Содержание
Введение 4
Глава 1. Задача Коши для уравнения тина Хартри в классе траекторно-сосредо-точеиных функций 21
1 Постановка задачи и обозначения 21
2 Класс траекторно-сосредоточенных функций 22
3 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста 28
3.1 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста для упорядоченных по Вейлю операторов................................................................. 29
3.2 Система Гамильтона-Эренфеста, не содержащая постоянную Планка . . 32
3.3 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий.............. 34
4 Зад;ша Коши для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера 35
5 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера 37
6 Счетный набор решений уравнения типа Хартри (тос! 0(Л3/2)) 39
Глава 2. Задача Коши для двухкомионентного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосрсдоточенных функций 45
7 Постановка задачи и обозначения 45
8 Класс траекторно-сосредоточенных двухкомпонентных функций 46
9 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста 47
9.1 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий 50
10 Задача Коши дпя параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера 51
11 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера 53
12 Решение задачи Коши для двухкомионентного уравнения типа Хартри (тосі 0(Д3/2)) 54
13 Квазиклассически сосредоточенные решения двухкомионентного уравнения типа Хартри (высшие приближения) (тос! Д^+О/2) 57
Глава 3. Квазиклассические спектральные серии нелинейного двухкомпонентного оператора Хартри, отвечающие точке покоя классической системы 60
14 Постановка задачи 60
15 Конструкция траекторно-когерентиых состояний нестационарного уравнения типа Хартри 60
16 Квантование устойчивых точек покоя системы Гамильтона-Эренфеста 64
17 Квазиклассические спектральные серии для двухкомионентного уравнения типа Хартри во внешнем иоле с трансляционно-инвариантным потенциалом самодей-ствия 69
Тлава 4. Солитоноподобиые решения двухкомпонентного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций 75
18 Постановка задачи 75
19 Квазиклассические еолитоны двухкомионентного уравнения типа Хартри в отсутствие внешнего поля 75
20 Автомодельные еолитоны двухкомионентнот уравнения типа Хартри 81
21 Флоке-решешш двухкомионентного нелокального уравнения типа Хартри 83
22 Квазиэнергетические спектральные серии оператора типа Хартри (тос! Д3^2) 84
Заключение 91
Приложение А. Система в вариациях 92
2
Приложение В. Многомерные полиномы Эрмита Список литературы
Введение
Современные математические модели, представляющие значительный интерес в физике, химии и биологии, как правило, основаны на нелинейных уравнениях или системах нелинейных уравнений различных типов. Примерами широко известных нелинейных систем являются двухкомионентный бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) |1| (см. также (2|), рсакционно-днффузиоиныс (РД) системы [3,4] (см. также обзор [5]). Точное интегрирование нелинейных уравнений с переменными коэффициентами удается осуществит!» сравнительно редко. В каждом таком случае требуется построение уникальных математических конструкций и развитие на их основе соответствующей математи ч ес кой теори и.
Метод обратной задачи рассеяния позволяет найти точные аналитические решения для нестационарного одномерного однокомпонентного нелинейного уравнения Шрсдин-гера (НУШ) в отсутствие внешнего поля [6-10]. Данный метод сводит задачу Коши для исходного нелинейного уравнения в классе функций, локализованных в некоторой области пространства, к решению линейного интегрального уравнения. Более глубокое понимание интегрируемости уравнения дает теоретико-полевое представление, в рамках которого НУШ преобразуется к вполне интегрируемым гамильтоновым системам. Процедура интегрируемости представляет собой переход к переменным «действие --угол» [7,8]. В рамках теории солитонов показано, что пространственно локализованное начальное состояние поля при выполнении определенных пороговых условий в процессе эволюции трансформируется к солитопному виду.
При наличии в НУШ малых дополнительных членов, позволяющих описывать динамику солитонов иод действием внешних сил и полей, нарушается точное интегрирование. В этом случае решение удаётся построить лишь приближённо методами теории возмущения солитонов в предположении о малости ноля [11,12]. В данной теории предполагается, что основной вклад в приближённое решение имеет форму солито-иа, параметры которого медленно эволюционируют иод влиянием малых возмущений. Теория возмущений позволяет строить высшие приближения, описывающие искажение формы солитона. Возможности теории возмущений ограничены предположением о малости внешних воздействий и, кроме того, тем, что невозмущёиное уравнение является точно интегрируемым (1-г 1)-мерным СОЛитоиным уравнением, что не позволяет перейти к многомерной динамике. Также следует отметить, что для нелинейных уравнений простые разложения решений в степенной ряд по малому асимптотическому параметру описывают лишь линейное приближение рассматриваемой нелинейной модели и не позволяют учесть существенно нелинейные эффекты. Такие решения применимы в ограниченной области параметров н переменных модели [11]. Математическая теория таких уравнений развита для задачи Коши в [13-24].
