Оглавление
1. Введение 2
1.1. Основные определения ............................................. 2
1.2. Морфизмы геометрий................................................ 7
1.3. Амальгамы......................................................... 9
1.4. Геометрические амальгамы ........................................ 12
1.5. Универсальные пополнения и накрытия.............................. 13
1.6. Основные результаты.............................................. 14
2. Монстр 21
2.1. Основные свойства ................................................22
2.2. Тильда геометрия группы Монстр ...................................29
2.3. Максимальная параболическая геометрия.............................32
2.4. В направлении к Бэйби Монстру ....................................37
2.5. 2£б(2)-подгеометрия...............................................40
2.6. В направлении к группе Фишера М(24) ..............................43
2.7. Отождествление М(24)....................................... . 48
2.8. Группы Фишера и их свойства.......................................54
2.9. Геометрия группы Хельда...........................................61
2.10. Граф Бэйби Монстра...............................................64
2.11. Односвязность геометрии 0(ВМ)....................................79
2.12. Второй граф Монстра..............................................84
2.13. Единственность амальгамы типа Монстра............................91
2.14. Односвязность геометрий Я(М) и Н(М)..............................95
2
3. 2-накрытия Р-геометрий 97
3.1. Свойства Р-геометрий...........................................97
3.2. Необходимое условие...........................................104
3.3. Нерасщепимые расширения.......................................107
3.4. Геометрия £(323- Сог)...........................................Ш
3.5. Случай ранга 5: ограничение ядра .............................116
3.6. Геометрия £(34371 • ВМ) ......................................123
4. У-группы 127
4.1. Исторические замечания........................................128
4.2. Теорема о 26 вершинах.........................................131
4.3. От У-групп к У-графам ........................................134
4.4. Некоторые ортогональные группы................................137
4.5. Группы Фишера как У-группы .............................143
4.6. Монстры.......................................................151
5. Заключение 159
5.1. Геометрии Титса...............................................159
5.2. Л/#т-геометрия.............................................. 165
5.3. Симплектические геометрии над а?{2)...........................167
5.4. От классических к спорадическим геометриям....................170
5.5. Геометрии Петерсена и тильда геометрии........................172
5.6. Представления геометрий ......................................174
5.7. Этапы классификации...........................................178
5.8. Следствия и развития..........................................186
5.9. Терминология и обозначения....................................194
1
Глава 1
Введение
Спорадические простые группы - по-видимому самые удивительные объекты современной алгебры. Открытие спорадических простых групп и, в особенности, наибольшей из них - Монстра, считают одним из наиболее важных вкладов в математику классификации конечных простых групп. Некоторые из спорадических простых групп были исходно открыты как группы автоморфизмов определенных комбинаторно - геометрических структур, таких как системы Штейнера, дистанционно-регулярные графы, пространства Фишера и другие. В своей эпохальной статье [Вие79] Ф. Бекенхаут, развивая ранние идеи Титса, заложил аксиоматические основы этих и связанных с ними структур под названием ”диаграммные геометрии”. Билдинги конечных групп типа Ли входят в специальный класс диаграммных геометрий: геометрий Титса. Это дает основание надеяться, что диаграммные геометрии могут послужить основой для единообразного изучения всех конечных простых групп.
1.1. Основные определения
Эта секция представляет краткий и неформальный обзор геометрий классических групп, цель которого - мотивировать общее определение геометрий.
Пусть (? - конечная классическая группа (предполагается проективная версия). Саму группу С и ее геометрию можно определить в терминах естественного модуля, который представляет собой некоторое п-мерное векторное про*
2
странство V' = Уп(ч) над полем Галуа порядка q. Здесь ц - это степень
некоторого простого числа р, называемого характеристикой ноля. Имеется полулинейная форма Ф на V, которая либо тривиальна (тождественно равна нулю), либо нсвырождена, такая, что элементами С являются все проективные преобразования пространства V, которые сохраняют Ф с точностью до скалярных множителей. Если Ф тривиальна, то ^ - это просто проективная линейная группа пространства V. Если же Ф невырождена, то она симплекти-ческая, унитарная или ортогональная и С - это симплектическая, унитарная или ортогональная группа подходящего типа, который определяют гс, </, а также тип Ф. Тривиальпая форма введена в рассмотрение с тем, чтобы трактовать все классические группы единообразно.
