Прямые методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений и их приложение к задачам аэродинамики и физики элементарных частиц

2
ВВЕДЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
0>
§0.1. О редукции задач математической физики к сингулярным интегральным уравнениям..............................I *
§ 0.2. Необходимые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений............................................^ *
§ 0.3. Основные результаты работы.....................3<?
РАЗДЕЛ I
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ
коши...................................................
ГЛАВА 1.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СИУ) НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ КРИВОЙ....................................................
§ 1.1. О корректной постановке задачи решении
характеристического уравнения........................................... **
§ 1.2. О построении решения СИУ, имеющего заданный порядок на бесконечности................................т ”
§ 1.3. Свойства сингулярных интегральных операторов А'0, В. К** и В'............................................52-
§ 1.4. О корректной постановке задачи решения полного уравнения............................................6 *•
§ 1.5. Прямые методы приближенного решения СИУ на произвольной кусочно-гладкой кривой........................... от
ГЛАВА 2.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.................................. 88
§ 2.1. Свойства действительных интегральных операторов и действительные уравнения..................................88
§ 2.2. О корректной постановке задачи решения действительного сингулярного интегрального уравнения................. 8\
§ 2.3. Многочлены, ассоциированные с действительными сингулярными интегральными операторами на (-1,1)............^ ^
§ 2.4. Вычислительные схем ы решения характеристического ура в-
3
пенил......................................... 1о?
§ 2.5. Прямые, методы приближенного решения полных действительных уравнений..............................\Л^-
ГЛАВА 3.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ СНУ 1-ГО РОДА С
РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ НА ОТРЕЗКЕ И СИСТЕМЕ ОТРЕЗ-
ков.....................................................I
§3.1. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши ..............................................
§ 3 2. О саморегуляризации задачи вычисления сингулярных- интегралов с ядром Коши и Гшгьберта в метрике С ..1 2.&
§ 3.3. Об устойчивом в метрике С приближенном решении сингулярных интегральных уравнений, разрешимых в замкнутой форме ..........................................444
§ 3.4. Приближенное решение характеристического сингулярного интегрального уравнения..............................1 «®
§3.5. Приближенное решение полного сингулярного интегрального уравнения ................ ........................
§ 3.6. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на системе отрезков \ 6 ^
ГЛАВА 4.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРО-
ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СИДУ) С ЯДРОМ КОШИ
§ 4.1. Задача Коша для интегро-дифференциального уравнения 4 6 $
§ 4.2. СИДУ разрешимые в замкнутой форме............. (Т 4
§ 4.3. Прямые методы приближенного решения. СИДУ.....\ ? 3>
ГЛАВА 5.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ К МАЛЫМ ИЗМЕНЕНИЯМ ИСХОДНЫХ
ДАННЫХ ^ 9 4
§5.1. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на отрезке с равноотстоящими узлам и ::.л$ч
§ 5.2. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на отрезке с неравномерным распределением узлов....^9^
§ 5.3. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на окружности.....................................£.40
§ 5.4. О построении статистических решений СИУ со случайной правой частью..........................................£44
4
§ 5.5. О построении статистических решений СИУ со случайным интегральны.^ оператором............................ П6
РАЗДЕЛ II
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АЭРОДИНАМИКИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ И ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ..................................................Я>5
ГЛАВА 6.
ОБТЕКАНИЕ ПАРАШЮТОВ, ДЕЛЬТОПЛАНОВ И БЛИЗКИХ К НИМ АППАРАТОВ * МАЛОЙ АВИАЦИИ”..............................£3«
§ 0.1. Постановка задачи 7$ *
§ 6.2. Численный метод решения линейного уравнения...." и 1
§ 6.3. Численный метод решения нелинейного уравнения......~
§ 6.4. Примеры расчетов................................Q.HO
ГЛАВА 7. qç»
ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА УМЕРЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.......................
§7.1. Обтекание изолированного профиля................
§ 7.2. Моделирование движения профиля, у поверхности раздела ^
с]>ед л OvU
§ 7.3. Обтекание конечной решетки телесных профилей...
§ 7.4. Нестационарное обтекание профиля...............
§7.5. Обтекание профиля со скольжением................" а
§ 7.6. Примеры расчетов ^ ITT
§7.7. Моделирование телесности крыла конечного размаха Ъ »г
ГЛАВА 8.
ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА С ЭЛЕМЕНТАМИ МЕХАНИЗАЦИИ
........................................................
§ 8.1. Обтекание профиля с закрылком и предкрылком........^
§8.2. Обтекание, разрезного крыла......................
ГЛАВА 9.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬ- -
НЫХ УРАВНЕНИЙ ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ................
§9.1. Приближенное решение интегрального уравнения фоторо- , ждения я - мезонов на нуклонах.......................
§ 9.2. Приближенное решение интегрального уравнения Тер-
аМ
—Мартиросяна - Скорнякова........................
ДОПОЛНЕНИЕ............................................
5
Программная реализация прямого метода механических квадратур для СНУ с переменными коэффициентами на отрезке З.7.У.
ПРИЛОЖЕНИЕ............................................
7.0, Сх
Основные сокращения и обозначения.....................г.....
ЛИТЕРАТУРА ....................................
6
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая работа посвящена численному решению интегральных уравнений, иосжикающих при математическом моделировании задач стационарной и нестационарной аэродинамика дозвуковых скоростей проницаемых и телесных поверхностей и физики элементарных частиц. Она содержит основные результаты, полученные автором в течение последних пятнадцати лет.
Задачи аэродинамики дозвуковых' скоростей вихревым методом [20. 21. 16) сводятся к интегральным уравнениям 1-го и 2-го рода: плоские задачи - к уравнениям с ядром Коши, интегралы в которых понимаются в смысле главного значения; пространственные задачи - к уравнениям с интегралами понимаемыми в смысле коленного значения по Адамару. Так как рассматриваемые нами интегральные уравнения кроме аэродинамики и физики элементарных частиц применяются во многих других областях науки и техники, предлагаемые в диссертации численные методы могут быть использованы и используются при решении не только задач аэродинамики и физики элементарных частил . Некоторые из таких задач приводятся в тексте диссертации или в со приложении. 'Гак. например, результаты первой и третьей глав, посвященные приближенному решению СИУ на системе отрезков, стали основных« вычислительным аппаратом для целой научной школы, созданной на кафедре математической физики Харьковского университета [44. 41, 42. 43, 99, 45. 46. 47. 46]. где решаются задачи теплофизики, электродинамики и дифракции волн на плоских решетках с помощью сведения их к СИУ па системе отрезков. Одпако основным обг* гктом и целью нашего исследования было построение численных методов решения интегральных уравнений конкретных задач аэродинамики и физики элементарных частиц, что нашло свое отражение в названии работы. Предлагаемая работа состоит из двух разделов, приложения и дополнения. В первом разделе исследуются линейные сингулярные интегральные уравнения и рассматриваются приближенные методы их решения. Второй раздел посвяшен применению этих методов к задачам аэродинамики и физики элементарных частиц. В приложении приводится краткий перечень сокращений и обозначений используемых в тексте диссертации, а в дополнении предлагается краткое описание пакета програмх! приближенного решения СИУ, основанного на прямых методах изложенных в диссертации. Эффективность программной реализации изложенных методов иллюстрируется численными расчетами на примере конкретных уравнений.
В настоящее время имеется большое число научных сгатей, посвяшеншпх прибли женному решению сингулярных интегральных уравнений. Многие из них условно можно разбить на две группы:
1) работы чисто теоретического характера, в которых строятся вычислительные схемы и исследуются вопросы их сходимости и устойчивости;
2) работы, посвященные численному решению конкретных СИУ. возникающих в приложениях.
Авторы первой группы работ, как правило, далеки от проблем численного решения
7
конкретных прикладных задач, они рекомендуют решать "как надо", но не всегда то. что необходимо, а лишь то, что подучается или кажется пм интересным. Авторы второй группы решают то, что нужно, но не всегда так, как надо.
Однако с усложнением прикладных задач и в связи с развитием вычислительной техники появилась острая потребность в создании научных групп, состоящих из математиков и научных сотрудников, использующих математический аппарат для построения и обоснования эффективных вычислительных схем решения конкретных прикладных задач и доведения их до численной реализации. Автор настоящей диссертации является членом одной из таких групп, созданной в НИИ А нм. Н.Е.Жуковского для решения задач аэродинамики методом дискретных вихрей (МДВ). К работам по приближенному решению СИУ придерживающимся нашего принципы: "Решать то. что нужно и так, как надо!” следует от нести [57. 59. 65, 101. 41. 105. 77] в рял других. МЛ В по существу является разновидностью метода граничных элементов решения задач аэродинамики дозвуковых скоростей. Граничные элементы в нем имеют наглядное аэродинамическое толкование. Но этой причине аэродинамики по началу даже не до кониа понимали, какие граничные интегральные уравнения они решают. Первое обстоятельство (наглядность) позволило распространить этот метод на широкий класс задач аэродинамики, второе - вызвало беспокойство отсутствием его математического обоснования. В методе дискретных вихрен поверхность обтекаемого тела заменяется непреывным вихревым слоем пепэвестпой интенсивности. Введенный вихревой слой является аэродинамической моделью Процесса обтекания тела. Он призван индуцировать в окружающей среде иоле скоростей, равное полю скоростей индуцируемому обтекаемым телом. Таким образом задача сводится к определению интенсивности введенного вихревого слоя. Для этого непрерывный вихревой слой и след за ним аппроксимируются системой дискретных вихревых нитей (вихрей). На теле выбираются точки, называемые расчетными. в которых требуется выполнение граничных условий: в них сумма нормальных х поверхности тела составляющих скоростей, индуцируемых дискретными вихрями и набегающим потоком, равна пулю или скорости протекания. Задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для искомой интенсивности дискретных вихрей. Требуемый класс решений (режим обтекания) выделяется соответствующим выбором места расположения дискретных вихрей и расчетных точек. Проиллюстрируем это на задаче обтекания крыла бесконечного размаха. Крыло считается бесконечно тонким, его сечение плоскостью Оту представляет собой отрезок [-1.1] (Фиг.1). К тем кромкам крыла, где искомая интенсивность вихревого слоя обращается в бесконечность, дискретный вихрь располагается ближе, опережая расчетную точку. А от тех кромок, где интенсивность вихревого слоя должна быть ог раничена, дискретный вихрь удален дальше, ограждаясь от кромки расчетной точкой (см. Фиг.1).