Систематическим способом нахождения семейств частных решений уравнений РД-типа является енмметрийиый анализ дифференциальных уравнений [25-27]. В работах [28,29] проведена классификация (1-Н)-мерных двухкомпонентных систем РД-типа с симметриями и найдены частные решения, определяемые симметриями. Аналогичное исследование проводилось в |30], где частные решения находились с помощью нели-евских симметрий. Но для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений мето-
4
ды симметрнйного анализа [25,31-35] не дают желаемого результата. Симметрийиый анализ позволяет изучать системы, обладающие высокой симметрией, но вычисление симметрии затруднительно при наличии нелокальных слагаемых.
Поэтому развитие адекватных методов построения приближенных решений уравнения типа Хартри с нелокальной нелинейностью является актуальной задачей.
Исследование классов нелинейных уравнений, содержащих произвол в коэффициентах, в многомерном пространстве возможно лишь на основе адекватных приближённых методов. Для эволюционных уравнений таковым оказался метод квазиклассических асимптотик (36-41], который применим к уравнениям с малым параметром при производных. Нетривиальные приближённые решения строятся в специально подобранном классе функций, сингулярно зависящих от асимптотического малого параметра. Определение данного класса функций является ключевым моментом в применении метода квазиклассических асимптотик для конкретного уравнения. Достоинством метода квазиклассических асимптотик является то, что* на его основе в рамках общего подхода удается исследовать различные эволюционные уравнения, существенно различающиеся по своей математической структуре.
К ваз и класс и чес кое приближение, отвечающее линейным уравнениям квантовой механики, возникло фактически одновременно с квантовой механикой и имеет два ярко выраженных аспекта: прагматический и философский (см., например, (42—44|).
Прагматический аспект связан с тем, что основные квантовомехапические уравнения содержат «малый» параметр Д при старших производных, например, нестационарное уравнение Шрёдипгера
Л\1/ „ » л т>^ *
Щ— = 7£ф, Н = + £/(£,<), р = -г'ДУ, геГ (0.1)
отвечающее классической системе с функцией Гамильтона
Н0>,хЛ) = ^ + и{х,1). (0.2)
Существует широкий круг задач, в которых характерный безразмерный параметр, пропорциональный Д, можно считать малым, и, следовательно, возникает математическая задача о построении приближённых по этому параметру решений квантовомеханических уравнений — задача построения квазиклассических асимптотик по Д —> 0.
Философский аспект связан с тем, что одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия. Этот принцип предъявляет' к квантовой теории требование, чтобы в пределе Д —> 0 квантовая динамика переходила в соответствующую классическую. хотя в аксиоматической формулировке квантовая механика является логически замкнутой теорией и не опирается на классическую. Поскольку совершенно очевидно, что не существует универсального, не зависящего от конкретной физической ситуации. способа получения произвольных классических величин из квантовомеханических, при решении проблемы соответствия необходимо пояснять, в каком смысле, например, заданная квантовая динамика в пределе Д —> 0 переходит в соответствующую классическую [45,46]. Вывод классических уравнений движения для квантовомеханических величин в пределе при Д —> 0 является одной из принципиальных проблем соответствия квантовой и классической механик.
В основе подхода к проблеме соответствия квантовой и классической механик лежит представление о классических уравнениях движения как пределе при /I —> 0 уравнений движения для средних значений соответствующих квантовомеханических величин. В рамках такого представления соответствие между квантовыми наблюдаемыми, имеющими классический аналог, и классическими наблюдаемыми понимается в следующем смысле: квантовые средние по некоторым (специально выбранным - квазиклассически сосредоточенным) нестационарным состояниям должны в пределе при Д —> 0 переходить в фазовую плотность, представляющую собой классическую наблюдаемую, вычисленную на характеристиках уравнения Лнувнлля. Впервые такой подход был предложен Эренфестом [46), рассмотревшим в 1927 г. задачу о связи решений эволюционного однокомпонентного уравнения Шрёдингсра (0.1) и классического уравнения Ньютона тх = — У(/(.т).