Если IV - подпространство в V, то мы можем рассмотреть ограничение формы Ф на IV. Подпространства, для которых ограничение Ф является тривиальной формой, играют особую роль и их называют вполне изотропными подпространствами пространства V по отношению к форме Ф. Ясно, что каждое подпространство во вполне изотропном подпространстве вполне изотропно и что в случае линейных групп все подпространства вполне изотропны. Если Ф кевырождена., то но теореме Витта все максимальные вполне изотропные подпространства имеют одну и ту же размерность, называемую индексом Витта формы Ф.
Геометрией 0 = £((?) классической группы Є является множество всех подпространств в естественном модуле V, вполне изотропных по отношению к инвариантной форме Ф, снабженное симметрическим отношением инцидентности *, по отношению к которому два подпространства инцидентны, если одно из них содержится в другом. В случае линейной группы мы получаем соответствующую проективную геометрию, а в других случаях - разнообразные полярные пространства.
По определению каждый элемент геометрии классической группы инцидентен самому себе, тем самым отношение инцидентности * рефлексивно. Мы можем трактовать £ как граф на множестве элементов, ребра которого соединяют пары инцидентных элементов. Поскольку два подпространства одной и
3
той же размерности инцидентны тогда и только тогда, когда они совпадают, можно заметить (игнорируя петли), что этот граф многодольный так, что две вершины содержатся в одной доле тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность. Поэтому естественно определить тип элемента как его размерность. Из теоремы Витта и ее тривиального аналога для линейных групп следует, что каждое максимальное множество попарно инцидентных элементов в £ (максимальная клика в теоретико-графовых терминах) содержит ровно один элемент каждого типа. Это построение приводит к общему понятию геометрии, введенному Ж. Титсом в 50-х годах.
Геометрии являются специальным видом систем инцидентности. Системой инцидентности называют четверку (£, *Л, /), где 0 - множество элементов, * -бинарное рефлексивное отношение инцидентности на 0 \\ t - функция типа, которая приписывает каждому элементу из О его тип, являющийся элементом множества I всех возможных типов; никакие два различных элемента одного и тоже же типа не инцидентны. Обычно систему инцидентности (<?, *^,1) обозначают просто через предполагал, что *, I и / ясны из контекста. Число различных типов системы инцидентности (то есть мощность I) называют рангом Если не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что в системе инцидентности ранга п имеем / = {1,2, ...,п}. Через 0х мы будем обозначать множество всех элементов в имеющих тип г, то есть множество
Как мы отмечали, систему инцидентности <3 ранга п можно рассматривать (игнорируя петли) как п-дольный граф с долями 01,.Система инцидентности называется связной, если она представляет собой связный граф.
Произвольное множество Ф попарно инцидентных элементов в системе инцидентности 0 называют флагом. В этом случае Ф| и <(Ф) есть ранг и тип флага Ф, соответственно. Если 0 является системой инцидентности ранга п над множеством типов /, то п — |Ф| и / \ £(Ф) называют корангом и котипом флага Ф, соответственно. Пусть Ф - флаг в системе инцидентности 0. Тогда остаточная система инцидентности геэ^Ф) флага Ф в ^ (или просто остаток ) - это четверка (£Ф, *ф, /ф, /ф), где £Ф = {х | х € х*у для всех у € Ф}\Ф;
А
/ф = /\*(Ф); *ф есть ограничение * на £ф, а Ц есть ограничение < на £ф. В случае флага, состоящего из единственного элемента х мы будем записывать его остаток через ге^я), а не через гев$({я}). Легко заметить, что произвольный остаток можно построить индуктивно, рассматривая на каждом шагу остаток одного элемента.
Определение 1.1.1. Геометрией называется система инцидентности (£7,*,*,/), для которой выполнены следующие, два условия:
(I) каждый максимальный флаг содержит о точности один элемент каждого типа;
(п) для всех г,7 £ 1(0) граф на множестве 0х и 0*, в котором два элемента смежны, если они инцидентны в 0, является связным, и аналогичное условие выполнено для каждого остатка в 0 ранга по меньшей мере 2.
