1
Содержание
Введение...................................................... 3
1. Уравнение вт-Гордона и псевдосферические поверхности.. 6
1.1 Уравнение Бт-Гордона................................. 6
• 1.1.1 Задача Гурса для уравнения Бт-Гордона.......... 6
1.1.2 Задача Коши для уравнения Бт-Гордона........... 7
1.1.3 Метод разделения переменных................... 11
1.1.4 Метод малого параметра........................ 12
1.1.5 Автомодельные решения......................... 13
1.1.6 Преобразование Бэклунда....................... 15
1.1.7 Коиечнозошгые решения......................... 17
1.2 Псевдосферические поверхности....................... 18
1.2.1 Основные уравнения теории поверхностей 19
1.2.2 Асимптотические координаты.................... 21
1.2.3 Линии кривизны. Поверхности Иоахимсталя. . . 28
1.2.4 Геометрическое преобразование Бэклунда........ 34
1.2.5 Классические псевдосферические поверхности. . 37
2. Асимптотика решений уравнений второго порядка.............. 41
Ц' ■ 2.1 Асимптотика осциллирующих решений................... 41
2.1.1 Постановка задачи............................. 41
2.1.2 Построение приближенного решения.............. 43
2.1.3 Метод вариации постоя! шых.................... 45
2.1.4 Метод последовательных приближений............ 46
2.1.5 Асимптотические разложения.................... 49
2.1.6 Асимптотическая устойчивость в общем случае. . 50
2.1.7 Случай автономной правой части................ 54
2.1.8 Асимптотика решения и его производной......... 58
2.1.9 Осциллируемость решений....................... 60
2.2 Асимптотика решений в окрестности особой точки.... 62
2.2.1 Постановка задачи............................. 62
2.2.2 Построение приближенного решения.............. 62
2.2.3 Метод вариации постоянных..................... 63
2.2.4 Метод последовательных приближений............ 63
2.3 Приложение к автомодельному уравнению Бт-Гордона. 66
2.3.1 Асимптотическое разложение на бесконечности. 66
2.3.2 Асимптотическое разложение в нуле............. 68
3. Поверхность Амслера........................................ 70
3.1 Поверхность Амслера. Введение....................... 70
2
3.1.1 Постановка задачи.............................. 70
3.1.2 Псевдосферическая поверхность, содержащая две прямолинейные образующие............................ 71
3.1.3 Обзор используемых асимптотических методов. . 73
3.2 Асимптотические линии поверхности Амслера......... 74
3.2.1 Система уравнении Френе........................ 74
3.2.2 Основной триедр в нуле......................... 75
3.2.3 Основной триедр на бесконечности............... 78
3.2.4 Построение регулярной поверхности в окрестности прямолинейной образующей...................... 80
3.3 Ребра поверхности Амслера............................ 82
3.3.1 Система уравнений Френе....................... 82'
3.3.2 Основной триедр на бесконечности............... 84
3.3.3 Степенной ряд для основного триедра............ 86
3.3.4 Сводка асимптотических разложений для ребра. 88
3.4 Радиус-вектор поверхности Амслера................... 91
3.4.1 Уравнение для радиус-вектора................... 92
3.4.2 Формулы Римана................................. 94
3.4.3 Метод разделения переменных.................... 97
3.4.4 Асимптотическое разложение решения............. 98
3.4.5 Построение поверхности в окрестности ребра. . . 101
4. Двухсолитонные решения и их интерпретация............ 103
4.1 Двухсолитонные решения. Введение....................103
4.1.1 Двухсолитонные решения.........................103
4.1.2 Двухсолитонные поверхности.....................104
4.1.3 Двухсолитонные поверхности Иоахимстачя. . . . 106
4.2 Классификация двухсолитонных поверхностей...........108
4.2.1 Радиус-вектор ребра. Геодезическая кривизна и кручение............................................108
4.2.2 Анализ знаков кривизны и кручения..............111
4.2.3 Иллюстрации....................................114
5. Приложение.............................................. 115
5.1 Приложение к пункту 2.1.2...........................115
5.2 Приложение к пункту 2.1.3...........................115
5.3 Приложение к пункту 2.1.5...........................118
5.4 Приложение к пункту 2.3.2...........................119
5.5 Приложение к пункту 3.3.2...........................120
6. Заключение.............................................. 122
Введение
Работа посвящена исследованию некоторых классических решении уравнения Бт-Гордона и связанных с ними поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Развитие данной тематики связано с фундаментальными исследованиями в геометрической школе
Н.В. Ефимова и Э.Г. Позняка. Было получено большое количество содержательных результатов по проблеме изометрических погружений метрик отрицательной кривизны в Е3: [14,15, 29, 47, 48], по вопросам, связанным с интерпретацией решений уравнения вт-Гордона как сетевого угла асимптотической сети на поверхности постоянной отрицательной кривизны: [28, 30, 31], а также по более общей проблеме построения метрик постоянной отрицательной кривизны, связанных с различными нелинейными уравнениями математической физики: [17, 32].