В физической литературе подход Эреифеста связан с представлением о квантово-мехапических состояниях ф в форме волновых пакетов, локализованных в окрестности классической траектории. С математической точки зрения локализованыость означает, что квантовые средние .£(£) = (х)у, /7(£) = (р)ц, по таким состояниям от операторов координат х = (я1,... ,хп) и импульсов р = — гДУ в пределе при Д —> 0 являются решениями классических (гамильтоновых) уравнений движения
Ит(*>*(4) = ^кл(^о), 2 = (—*ДУ,аг), (0.3)
Л->0
где Zкл(tyZo) = (Ап(1, *»),.£«(*, *о)) — точка на фазовой траектории гамильтоновой системы
$=-Пх, Я = ПР7 (0.4)
стартующей при I = 0 из произвольной точки = (ро,£о) € К2'1 фазового пространства.
Условие (0.3) было названо в [47,48] условием траекторвой когерентности. Прагматическая сторона этого подхода, по существу, связана с задачей построения волновых пакетов как решений (точных или приближённых но Д —У 0) уравнения Шрёдингера (0.1), удовлетворяющих условию траекторной когерентности (0.3). Эта задача первоначально была решена для случая движения частиц в заданном потенциальном ноле [49] и позднее для уравнения Шрёдингера в произвольном электромагнитном поле [47,48] на основе метода комплексного ростка Маслова [41,50,51] (см. также [52-57]). Подробную библиографию по этому вопросу можно найти в обзорах [42,44,55|-
Локализованпые асимптотические решения уравнения типа Шрёдингера, удовлетворяющие условию траекторной когерентности (0.3), получили название «квазиклассически сосредоточенных» решений (или состояний). Оказалось, что подобные квазиклассически сосредоточенные состояния существуют для всех основных (линейных) уравнений квантовой механики заряженной частицы во внешнем поле с учётом её спина и изоспина. В работах [58-68| (см., например, [69]) такие состоянии были построены для уравнений Клей на-Гордона и Дирака-Паули в произвольном электромагнитном пате и для уравнений Шрёдингера и Дирака во внешнем неабелевом поле с калибровочной группой Би(2). Квазиклассически сосредоточенные состояния являются обобщением хорошо известных (сжатых) когерентных состояний (см., например, [70,711) на случай (линейных) уравнений квантовой механики в произвольных внешних полях.
6
На основе квазиклассически сосредоточенных состояний был развит новый коварн-антный подход в квазиклассическом приближении для уравнений квантовой механики. Суть этого подхода состоит в том, что в классе квазиклассически сосредоточенных состояний средние значения наблюдаемых, имеющих классический аналог, приближённо (с любой степенью точности 0(И**), Л —> 0) определяются по решению конечномерной аппроксимации порядка N системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно квантовых средних базисного набора наблюдаемых теории (в случае, например, уравнения типа Шрёдингера этот базисный набор является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Гейзенберга-Вейля, причем в качестве образующих этой алгебры выбраны зависящие от времени операторы I, — т,(£) = Д£г, Рх — рх = Ар1, г = 1,п, I - тождественный оператор). Такая бесконечномерная система для уравнения Шрёдингера была получена в работах [72-75) и названа системой Гамильтона-Эренфеста (см. также [42,44|). В работе |76) было доказано, что она является пуассоновой системой относительно (вырожденной) нелинейной скобки Дирака. Для уравнения типа Паули соответствующая пуассонова бесконечномерная система Гамильтона-Эренфсста была выведена в |77). Для релятивистских уравнений квантовой теории удалось получить (58,59,62-68) лишь соответствующие конечномерные системы Гамильтона-Эренфсста порядка N (М = 0,1,2).
