Функциональные неравенства и метрические характеристики множеств

Введение
Оглавление
3
Глава 1. Метрические свойства идеальных пространств......................7
§ 1. Основные классы идеальных пространств..........................7
§ 2. Верхние и нижние оценки норм в идеальных пространствах........18
§ 3. Непрерывность специальных вольтсрровских операторов в симметричных пространствах.....................................32
Глава 2. Функциональные и геометрические неравенства....................41
§ 4. Емкости компактных множеств...................................41
§ 5. Неравенства для функций, равных 0 на границе..................52
§ 6. Вариационная емкость проводника...............................62
§ 7. Неравенства для функций, равтгых нулю на подмножестве £2......69
Глава 3. Теоремы вложении для идеальных пространств.....................78
§ 8. Дифференциальные надстройки над идеальными пространствами 78
§ 9. Теоремы вложения для однократно дифференцируемых функций 88
§ 10. Теоремы вложения для ( раз дифференцируемых функций 103
Заключение.............................................................113
Литература • Ж11«ММ1И«МНМ11И1М(1М1*М1Н ................................115
3
Введение
Актуальность темы. В диссертации изучаются геометрические свойства идеальных пространств и функциональные неравенства типа теорем вложения. Как научное направление теория вложения классов дифференцируемых функций многих переменных возникла в работах С.Л. Соболева в связи с решением задач математической физики. Соболев определил пространства \\'р(Г2) функций, суммируемых со степенью р>1 вместе со своими
обобщенными производными до порядка £ включительно, и, используя доказанные им теоремы об интегралах типа потенциала, интегральные представления функций и свойства усреднений, установил основные соотношения между этими пространствами, называемые теоремами вложения.
В последующие годы теоремы вложения С.Л. Соболева были обобщены и усилены в разных направлениях О.В. Бесовым, Э. Гальярдо, В.П. Ильиным, С.М. Никольским, Л. Ниренбергом и многими другими учеными. Отдельные этапы развития теории вложения отражены в работах [3], [4], [101, [181, |20].
[32], [42], [45]—[48], [55], [64], [65], [67], [68], [70], [72], [77Ц79], [82], [85]-[97]. Большинство результатов по вложениям пространств \^р (О) относится к
случаю, когда область О удовлетворяет условию конуса. Однако еще до работ С.Л. Соболева были известны отдельные интегральные неравенства типа георсм вложения, справедливые при весьма слабых предположениях об области (неравенства Пуанкаре, Фридрихса, лемма Реллиха). В связи с этим возникла задача описания классов областей, принадлежность к которым эквивалентна непрерывности (компактности) оператора вложения.
Для классических пространств С.Л. Соболева \Ур'(£2) важные (в
некоторых случаях - завершающие) результаты, связанные с решением данной задачи, установлены в работах В.Г. Мазья [ 56)—[62]. Существенную роль в его
4
исследованиях играют изопериметрические неравенства между объемом и р-емкостью или р-проводимостью множеств.
В последнее время значительно усилился интерес к вариационным и краевым задачам с достаточно общими (вообще говоря, нестспенными) нелинейностями [2], [19], [37], [51], [73]. Пространства Орлнча-Соболева играют важную роль в теории краевых задач доя уравнений в частных производных с коэффициентами нестспснного роста.
Поэтому представляется достаточно естественной и актуальной задача о распространении результатов В.Г. Мазья на пространства, возникающие из классов \\,Гр(£2) путем замены пространства Ьр(0) пространством Орлича (или
более общим образом - идеальным пространством векюр-функций). Решение этой задачи требует дальнейшего развития теории идеальных пространств, в частности, существенную роль здесь играют геометрические свойства идеальных пространств, связанные с содержательным обобщением понятий верхних и нижних р-оцеиок.
Цель работы. Доказательство функциональных неравенств типа теорем апожения для идеальных пространств на основе применения емкостных и геометрических характеристик замкнутых подмножеств метрических пространств.
Методика исследования. В работе используются методы теории идеальных пространств [26}—[30], [66], признаки непрерывности специальных вольтсрровскнх операторов [8], [9], [28], [29], [70], интерполяционные конструкции [5]-|7], [24], [32], [47], геометрические неравенства
изопериметричсского тина [67], [83], связывающие меру множества с его емкостными характеристиками.
Научная новизна. Основные результаты можно резюмировать следу ющим образом.