В диссертации исследовано автомодельное решение, зависящее от произведения переменных, и показано как можно приближенно построить соответствующую псевдосферическую поверхность Амсле-ра в окрестности отрезка ее ребра возврата. С этой цели получено и исследовано линейное уравнение гиперболического типа для радиус-вектора поверхности. Исследован и другие способы построения поверхности Амслера — по асимптотическим линиям в окрестности прямолинейной образующей. Исследованы и классифицированы поверхности, соответствующие двухсолитонным решениям уравнения Бт-Гордона. Найдено точное выражение для их радиус-вектора. Доказана теорема о локальной однозначной определенности фрагмента псевдосферической поверхности по фрагменту ее ребра. Основные результаты диссертации отражены в опубликованных работах [20, 21, 22, 23].
В геометрии уравнение Бт-Гордона связано с существованием на поверхностях в Е3 специальных сетей, называемых чебышевскими. Эти сети характеризуются тем условием, что в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Чебышевскую сеть образуют, например, нити куска ткани, натянутой на поверхность [45]. Пусть линии чебышевской сети взяты за координатные так, что координаты и и у являются их естественными параметрами (такие координаты будем называть чебышевскими) — в этом случае первая
4
квадратичная форма поверхности принимает вид
Q(uy v) = du2 + 2 cos z(u} v)dudv -f dv ,
где z(u,v) — угол, под которым пересекаются линии чебышевской сети в точке (и, v). Пусть гауссова кривизна поверхности в этих координатах равна К(и, v). ПЛ. Чебышев показал, что угол z(u, v) удовлетворяет уравнению Чебышева
Zuv — -K(uyv)s\ïiz. (1)
На псевдосферической поверхности ( К = —1) чебышевскую сеть образуют асимптотические линии. Чтобы подчеркнуть выбор в качестве координат (гг, г;) естественных параметров этих линий, а также то, что в качестве чебышевской сети взята именно сеть асимптотических, будем называть координаты (гг, г;) асимптотическими чебышев-скими координатами. Обратим внимание на то, что при этом фиксируется определенный вид обеих квадратичных форм поверхности. Сетевой угол z(u,v) в этом случае должен удовлетворять уравнению sin-Гордона
Zvy = sin г. (2)
Псевдосферическая поверхность имеет метрику кривизны К = —1, поэтому эту поверхность можно рассматривать как изометрическое погружение фрагмента плоскости Лобачевского Л2 в Е3. При
этом подразумевается, что отображение г, переводящее каждую точку (гг, г;) некоторой области U С R2 в точку поверхности, трижды непрерывно дифференцируемо {регулярность погружения) и обладает тем свойством, что векторы ти, г„ линейно независимы, т.е.
г£ гаг, rurv Г2
= sin2 z^O
всюду в области К.