8
СХЕМА МДВ РАСПОЛОЖЕНИЯ ВИХРЕЙ И РАСЧЕТНЫХ ТОЧЕК
<•>
7(-1) = ос 7(1) = О
«о
Фиг. 1
— точки расположения дискретных вихрей X — расчетные точки, в которых выполняются граничные условия
(а) — режим бесциркуляционного обтекания
(б) — режим циркуляционного обтекания
(в) — режим безударного обтекания
9
Именно в таком виде был сформулирован метод дискретных вихрей в 1955 году в докторской диссертации С.М.Бедоперковского [20]. МДВ позволил с единой точки зрения моделировать линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные задачи аэродинамики и гидродинамики как для простейших тел. так и для компано вок в целом. Численные расчеты, проводимые в ВВИЛ им. II.Е.Жуковского. ЦАГИ и в других институтах и конструкторских бюро, давали хорошее согласование с экспериментальными данными.
Математическое обоснование МДВ для стационарных и нестационарных задач аэродинамики тонкого непроницаемого профиля и тонкого непроницаемого крыла конечного размаха было подучено И.К.оІифаиовьім в его докторской диссертации (за подробным его изложением мы отсылаем к монографиям (16. 99]). В (16- 99] показано. что системы линейных алгебраических уравнений метода дискретных вихрей аппроксимируют сингулярные интегральные уравнения первого рода. Искомой функцией в сингулярных интегральных уравнениях является интенсивность непрерывного вихревого слоя. Эти системы невырождеиы и их решения сходятся к решениям соответствующих СИУ. Автором настоящей диссертации установлено, что МДІЗ решения плоских задач аэродинамики обладает свойством
авторегуляризации !(см. главу 5). После математического обоснования и обобщений метод дискретных вихрей решения СИУ 1-го рола паходит свое применение в смежных областях: в плоских задачах теории упругости [18. 16. 99]. электродинамике и теплофизике (44, 41. 42, 43] (см. главу три). Затем идеи МДВ были распространены на линейные одномерные СИУ 2-го рода с действительными постоянными коэффициентами. Это позволило И.КЛифанову и Л.А.Саакяну применить их к решению контактных задач о вдавливании равномерно движущихся штампов [104].
При математическом моделировании задач аэродинамики проницаемых и телесных поверхностей мы приходим к СИУ 2-го рода с перехшнными коэффициентами, для которых указанные выше вычислительные схемы перестают работать. Попытки азродинахіиков аппроксимировать сингулярный интеграл без должного согласования с аппроксимацией внеинтеградьного слагаемого были хпыоэффективными для численного решения таких уравнений (результаты расчетов см. в дополнении к диссертации). Форх<альньш перенос вычислительных схем для СИУ 1-го рода на СИУ 2-го рода приводил к большим погрешностям на границе и давал х<едленнук> сходимость внутри области интегрирования.
Назрела необходимость построения эффективных вычислительных схем решения СИУ 2-го рода с переменными коэффициентами. Построение, обоснование и реализация на ЭВМ таких вычислительных схем и занимают основное место второй главы диссертации. Первая наша работа в этом направлении была опубликована в 1983 году (103]. В ней предлагается прямой метод приближенного решения линейного одномерного СИУ 2-го рода с действительными переменными коэффициентами на отрезке в случае, когда коэффициент при сингулярном интеграле является мно-
1 Тернии авторці.уляризаиии (саморегудлриэаияи) введен в работах Д.ІІ. Тихоном. В.И,Дмитриева и Е В Захарова [58. 173], см. также [33].
ю
гонлсыом. Именно с таким уравнением приходится иметь дело при моделировании методом дискретных вихрей задачи обтекания проницаемого профиля. Циркуляционная задача обтекания проницаемого профиля приводит к уравнению с нулевым индексом, интегральное уравнение бесциркуляционной задачи имеет индекс гг > 0. при безударном обтекании профиля индекс гг < 0. Суть предложенного метода состоит в дискретизации исследуемого уравнения. В результате получается система линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей, своей для различных значений индекса СИУ ге. Метод построения алгебраических систем уравнений использует идеи МЛ В и. по существу, может рассматриваться, как обобщение его на случай СИУ с переменными коэффициентами. Дискретизация основана на аппроксимации искомого решения интерполяционным многочленом Лагранжа с последующей кодлокацией полученного функционального уравнения. При этом используются два множества ортогональных многочленов (обобщенных многочленов Якоби), корни которых служат узлами интерполяции и точками коллокации. Отмстим, что вопросы построения приближенного решения изучаемого СИУ с применением указанных многочленов рассматривались ранее в работах Д.Эллиотта и М.Доу. (186. 187, ISO). Д.Эллиотт и М.Доу сводили задачу решения СИУ к системе линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей размерности [т — а?) х ш. совпадающей с нашей при ж = 0. Не исследуя вопроса о выделении единственного решения при положительном индексе и вопроса об удовлетворении условий разрешимости при отрицательном индексе, Д.Эллиотт и М.Доу приводят ряд достаточных условий, характеризующих сходимость приближенного решения к точному. Важное место в указанных работах занимает результат, полученный Д.Эллиот том (188), в котором он устанавливает тесную связь между характеристическим сингулярным интегральным оператором (СИО) данной задачи и системой обобщенных многочленов Якоби соответствующих весовой функции ассоциированной с этим интегральным оператором. При этом под соответствием обобщенных многочленов Якоби данной весовой функции понимается, что последняя является тем самым весом, по которому данные обобщенные многочлены Якоби ортогональны на (-1.1). Д.Элл йот том было доказано, что если коэффициент при сингулярном интеграле является многочленом ст епени гх > 0. то характеристический СИО дайной задачи Переводит произведение ассоциированной с ним весовой функции на соответствующий ей обобщенный многочлен Якоби в обобщенный многочлен Якоби соответствующий весовой функции, ассоциированной с союзным интегральным оператором. Причем указанные соотношения выполняются для обобщенных многочленов Якоби, степень которых больше яеко торого натурального числа, зависящего от гх и индекса исходного СИО. Частным случаем этого результата является хорошо известный ранее факт (77. 176] о редукции сингулярным интегральным оператором 2-го рода с постоянными коэффициентами классических многочленов Якоби друг в Друга или, » частности, о редукции сингулярным интегралом многочленов Чебышева 1-го рода в многочлены Чебышева 2-го рода (формула Глауэрта). Отправным моментом в рассуждениях Д.Э-тлиотта является тезис о том. что. зная весовые функции ассоциированные с данным СИО и с союзным с ним оператором, мы сможем определить соответствующие им обоб
11
шенные многочлены Якоби и их корни из трехчленного і>екурентного соотношения, известного в теории ортогональных многочленов. Корни этих обобщенных многочленов Якоби используются в качестве точек интерполяции и коллокации. а сами многочлены входят в выражения для коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений дискретной задачи, соответствующей исходному СИУ. Обогащая результаты Д.Эллиотта и М.Доу идеями МДВ. нах< в (103] удалось построить метод приближенного решения СИУ для проницаемого профиля во всех режимах обтекания: бесциркуляционного обтекания (ж > 0). циркуляционного обтекания (ж = 0). безударного обтекания (а? < 0). Построениная нами вычислительная схема отличалась от работ Д.Эллиотта и М.Доу тем. что мы выделяли единственное решение исходного СИУ при « > 0 и вводили необходимое число регуляриэирующих неизвестных при аг < 0. что давало нам однозначно разрешимую систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. При численной реализации схемы, предложенной в нашей заметке [103]. аэродинамики столкнулись с большими вычислительными трудностями, которые, как выяснилось, присущи и работам Д.Эллиотта и М.Доу. Дело в том, что наша вычислительная схема, также как и методы. описанные Д.Эллиоттом и М.Доу. использовали в качестве точек дискретизации корни обобщенных многочленов Якоби. Точное нахождение этих корней, за редким исключением, невозможно. А значит, вычислительная схема не может быть реализована. Или, по крайней мере, нуждается н уточнении и в анализе на устойчивость к возмущениям точек дискретизации. Заметим, что сингулярный интегральный оператор не ограничен в метрике С. Кроме того, коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующей СИУ. сами определяются через эти обобщенные многочлены Якоби. Таким образом, для реализации вычислительной схемы необходимы значения обобщенных многочленов Якоби и их корней. Данное обстоятсльство вызвало желание освободиться от требования специального выбора точек дискретизации и замены обобщенных многочленов Якоби на более подходящие. Техс более, что численные расчеты, проводимые нами на модельных примерах, показывали, что такой подход приводит к хорошим результатам. Потребность освободиться от специального выбора точек лиск|>етизации была реализована в наших последующих работах (118. 120. 121. 7]. в которых предложен прямой метод приближенного решения СИУ для Проницаемого профиля без специального выбора точек дискретизации. Это удалось сделать в силу того, что [118] указанный нами выше важный результат, полученный Л.Эллиоттом, остается в силе и при захісне обобщенных многочленов Якоби па произвольные многочлены. Другими словами, если коэффициент При сингулярном интеграле является МПОГОЧДЄНОМ степени Г| > 0. то характеристический СИ О 2-го рода переводит произведение ассоциированной с ним весовой функции на произвольный многочлен в некоторый многочлен, ко торый может быть ощкгделен конструктивно. Последнее замечание является существенным, т.к. конструктивное определение указанного нами многочлена необходимо для задания коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений аппроксимирующих наше СНУ. Полученное нами конструктивное доказательство этого утверждения позволило освободиться от излишне жестких условий па точки дискретизации.