Граф на множестве элементов геометрии 0, в котором два различных элемента смежны, если они инцидентны в 0 называют графом инцидентности 0. Графы инцидентности геометрий ранга п можно охарактеризовать как п-дольные графы, обладающие следующими свойствами: (’1) каждая максимальная клика содержит по одной вершине из каждой доли; (и) подграф, индуцированный любыми двумя долями, является связным и аналогичное свойство выполнено для каждого остатка ранга по меньшей мере 2. Легко заметить, что остаток в геометрии сам является геометрией.
Пусть (<?1, *1, $!, Д) и (Ог, *21 *2> А) - это Две геометрии, у которых множества элементов и множества типов не пересекаются. Прямой суммой геометрий Ог и 0-2 называется геометрия, у которой множество элементов - это объединение О1 и 02; множества типов - А и /2, в которой отношение инцидентности и функция, задающая тип совпадают, соответственно с *, и будучи ограничены на 0, для * = 1 и 2 и в которой каждый элемент из О1 инцидентен каждому элементу ИЗ $2-
Приведенные выше определения остатка и прямой суммы мотивируются следующим образом в контексте геометрий классических групп. Пусть О -
5
классическая группа, для которой V - естественный модуль, аФ ■ инвариантная форма. Пусть 0 = £(С) - определенная выше геометрия группы <7. Пусть XV - некоторый элемент т.е. подпространство в V, вполне изотропное по отношению к Ф. Тогда легко заметить, что гев^ТУ) есть прямая сумма двух геометрий: гсв£(1У) и геэ^Ж), где первая является проективной геометрией всех собственных подпространств в 1У, а вторая образована вполне изотропными подпространствами, содержащими \У и допускает следующее описание. Пусть
IV1 = {V | V € V, Ф(п, гг) = 0 для всех и) € ТУ}
обозначает ортогональное дополнение подпространства XV в V. Тогда ТУ < XV1 и Ф индуцирует на V := ТУ1/ТУ невырожденную форму Ф'. В этих терминах элементами гея^ТУ) являются все подпространства в £/, которые вполне изотропны но отношению кФ'и отношение инцидентности задано включением. Тем самым гсб^М') - это геометрия классической группы, имеющей V в качестве естественного модуля и Ф' в качестве инвариантной формы. Безусловно геэ^У) или гсб^ТУ) или даже оба остатка могут оказаться пустыми и легко понять, когда это происходит. Так или иначе мы замечаем, что класс прямых сумм геометрий классических групп замкнут относительно взятия остатков.
Введя в рассмотрение геометрии классических групп, мы стали трактовать вполне изотропные подпространства в естественных модулях как абстрактные элементы, сохранив от их векторного происхождения лишь отношение инцидентности, определенное включением и функцию типа, определяемую размерностью. Оказывается, что в большинстве случаев векторное пространство удастся однозначно восстановить по соответствующей геометрии и что, более того, сама геометрия в определенной степени характеризуются своими локальными свойствами, а именно структурой остатков. Теория и классификация геометрий могут быть развиты достаточно глубоко без каких-либо предположений об их группах автоморфизмов, однако нас, главным образом, интересуют так называемые флаг-транзитивные геометрии которые, вводятся в следующей секции.
6
1.2. Морфизмы геометрий
Пусть И и 0 - геометрии (или даже просто системы инцидентности). Тогда морфизмом Н в 0 называют отображение <р : Н -> 0 множества элементов Н на множество элементов д, которое отображает пары инцидентных элементов на пары инцидентных и сохраняет тип каждого элемента. Биективный морфизм называется изоморфизмом.
Сюръективный морфизм <р : У. —» 0 называется накрытием геометрии д, если для каждого непустого флага Ф в Н ограничение (р на остаток геэд(Ф) есть изоморфизм на гев^^Ф)). В этом случае Н называется накрывающей для С?, а^- фактором Н. Если каждое накрытие 0 является изоморфизмом, то про £ говорят, что она односвязна. Ясно, что произвольный морфизм является накрытием, если его ограничение на остаток каждого элемента (рассматриваемого как флаг ранга 1) есть изоморфизм. Если ф : О 0 - накрытие и геометрия д односвязна, то ф называют универсальным накрытием, а § - универсальной накрывающей д. Для каждой геометрии ее универсальная накрывающая существует и единственна с точностью до изоморфизма. Если <р : Н —» д -произвольное накрытие, то существует накрытие х '■ О —1► 'Н-, такое, что ф это - композиция X И <р.