В следующей фундаментальной теореме [5] фактически утверждается невозможность регулярного изометрического погружения всей плоскости Лобачевского А2 в Е3.
Теорема 1 (Теорема Д. Гильберта).
В трехмерном евклидовом пространстве Е3 не существует полной регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Доказательство теоремы [5,34] опирается на следующее утверждение об уравнении Біп-Гордона, также принадлежащее Гильберту.
Лемма 1. Любое гладкое решение уравнения эт-Гордона достигает значений, кратных п.
Псевдосферическая поверхность с заданным сетевым углом асимптотической чебышевской сети может быть "склеена" из своих асимптотических линий. Э.Г. Позняк доказал в [28] следующую теорему.
Теорема 2 (Теорема Э.Г. Позняка).
Пусть функция г(и,у) € С4(!&2) — решение уравнения ьт-Гордона. Тогда существует такая, заданная на всей плоскости (и, у), вектор-функция г(гг, у), что график этой функции в любой области, где г(и, у) ф тт, представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны К — -1. При этом координатная сеть {и, у) на указанной поверхности является сетью асимптотических линий, а г(и,у) - сетевой угол. Значениям г = тгп соответствуют особенности (ребра, острия) поверхности.
Имеется большое количество работ по геометрии псевдосфериче-ских поверхностей. Из "классики" начала ХХ-го века, отметим обзор Е.Коддингтона (1905) [65], посвященный изложению результатов, полученных в геометрии псевдосферических поверхностей с 1827 по 1887 год. Также необходимо упомянуть известный четырехтомный трактат Г.Дарбу "Лекции по общей теории поверхностей" [66] и учебник Л.Бьянки "Лекции по дифференциальной геометрии" [58]. Б последние десятилетия ощущается новый всплеск интереса к классической геометрии поверхностей, вызванный глубокими взаимосвязями, обнаруженными между солитонными уравнениями математической физики и некоторыми типами поверхностей (поверхностями постоянной кривизны, поверхностями Вейнгартеиа и другими). Среди новых работ отметим работы А.И.Бобенко [59, 60], Ю.А.Аминова [53, 54], А.М.Каллини и Т.А.Ивея [62,63], ЯЛ.Кислинского [64].
Перечислим некоторые физические явления, описываемые уравнением БШ-Гордона: эффект самоиндуцированной прозрачности в двухуровневой среде [8], динамика блоховских стенок в ферромагнитных кристаллах [8,44], процессы в джозефсоновском контакте [8], возмущенные состояния элементарных частиц [75].
Поскольку в физической интерпретации в переменных и или у обычно участвует время, то для физических явлений, описываемых уравнением Бт-Гордона, псевдосферическая поверхность является аналогом фазовой плоскости [35], на которой реальный физический процесс изображается как кривая.
§ 1.1 Уравнение эт-Гордона.
6
Глава 1.
Уравнение вт-Гордона и псевдосферические поверхности.
1.1 Уравнение БШ-Гордона.
В этом параграфе описана постановка задач Гурса и Коши. Изложен метод разделения переменных, позволяющий получить некоторые частные решения уравнения Бт-Гордона. Изложен метод малого параметра для уравнения Бт-Гордона. Далее описаны автомодельные решения типа бегущих волн. Затем приведены формулы преобразования Бэклунда для уравнения эт-Гордона, формула суперпозиции Бьянки и ее обобщение; определены солитонные решения и проведена их классификация. Приведено тождество для тета-функций Римана, из которого получаются все копечнозонные решения урав-не! 1ия бш-Г ордо11а.
1.1.1 Задача Гурса для уравнения вт-Гордона.
Сформулируем для уравнения Бт-Гордона (2) задачу Гурса:
деленные при V ^ ио и и ^ щ соответственно.
Не ограничивая общности можно провести замену и — и0 —*• и, V — ь'о —+ V и считать — 0/ г’о = 0. В этих предположениях справедлива следующая теорема Л.Бьянки [58] о существовании и единственности решения (СЕР) задачи Гурса.