12
Таким образом, если в предложенной ранее схеме в качестве точек дискретизации использовались корни обобщенных многочленов Якоби, то теперь в качестве таких точек можно выбирать, например, корни многочленов Чебышева. На основе полученной нами новой вычислительном схемы в ВВИЛ им. Н. К. Жукове кого был создан комплекс программ для приближенною решения СИУ уравнении аэродинамики [125]. После опубликования работ Л Эллнотта, М.Доу (186, 187. 188. 189] и наших эа-хсеток [103. 118. 120. 7. 121] появляется большое число статей (см., например, работы П.Юнганнеа (19*2. 193. 194). Б.М.Мусаева [143, 138. 140. 141]. Габдулхаева [39]. М.А. Шешко [182]. П.Юнганнеа и В.Сильбермайиа [195] и др.) посвященных обоснованию вычислительных схем для СИУ с переменными коэффициентами в различных метрических пространствах. Во всех этих работах точками дискретизации являются корни обобщенных многочленов Якоби, а коэффициент при сингулярном интеграле равен многочлену пли единице. В силу сказанного выше, результаты этих статей для уравнений с переменными коэффициентами носят сугубо теоретический характер. т.к. используемые ими узлы интерполяции и коллокацин находятся явно лишь в случае СИУ с вещественными постоянными коэффициентами. Таким образом, переход к развитию вычислительных схем решения СИУ без специального выбора точек дискретизации стал выгодно отличать наши исследования от работ других авторов своей практической направленностью. Такой подход дает возможность при построении вычислительной схемы болсс полно учитывать специфику поведения правой части и регулярного ядра, а также снимает часто непростую задачу вычисления корней указанных выше ортогональных многочленов. Колее того, он позволил обобщить полученные нами результаты для действительных СИУ на отрезке на случай комплексного СИУ на произвольной кусочно гладкой кривой. Такое обобщение также опирается на свойство сингулярного интегрального оператора (СИО) переводить произведение весовой функции на многочлен в новый многочлен. Только в случае комплексного СИО на произвольной кусочно-гладкой кривой I, в этом свойстве действительные многочлены следует заменить на обобщенные комплексные ПОЛИНОМЫ вида
РтА*) := Е + Е 77~уГ ' я *1-
*=•) л-ї\ У*
Такое свойство для комплексного СИО на произвольной кусочно-гладкой кривой установлено в (7. 8]. При этом, полученный при отображении обобщенный полином определяется конструктивно (более подробно см. об этом в главе I). Моделирование методом дискретных вихрей задачи обтекания телесного профиля приводит к потребности численного решения линейного одномерного СИУ с переменными действительными коэффициентами. Коэффициент при сингулярном интеграле в этом уравнении не является многочленом и обращается в ноль на концах отрезка интегрирования как степенная функция с дробным показателем степени. Это обстоятельство не позволяет использовать вычислительные схох(ы. указанные нами выше.
Для построения новой вычислительной схемы надо было усилить упомянутый ранее результат Д.Эллиотта. обобщив его на случай СИО с произвольным действительным переменным коэффициентом при сингулярном интеграле. Это нам удалось.
13
Оказалось [123.129]. что для достижения этой пели надо несколько изменить весовые функции. При этом СИО также переводит один ортогональный многочлен в другой. Усилив результат Д.Эллиотта, мы построили вычислительную схему для СИУ с переменными действительными коэффициентами, к которому сводится задача об-текаиия телесного профиля. Эта вычислительная схема била применена также для решения нестационарной задачи обтекания телесного профиля. Далее этот результат был перенесен на комплексное СИУ на произвольной кусочно-гладкой кривой, у которого мы теперь нс требуем, чтобы коэффициент при сингулярном интеграле был многочленом (129. 197]. Как известно решение любой математической задачи начинается с исследований на корректность со постановки. Это особенно касается СИУ как первых представителей нстеровых операторных уравнений. При численном решении сингулярных интегральных уравнении возможно нарушение всех трех условий корректности по Адамару. Поэтому, рассматривая СИУ. мы нуждаемся в применении методов регуляризации, которые в нашем случае обычно заключаются в доопределении задачи и/или во введении регуляризируюших неизвестных. Для характеристического уравнения задача регуляризации решена полностью [103. 118. Г20. 121. 7]. Подход предложенный для характеристического уравнения использовался и для регуляризации полного СИУ. Однако, это было возможно лишь при введении дополнительных излишне жестких ограничений. Эти ограничения вводились во всех известных автору работах по приближенному решению полных СИУ. Проверить их выполнение очень трудно. В (197. 135|, а также в первых двух главах диссертации указываются примеры полных СИУ, для которых такой подход регуляризации приводит к посторонним решениям. Методы регуляризации полного СИУ. снимающие эти ограничения, предложены в (135). Они позволили нам построить и обосновать вычислительные схемы решения полных СИУ (см. главы I. II), которые нельзя было решить известными ранее математически обоснованными приближенными методами. К ним. в частности, относятся задачи решения полных СИУ попадающих на спектр. Суть этих методов регуляризации состоит в том. что решением или квазирошением 2 исследуемого полного уравнения считается функция, удовлетворяющая всегда однозначно разрешимой системе интегральных уравнений, которая получена из исходного СИУ путем доопределения и/или введения регуляризируюших неизвестных. Из решения этой системы интегральных уравнений по найденным значениям регуляризируюших неизвестных определяется: г разрешимо ли исходное СИУ V В случае, когда разрешимость исходного СИУ нарушена только за счет малой пог решности исходных данных, что соответствует малым значениям регуляризируюших неизвестных, полученное квазирешение будет мало отличаться от решения СИУ от »ечающего неизвестным нам точным значениям исходных данных. Установленное нами свойство характеристического СИО переводить произведение весовой функции на многочлен (или обобщенный полином) в новый многочлен (иди обобщенный полином) обеспечивает интерполяционную степень точности, рассматриваемым нами вычислительным схемам решения СИУ. Лля обо-
2если исходное СИУ ве рээр«ишмо
14
снования этих вычислительных схем для произвольных непрерывных по Гель деру функций мы использовали вариант общей теории приближенных методов решения линейных уравнений Л.В.Канторовича, описанный в [175]. В [175} за приближенное решение линейною операторного уравнения
Ах = у (0.1)
с оператором А непрерывно обратимым на паре банаховых пространств (А, У) принимается точное решение другого линейного уравнения
Ая л„ = уп: (0.2)
где, для каждого натурального п. оператор А„ действует на тон же паре банаховых пространств (А'. V). причем, при п -> ос выполняются соотношения:
1) Д„Л := |И„ - Д|| -Ю , (0.3)
2) До:0*/ := И?» - !/||у -* 0- (0.4)
Б качестве уравнения (0.1) к нашем случае используется система интегральных уравнений. в которую перейдет исходное СИУ после его доопределения и регуляризации. А в качестве уравпения (0.2) мы используем систему, полученную из (0.1) после ин
т ср поля ц нон ной аппроксимации в ней правой части, регулярного ядра и искомого
решения. Свойство СИО переводить г хшогочлен в многочлен* позволяет рассматривать построенное нами операторное уравнение (0.2) на той же паре пространств,
что и уравнение (0.1). При этом, соотношения (0.3) и (0.4) будут выполняться, если
точки дискретизации выбраны гак, что интерполяционные процессы, аппроксимирующие правую часть и регулярное ядро, будут сходиться для каждой неирорвной по Гельдеру функции. Оцсиквая скорость сходимости приближенного решения к точному решению ис ходного СИУ в нормах пространства L2 с весом и учитывая, что. при определенном выборе весовых функций, сингулярный интеграл ограничен в Ц с весом, нам удается применить к рассматриваемым схемах« общую теорию приближенных методов, описанную в (175]. При этом точки дискретизации следует выбирать таким образом, чтобы произведение постоянной Лебега на панлучшее приближение исходных данных многочленами было бесконечно малым при бесконечном увеличении числа узлов дискретизации. Последнее заведомо будет выполняться, если в качестве точек дискретизации выбрать корни хжогочленов Чебышева 1-го рода. И последующих двух главах первого раздела диссертации рассхсатриваются прямые методы решения СИУ па отрезке и системе отрезков с разрывной правой частью, а также прямые методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Далее в главе 5 исследуются вопросы устойчивости полученных решений к хеа.илм изменениям исходных данных. В разделе 2 построенные вычислительные схемы применяются к решению задач аэродинамики и физики элементарных частиц. Б § 0.1 рассмотрим примеры прикладных задач сводящихся к СНУ.
15
§ 0.1. О редукции задач математической физики к сингулярным интегральным уравнениям
Пристальный интерес к развитию численных методов решения СИУ объясняет ся широким кругом задач сводящихся к уравнениям такою вида. Хорошо известны сингулярные интегральные уравнения теории упругости носящие имена Н.И.Мусхелишвкли. Д.И.Шермана. Дж.Лауричсдди. Широк диапазон прикладных задач сводящихся к уравнению Пркндтдя. известного так же. как уравнение крыла самолета. Сингулярным интегральных! уравнениям, сводящимся к задачам теории упругости, посвяшсны монографии Н.И.Мусхслишвили [145]. А.И.Каландия [73]- В.З.Иартона и П.И.Перлнна [151]. Многочисленные примеры прикладных задач аэродинамики, теории упругости, электродинамики и дифракции волн, решаемых методом СИУ. приводятся в монографиях С.М.Брлоцерковского. И.К Лифанова (16. 185] и С.М.Белоиерковского. М.И.Нмшта ('22]. В книгах И.КЛифанова (99. 196] рассматриваются вопросы сведения краевых задач математической физики и некоторых прикладных областей к СИУ методам потенциала. В монографии авторов В.В. Панасюк. М.П.Саврук, Д.П.Дэнышин [н$] к сингулярным интегральным уравнениям сводятся задачи теории упругости, теплопроводности и термо-упругости для тел ослабленных системой трещин. применению метода СИУ к задачам теории дифракшш посвящены монографии авторов: В.В.Панасюк. М.П.Саврук. З.Т.Назарчук (149]. Е.В.Захаров, Ю.В.Пименов [68]. Д.Колтон. Кресс [80] с дополнением 10.Л.Еремина и Е.В.Захаяна. Вопросы применения СИУ к задачам теории массового обслуживания обсуждаются в монографии Дж.Коона и О.Боксмана [81]. В обзорной статье И.К.Лифанова и Е.Е.Тыртьшшикова (105) приводятся примеры прикладных задач сводящихся к СИУ и изучаются эффективные быстрые алгоритмы их решения, основанные на том. что квадратурные методы решения исследуемых уравнений приводят к системам с: матрицами специального вила. Многочисленные примеры смешанных краевых задач теплопроводности, дифракции волн на ^щетках. задач электродинамики и электростатики сводящихся к СИУ на системе отрезков рассмотрены в работах Ю.В.Ганделя и его учеников (41, 42. 43. 45. 16. 47. 48]. Ниже приводится ряд конкретных примеров сведения теоретических и практических задач к линейным одномерным сингулярным интегральным уравнениям или к системам таких уравнений.