Морфизм <р : 'Н д произвольных систем инцидентности называется 5-накрытисм, если он является изоморфизмом, будучи ограниченным на каждый остаток ранга по меньшей мере 5. Это означает, что если Ф - флаг, котип которого не больше чем 6, то ограничение <р на гев^(Ф) является изоморфизмом. Про систему инцидентности, для которой каждое б-накрытие является изоморфизмом, говорят, что она э-односвязна. Для каждой геометрии ее универсальная 5-накрывающая существует в классе систем инцидентности, но нет гарантии, что она является геометрией. В настоящей работе мы будем использовать понятие б-накрытня либо применительно к конкретным морфизмам геометрий, либо при доказательство 5-односвязности. При этом мы все время будем оставаться в классе геометрий. Отметим, что в случае 5 = п — 1 понятия ” 5-накрытие” и ” накрытие” совпадают.
7
Изоморфизм геометрии саму на себя называется автоморфизмом. По определению каждый изоморфизм сохраняет типы элементов. В некоторых случаях нам потребуются ’’автоморфизмы” более общего вида, а именно те, которые переставляют типы. Мы будем называть их диаграммными автоморфизмами .
Очевидно, что множество всех автоморфизмов заданной геометрии Я образует группу, называемую полной группой автоморфизмов Я и обозначаемую через Аи1</. Произвольная группа С автоморфизмов геометрии Я (то есть подгруппа АиЬ</) называется флаг-транзитивной, если любые два флага <1>! и Ф-2 в Я имеющие один и тот же тип (т.е. такие что *(Фі) = ^(Фг)), лежат в одной и той же орбите действия Є. Ясно, что группа автоморфизмов флаг-транзитивна тогда и только тогда, когда она действует транзитивно на множестве максимальных флагов в Я- Геометрия, допускающая флаг-транзитивную группу автоморфизмов называется флаг-транзитивной геометрией.
Флаг-транзитивная геометрия может быть следующим образом описана в терминах подгрупп в ее флаг-транзитивной группе автоморфизмов. Пусть Я -геометрия ранга п и С - некоторая флаг-транзитивная группа автоморфизмов Я- Пусть Ф = {.ті,Т2,- максимальный флаг в Я-, (мы предполагаем, что имеет тип і). Пусть 6\ = (?(&,•) - стабилизатор ;с, в (2. Тогда подгруппы Сі, (?2, <7П называют максимальными параболическгши подгруппами, или про-
сто максимальными параболиками, связанными с действием С на Я- Говоря об п максимальных параболических подгруппах, связанных с действием группы на геометрии ранга, п, мы всегда будем предполагать, что стабилизируемые элементы образуют максимальный флаг. В силу флаг-транзитивности, группа С действует транзитивно на множестве Ях (т.е. на множестве элементов в Я. имеющих тип г). Поэтому можно отождествить Ях с множеством правых смежных классов С?, в С, сопоставляя элементу у € Ях смежный класс С,/г, где х* = у. Такой смежный класс состоит из всех элементов С, которые отображают в у (мы предполагаем, что элементы О действуют справа). Считая, что у - тот же что и выше, пусть 2 - элемент типа у, который отвечает смежному классу 0,к. В силу флаг-транзитивности у и г инцидентны в точности тогда, когда в С существует элемент д. который переводит пару (х,-,а^) в пару (г/, г). Очевидно,
8
что д должен лежать в пересечении (?,7г П Сук и что каждый элемент из этого пересечения годится в качестве д. Тем самым у и г инцидентны тогда и только тогда, когда смежные классы <7,/г и Сук имеют непустое пересечение. Отметим, что в случае, когда рассматриваемое пересечение непусто, оно является смежным классом подгруппы Gi П Су. Тем самым мы имеем следующее
Предложение 1.2.1. Пусть 0 - геометрия ранга п над множеством типов I = {1,2,..., гг}, и пусть С - флаг-транзитивная группа автоморфизмов 0. Пусть Ф = {#1,Ж2, •••>#«} - максима.чьный флаг в 0 и пусть С{ = - стаби-
лизатор в С. Пусть $(С) обозначает систему инцидентности, в которой элементами типа г являются правые смежные классы (7, в С и в которой два элемента инцидентны тогда и только тогда, когда пересечение соответствующих см ежных классов непусто. Тогда £ (С) является геометрией и отображение
77: у м- 6’,/г,
(где у 6 и х* = у) устанавливает изоморфизм между <5 и $(С). □
1.3. Амальгамы
Рассуждения из предыдущей секции и, в особенности, (1.2.1), приводят к следующему определению
Определение 1.3.1. Амальгама Л ранга п - это конечное множество Н такое, что для каждого 1 < г < п имеется подмножество Я, в Я и бинарная операция на Я,- такие, что выполнены следующие условия:
(1) (Я,,*,) является группой для каждого 1 < г < п;
(п) II = и”=1 Я,;
(Ш) П?в1 я,- Ф 0;
если х,у € Я, П Ну для 1 <i<j< п, то ж *,• у = х у.