По в любом случае ковариантный подход решает проблему прямого вывода классических уравнений движения (в духе первоначального подхода Эренфеста [46]). А именно, под уравнениями классической механики - под «классикой», отвечающей исходной квантовой теории с заданным матричным гамильтонианом, - понимается конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений - система Гамильтона-Эренфеста порядка Аг (;У ^ 0), замкнутая (с точностью до /г —» 0) относитель-
но квантовых средних базисного набора наблюдаемых этой теории. В рамках такой концепции для заданной (линейной) квантовой теории возникает иерархия «классических» уравнений движения, градуированная порядком N (ЛГ ^ 0) соответствующей системы Гамильтона-Эренфеста. Было показано, что градуированное семейство систем Гамильтона-Эренфеста не только решает проблему соответствия, но и с точностью до 0(Д<Л?+1^) эквивалентна уравнению Шрёдингера. В частности [44,75,78], из системы Гамильтона-Эренфсста второго порядка удалось получить такие чисто квантовые характеристики системы, как, например, энергетический спектр, отвечающий точке покоя и устойчивым замкнутым фазовым кривым.
Как показывают примеры, предложенная концепция согласована с общепринятым в физической литературе представлением о классических уравнениях движения, соответствующих квантовой теории. В частности, для уравнения Шредингера и уравнения Клейна-Гордона «нулевая» классика (IV = 0) даёт уравнения Ньютона и Лоренца соответственно [69]. Для уравнения Дирака-Паули во внешнем иоле система Гамильтона-Эренфеста порядка N = 0 есть расцепленная система уравнения Лоренца и уравнения Баргмана-Мишеля-Телегди, в котором поля вычислены на траекториях уравнения Лоренца, а в случае N = 2 мы получаем [62] классические уравнения движения спина типа уравнения Френкеля [79]. Для уравнений Шрёдингера и Дирака во внешнем калибровочном поле с группой симметрий 56/(2) соответствующая гамильтонова (М — 2)
система Гамильтона-Эреыфеста переходит в известные классические уравнения Вонга для неабелсиа заряда с изоспииом 1/2 [64,65]. Другие примеры вывода известных классических уравнений движения из уравнения Дирака в полях кручения, уравнения Дирака с внешним электромагнитным полем в пространстве Рнмана-Картана и из уравнения Прока приведены в работах [66-68] (см. также [69]).
Целью настоящей диссертации является развитие асимптотических методов интегрирования двухкомпонентного многомерною нелинейного уравнения типа Хартри и применение этих методов к решению задачи Коши, Флоке и спектральной задачи для двухкомпопентного уравнения типа Хартри.
Известное уравнение самосогласованного поля вида
где U(£, t) и V(ж, у, t) — заданные гладкие потенциалы внешнего и самосогласованного полей соответственно и х = const, является частным случаем уравнения типа Хартри.
Метод квазиклассически сосредоточенных состояний и ковариантный подход оказались эффективным инструментом исследования нелинейных математических моделей, основанных на линейных уравнениях. Обобщение ковариантного подхода на случай нелинейных квантовых систем заведомо нетривиально, поскольку сама постановка задачи о соответствии «классике» уже является проблематичной, так как не ясно, что понимать под уравнениями классической механики в этом нелинейном случае. Поясним это подробнее на примере уравнения (0.5) и его линейного аналога при х = 0 -уравнения (0.1). Для уравнения Шрёдингера гамильтониан 'Н имеет, как известно, классический аналог - функцию Гамильтона (0.2) такую, что 7i = ТЦ/У. х, I)
р — -iÄV (0.1). Следовательно, формулами (0.4) определена динамическая (гамильтонова) система, которую принято считать классической системой, отвечающей заданной квантовой теории с гамильтонианом С точки зрения ковариантного подхо-
да система (0.4) есть «нулевая» классика, т. е. конечномерная система Гамильтона-Эренфеста порядка N = 0 в фазовом пространстве размерности Ъь. Обоснование этого утверждечшя дано в цитированных выше работах (см., например, [42]) и опирается па следующие два факта:
I. для уравнения Шрёдингера существуют приближённые асимптотические решения (динамические состояния) Ф(ж, t, /г, ^и), которые приближают точные решения с точностью до О(h|//2), h —> 0, и таковы, что они квазиклассически сосредоточены на фазовой траектории Z(t) = (P(t), X(t)) € й2" в следующем смысле (см. (0.3)):
И. 2п-мерная функция времени Z(t) является решением системы Гамильтона (0.4), причём для произвольной траектории этой системы гкл(1,г0), параметризованной
М— = %
(0.5)
Ит(Йф(*,Й) = -Р(*)| }нп(5)*(*,Л) = X(t), х = (жь...,хп), p=-£W; (0.G)
S
- Київ+380960830922