Плоские задачи аэродинамики. Как уже упоминалось во введении все важные с точки зрения аэродинамики характеристики крыльев большого удлинения вычисляются с помощью так называемой теории крыла бесконечного размаха или профиля. При моделировании обтекания профиля методом дискретных вихрей его поверхность заменяется непрерывным вихревым слоем неизвестной интенсивности. Задача сводится к нахождению такой интенсивности вихревого слоя, чтобы он индуцировал в окружающей среде ноте скоростей равное полю индуцируемому обтекаемым профилем. Интенсивность находится из граничных условий, вид которых зависит от свойств обтекаемого профиля и исследуемого режима обтекания. При-
16
меняя формулу Био-Савара ИЗ граничных условий получим СИУ
і
а(х0Ь{*о) + + / K(xo.*h(x) dz = ^(х0)
Т 11 Х ~ Х0 -І
относительно искомой интенсивности вихревого слоя ^(х). Задача обтекания гонкого непроницаемого профиля сводится к характсриетичгскохіу сингулярному интегральному уравнению первого рода. т.е. а(хо) = М(хо.х) ~ 0.6{хо) — Режимам бесциркуляционного, циркуляционного и безударного обтекания профиля отвечают решения СИУ индекса ге = 0. я* = 1. а? = -1 соответственно. Задача обтекания профиля у раздела сред приводит к полному СИУ первого рода, т.е.
а{ х0) = 0. А/ (хог *) = *° Х
2х[{хо-х)* + 16А*] г
где h расстояние от профиля до границы раздела сред. При рассмотрении цро-филя оснащенного закрылком и/или предкрылком правая часть СИУ будет иметь разрывы первого рода. Задача обтекания равномерно проницаемого тонкого профи ля приводит нас к СИУ второго рода с коэффициентом при сингулярном интеграле равном единице, т.е. а(хд) ^ 0, Ь[хо) 5 1. В случае неравномерно проницаемого профиля искохіая интенсивность 'у(х) находится из нелинейного СИУ вида
Fh,*o)+ / ^l,Xj<iz + f M{zo,x)*f(x)dx = 1>[xо).
-і X“X0 'і
Задача обтекания телесного непроницаехюго профиля приводит к линейному СИУ второго рода с переменными коэффициентами у которого коэффициент при син-гулярнох« интеграле является произвольной функцией непрерывной по Гельдеру на [-1,1]- В частности СИУ задачи обтекания симметричного телесного профиля имеет вид
фоЬ(*о) + —'Г<1^|(-- f 2І£МГ + Г M(x0.xh(x)</x = M*o)Vi(*o), (0.1.1)
7Г SX — Jo X У
-1 -І
где br[xо) - ХШОГОЧЛСН степени Г > 0. а функция 6|(хо) ихіест конечное число нулей на [-1.1]. С прихсенснпем пряхсых численных методов решения действительных СИУ. построенных в главах II и III. к описанным выше задачам аэродинамики можно познакомиться во втором разделе данной диссертации.
Смешанные краевые задачи математической физики, сводящиеся к СИУ на системе отрезков. И качестве примеров смешанных краевых задач для уравнений Лапласа сводящихся к СИУ на системе отрезков рассмотрим три краевые задачи [44]: задачу о стационарном распределении техшератур в однородной среде, двухгерную задачу о стационарном распределении температуры в однородном сдое между двух(я параллельными плоскостями и двумерную задачу о стационарном распределении температуры в однородном слое ограниченном "двойной решеткой*.
17
Задача о стационарном распределении температуры и однородной СРЕДЕ. Рассмотрим задачу о стационарном распределении температуры в однородной среде между двумя бесконечными коаксиальными цилиндрическими поверхностями в случае, когда на внешней поверхности и на части внутренней, состоящей ira конечного числа продольных полос, поддерживается температура, а на оставшейся части внутренней поверхности задан тепловой поток.
Пусть оси цилиндров совпадают с осью z декартовой системы координат, а сечение плоскостью ХОУ - колыю с внутренним радиусом 1{л и внешним Ні. Введем в плоскости сечения поляризованные координаты г, у. Внутренняя цилиндрическая поверхность разбивается на две системы продольных полос:
{г = Д|, Є Е". -ос < z < 4-ос} и {г = Ri, € Е, -ос < г < -Рос} , где
-х < о, </?,<...< < Зт < X Е= Г/{ак,,вк), Е‘ = [-я.х] \ Е.
к* 2
Ограничиваясь случаем, когда температура не зависит от г. обозначим температурное поле между цилиндрами и = н(г.у?) . Н{ < г < Я2.
Для его определения в рассматриваемом случае имеем краевую задачу:
Дм = 0 /?і < г < /?2
= 0 поддерживается
г = /?2
постоянна.*
= 0 .у? € Ел температура
г-Я,
дм = /(у?) : у? € Е задан тепловой
дг г = /?1 поток
где / - заданная гладкая функция, а и = м(г.у:). /?, ^ г ^ /?2 ищется в классе два-
жды непрерывно дифференцируемых внутри кольца и непрерывных до ею границы функций.
Двумерная задача о стационарном распределении температуры в однородном СЛОЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ. К СИУ можно свести и ряд смешанных краевых задач в плоском слое в случае, когда искомое решение - иереодическая функция одной из декартовых координат. Простейшей задачей такого типа является двумерная задача о стационарном распределении температуры в однородном слое между двумя параллельными плоскостями, когда на одной из них и на периодически повтояюшейся системе полос второй граничной плоскости поддерживается заданная температура, а на оставшейся части границы задан тепловой поток. Для определения температурного поля и = и(х, 2), -ос < т < ос, имеем такую краевую задачу:
18
температурное no.ee и = и(х. г) = и(х + 2тг. г).
Ли = О
ОС < X < +ОС , 0 < 2 < И
и
подде рживастся
г = Я
постоянная
= 0 . а- € Е'
температура
и
задан тепловой поток
Двумерная задача о стационарном распределении температуры в однородном СЛОЕ ОГРАНИЧЕННОМ г ДВОЙНОЙ РЕШЕТКОЙ’’. Приведем пример смешанной краевой задачи для стационарного уравнения в слое, ограниченным гдвойной решеткой’’: пусть слой расположен между плоскостями г — ±& декартовой системы координат, а "решетки” состоят из периодически повторяющихся полос, края которых параллельны оси у -ов. расположенных соответственно на верхней и нижней граничных плоскостях. Для простоты остановимся на плоской задаче для уравнения Лапласа. Точная постановка задачи такова.
Ищется 2т - периодическая по х функция и =г п(т. г).
непрерывная вплоть до границы и удовлетворяющая следующим условиям:
Дгх - 0 , |г| $ ?
19
Е' = м! Ё‘ = {_7Г; ”^Е' ■ ' “ 1'2>
-л- < а,1 < ./?,! < ... < о,т, < &т, < т
где при 1 = 1.2 /,(х) € Ёх - заданные гладкие функции.
Методы решения краевых задач такого вида для уравнений Лапласа и Гельмгольца путем сведения их к парным уравнениям, которые в свою очередь редуцируются к СИУ на системе отрезков активно развиваются в Харьковском университете. Возможность сведения парных уравнений к СИУ на системе отрезков обосновано Ю.В.Гандедем в [49]. Корректная постановка задачи решения СИУ на системе от-резхов даете я нами в главе 1. а численные методы решения таких уравнении строятся в главе III, смотри также [103].
Задача квантовой теории поля. В качестве примера задачи квантовой теории поля рассмот рим процесс фоторождения т -мезонов на нуклонах [122]. Ограничиваясь областью малых энергий и определяя амплитуду мезон-нукдонного рассея НИЯ из соответствующих дисперсионных соотношений, для амплитуды фото|>ожде-ния тс -мезонов на нуклонах у,(х) I = 1.2.3 получим систему СИУ специального вида
«;Му,(*о) - - I /Щ(*ьФА*)уА*)4* = ^,(х0)
!Т_У X - Х(,
I = 1.2,3. хо£(-1.0):
где а,(х), Цх). Л/,;(*0т*) п &(*) - известные функции характеризующие процесс рассеяния. Числсниое решение данной системы уравнений обсуждается во втором разделе диссертации.
Краевые задами теории переноса лучистой энергии [3, 4]. Прежде чем приступить к обсуждению подходов редукции задам теории переноса нейтронов. 1 - квантов и т.п. к СИУ. выпишем простейшую краевую задачу теории переноса
нейтронов в плоской геометрии. Плоская стационарная задача об облучении беско-
нечно длинной пластины а ^ х £ Ь толщиной (Ь — л). Ь,а € 1* : в < Ь в плоскости 0ху поверхностными источниками нейтронов, расположенными слева и справа от пластины, приводит к шпегро-дифференциальному уравнению
^ ■—- + 4>(х,й>) = 11 *4*-/') ^ (0.1.2)
-I
0 < с < I , -1 < ц < 1
в плоском слое а < х < Ь с граничными условиями
= /+М» А* > 0 (0.1.3)
ф(Ъ.ц) = Г{ц), р<0
(0.1.4)
20
где ф(х.ц) - искомая плотность нейтропов в точке z е (а. Ь) летящих иод углом <f = arccos ц с направлением оси Ох. параметр с характеризует рассеивающие свойства среды. т.е. считается, что нейтроны в процессе движения испытывают столкновения с ядрами среды, поглощаясь с вероятность (1 — с) и рассеиваясь с вероятностью с на каждом акте столкновения. Известные функции /^(/д) характеризуют плотности излучения поверхностных источников нейтронов. При этом знак ”+и указывает на источник расположенный слева, а знак г — * на источник расположенный справа от излучаемой пластины. Тот факт, что ряд задач теории переноса нейтронов. 7 -квантов и т.п. может быть сведен к решению СИУ. известен сравнительно давно. По-видимому, впервые редукция краевой задачи теории переноса к СИУ была осуществлена в конце 40-х годов в работах В.В.Соболева. посвященных исследованию явлении переноса излучения в атмосферах звезд и планет (167). Однако сформулированные В.В.Соболевым т.н. линейные интегральные уравнения для коэффициентов яркости долгое время оставались, по-видимому, неизвестными широкому кругу специалистов но теории переноса нейтронов. Более широкую известность в теории переноса нейтронов приобрел метод К.М.Кейза редукции к СИУ. сформулированный в 1%0 г. [78]. Метод К.М.Кейза представляет собой разновидность метода Фурье разделения переменных, когда решение краевой задачи ищется в виде суперпозиции частных решений соответствующего уравнения переноса нейтронов с неопределенными коэффициентами, к задаче определения которых и редуцируется исходная краевая задача. Согласно методу К.М.Кейза коэффициенты определяются из решения СИУ с отрицательным индексом, которое но существу является союзным к СИУ. получепному В.В.Соболевым. Так. например, для сформулированной нами плоской стационарной задачи об облучении протяженной пластины заданным потоком нейтронов метод К.М.Кейза заключается в том. что решение краевой задачи (0.1.2). (0.1.3). (0.1.4) будем искать в виде
X —О ф-2 ^ ^ ^
xt>(z.ft) = в*Ф+(*г) 6 0 +а~Ф"(/к)б °+J А*{и) Ф(и,р) е ** <fi/+
о
о
+ J .4“(i/) Ф(и.ц) е р du
-1
суперпозиции элементарных решений с неизвестными коэффициентами где
ц> - известный параметр i\> £ (-1, 1). а Ф£(кя) - известные функции. Подставляя выписанное выражение для решения в граничные условия (0.1.3).(0.1.4) получим два независимых СИУ:
w , . / ч , с fvA±(v)dv , о }vA±[v) -t
’■мам+- j ± 2 \
О t О
где А(fi) := 1 — / — = 1 — ^ In индекс СИУ х = -1. а точки 0 и 1
являются особенными узлами (см. определение особенных узлов в § 0.2).
