиболее интересные примеры решений IIV задаются операторами в бесконечномерных линейных пространствах. По-видимому, именно из-за этого обстоятельства ПУ уделялось значительно меньше внимания по сравнению с УЯБ в прикладных задачах математической физики. Соответственно, значительно сложнее и построение явных содержательных примеров решений ПУ. В главе 1 диссертации найдена связь двух уравнений как на уровне явного построения решений УЯБ из решений ПУ, так и на абстрактном алгебраическом уровне: построен ка-моничекий гомоморфизм дринфе.чьдова дубля в тензорное произведение двух гсйзенберговых дублей.
Технически наиболее простыми оказались функциональные решения НУ, которые посредством квантования могут использоваться для построения более сложных решений. Построены конкретные примеры. В частности, исходя из разложений типа Гаусса в группах Ли, построен обшнр ный класс функциональных решений ПУ, удовлетворяющие дополнительному соотношению, которое отражает тетраэдральную симметрию. Каждое такое решение эквивалентно существованию в некоторой группе Ли С частично определенного инволютлвного отображения
ТУгтраэдральная симметрия Зд (группа перестановок т|х?х элементов) здесь реализуется отображениями 1.1:
Детально исследован один пример функционального решения ПУ, который при квантовании приводит к (некомпактному) квантовому днло-гарифму (КДЛ), обозначаемому в дальнейшем Фь(г). Эта мероморфная к комплексной плоскости г функция зависит также от комплексного параметра Ъ. Используемое нами название обусловлено следующим асимптотическим поведением
удовдетворяющего уравнению
)(ху) ИхШЧКхЖу)), 1(х) X
= 1|г *= Д)
■1
где
°° хп Гк с1^
Ыа(х) = 1
есть дилогарифм Эйлера, КДЛ тесно связан с днойным синусом Барнса (53, 34, 72] и обладает целом рядом замечательных свойств, среди кото-рых выделяется пят ичленное операторное тождество, впервые найденное Фаддеевым (2С|
Фь( р)фь(ч) = фв(д!фь(р + ч)фь{р), [р,ч! = (2я1)-1
Алгебраически КДЛ связан с гейзенберговым дублем борелевской подалгебры квантовой группы ич($Ы, тонн«* с ее модулярным дублем (26). В к вази классическом пределе квантовое пяти членное тождество в вс душем порядке воспроизводит найденное Роджерсом почти сто лет назад знаменитое пятичленное функциональное тождество на дилогарифм |69]. Тождество Роджерса само по себе лежит н основе алгебраической К-теории и привлекает в последние годы значительный интерес среди математиков и физиков (23). В частности, это тождество тесно привязано к трехмерной гиперболической геометрии: в то время как дилогарнфм (его мнимая часть) выражает объем идеального гиперболического тетраэдра (по формуле Лобачевского), тождество Роджерса отражает независимость объема произвольного идеального полиэдра от его разбиения иа идеальные тетраэдры.
Алгебраические аспекты двух уравнений неразрывно привязаны к их известным геометрическим интерпретациям: УЯБ в терминах конфигураций трех прямых в плоскости или дву мерных проекций конфигураций трех мепоресеканицихся некомпланарных пространственных прямых, а ПУ как элементарное преобразование в триангулированном трехмерном многообразии. Эти геометрические интерпретации лежат в основе известных конструкций топологических инвариантов узлов и зацеплений из решений УЯБ (81) и инвариантов трехмерных многообразий из |»'-шений ПУ [77| (возникающих как обобщенные бреймводы квантовых групп). 11а геометрическом уровне важнейшая разница между уравнени ями проявляется в размерностях пространств, фигурирующих в интерпретации: два в случае УЯБ и три в случае ПУ. Эго обстоятельство вме-
5
сто с найденной связью ПУ с УЯБ дает принципиальную возможность использования ПУ для описания (Л-матричных) инвариантов узлов и зацеплений в чисто трехмерных терминах, без использования вспомогательной проекции узла на двумерную плоскость. Такое ковариантное описание может не только помочь в понимании структуры известных инвариантов, но и в построении новых. На згом пути п главе 3 диссертации построен инвариант узлов с помощью циклического варианта КДЛ и из анализа его асимптотического поведения обнаружена связь с гиперболическим объемом узла Этот результат впервые демонстрирует связь квантовых инвариантов с гиперболической геометрией в трех измерено ях.