Теорема 3 (Теорема СЕР для задачи Гурса).
Если функции (/>(£) € СП[0,П1], гр(г)) е С^О,^], тг ^ 2, то существует единственное решение г(и,у) 6 Ст,([0,1/1] х [0,1л]) задачи Гурса (3). Это решение может быть найдено как предел равномерно сходящейся последовательности г*(и,у), заданной рекуррентно формулами
го [и, V) = р(и) + тр(ь) - <р(0)
и V
§ 1.1 Уравнение sin-Гордона.
7
Справедлива оценка
|z(u, v)\ ^ |z0(u, i>)| + (euv - 1) min(l,ra(u, t>)),
где m(uyv) = тах{|го(^,т/)| : O^rj^v).
Доказательство состоит в редукции задачи (3) к интегральному уравнению
U V
z(u,v) = <p(u)+i/’(v)-(p(0) + J Jsinz{^T])dT}d^
о о
которое затем решается методом последовательных приближений.
1.1.2 Задача Коши для уравнения sin-Гордона.
Задача Коши для уравнения sin-Гордона формулируется как задача с начальными значениями функции z(u, v) и ее производной zu(u, v) на кривой I : v = и;(и):
' zuv = sin г z(u,u(u)) = ф(и) (4)
Zn(u,u{u)) = lp(u).
При этом и(и) € СЛ/ п ^ 2 и и/(и) имеет постоянный знак на отрезке [uiyUi] — будем считать для определенности uj'(u) > 0 — поэтому существует обратная функция u~l(u) G Сп. В этих предположениях справедливо следующее утверждение.
Теорема 4 (Теорема СЕР для задачи Коши).
Пусть ip(u) € Cn[uuU2] и <р(и) е Сп_1[гц,г42]. Тогда в прямоугольнике П = [ui,U2\ х [a;(ui),c<;(tz2)] существует единственное решение z(u,v) С СП(П) задачи Коши (4). Это решение может быть найдено как предел равномерно сходящейся последовательности Zk(uyv), заданной рекуррентно формулами
иГ‘(*)
zo(v,yV) =ф{ш’1(у)) - J ip(x)dx, (5)
w_1(v) V
zk+i(u,v) = z0(uyv) - J dx J sin zk(x,y)dy. (6)
w(z)
§ 1.1 Уравнение sin-Гордона.
8
Справедлива оценка
|«(«i,v)| « |*0(u,t;)| + (е<—«»*/»**> _ i),
где a(u, v) определяется в области лад кривой и области под кривой соответственно равенствами
a(u,v) = sup{fc| и(х) ^ и;(и) + к(х — гг) при всех х € [гг,иг-1(г;)]}, (7)
a(u,v) = sup{fc| cj(x) ^ и(и) 4- к(х — гг) при всех х € [о;"1 (г;),гг]}. (8)
Доказательство. В областях, лежащих над кривой I, т.е. на множестве {(и, и) : и>(гг) < -и} и под кривой I, Т.е. на множестве {(гг, и) : о;(гг) > г;} задача (4) редуцируется к интегральному уравнению:
и>~1 (v) U>-,(u) V
z(u,v) =ip{u~l(v)) - / tp(x)dx — J dx J sin z(x, y)dy, (9)
u и ui{x)
Это уравнение получается следующим образом. Проинтегрируем уравнение sin-Гордона в переменных (х, у)
zxy{x,y) =sinz(x,y)
по переменной у в пределах от w(x) до v:
v
;(х, г;) — гх(хуш(х)) = J sin z(x>y)dy.
Zx\....................
и>(х)
С учетом начального условия задачи Коши, получаем
v
*x{x,v) = <р(х) 4- J sinz(x,y)dy.