и
СИУ типа уравнений В.В.Соболева естественным образом возникают путем редукции краевых задан теории переноса нейтронов к решению соответствующих граничных интегральных уравнений для плотности нейтронов по границе раздела однородных подобластей. Так. например, для сформулированной нами краевой задачи теории переноса (0.1.2). (0.1.3). (0.1.4) СИУ уравнение В.В.Соболева имеет вид
АН и + у / ----- + I К^.ц) цф[р)<1р = /(!/), и = (0.1). (0.1.5)
о у * о
К уравнению (0.1.5) индекса ее = 1 следует добавить условие
1
j К{fz.fl) /.4 ${(*) = С. (0.1.6)
0
где А(1/) =а 1 - Ы а точки I) и 1 являются точками автоматической ограниченности.
Вопросы решения краевых задач теории переноса нейтронов путем редукции их к сингулярным интегральным уравнениям достаточно подробно изложены в наших заметках (3. 4).
Задача о давлении жесткого штампа на упругую полуплоскость. Пусть контур жесткого штампа вдавленного в упругую полуплоскость у < 0. имеет уравнение у = /(*) при \х\ £ а. а участники границы |г| > а свободны от напряжений. Пусть, кроме, штамп вдавлен силами нормальными к его границе. Тогда поле напряжений в полуплоскости определяется из следующего сингулярного интегрального уравнения [69]
1 / = 2с>
Я■ ) I - (о Сз + 1
О
где € (в. 6). а с1 и с? - упругие постоянные полуплоскости у < 0. Аналогично строится сингулярное интегральное уравнение в случае, когда на плоскость давит несколько штампов. В монографии [99] задача о вдавливании равномерно движущегося оггампа в упругую полуплоскость с учетом тепловыделения сводится к системе двух сингулярных интегральных уравнений первого и второго рода с постоянными коэффициентами. В [99] также выписано СИУ первого рода к которому сводится задача о вдавливании пары равномерно движущихся штампов в упругую полосу.
Смешанная задача теории упругости. Пусть плоская, вообще говоря, мно госаяэвая область, ограниченная гладким контуром I. заполнена упругой средой. И пусть на одной части контура Ь\ заданы смещения, а на другой I, - Ь\ заданы силы, действующие на среду этой области. Тогда задача об определении напряжений в такой среде сводится к нахождению функции Гурса <?(г). являющейся решением
СИУ [69)
23
где f<і € L. 02 - упругая постоянная, а правая часть Ф(/<>) - известное интегральное выражение содержащее ПОД знаками интегралов неизвестную функцию Одна-
ко ядра этих интегралов могут иметь только слабую особенность. Таким образом данная смешанная задача кюрии упругости сводится к полному СИУ по границе области /,. Корректная постановка задачи и вычислительная схема решения полного комплексного СИУ на произвольной кусочно-гладкой кривой L рассматривается в главе I настоящей диссертации.
§0.2. Необходимые сведения из теории СИУ.
Аналитическая теория СИУ подробно изложена в монографиях (144. 178. 54. 153. 198] и др. Мы будем придерживаться, в основном, определений и обозначений работ (144. 51. 178).
Пусть L - линия, расположенная на плоскости, на которой выбрано определенное положительное направленно. Напомним основные определения [144]. которыми будем пользоваться в дальнейшем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.1. Разомкнутым гладким контуром (дугой) будем на-зывать направленную линию L, которую в прямоугольной системе координат Оху .ножно представить параметрически
X = х($) у = y(s) $* ^ 5 $ $ь,
где х(з). у(и) непрерывные на (а0.<5*) функции, удовлетворяющие условиям:
1) L - гладкая, т.е. на (а*.л*) существуют непрерывные производные х'($). {/($) не обращающиеся в ноль, причем
*Ьо) = Фа + 0) уЪ*) = УЬ* + 0)
*'(3&) = х'(*Ь - 0) у'(^) = У'Оь - 0).
2) L - простая и разомкнутая, т.е. различным значениям параметра в в [лй,$б] соответствуют различные значения функций jt(.s) и у(я). определяющие точку а — (х.у) на рассматриваемой плоскости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.2. Замкнутым гладким контуром (дугой) называют линию L удовлетворяющую определению 0.2.1 за исключением условий:
1) L - замкнутая, т.е. х($ь) = :фо)т !/($*) = У(^а).
2) Паправліние касательной линии L изменяется непрерывно во всех точках линии L, т.е.
z'(n-0) = *U+0) у'Ы - 0) = у'[&а + 0)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.3. Проатлм кусочно-гладким контуром (дугой) искня-вают линию, состоящую из конечной последовательности гладких разомкнутых
24
конп/ypoû расположенных так, что конечна* точка каждого предыдущего контура совпадает с начальной точкоИ последующего. Предполагается, что рассматриваемые контура не и*чен>т других общих точек, кроме упомянутых и кроме, быть может, начальной точки а = (xi-t/j) первого контура и конечной точка Qn = последнего. Если точка av не совпадает с ах. то кусочно-гладкий
контур разомкнут, в противном случае он замкнут.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.4. Гладкой линией (подразумевается простой) называют совокупность конечного числа замкнутых или разомкнутых гладких контурое*. не имеющих общих точек, о том числе и концов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.5. Простой кусочно-гладкой линией называют совокупность конечного числа простых кусочно-гладких контуров, не имеющих общих точек. Такая линия отличается от гладкой линии лишь тем, что может иметь конечное число угловых точек.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.6. Кусочно-гладкой линией называют совокупность конечного числа кусочно-гладких контуров, которые могут иметь конечное чис.ео общих точек.
ЗАМЕЧАНИЕ 0.2.1. Всегда можно считать, что гладкая или кусочногладкал линах і состоит лишь из (простых) гладких разомкнутых контуров, не имеющих общих точек, за исключением, быть может, концов. Для этого достаточно, в случае необходимости, разбить некоторые из входящих в L замкнутых и разомкнутых контуров на несколько частей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.7. Узлами кусочно-гладкой линии L будем называть точки, которые служат концами одной или нескольких гладких контуров, соста-вляющих L. Если данная точка лелеется концом лишь одного контура, то такую точку будем называть также концом линии L.
Пусть прежде всего L - гладкий разомкнутый или замкнутый контур, тогда следуя [144] введем
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.8. Функция принадлежит классу Гельдера с показателем о (классу Н ) на контуре /.. если для любых двух точек t\ и t2 этого
контура € L).
Mb) " V(ti)\ < Mb - ti\* (0 < a < 1)? (0.2.1)
где A - постоянная Гельдеpo, a a - показатель Гельдера.
Если функция ÿ(t) опр/делена на контуре L и принадлежит классу Я, то мы всюду будем писать: ^(0 € Я (с*. L) или <f(t) 6 Я(о), а иногда и <р(1) € //.
Понятие условия Гельдера естественным образом переносится на случай функции нескольких переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.9. Функция двух переменных m(f, /0) определенном на L х L принадлежат классу Гельдера с показателем о (т(Мо) € //(о. і х L)). если для любых двух точек (Iе, Г0) и (Ґ, О из L х L шиест место неравенство
|т(ЛО - т{1\ОІ * АгК - *Х + МК - *Т (0 < a « I),
где А\.А2 - по*южнтельные постоянные не зависящие от Ґ.і".Ґ0.і£.
25
Пусть теперь функция f(l) определена на произвольной кусочно-гладкой линии L = U Lk< Lk - простые гладкие дуги составляющие L. а ск (к = Т7п) • узлы (в
том числе и концы) линии L.
Разомкнутую дугу £*т входящую в [,. будем называть закрытой, если ее концы причисляются к самой дуге Lt.
Б едем писать tp(t) € H(L). если tf[t) принадлежит классу И на каждой из закрытых дуг /,*. составляющих L.
Пусть <fk{t) " ^«/wkkuu однозначно определенные на закрытых дугах /.* (А' = 1.р). составляющих линию L. и пусть p(t) - функция, определенная на L следующим образом:
7огЛ1 введем следующие определения [Щ}.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.10. £>ус?бл говорит», что функция ip(t) принадлежит Н0 на I. (<p{t) € Uo(L). если осе функции <p*(t) (к = Г!р) удовлетворяют условию II на соответствующих закрытых дугах £*.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2.11. Бели функция заданная на L. удовлетворяет условию И на каждой закрытой части .twHi/u L. не содержащей узлов, а вблизи любого узла с представима о виде
И‘)=|Тг£: 0<а<1.
где 6 #(£). то мы будем писать ^(<) € H'(L).
В данной работе сингулярными интегральными уравнениями (СИУ) будем налы вать лилейные интегральные уравнения с интегралами
(5.^)=i €1 (0.2.2)
Ut J X — Хо L
ИЛИ
2 к
(И. 7)(ar0) = f 7(v) <fy € (0,2x) (0.2.3)
о
понимаемыми в смысле главного значения по Коши . Интеграл (0.2.2) будем называть сингулярным интегралом (СИ) с ядром Коши, а интеграл (0.2.3) - СИ с ядром Гильберта.