И работе [60] была установлена связь построенных в диссертации инвариантов со специализацией крашеных полиномов Джонса |36| ка корни из единицы. Эта специализация, однако, отлична от специализаций крашеных полиномов Джонса на корни из единицы, которые интерпретируются в терминах корреляционных функций операторов вильсоновских петель в трехмерной модели Черна Саймонса с компактной ка либровочпой группой 5Ш2) |79]. Квантовая модель Черна Саймонса эго пример типомгичеекой квантовой теории пом, общее аксиоматическое определение которой было дано М. Атьей в работе [13]. С этой точка зрения инвариант, построенный в диссертации, скорее имеет отношение к некомпактной калибровочной группе 5Ц2,С). К сожалению, квантово-молевой подход через теорию Черна Саймонса встречает серьезные трудности при попытках рассмотрения некомпактных калибровочных групп Ли |80|. Математически, проблема квантования теорий Чериа-Саймонса с некомпактными калибровочными группами интересна как с точки зрения изучения пр(х:транств модулей плоских связностей некомпактных групп Ли, так и с возможностью построения (новых) инвариантов трехмерных многообразий, а также узлов и зацеплений в них. Важный и типичный пример некомпактной группы Ли это группа 51.(2,И). Модель Черна Саймонса с згой калибровочной группой, согласно работам Ачукарро с Таунсеном [8], а также Виттена |Н0|, на классическим уровне описывает эйнштейновскую теорию (ее половину) 2 + 1-мерной гравитации с отрицательным космологическим членом. Фазовое
б
пространство (его связная компонента) этой модели на поверхности по-стоянного времени с отрицательной эйлеровой характеристикой отождествляется с соответствующим пространством Тейхмюллера с симплек тической структурой Вейля- Петерссопа. Таким образом, мы приходим к задаче построения квантового пространства Тейхмюллера. Из работы Верлинде (78| следует, что квантовые пространства Тейхмюллера также должны описывать конформные блоки в квантовой теории Лиувилля с центральным зарядом больше единицы.
В главе 4 диссертации решается задача построения квантовой теории пространства Тейхмюллера двумерных поверхностей отрицательной эйлеровой характеристики с проколами. Квантовый дилогарифм естественно возникает при использовании координат Пеннера [(И]. Теория характеризуется действительным параметром квантования Ь (постоянная Планка). Группа классов отображений поверхности проективно реализуется в гильбертовом пространстве квантовых состояний унитарными операторами. Благодаря свойствам дуальности некомпактного квантового дилогарифма, теория полностью симметрична относительно преобразования Ь нЬ Это существенно квантовый эффект в том смысле, что он не может быть обнаружен на уровне квазикдассического или деформационного квантования. Другая особенность построенной теории состоит в том, что область унитарности ассоциированною представления группы классов отображений оказывается шире, чем это можно было ожидат ь априори, а именно: параметр Ь может быть не только действительным, но и комплексным на единичной окружности, т е. когда
(1 - 1Ы)ЗЬ = о
Расширенная область соответствует комплексификации координат Пеи-иера, при которой квантовое представление группы классов отображений остается унитарным.
Результат вычисления проективного фактора дается целыми степенями наличном
е"41, с,. = 1 + 6(Ы-Ь ‘)2 (пюё 2)
что согласуется с интерпретацией кшигтвых состояний в терминах конформных блоков в квантовой теории .Пиувилля, т.к. выражение для Сі
7
совпадает с ожидаемым значением соответствующего вирасоровского центрального заряда. При этом упомянутая расширенная область унитар ности соответствует тому, что построенная теория ОПИСЫВаОТ квантовую теорию Лиувилля во всей области центрального заряда Cl > 1, включая и область сильной сохли 1 < с» с 25.
Спектральная проблема для операторов, реализующих демонские скручивания (ДС), оказывается точно решаемой. Полный непрерывный спектр дается формулой
SpecfD) = {e^ls G R>o}, Д, = + s*
где Cl есть уже упомянутый вирасоровский центральный заряд в квантовой теории Лиувилля. Этот результат также находится в полном согласии с ожидаемым спектром конформных весов в квантовой теории Лиувилля, если использовать формулу
Spec(D) = Spec(ei2nl°)
где Lo — стандартный вирасоровский генератор трансляций вдоль “светового конуса" с ожидаемым спектром вида
Spec(Lo) = (Д.. + mis € Rm. m 6 £>о)
В главе 5 исследуется квантовая модель дискретного Лиувилля, впервые рассмотренного Фаддеевым и Волковым (29), с точки зрения связи с квантовой теорией Тейхмюллера. Основной здесь результат состоит в нахождении спектра дискретного оператора эволюции Uic вдоль “светового конуса". Оказывается, что этот оператор для модели пространственной длины 2N (те. такого числа узлов в соответствующей цепочке) напрямую связан с оператором ДС в квантовой теории Тейхмюллера:
и, ” - D
Из этой формулы, принимая во внимание упомянутый спектр ДС, мы получаем спектр дискретного лиувиллевского оператора эволюции 11ц-:
SpeclU-J = (e-i2n,A* ,m|/N|s € R>o, m є Z/NZ}
8
что согласуется со спектром оператора в непрерывной кванто-
вой теории Лиувплля. Таким образом, квантовая дискретная модель Ли-увилля согласуется с непрерывной, и при этом не происходит какой-либо модификации в спектре
Главный вывод данного исследования состоит в том, что пентагональ-ное уравнение имеет огромный прикладной потенциал в построении инвариантов трехмерных многообразий и узлов в них, а также в теории интегрируемых систем, особенно в кпантовой области. Оно позволяет получать результаты, которые в рамках других подходов либо недоступны, либо значительно более трудны.