9
Определенную выше амальгаму А мы будем обычно записывать как А = {Hi | 1 < i < п}. Если х ay находятся в одном Hi, то их произведение х*,у корректно определено, в том смысле, что оно не зависит от выбора i. Обычно мы будем обозначать это произведение просто через ху. Поскольку D := П"=1 Я,-непусто, легко видеть, что В содержит единичный элемент группы (Я,-,*,) для каждого 1 < i < п и, кроме того, все эти единичные элементы должны быть равны. Читатель может заметить, что более общепринятое определение амальгам в терминах морфизмов, по сути совпадает с нашим определением.
Если (G,*) -группа, ЯЬ...,ЯП - подгруппы в G и - ограничения *
на эти подгруппы, то А = {Я,- | 1 < г < п} является амальгамой. Это наиболее важный пример амальгам, но в то же время несложно построить пример амальгамы, которая не изоморфна системе погрупп в какой-либо группе. Мы будем говорить, что амальгама А изоморфна амальгаме А' = {Н[ | 1 < i < п}, если имеется биекция Я на Я', которая индуцирует изоморфизм (Я,-,*,) на (Я-,*[■) для каждого 1 < i < п.
Определение 1.3.2. Группа G называется пополнением амальгамы А = {Я, [ 1 < г < п}, если имеется отображение р>: Н G, такое, что
(i) G порождается образом ip;
(ii) для каждого 1 < i < п ограничение р на Hi есть гомоморфизм по отношению к *,■ и групповой операции в G.
Если р инъективно, то G называется точным пополнением.
Тем самым, амальгама А изоморфна семейству подгрупп в некоторой группе тогда и только тогда, когда А допускает точное пополнение. В случае, когда G - точное пополнение А, мы будем обычно отождествлять А и се образ в G.
Существует пополнение U(A) амальгамы А, называемое универсальным пополнением, такое, что каждое пополнение А является его гомоморфным образом. Группа U{А) допускает следующее описание в терминах образующих и соотношений: образующие - все элементы Я; соотношения - все равенства вида
10
хуг“1 = 1, где х и у - два (возможно равных) элемента, содержащихся в одном Н{ для некоторого 1 и г = х *,• у. Легко видеть, что и(А) является пополнением Л но отношению к отображению, которое переводит каждый элемент х € Я в соответствующий образующий элемент V(Л). Более того, если О - произвольное пополнение А по отношению к некоторому отображению <£>, то имеется гомоморфизм х : и (А) —>• (7 такой, что <р есть композиция ф и Наконец, А допускает точное пополнение тогда и только тогда, когда П(А) - точное пополнение.
Пусть 6\ 0 и параболики те же что и в (1.2.1). Тогда амальгаму А = {£,• | 1 < г < п] называют амальгамой максимальных параболических подгрупп в О, связанной с флагом Ф. Заметим, что геометрию £(£?) правильнее обозначать через ${С,А). поскольку ее структуру определяют не только С, но также А и вложение А в С. Тем самым, мы можем переформулировать (1.2.1) следующим образом.
Предложение 1.3.3. Пусть (7 - флаг-транзитивная группа автоморфизмов геометрии С} ранга п; А — | 1 < £ < п} - амальгама максимальных па-
раболических подгрупп, связанная с некоторым максимальным флагом. Пусть $(С,А) обозначает систему инцидентности, в которой элементами типа г являются правые смежные классы (7, в С и в которой два элемента смежны тогда и только тогда, когда пересечение соответствующих смежных классов непусто. Тогда $ иЯ(С,А) изоморфны. □
Отметим, что все собственные остатки в 0 определяются амальгамой А. А именно, гсв^ж,-) изоморфен £?(£,-, .4,), где А{ — {С,- П | 1 < з < п, j ф г}.