Аналитическая теория таких СИУ, а также соответствующих им сингулярных интегральных операторов, подробно изложена во многих монографиях (см., например. (144, 51. 178]).
Рассмотрим обший случай (к смысле [144]) СИУ с ядром Кении (см. также СИУ (0.2.10)-(0.2.Г2)).
(К0, *)(!*) + l(A,m(to,)v)) = /(/о), (0.2.4)
Л I
<*»,*)((„) = (*'»,*>) * о(<оМ'о) + ~[
XTi J I — «о I*
26
№)•</) = j9(t)tydt, is = 0,1.2....
L
(k,g) = (Ц0),з), <o€i:
L произвольная кусочно-гладкая линия, a a(f„), 6(6>) £ 0, f{t) - лэвестпые
Функции, определенные на (f(l) - искомая функция, интеграл в определении сингулярного интегрального оператора (СИО) Л'° следует понимать в смысле главного значения но Коши. Нулем предполагать, что <?(/и) и 5(f0) могут иметь разрывы, но должны принадлежать классу //0, а /(Jo)- класса И', всюду на L аг(<0)- ^(Jo) ф 0. Все узлы линии интегрирования L. в том числе и ее концы, мы будем обозначать через С|(, к = Т7г. Следуя [144], мы не будем требовать, чтобы уравнение (0.2.4). а также другие связанные с ним СИУ, рассматриваемые в нашей работе, уловлетво рядись в точках, совпадающих с узлами линии При принятых предположениях решение СИУ (0.2.4) (если оно существует) будет принадлежать классу И' [144. 178].
Наряду с уравнением (0.2.4) рассмотрим соответствующее ему характеристическое СИУ
(Л'°, ?)(*<,) = /Ы, xo&L (0.2.5)
При этом пока будем предполагать, что /(*„) G /Д. на Решение СИУ (0.2.5) будем искать в классе функций //*.
Пусть In 6’(fo). где G{to) = какая-либо, выбранная нами, ветвь лога-
рифма, значения которой непрерывно изменяются на каждой из дуг ВХОДЯЩИХ в L. Рассмотрим комплексные числа, определяемые по <)к>рмуле
сч, + iPk = ^ Ц ^lnGj{ck).
где индекс суммирования j пробегает все номера j Дуг Лу, входящих в /. и сходящихся в узле с*, а In 6’7(ct) — lirn lnG(_t) при / -» с* по дуге L}. При этом, знак - берется в случае, если /.у является исходящей дугой из узда о*, а знак "+г' берется в случае, когда L} - входящая дуга в узел с*. Узлы с* линии для которых о* - целые числа, следуя [141, стр.256] мы будем называть особенными, остальные узлы неособенными.
Пусть ci,С},...,с, 0 < е < г все неособенные узлы, а сг+1,....сг все особенные узлы линии L, соответствующие СИУ (0.2.5). Множество возможных решений у5(<) € И' СИУ (0.2.5) разобьем на классы, относя к классу h = A(ci,c2, ...ct) 0 ^ q £ е, все решения tf{l) € //*, которые остаются ограниченными в окрестностях неособенных узлов ci.cj....,с4 и допускаю-! интегрируемую бесконечность в окрестностях остальных неособенных узлов С}+1,..., С,.
Класс А = А(с,+1,—с«) будем называть союзным с данным классом Л. Класс, соответствующий <i = 0, будем обозначать Л0 , а ц = с Л,.
По заданному классу Л = A(cj,c2..... с4), в котором ищется решение СИУ (0.2.5), и коэффициентам о(<0) п b(t0) определяется индекс др. и каноническая функция Z(t0) СИ У (0.2.5) класса А :
ад = [«(Jo)+ад] хад = (ад - ад) яад,
27
А'-(г0) = у/сйм П(<0)е7Ч
х-,0. №
(о)~ ПМе^Г
здесь ветвь радикала \jGitо) фиксируется формулой ^0[1ц) =
Щг) * П (г - с,,)3*
кш\
1пвЦ)<и
I
. . 1 с 1пС{
1(1,= 2^/ “
а? = — (г — число в ссх узлов линии /.).
*=1
целые числа А* подобраны так. что О < + А* < 1 для узлов С1, с?.с*;
-1 < ак + Л* < 0 для узлов с*+ь...:с<: ак + А* = 0 для особенных узлов Се+ь —?Сг-
а функции А^/о) являются граничными значениями канонической функции
Х(г) = П(г)е'М = с7(х) П (г - с*)**
^•1
класса /< = Л(с,,с*,....с,) задачи сопряжения
*+(«-<ч«*-М +5^53.
соответствующей СИУ (0.2.5). При зтом СИУ (0.2.5) можно записать в виде
(АЛ ю,и)(<0) = /М, 1о € I., (0.2.5.Л)
где иМом^Г^ИО-ИОГ'.
ЗАМЕЧАНИЕ 0.2.2. [144* стР- 257} Каноническая функция АЧ-) клас-
Сй Л = Л(с|.сзг —•£*) задачи сопряжения соответствующей СНУ (0.2.5) имеет на бесконечности порядок (—а?), т.с.
• ноль порядка ее при яг > О..
•полюс порядка -не при & < 0.
при я? = 0 А'(ос) = 1 .Во всех случаях ИтгяХ(г) = 1
а-4«х
УТВЕРЖДЕНИЕ 0.2.1 [144} Нри а? £ 0 все решения СИУ (0.2.5 Л) класса Л даются формулой
¥>(* о) = и>,(^)и(<о) = ^(<о)1(Я^/)(«о) + *(«•)*—1(*о)1, (0.2.6)
*-1 .
еде Лг-1(/0) = Е - проазбодъиыг! многочлен степени ^ а? - 1 (Р^-1(*о) = 0
JяO
при ее = 0). т2Ц) = (—л СИО И определяется формулой
(Ъ9)(Ь)ё{Я,д)за{ЬМЬ)-^[ <о€А. (0.2.7)
XI У г — го
28
При а? < 0 решение (единственное) СИУ (0.2.5 А) существует при соблюдении (необходимых « достаточных) условий
(ky.wtf) - 0, J' = О, М-1, (0.2.8)
« datтел формулой (0.2.6), о которой /J»._i(fo) 2 0. Относительно новой неизвестной ti(/o) эту формулу можно записать в виде
и(«в) = ( Я, »*/)(« о), <«€1 (0.2.9)
Ии утверждения 0.2.1 следует
СЛЕДСТВИЕ 0.2.1 [144] При а? ^ 0 однородное уравнение (К0.Wj,u)(<o) = О не имеет решений класса ft. отличных от нуля; при я > 0 оно имеет я линейно независимых решений класса ft, совокупность которых дается формулой
<f(t) = u>i{t)u{t) = Wl(*)6(<)P*.l(0'
где - произвольный многочлен степени $ ж — 1.
ЗАМЕЧАНИЕ 0.2.3 Утверждение 0.2.1 и следствие 0.2.1 останутся ь силе, если правая часть СИУ (0.2.5 A) f(t0), вместо того, чтобы принадлежать классу Но, принадлежат классу ft. Только в этом случае, решения могут быть и (ограничены также вблизи тех особенных узлов, для которых а* + Л* + i/З* ф 0. если функция f(t) не ограничена вблизи от t/х узлов (см. (144, стр. 258].
Как видно из утверждения 0.2.1. характеристическое СИУ (0.2.5) решается в замкнутой форме, т.е.. если оно разрешимо, то его решение может быть явно вира-жено (см.формулу (0.2.6) через коэффициенты a(l). 6(f) и правую часть /(/). Кроме характеристических уравнений (0.2.5) веются некоторые частные типы полных СИУ (0.2.4), которые также могут быть разрешены в замкнутой форме. В общем же случае СИУ неразрешимо в замкнутой форме. Однако явное решение характеристического уравнения (0.2.5) позволяет свести полное СИУ (0.2.4) к уравнению вида
*(«о) + / = Л(<о). (0.2.4ф)
I
с ядром
С('-')=(ГГ$ (0 £ а < 1).
где K(tQ.t) - непрерывная функция па L. При помощи нитерации и быть может замены переменной последнее уравнение можно привести к интеградьпому уравнению с непрерывным ядром. Уравнение (0.2.4ф) обладает всеми свойствами уравнения Фредгольма и называется квазифредгольмовым. Сведение полного СИУ к ква* зифредгольмовому уравнению позволяет сформулировать основные свойства СИУ. Однако, так как характеристическое уравнение (0.2.5) не всегда однозначно н без условно разрешимо, то свойства СИУ существенно отличаются от свойств уравнений Фредгольма. Введем понятие сингулярных интегральных операторов (СИО). соответствующих исследуемым нами СИУ.
29
Следуя, в основном, обозначениям монографии [144], рассмотрим прежде всего оператор
(К.,<Р) = (А»(<о) = а{1оМ1о) +1/ %(/)<& <о € А| (0>2Л0)
' с “ ГО
і - произвольная кусочно-гладкая линия.
Оператор (0.2.10) можпо представить в виде
<*»(<«) = а(*оММ + ^ ~^ + 4 Iт(1ол1)<р(1)А, (0.2.11)
яг У г — г^р яг у
ИЛИ
(ЛГ,,р)(«о) = «(МИМ + - / +1 / іїі(*о,*М*)А, (0.2.11 Д)
Яг У с ^ сл УГІ У
г. ь
если ПОЛОЖИТЬ 6(0 = А/і(*о,0- ”»(О:0 - *Ь((о-0 =
Далее рассматривая оператор (0.2.10), будем предполагать, что он аредставим в виде (0.2.11) или в виде (0.2.11 А), где л(1). Ь(і). т(<о,0: ”»(<о-0 -.функции класса Но на I.