1) Получены теоремы вложения доя нового функционального
пространства, возникающего из пространства Соболева \\'^(П) заменой класса
5
Ьр(Г2) идеальным пространством. В рассмотрение включаются идеальные
пространства всктор-функций, не сводящиеся, вообще говоря, к прямому произведению идеальных пространств скалярных функций. При £=1 установлены критерии непрерывности оператора вложения, на основе которых удастся установить соотношения вложения между соответствующими пространствами; в рассмотрение включаются области С1 весьма общею вида.
2) Введены и изучены понятия т-супераддитивности и о-субадднтивности идеальных пространств вектор-функций; ранее близкие понятия £-вогнутости и £ -выпуклости рассматривались Е.И. Бережным для пространств скалярных функций. Исследовано условие согласования норм в двух и трех идеальных пространствах. Эти условия входят в формулировки критериев непрерывности оператора вложения и справедливости естественных обобщений мультипликативных неравенств.
3) Обнаружены содержательные связи емкостных и метрических характеристик множеств, выражаемые неравенствами изопсрнмстричсского типа. При анализе соответствующих емкостных неравенств использовались разнообразные модификации понятия «емкость»: относительная емкость, вариационная емкость и др.
4) Найдены новые приложения теории вольтсрровских операторов к теории вложения. На их основе удалось рай устранить основные результаты на пространства ( раз (£>1) дифференцируемых функций.
Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории вложения, при исследовании геометрических свойств идеальных пространств, в теории нелинейных краевых и вариационных задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на межвузовской научной конференции, проходившей в Орловском государственном университете (март 1997 г.), на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач.
6
Понтрягинскне чтения 10.» (ВГУ, май 1999 г.), на семинаре В.П. Громова (Орловский ГУ, январь 1999 г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [98J [102). Структура диссертации. Диссертация содержит 123 страницы, состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, заключения и списка литературы из 102 наименований.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору B.C. Климову за постановку задач и методичное, чуткое руководство научной работой; Е.И. Бережному, Е.М. Семенову , M.JI. Гольдману, Е.И. Смирнову за внимание к работе.
7
Глава 1. Метрические свойства идеальных пространств.
§ 1. Основные классы идеальных пространств.
/./. Определение и примеры идеальных пространств. Введем некоторые понятия и обозначения. Через N обозначается множество натуральных чисел, через Ъ множество целых чисел; через К1" - т-мерное евклидово пространство точек х =(х,,...,хт), скалярное произведение ху векторов х =(х,,...,хга), (У|,-.-,Уш) определяется равенством
Х-у = х, 'Уі+...+Хт • ут, |х| = >/х■ х - евклидова длина элемента х из Ят;
СМЯ"1) (Лл>( Ят)) - совокупность непустых выпуклых замкнутых (компактных) подмножеств Кт; Г(Ят)- совокупность подпространств К'1’.
Все рассматриваемые в диссертации нормированные пространства предполагаются действительными. Через |х; Е| обозначается норма элемента в пространстве Е. Запись Е, с Е0 означает, что нормированное пространство Е,
і
непрерывно вложено в нормированное пространство Е0, включение Е^Б«, означает, что норма оператора вложения Е, в Е0 не превосходит 1. Равенство Е, = Е0 подразумевает не только теоретико-множественное совпадение Еі и Е0 , но и эквивалентность норм | • ;Н1|| и | • ;Е05 в пространствах Е, и Е„;
если же при этом || • ;Е,|| =* || • ;Е0Ц, то используется запись Е,=Е0. Через кЕ0 (к>0) обозначается пространство, для которого | • ;кН01 = к|| • ;Е0||.Если Л - линейный оператор А: Е0 -» Е,, то через || А:Е0 -> Е, | обозначается его норма.
Пусть (0,£,ц) - измеримое пространство с полной с-коиечной неотрицательной мерой ц, определенной на множествах из с-алгебры I,
8
называемых в дальнейшем измеримыми. Через 8(0, Яш) обозначается пространство почти везде конечных измеримых на О вектор-функций со значениями в Я"1. Как обычно, эквивалентные, то есть совпадающие п.в. (почти всюду) вектор-функции отождествляются; стандартным образом в 8(0,Я“) вводятся алгебраические операции сложения и умножения на действительное число. На 8(0, Я“) имеет смысл и конечна квазинорма
где у: О -> Я - положительная измеримая функция, для которой
|у(х)<1р(х)=1.