Для произвольного подмножества 7 С / = {1,2,...,гг} пусть (Я/ = П^Сг обозначает поэлементный стабилизатор в (7 флага {х, | г € ./}. Подгруппу Оэ называют параболической подгруппой ранга г, где г = |/| — |7|. Если i,j € /, мы будем писать (7,; вместо (7{,,7}. Параболические подгруппы ранга п — 1 -это в точности максимальные параболики. Параболические подгруппы ранга 1 называют также минимальными параболиками, а подгруппу В = (Я/ называют
11
подгруппой Борем. Мы будем обозначать через Pi минимальную параболическую подгруппу а через Рц - параболику 6т/\{,,;} ранга 2.
1.4. Геометрические амальгамы
Предложение (1.3.3) естественным образом приводит к следующему вопросу.
В. Пусть G - группа, —,Gn - подгруппы в G и А = {(2, | 1 < * < п}
- амальгама, образованная этими подгруппами. В каком случае система инцидентности Q = G(G, А) является геометрией, а естественное действие G на Q является флаг-траызитивным?
Ниже мы обсудим ответ на этот вопрос, данный в [Ti74].
Множество Ф = (б?1,б?2,..., G'n} является флагом в G, поскольку каждая подгруппа G{ содержит единичный элемент 6\ кроме того Ф - максимальный флаг, поскольку для 1 < i < п и g 6 G либо Gig = G{, либо Gigf\G{ = 0. Произвольное множество Ф = {Gixhi,...,Gimhm} является флагом в Q тогда и только тогда, когда GijhjC\Gikhk ф 0 для всех 1 < у, к < тп (что возможно лишь когда ij ф *’*). Мы будем называть Ф стандартным флагом, если пересечение П™_j Gi}hj непусто и содержит, скажем, элемент h. В этом случае Ф = {61,,,..., G\m}\ и тем самым, Ф есть образ под действием h некоторого подфлага в Ф. Тем самым, каждый стандартный флаг содержится в стандартном максимальном флаге, н G действует транзитивно на множестве стандартных флагов каждого заданного типа. Ясно также, что G не может перевести стандартный флаг в нестандартный. Отсюда мы заключаем, что необходимое и достаточное условие флаг-транзитивности естественного действия G на Q состоит в отсутствии нестандартных флагов.
Следующий результат может быть доказан исключительно методами элементарной теории групп (см. секции 10.1.3 и 10.1.4 в [Pasi94j).
.Лемма 1.4.1. Система инцидентности Q(G,A) не содержит нестандартных флагоь тогда и только тогда, когда выполнены следующие два эквивалентных условия:
12
(i) если J, К, L - подмножества в I, a g, h, f - элементы о G такие, что смежные классы Gjg, G^h, Gif имеют попарно непустые пересечения, то Gjg П G к h П Gif ф 0;
(И) для i,j £ I и J С I\{iJ}, если g € Gj и Gi DGjg ф 0, то Gj C\GiC\Gjg ф
0. □
Отметим, что d общем случае существование в G(G, А) нестандартных флагов зависит не только от строения А, но и от се вложения в G.
Условие связности в (1.1.1 (и)) также легко переформулировать в терминах параболических подгрупп. В соответствии со стандартным принципом граф, индуцированный Çl U G> связен тогда и только тогда, когда G порождается своими подгруппами G, и Gj. Это приводит к следующему результату.
Лемма 1.4.2. Система инцидентности Ç(G,A) удовлетворяет условию (п) в (1.1.1) тогда и только тогда, когда для каждого 2-элементного подмножества {г, _7} С I подгруппы Gi и Gj порождают G. О
Наконец, пусть К - ядро действия G на G(G,A). Легко заметить, что К -наибольшая подгруппа в подгруппе Бореля В = П”=1 G,-, которая нормальна в Gi для каждого 1 < i < п (что эквивалентно ее нормальности в G). В частности, действие G на Ç(G, А) является точным тогда и только тогда, когда подгруппа Бореля не содержит неедшшчных подгрупп нормальных в G.
1.5. Универсальные пополнения и накрытия
Тот факт, что структура остатков в G{G, Л) определяется исключительно амальгамой А, играет ключевую роль при описании накрытий Ç(G, А).