Оператор
(А"0, ?)(*<>) = а(<^(<й) + ^ І <о Є £ (0.2.12)
будем называть характеристической часть СИО (0.2.11). Коэффициентами характеристического СИО (0.2.12) называют функции а(<) и Ь{1). Функцию на-
зивану! ядром оператора (0.2.10). В частности, ядром оператора К° будет функция
ом
*-г0*
Интегральные операторы, получающиеся одни из другого путем перестановки в их ядрах местами переменных ( и мы будем называть союзными [144). Так СИО: союзные операторах« (0.2.10), (0.2.11). (0.2.12) и (0.2.7). соответственно имеют вид
(*»(!«) £ о[1 оМ<о) - / —\ШрВЛг іо Є £ (0.2.10с)
Я1 У I —
<А", *)(<о) Н а«оЖ<о) - -т / + Л (т(Мв)*(1)*, (0.2.11с)
яг у і — Го яг У С I,
(Л^, ^)(<«) = с(/0)^(#о) -Д / ,0 € /, (о.2.12с)
7ГІ Д 1 - 10
(*)(/„) = «(«,)?(<.) + Л / <0 € £ (0.2.7с)
Я1 У I — То
Следует: различать, вообще говоря, не равные друг другу, операторы К0* - союзный оператору (0.2.12) и Кл характеристический оператору (0.2.10с). т.к.
(Кр.фУМ = а(#оЖ<о) - ^ / 7^, (0.2.10«)
** у Я — То
30
Индексом а? данного класса Л оператора А" будем называть индекс одноименного класса СИУ (/?°.^)(<о) = /(<<>)• Аналогично определяется индекс класса /» других СИО, рассмотренных в настоящей работе.
Пусть А' и А" - одна из пар рассмотренных нами выше союзных СИО, функции ^>(<) и <р(1) принадлежат классу Нш на I. и такие, что ф = фк<р п ф ~ <ркф интегрируемы на А. Тогда имеет место формула [144).
J фК<р Л = J -рК'ф Л,
£ I,
где А - произвольная кусочно-гладкая линия.
§ 0.3. Основные результаты работы
Прежде, чем приступить к изложению содержания диссертационной работы, дадим краткий обзор полученных в ней результатов. Текст диссертации состоит из вводной части. 9 глав, приложения, дополнения и списка литературы. Главы разбиты на два раздела. В нервом разделе дается корректная постановка, задачи строятся И обосновываются прямые методы приближенного решения сингулярных интегральных и сингулярных интегро-днфференцкальных уравнений, изучаются во просы устойчивости подученных приближенных решений к малым изменениям исходных данных. Во втором разделе построенные вычислительные схемы раздела один применяются к задачам плоской и пространственной аэродинамики и физики элементарных частиц. Вводная часть состоит из введения и трех параграфов. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается анализ состояния проблемы, кратко излагается содержание работы. Полученные результаты сопоставляются с результатами других авторов, примыкающими к вопросам затронутым в диссертации. В § 0.1 приводятся примеры задач математической физики, сводящихся к СИУ. В § 0-2 излагаются необходимые в дальнейшем сведения ПЗ теории СИУ, даются основные определения и обозначения, которые будут использоваться в даль неншем. В § 0.3 дается краткий обзор основных результатов диссертации. Первый раздел состоит из пяти глав. В глав*’ один рассматриваются приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений на произвольной кусочно-гладкой кривой относительно искомой комлдекспозначной функции класса //*. Предполагается. что коэффициенты соответствующих характеристических уравнений могут иметь разрывы, но должны принадлежать классу Н0 (здесь и далее используются определения н обозначения [144], см. также § 0.2). Такой случай в монографии [144] называется общим. Пусть а(/), 6(£), $(4), Л/(<о, <) - функции класса //0 на произвольной кусочно-гладкой кривой А. всюду на А о2(1) - Ь'{1) ф 0. Пусть, кроме того. / - единичный оператор, А и &(|/) - сингулярный интегральный и интегральный операторы, определяемые формулами (0.2.2) н (0.2.4) соответственно, Л(1/),- -интегральный оператор вида
*(р)<А/(-,-)9 := / <Г М(Ма) ?№) Ли « = 1,2.
£
31
Тогда, если но выбранным союзным классам Л и Л и соответствующим им индексам я? и ж построить вспомогательные функции <С|(() в А, ) € Л по формулам (0-2.5А) и (0.2.6). то рассматриваемые в первой главе уравнения можно представить в виде
К-хлРу = у€1г1м/>, (0.3.1л)
А'««?0}/ - ф + Ц М(•, ■) Iрау = <6, (0.3.1)
где СИМВОЛЫ А' из (0-3.1х) и. потрсбующийся нам далее. А.'* соответственно обозначают один из следующих операторов:
К. = А/?, Я\ А'0'.
А’ = Я. А0. А"', Я'.
Л'° := «/+ 65. /?:=«/+ 56/.
А0' := «/ - 56/, Я := «/ - 65.
весовые функции ге°(<) и №*(/) определяются по формулах«
0 _ / »,. к-К0, я' а:«= А0. /Г
" ” I Ш, , ^ = А0*, Я ” “ \ и>, , К = А®', Я
а символ р обозначает индекс уравнения (0.3.1х) или (0.3.1). В § 1.1 дается кор-
ректная постановка задачи решения характеристического комплексного СИУ. В § 1.2 обсуждается алгоритм построения решения СИУ. имеющего заданный порядок на бесконечности. В § 1.3 исследуются свойства основных сингулярных интегральных операторов. В § 1.4 дается корректная постановка задачи решения полною СИУ на произвольной кусочно-глад кой кривой. Все это позволило в § 1.5 построить прямые методы приближенного решения комплексных СИУ и дать их обоснование в пространстве 1.2 с весом на основе схемы обшей теории приближенных методов Канторовича. Глава два посвящена методам Приближенного решения действительных сингулярных интегральных уравнений на отрезке или системе отрезков. Действительные СИУ по своих« свойствам во многом похожи на соответствующие нм комплексные уравнения. Тем не менее, результаты главы один, в которой исследовались комплексные СИУ, нельзя автоматически переносить на действительные уравнения. Комплексное СИУ Является уравнением - следствием соответствующего ему действительного уравнения. Приложение содержит краткий перечень сокращений и обозначений, используемых в тексте диссертации. В дополнении приводится описание комплекса программ приближенного решения СИУ созданного на основе описанных в диссертации вычислительных схем. Результаты расчетов в виде графиков и таблиц приводятся в основпом тексте и в приложении.
Изложенный в диссертации материал содержит следующие результаты:
1. Для семейства линейных комплексно-значных СИУ с интегралами типа Коши на произвольной кусочно-гладкой кривой в общем случае (но классификации Н.И.Мусхедишвндп (144))
32
- устанавливается нарушение условий корректности по Адамару и дается корректная постановка задачи решения этих уравнении на ларе банаховых пространств (Ьг.о/э; Ь?,*«). включая случай, когда рассматриваемые СИУ попадаются на спектр. Учитывая требования приложений, в данной корректной постановке предусматривается режим построения решения. ИМЄЮШЄГО заданный норядок на бесконечности.
- получены оценки абсолютной и относительной погрешности решений соответствующих характеристических уравнений и изучены свойства соответствующих им характеристических сингулярных интегральных операторов.
- предложен прямой метод Приближенного решения полных уравнении, исследуемого семейства СИУ, имеющий интерполяционную степень точности. Для построенного метола формулируются условия сходимости приближенного решения к точному дія произвольных непрерывных по Гельдеру исходных данных.
2. Дано математическое обоснование метода дискретных вихрей численного решения задач обтекания профиля с закрылком и предкрылком и разрезного крыла бесконечного размаха, а также дальнейшее развитие этого метода в применении к задачам проницаемых и телесных поверхностей.
3. Для семейства линейных действительных СИУ второго рода с переменными непрерывными по гельдеру коэффициентами на отрезке действительной оси усилены результаты, сформулированные нами выше для комплексных СИУ общего вида. Так, папрішер
- построен, обоснован и реализован на компьюторе прямой метод механических квадратур приближенного решения исследуемого семейст ва действительных СИУ. а также Приближенного решения действительных сингулярных интегро-днфференцпальных уравнении, содержащих производные высших порядков. Построенный метод не требует специального выбора точек дискретизации применяется к широкому классу дсйствктслных СИУ на отрезке, включая уравнения попадающие на спектр.
- модификация этого метола, предназначенная для СИУ с коээфициентом при сингулярном интеграле, являющимся многочленом, легла в основу комплекса программ расчета проницаемых профилей. разработанного в ВВИА им.
Н.Е.Жуковского и играющего важную роль при проектировании парашютов и дельтапланов.
- другая модификация этого метода для СИУ с произвольным непрерывным по гельдеру коэффициентом при сингулярном интеграле стала основой, разработанного в ВВИЛ им.Н Е.Жуковского, ускоренного метода расчета аэродинамических характеристик телесного крыла. Разработанный ускоренный метод расчета телесного крыла при сопоставлении с аналогичными |>еэультатами других авторов показал значительный выигрыш по времени и по объему используемой оперативной памяти. Этот метод позволил успешно решить следующие основные задачи плоской аэродинамики: а) обтекание изолированного телесного профиля; б) обтекание профиля при движении у поверхности раздела; в) обтекание решетки телесных профилей; г) нестационарное обтекание телесного профиля: д) обтекание телесного профиля со скольжением.
- построенный в диссертации метод механических квадратур решения семейства действительных СИУ лег ь основу численпого метода решения пространствен нон задачи обтекания телесного крыла конечного разхсаха. Метод реализован на комиьюторе в ВВИА нм.И.Е.Жуковского. Выполненные сопоставления с .эксперимент ушными и расчетными данными других авторов показали его эффективность и способность сократить материальные и временные затраты на проектирование новых и модернизацию существующих аэродинамических компановок летательных аппаратов. Ведущими специалистами ВВИА нм.И.Е.Жуковского метод рекомендо ван для внедрения в НИИ ВВС и КБ МАП для проведения поисковых исследований по выбору крыла сам одета.
4. Проведен анализ построенных численных методов решения СИУ на устойчивость к малым изменениям исходных данных. Показано, что прямые методы приближенного решения СИУ 1-го рода, рассхсотренные в настоящей работе и в работах И.КЛифанова и являющиеся обобщением метода дискретных вихрей, обладают свойством авторегулярнзашш. Предложены алгоритмы построения стохастических решений СИУ 2т о рода с переменными коэффициентами со случайной правой частью и со случайным интегральным оператором.
5. Построены и изучены квадратурные формулы для сингулярных интегралов, плотность которых имеет пптегрируемые особенности как на концах, так и во внутренних точках отрезка интегрирования. Показано, что построенные пами квадратурные фор\!уды, а также некоторые квадратурные форх<улы других авторов, обладают свойством саморегуляризации. На основе исследуемых квадратурных формул построен, устойчивый в метрике С метод приближенного решения СИУ. разрешимых в замкнутой форме.