Глава 1
Пентагональное уравнение
15 этой главе рассматриваются алгебраические аспекты Г1У в операторной форме. Понятия биалгсбры и алгебры Хопфа тесным образом связаны с решениями ПУ. С другой стороны, УЯБ также связано с биалгебрами и алгебрами Хопфа. Это означает, что эти два уравнения должны быть связаны друг с другом. Основной результат этой главы состоит в установлении такой связи. Решения УЯБ связаны универсальным образом с дублями Дринфельда алгебр Хопфа, а решения ПУ аналогичным образом связаны с дублями Гейзенберга Другой результат главы устанавливает алгебраический аспект найденной связи между двумя уравнениями: существование канон и чес кото вложения дубля Дринфельда в тензорное произведение двух дублей Гейзенберга Эти результаты получены в первых двух разделах главы. В третьем разделе рассматривать специальный класс функциональных (или эквивалентно ттчцхггико-множественных) решений ПУ и связанная с ним алгебраическая структура обобщенное коумножемие. На основе последнего МОЖНО строить решения ПУ со спектральными параметрами, в частности матричные или операторные обобщения дилогарифма Построены конкретные примеры.
10
1-1 Решения УЯБ из решений Г1У
Б отличие от УЯБ (которое имеет естественную графическую интерпретацию в двух измерениях, если сопоставить двум сторонам уравнения две различные проекции на плоскость конфигу|>ацііи трех взаимно неком-плаиаримх прямых в трехмерном пространстве), ПУ естественно интерпретируется в трех измерениях как две различные триангуляции одного и того же полиэдра. Каноническая формула, выражающая решение УЯБ через решения ПУ, оказывается связующим звеном и их графических ин терпрстациях.
Определим обозначения. Для любой алгебры А и любою положительною целого т определены вложения
ц: А Э 1> *-» Ьі = 1 ® ® Ь » • • • « 1 Є А0т
где элемент Ь в правой части стоит на і-ом месте. Для конечной последовательности таких вложений
А А®"’ -^4 (ЛаП| )®'1' -^4 -—4 (...|АЙП,)...)<:>П’
будем обозначать через
Ьц;= Ц,и4|:1|(Ь) = И. о - оі^ 0|(,(Ь)
образ элемента Ь є Л.
1.1.1 Операторное пентагональное уравнение
Пусть V есть векторное пространство и Б Є КікЦУ®2) обратимый оператор. Мы говорим, что Б удовлетворяет ПУ если выполняется следующее уравнение в V®3:
= $23$|2 (1.1)
Сразу отметим симметрию этого уравнения: оператор
5,2^55? (12)
также удовлетворяет ПУ.
11
Имеется геометрическое представление для И У. Сопоставим пространству V топологический (т.е. вообще говоря искривленный) треугольник С отмеченным углом, а с пространствами V0* - многоугольники, разбитые на п треугольников с отмеченными углами. Таким образом, пространству У/®2 сопоставляется четырехугольник, разбитый на 2 треугольника. Имеется два разных разбиения, соответствующие двум диагоналям четырехугольника. Мы сопоставляем матрице $ операцию захсены одного разбиения другим, при этом размещение отмеченных углов должно быть как на рис. 1.1. Такую операцию можно осуществить в трех измерениях
Рис. 1.1: Графическое представление для решения ПУ. Отмеченные углы треугольников фиксируют их (взаимную) ориентацию.
путем приклеивания к четырехугольнику тет|>аэдра вдоль двух граничных треугольники» (при этом, разумеется, вершины должны совмещаться с вершинами, ребра с ребрами и треугольники с треугольниками), тогда как два остающихся граничных треугольника тетраэдра дают но вое разбиение исходного четырехугольника. В такой интерпретации ПУ соответствует тому, что две цепочки преобразований пятиугольника, разрезанного натри треугольника, приводят к одному и тому же результату, см. рис. 1.2.
1.1.2 Отношение к уравнению Янга-Бакстера
По отношению к УЯБ ПУ более фундаментально в том смысле, что су шествует канонический способ построения решений УЯБ из решений ПУ.
Пусть 5 € Еп<1( V®2) есть обратимая и перекрестно обратимая матрица. т.е. как сама матрица $. так и частично транспонированная матрица 5"' обратимы. Определим матрицу К € Бті((У$ V*)®->:
(1.3)
12