ш[х)
Проинтегрировав данное уравнение по переменной х в пределах от и до получаем интегральное уравнение (9). Очевидно,
непрерывное на П решение задачи Коши является также и решением интегрального уравнения (9). Поэтому из доказываемой ниже единственности решения этого интегрального уравнения следует, что задача Коши не может иметь более одного решения. Мы также покажем, что непрерывное решение интегрального уравнения будет также и решением задачи Коши.
§ 1.1 Уравнение эт-Гордона.
9
I: у = и(х)
Доказательство существования и единственности решения уравнения (9) проведем методом последовательных приближений. Отметим, что в отличие от задачи Гурса, интегрирование проводится по области с криволинейной границей. Фиксируем (и, г»). Переменные будем обозначать (х, у).
Рассмотрим точку А (и, у), лежащую над кривой I. Введем точки В(и,и;(а)) и С(и~1(у),у). Двойной интеграл в интеграпьном уравнении берется по области ВАС. Заключим эту область в прямоугольный треугольник ВАС' с катетами ВА и АС'; точка С' лежит на продолжении луча АС за точку С или совпадает с С.
Гипотенуза ВС' определяется на плоскости (х, у) уравнением у = а(х - и) + и{и) = ах + Ъ, где коэффициент наклона а выбран максимально возможным, но так, чтобы кривая I на промежутке х € [гх, ь*^(г>)] лежала над гипотенузой ВС' — точное выражение (7) для а приведено в формулировке теоремы.
Примем обозначения (5), (6). На первом шаге:
{ь-Ъ)/а
1*1 “ 2о\ ^ £ (IX ! 1 • <1у < / <1Х I
и>(х)
с1х I (1у =
а(х—и)+ш(и)
(■V - и/(и))'-2а
(Здесь мы мажорировали интеграл по исходной области интегралом по прямоугольному треугольнику.) Предположим, что на к -ом шаге мы получили неравенство
\гк -2fc.il ^
(у-и(и)) Скак
2 к
тогда на следующем шаге
«-■(*)
(ь-Ь)/а
\*к+1 - гк\ < / 11х / | ** гк"1^У ^ (Укак / (1хх
и и/(х) и
§1.1 Уравнение эт-Гордона.
10
V {и-Ь)/а
* I (у-“(*)Г<1у = {2к+\)с-ак /
в-(х-и)-Ьд/(и) «
к+1 (ь-Ь)/а (у-Ь)/а
-(2ГГТ)^ / (1-ц)"+1^^(^ТТ)С^ / (“))“+1^-
(у - Ь — аи)2к+2 _ (у — ш(и))2к+1 /и - Ь \
~(2к+1)(2к + 2)Скам ~ (2к + 1)Скак V“ “/
(у - ш{и))2М _ (у-ш(и))2к+2
(2к + 1)(2к + 2)Скам ~ (2к + 2)Скам'
Находим
_ ,^(у-ы(и))п
'* г*-1^ к! (2а)* ’ ( }
поэтому ряд
оо
20 + ]Г] («2* “ г*:-1)
*•= 1
сходится равномерно на любой компактной части области над кривой. И, следовательно, представляет решение рассматриваемого интегрального уравнения. Из оценки (10) следует оценка для г(и>у), обещанная в формулировке теоремы. Отметим, что геометрический
(у — Со>(и))2
смысл выражения 2а(и,у) ' СГОЯ1Цего в показателе экспоненты —
это площадь прямоугольного треугольника ВАС'.
Исследуем гладкость решения. При выполнении условий теоремы очевидно, что г0(и,у) € С”(П). Далее продифференцируем выражение (6) по и и по V
V и»-1 (и)
дгм дг§ [ . дгм дт^ [ . . .
“ЛГ = Ж+У 5Шг*(“'^- "эг = ^7" У 51П2*(х-^
и>(и) и
Повторное дифференцирование дает
<922*+1 С?220 „ . . , . 522Л+1 . , ч
= Л? “1“ (и)8тг*(и'1;)- ЭЙГ = “*(«.*).
д22*+1 ^22о 1 , ч
- Київ+380960830922