6. Построен и обоснован прямой метод приближенного решения действительных СИУ на системе отрезхов. который стал основным вычислительным аппаратом для целой научной школы, созданной в Харьковском университете. Показано, что построенные в настоящей работе прямые методы приближенного решения семейства СИУ 2-го рода с переменными коэффициентами, остается в силе и для систем СИУ специального вида. Применение прямых методов приближенного решения систем СИУ специального вида к задачам квантовой теории подя иллюстрируется на примере задачи фоторождения п - мезонов на нуклонах.
Результаты диссертации опубликованы в 36 научных работах автора, а также включены в содержание монографий [16. 99. 1%, 185].
Основными результатами диссертации являются:
Дчя семейства полных действительных и комплексных сингулярных интегральных уравнений на произвольной кусочно-гладкой кривой установлено нарушение условий корректности по Адамару, изучены свойства интегральных операторов данного семейства и дана корректная постановка задачи их решения.
Предложен прямой метод приближенного решения полных комплексных уравне-
34
иий исследуемого семейства СНУ, имеющий интерполяционную степень точности. Для построенного метода формулируются условия сходимости приближенного решения к точному для произвольных непрерывных но Гельдеру функций. Построен. обоснован и реализован на компьютере прямой метод приближенного решения исследуемого семейства действительных СИУ. Указанные методы приближенного решения не требуют специального выбора точек дискретизации и применимы к широкому классу задач, включая уравнения, попадающие на спектр.
На основе полученных результатов разработан новый эффективный метод решения задач обтекания тонких проницаемых и телесных Профилен и крыльев летательных аппаратов. Использование этого метода в ВВИЛ им. проф. Н.Е.Жуковского позволило сократить материальные и временные затраты на проектирование новых и модернизацию существующих аэродинамических компоновок летательных аппаратов.
35
РАЗДЕЛ I ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИН'ГЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ КОШИ
Данный раздел состоит из пяти глав, в нем лается корректная постановка задачи решения линейных сингулярных интегральных уравнений, исследуются свойства основных сингулярных интегральных операторов и строятся прямые приближенные методы решения СИУ. Первая глава посвящена вопросам приближенног о решения комплексных СИУ на произвольной кусочно-гладкой кривой. В главах два и три рассматриваются приближенные методы решения действительных СИУ с ядром Коши на отрезке и системе отрезков. Построению приближенных методов решения сингулярных интегро-дифференциалышх уравнений посвящается глава четыре. Устойчивость построенных приближенных решении к малым изменениям исходных данных исследуются в главе пять.
ГЛАВА 1.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ КРИВОЙ
Глава один состой*! из пяти параграфов. В ней рассматриваются линейные сингулярные интегральные уравнения общего вилл 3. относительно искомой комплексно-эначной функции класса Н\. на произвольной кусочно-гладкой кривой. Дастся корректная постановка задачи решения характеристического СИУ. Предлагается алгоритм построения приближенного решения СИУ. имеющего заданный порядок на бесконечности. Исследуются свойства основных сингулярных интегральных операторов. На примере СИУ на окружности показано, что метод регуляризации некорректных задач для характеристического уравнения нельзя автоматически переносить на случай полного СИУ. Дается корректная постановка задачи решения полного СИУ, снимающая излишне жесткие ограничения на исследуемое уравнение. Все это позволяло построить прямой метод приближенною решения полного СИУ. имеющий интерполяционную степень точности для построенного метода формулируются условия сходимости приближенного решения к точному для произвольных непрерывных ПО Гельдеру исходных данных.
3Под словами ’СИУ общего ькда’ мы понимаем определение И И Мусхелптвили [144]
36
§1.1. О корректной постановке задачи решения характеристического СИУ.
Многие задачи науки и техники приводят к необходимости решения линейных одномерных СИУ с ядром Коши. Примеры такого рода задач даются в §0.1 введения и в разделе 11 настоящей работы. Возникает вопрос о корректности постановки задачи решения таких уравнений.
Рассмотрим интегральное уравнение
(М.')
tri J І — fo
которое удобнее представить в одном из следующих двух вилов:
K°v + кгч= f, (1.1.1а)
tfV + ^vf(.,.) = /, (1.1.16)
I*
fc(i/)vs(ft(iy),V):-/rv>(OA, ^ = 0.1,2,..., М0)^Л, fc(^)%A/(-, -V : = / >' = 1,2, 6(0 =, Л/,(<.(),
L
utL f О ypuontuim (1.1.1а)
в уравнении (1.1.16)
І. - произвольная кусочно-гладкая линия, a(l). 6(1), f(t), Л/(/о, f) - функции класса
Я0 на L. всюду на /. а2(<) - 6*(1) ф 0 (здесь и далее используются определения н
обозначения монографии (144]). Заметим, что уравнения (1.1.1а) и (1.1.16) при наших предположениях, вообще говоря, не сводятся друг к другу (144). Решения этих уравнении будем искать в пространстве I? с весом (вид весовой функции буд<*т указан ниже). Известно (144]. что в этом случае, при выбранных нами предположениях на заданные функции, решения уравнений (1.1.1а) и (1.1.16), если они существуют. принадлежат множеству Я*, которое следуя (144]. мы разобьем на классы Л, характеризующие поведение искомой функции в узлах линии интегрирования. В дальнейшем, не ухсоляя общности, будем считать, что коэф<|жциент при сингулярном интеграле 6{<о) обращается в ноль на /. не более чехі на множестве меры ноль. Действительно, если бы, например. 6(f0) = 0 на L\ С L. тогда а(/0) ф Ü на L\ и уравнение (1.1.1а) МОЖНО представить в виде
«(<оМ*о) + + I то(1о,т)^(г)(/г = F(t0), io €1.-11,
** 1-і. V/-,
37
где ядро т(*0. г) и правая часть ^(1©) выражаются через исходные данные уран-нения (1.1.1а) и резольвенту К(1о-0 интегрального уравнения Фредгольма
*ги
ІЗ силу вполнснспрерывмости оператора к: определяющую ремь при исследовании уравнения (1.1.1а) играет соответствующее ему характеристическое уравнение
А'V = /• (1.1.1®)
По выбранным союзных! классам (144) Ли Ли соответсвуюишм им индексам æ и à\ найдем каноническую функцию класса Л уравнения (l.L.lx) Z(t) ((144. стр.319)) и построим вспомогательные функции:
И'|(*) := н «*(*) '■= и»і(0 е Л, w2(t) € Л.
Тогда, принимал и>|(<) и іс2(0 •>« весовые функции и вводя новую неизвестную функцию «(<), уравнении (1.1.1а). (1.1.16) и (1. l.ls) соответственно можно записать в виде
K°wiu + k2WiuM(r) = /• (1.1.4.«)
R'wxu + kiWiuM(-, •) = /, (1.1.4.6)
K°wtu = f (1.1.4s)
где интегральные операторы К°и>\1. R'wt / и k-jtci M(*. •)/ действуют из пространства l2.Vï в Как следует из (178). задача нахождения решений ti(fo) уравне-
ния (1.1.4а). (1.1.46) иди (1.1.4s) в пространстве £2,Ю1 при наших предположениях на исходные функции равносильна задаче отыскания решений <f(t0) = u>i(<o) u(fo) соответствующего уравнения (1.1.1л). (1.1.16) или (1.1.1s) в классе А. Позтохіу далее, имея в виду ото обстоятельство, такие решения ы(1о) € £?,», уравнения (1.1.4а). (1.1.46) или (1.1.4s) будем также называть решениями класса А.
Наряду с задачами решения уравнении (1.1.4а), (1.1.46) и (1.1.4s) в классе А.
рассмотрим задачи решения союзных им уравнении в союзном классе А, которые
соответственно имеют вид
К^щи + W}vA/(*. •) = g, ( 1.1.5а)
Rwtv + A| ti'j v А/(•.•) = д. (1.1.56)
K<)'w2V = g, (1.1.5с)
где интегральные операторы KerwîI, ІІщІ к Ати^А//действуют из пространства £г.*,3 в A2.U-,- 9 € 7Ai на L. а операторы Л и К0' определяются по формулам:
(,.1.6)
XI J t — 1о
ъ
К°> := о MW„) - 1 / . (1.1.7)
з8
Пусть символ А‘ обозначает один из операторов: А0, Н. У?. Л'іУ; символ А'* соответственно обозначает один из операторов: II. К°. К&. А'; функция ф принадлежит классу //о на А. а символ р обозначает индекс интегрального уравнения
£* = *>. (1.1.8) решение которого будем искать в классе где
если а: = К0. П'
Г h, CCA
1 h. cc.i
Введем обозначения:
1 Л. если А.' = Л'0'. У?
• о*I т*1, селн А' = А'0. /У 6 (У)
если А.' = Л-0'. If
_ J *(0,
" 11, •
кчл - / h ecAU t = K°' R [ ' \ b(t), ec.tu К - h'0\ hu
w°{t) = I
f(l) = ("*(0s K > \ wt(t).
w,(t). если a: = K°, If
если K. = A-0’. У?
ecuu К = K°. If W ~ * ,(i), если К. = К*. У?
Тогда уравнение (1.1.8) примет вид
Kw°y = гр, (1.1.8а)
где у(У) - новая неизвестная функция, а интегральный оператор Ки/Ч действует из пространства в Ь2л>.. По аналогии с выше сказанным, решения у(<о) уравнения (1.1.8а) в пространстве L-j tlw будем называть решениями класса /і„ Имеет мес то
ТЕОРЕМА 1.1.1. Bet утонил класса Itр уравнения (1.1.8а) баются формной
у = К*и>-ф + Ь°Рр-1. (1.1.86)
М-1
где P»-i(to) = С •произвольный многочлен степени ^ [/i| - 1. Р^у = 0
при /v ^ 0. b°Pft-\ - полны система линейно-независіичьи решений однородного уравнения Kw у = 0. Ирм р < 0 дополнительно следует потребовать выполнение необходимых и достаточны/ условий разрешимости
к(1/)ютЬ*ф = 0, V = 0. \р\ - 1 (1.1.8с)
Теорема 1.1.1 при £ = А°, Л и К0* доказана в [144], для Л* = IV она доказывается аналогично трем предыдущим случаям путем выписывания решения задачи сопряжения, соответствующей уравнению = ф. В
дальнейшем нам потребуется другая форма записи теоремы 1.1.1 оперирующая с СИУ
КГъ>'т=д. (1.1.М)