о
Квазннорма (1.1.) порождает в 8(0,Я”) метрику р, относительно которой 8(0,Ят) есть Я-пространство (23, с. 6Л\. Сходимость по его метрике эквивалентна сходимости по нормированной мере р.:Х-»Я, связанной с исходной мерой р равенством
М-(0)= |у(х)<Цх) (ОеЕ). (1.2.)
О
Иначе говоря, последовательность уп (пеИ) сходится к у в 8(0,Я"1), если
р.{х €0, |у, (х) - у(х)|> -» 0 при любом к>0. Пространство 8(О.Я“)
сепарабельно, если и только если сепарабельна мера и.
Всюду далее 10 - индикатор (характеристическая функция) множества П. Будем обозначать через Р0 оператор умножения на индикатор множества
ЭсО: Р0у = 10у.
Линейное пространство Е=Е(0,Ягп) вектор-функций класса Б(0, Яю) называют [27], [29], [30], [33], [46] нормированным идеальным пространством (НИП), если из соотношений уеЕ, сх €8(0, Я),|а(х)| < 1 р п.в. следует, что
ауеЕ и ||ау;Е||<]у;Е[. Если НИП Е полно относительно нормы [)-;!£.(, то его
9
называют банаховым идеальным пространством (БИП). Иногда символы Rm,Q буд>топускаться; так всюду- E(Q,R1) = E(Q),S(Q,R1) = S(Q).
Рассмотрим некоторые примеры БИП. Обозначим через ß(Rm) класс выпуклых [52], [68] четных функций Ф:Яга ->Е,Ф(0) = 0,Ф(4)>0при4*0. Пусть H=H(Q) - БИП скалярных измеримых относительно меры ц функций, носитель supp Н [33, с. 137] которого совпадает с 12. Сопоставим Н и функции Ф из ß(R'") совокупность вектор-функций класса S(Q,Rm), для которых имеет смысл и конечна норма
<1
С данной нормой Hc'(Q,Rm) есть БИП. Проверка аксиом нормы тривиальна; полнота пространства НФ(С2, Rm) вытекает из результатов работы [64].
Если H=L,(12) - пространство суммируемых по мере ц функций со
стандартной нормой, то Нф(12, R“) обозначают символом I ф(12,Rm) и называют пространством Орлича [29], [33], [52]. Важную роль далее траст класс ß°(R,n)cß(Rm), состоящий из функции Ф, удовлетворяющих оценке
Ф(2£)<к0Ф(£) (* е Rm,k0 < со); включение Oeß°(Rm) означает, что Ф удовлетворяет Д2-условию [46] на всем пространстве R1". Если неравенство Ф(2£) < к0Ф(£) выполняется для больших (малых) £ (|£) > г0 или j£| < г„ соответственно), то говорят, что Ф удовлетворяет Д2 -условию п окрестности со (0) [45], [94].
Помимо пространств Нф (О, Rm) далее рассматриваются некоторые обобщения пространств Марцинкевича. Пусть F = F(Q, R'“) есть БИЛ, у :[0,со)-> [0,со) - квазивогнугая [47, с. 70) функция. Обозначим через
10
1'ч, = 1^,(0, Ят) часть $(£2,1* т), состоя пгую из вектор-функций у с конечной нормой
Если Р=Е,(£2,1*.П), то Р^ совпадает с пространством Марцинкевича = Мч,(£2,1*°) [47, с. 154]. Аксиомы нормы и полнота пространства
проверяются стандартным образом.
Важную роль в дальнейшем играют пространства Лоренца. Пусть \р(1) (* 0) - возрастающая вогнутая функция на [0, со) и у(0) = 0 . Через
.^(£2,1*."') обозначается часть $(£2,1*."“), состоящая из вектор-функций, для которых имеет смысл и конечна норма
|у(*)|: £}-> Я. Доказательство полноты пространства Лоренца ЛЧ1(£2,5*'’1) и другие способы определения нормы в этом пространстве можно найти в [29],
Многочисленные примеры БИП рассмотрены в [1], [12], [15], [29], [33], [47]; некоторые примеры иллюстративного характера анализируются ниже. Сейчас же обсудим существенные для последующих построении геометрические свойства идеальных пространств.
Сопоставим БИП Е = Е(£2,1*т) его подпространство Е°, состоящее из всех элементов у, удовлетворяющих условию
для любой убывающей последовательности измеримых множеств Ц с I с пустым пересечением. Условие (1.3.) эквивалентно равенству
||у;ЛЛ= /^(И|у|(т»сЗт,
О
[33], [47].
(1.3.)