Пусть G - геометрия, G - флаг-траизитивная группа автоморфизмов G и А — {G,- | 1 < г < п} - амальгама максимальных параболических подгрупп, отвечающая действию G на Q. Тогда с одной стороны G = G {G, А), а с другой стороны G является точным пополнением А. Пусть G' - другое точное пополнение А и пусть существует отображение
V : G' G,
13
являющееся ,4-гомоморфизмом, т.е. гомоморфизмом G' на G, чье ограничение на А есть тождественное отображение. Здесь, как обычно, мы отождествляем Л с ее образами в G' и G. Следующее утверждение вполне очевидно.
Лемма 1.5.1. Во введенных выше терминах отображение G{G',A) на G{G,A), индуцированное ip является накрытием геометрий. □
В качестве G' мы можем рассмотреть универсальное пополнение U(A) амальгамы А. Следующий фундаментальный результат был доказан независимо в [PasiS5]. [TiS6] и в неопубликованной рукописи С.В. Шпекторова.
Предложение 1.5.2. Пусть G * геометрия, G - флаг-транзитивная группа автоморфизмов G и А - амальгама максимальных параболических подгрупп, связанная с действием G на Q. Тогда G(H(A),A) является универсальной накрывающей геометрии G = G(G,A). □
В силу сформулированного выше предложения флаг-транзитивная геометрия G односвязна тогда и только тогда, когда, любая флаг-транзитивная группа автоморфизмов G геометрии Ç является универсальным пополнением амальгамы максимальных параболических подгрупп, связанной с действием G на G-
Ниже приводится условие 2-односвязности геометрии.
Предложение 1.5.3. Пусть Q - геометрия, G - флаг-транзитивная группа автоморфизмов G и В = {Pij | 1 < i < j < n} - амальгама параболических подгрупп ранга 2, связанная с действием G на G- Тогда Q является 2-односвязной (как система инцидентности) тогда и только тогда, когда G является универсальным пополнением амальгамы В. □
1.6. Основные результаты
Если G - конечная группа типа Ли в характеристике р, то с ней можно связать геометрию Титса G(G) как геометрию смежных классов но отношению
14
к максимальным параболическим подгруппам, которые являются максимальными надгруппами нормализатора в С фиксированной Силовской р-подрупиы (этот нормализатор называют подгруппой Бореля). Тогда С является флаг-транзитивной группой автоморфизмов £(С). 'Гак как £(£) можно определить в абстрактных теоретико-групповых терминах, аналогичную процедуру можно применить и к спорадическим простым группам. Это приводит к максимальным [ЯЗтбО] и минимальным [ЯБ184] параболическим геометриям, наиболее естественно связанным со спорадическими простыми группами. Отмстим, что кроме параболических геометрий, имеется ряд других интересных диаграммных геометрий также связанных со спорадическими простыми группами.
Геометрии Титса характеризуются тем свойством, что в них все остатки ранга 2, являются так называемыми, обобщенными многоугольниками. Геометрии спорадических простых групп в качестве остатков ранга два наряду с обобщенными многоугольниками содержат с-геометрии (геометрии вершин и ребер полных графов), геометрию графа Петерсена, тильда геометрию (являющуюся тройным накрытием обобщенного четырехугольника порядка (2,2)) и некоторые другие геометрии ранга два.
В середине 80-х годов программа классификации геометрий Титса оказалась в центре внимания исследователей, в частности, в связи с ревизией доказательства классификации конечных простых групп (см. [Т1т84]). Представлялось естественным распространить эту программу на геометрии спорадических простых групп и попытаться охарактеризовать эти геометрии в терминах их диаграмм (эквивалентно в терминах их остатков ранга два).
Пусть О - одна из следующий спорадических простых групп: МаЛ24> Со\, М, М(24), МаХ22, Со2, ВМ и «/4. Пусть 'К(б') - максимальная параболическая геометрия С введенная в [Ш5т80] и имеющая одну из следующих диаграмм:
с-
■о
0
2
2
П(С01) :
о
2
О
С
2
2
15
ЩМ) : О-
П(М(24)) : о-
Н(Л/а<22) :
Н(Со2) :
Ч(ВМ) :
Здесь о------ —о обозначает геометрию 2- и 1-элементных подмножеств мно-
жества из пяти элементов, в которой два различные подмножества инцидентны, если они не пересекаются. В геометрии с диаграммой с=====о элемен-
2 5
тами типа 1 являются максимальные вполне изотропные подпространства в естественном симплектическом модуле V группы 5'р.|(2), а элементами типа 2 - смежные классы гиперплоскостей в К, при этом элемент 5 типа 1 и элемент II + V типа 2 инцидентны, если 5 < И. Полупрямое произведение V : вр4(2) индуцирует на этой геометрии флаг-транзитивное действие.
Ключевым шагом в программе классификации геометрий с заданными диаграммами является установление односвязности известпых примеров таких геометрий. В случае геометрий Титса односвязность была установлена в фундаментальной статье [Т182] путем доказательства того, что такие геометрии являются билдингами, а последние являются односвязнымн, фактически по определению. Помимо указанной роли вопроса об односвязности в програм-
16
ме классификации геометрий, к ней также сводятся такие фундаментальные вопросы теории групп, как вопрос о единственности и о задании группы в терминах образующих и соотношений. Односвязность геометрий Титса сыграло важную роль в классификации конечных простых групп и она устанавливает корректность представлений Стейнберга для групп типа Ли, важность которых трудно переоценить.
В [Я$т80] качестве фундаментального сформульрован вопрос об односвязности максимальных параболических геометрий, построенных в этой работе. Односвязность геометрий 'Н(б') для случая когда С изоморфна А/а<24, Сои М(й22, Со2 и J4 была установлена в работах [Ноп82], [Эе^ЗЗ], [П1п851, [ЗЬ92] и в работе автора [Ь-92Ь], соответственно. Вопрос об односвязности для максимальных параболических геометрий “больших" спорадических простых групп, а имеенно группы Фишера М(24), группы Бэйби Монстр ВМ и группы Монстр длительное время оставался открытым и представлялся ис-ключетельно сложным. Автором был разработан принципиально новый метод доказательства односвязности, основанный на рассмотрении так называемого графа пересечения подгеометрий. В рамках реализации этого метода автором был получен следующий основной результат настоящей работы (Предложения 2.8.7, 2.11.5 и 2.14.1).
Теорема 1.6.1. Пусть С - одна из следующих спорадических простых групп:
М(24), ВМ, М.
Тогда максимальная параболическая геометрия 'Н(С) группы (7 яеляется од-посьязной.
Как уже отмечалось^установление односвязности позволяет решать вопрос о единственности для соответствующей флаг-транзитивной группы автоморфизмов. В случае групп и геометрий из Теоремы 1.6.1 на этом пути была полу-чана единообразная характеризация в терминах централизаторов инволюций. В рамках классификации конечных простых групп такая характеризация была
17
аннонсирована в [Ь8177] и [Ког85], но полные доказательства не были опубликованы.
Теорема 1.6.2. Пусть С - неабелева простая группа, содержащая инволюцию ту такую что С := Сс(т) имеет вид
2++12.3 • 6Л,(3).22, 2++22.Со2 или 21+24.Со1.
Предположим, что Сс(02(С)) < 02(С) и что т° П 02(С) ^ {г}. Тогда в каждом из трех случаев С определена, однозначно с точностью до изоморфизма и изоморфна спорадическим простым группам М(24), ВМ или М, соответственно.
Каждая группа О. изоморфная М(24), ВМ или М действует флаг-траизитивно на определенной геометрии 9(0), тесно связанной с Н(О). Геометрии 0(М(24)) и 0(М) являются минимальными параболическими геометриями соответствующих групп, построенными в [118184] и описываемые, соответственно, диаграммами
Л/
с— - .=—о = о-------о
2 2 2 2
И
о О------О--------О = о,
2 2 2 2 2
в то время как 0(ВМ) является геометрией Петерсена ранга 5, построенной
автором в [Ьг87], [Ив88], описываемой диаграммой
Р
о о------о————э----------о
2 2 2 2 1
Связь между геометриями Н(0) и 0(0) состоит в том, что для 1 < 2 < 3 стабилизатор С, элемента типа г из ЩО) в группе С? совпадает со стабилизатором элемента типа г из 0(0). В то же время основной шаг в доказательство Теоремы 1.6.1 состоит в обосновании того, что О является универсальным пополнением амальгама {(?1,(?2, <Яз} соответствующих максимальных параболик. С силу сделанного замечания это доказательство влечет также следующий важный результат.
18
- Київ+380960830922