- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение . .................................................. 4
Глава I. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения С.1.Соболева в областях с нере
гулярной границей ...................................... 14
§1.1. Постановка задач..................................... 14
§1.2. О дифференциальных свойствах решений задач
е5б/ и <%>.......................................... 16
Глава 2. О некоторых свойствах решений гиперболических
уравнений............................................... 23
§2,1. Спектр задачи 23
§2,2. Переход к задаче с косой производной .... 27
§2.3. Некоторые свойства решений гиперболических
уравнений.......................................... 31
§2.4. Формула Римана...................................... 33
Глава 3. О структуре спектра задачи в случае конической области 38
. 7* //
§3.1. О свойствах следов решений задач 1^ на
границе области . ................... 38
§3.2. Интегральное уравнение для решений задач 44
§3.3. Применение метода сжимающих отображений ... 59
§3.4. Основная теорема о структуре спектра задачи
<§£' в случае конической области ................... 61
Глава 4. Об одном новом методе исследования спектра задачи сИг ........................................................... 64
§4.1. О свойствах собственных функций задачи
- з -
для областей с ребрами............................ 64
§4.2. О некотором классе областей, для которых существуют не почти-периодические решения задачи <§6 86
§4.3. Примеры............................................. 93
Заключение........................................................ 98
Литература........................................................ 99
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
В 50-х годах С.Л.Соболев опубликовал две - ставшие впоследствии широко известными - работы Г1] • И , посвященные изучению динамики вращающейся жидкости. В этих работах исследованы смешанные задачи для системы уравнений, описывающих малые колебания идеальной жидкости, целиком заполняющей некоторую область б с: Я3 - и вращающейся вокруг оси 0х3 с постоянной угловой скоростью (а)- '
В &; ф.2)
с граничными условиями
или
и начальным условием
Здесь
вектор скоростей частиц жидкости
во вращающейся системе координат, р - гидродинамическое давление, /I - единичный вектор внешней нормали к .
- 5 -
Из полученных в £4] результатов следует, что решение этих задач можно свести к решению смешанных задач для следующе-
го уравнения: ч2
при выполнении граничных условий (0.4) или
В б, Со.6)
= о
(0.7)
и начальных условий
Рк-0 °Р” (0.8)
Качественному исследованию решении этих задач посвящены работы многих авторов. Обзор некоторых из них можно найти в м (см. также [4-29]).
Спектральные задачи для задач (о.б) , (0.4) , (о.в) и (Ь.б), (0.7),(0.8) имеют вид:
(0.9)
с граничными условиями
РІ
= о
(о.ю)
ИЛИ
=0 С°-п)
соответственно.
Задача отыскания естественных мод колебаний вращающейся жидкости, известная как проблема Пуанкаре, давно интересовала математиков. Однако до сих пор полностью она решена только для
- 6 -
сферы (Poincare , 1885, 1910; Вгі/йП , 1889;
Carton , 1922; Greenspan , I964; QCFridpe
7П. О от re , 1968) и прямого кругового цилиндра, ось симмет-
рии которого совпадает с осью вращения ( Ketxfui , 1880;
Futts , 1959) (см. Гзс®.
В работе Гзі] Дж.В.Ральстон доказал, что спектром задачи (0.9),(о.іІ) всегда является весь отрезок 1-і, і] . Почти дословно повторяя его рассуждения, удается показать (см. § 2.1 на-
стоящей работы), что для любой области G спектром задачи(о.э)-(о. к) также является отрезок [-1,1] . Однако качественная
структура спектра сильно зависит от конфигурации области G .
Известно, что свойства решений начально-краевых задач (o.l), (0.2) , (о.4), (0.5) и (o.l) , (0.2), (о.з) , (о.б) тесно связаны со структурой их спектров. Так, отсутствие собственных значений на некоторых подынтервалах отрезка [-1,4J означает существование не почти-периодических решений этих задач.
Исследование структуры спектра задачи (о.э)-(о.ю) в модельном случае двух пространственных переменных впервые было проведено Р.А.Александряном (см. [32 ~3^]) . С помощью специальных автоморфизмов границы области им было дано качественное описание спектра самосопряженного оператора, соответствующего задаче (0.э)
- (о.ю) . В частности, было доказано существование области, для которой у этого оператора имеются интервалы непрерывного спектра, а значит, существуют не почти-периодические решения задачи (O.l), (0.2) , (0.4) , (о.о). Позже М.В.Фокиным (см. [35-Щ аналогичный результат был получен для трехмерной задачи (о.э) -(о.ю) - с помощью той же техники автоморфизмов границы.
- 7 -
Существование не почти-периодических решений для двумерного аналога задачи (0.1) , (0.2) , (Ь.З) , (о.5) было доказано Ральстоном (см. [31]) , затем в работе ["38] А.А.Ляшенко доказал этот факт и для трехмерной задачи. В [3 9] А.Фрагела описал некоторый класс областей, для которых спектр задачи (0.9), (о.11) содержит интервалы непрерывного спектра.
Настоящая работа посвящена, в-основном, изучению спектра задачи (о.э) - (О.ю). Заметим, что, во-первых, указанный метод автоморфизмов границы, с помощью которого были получены все наиболее существенные результаты о спектре этой задачи, применим только к областям с выпуклой аналитической границей, а во-вторых, не дает конкретного примера области, для которой у спектра задачи (Ь.э) - (олб) имеются подынтервалы, не содержащие собственных значений, так как условия, сформулированные в терминах автоморфизмов границы, для заданной конкретной области проверить представляется практически невозможным за исключением круга и, быть может, еще нескольких простых областей . Поэтому представляется актуальным поиск конкретных примеров таких областей, получение нового метода исследования задачи (б.б) - (олб), а также изучение свойств решений этой задачи, ее спектра для областей с кусочно-гладкими, не обязательно выпуклыми границами, содержащими ребра и, быть может, конические точки: именно это и является основной целью настоящей диссертации.
Основные новые результаты диссертации коротко можно сформулировать следующим образом.
I. При условии гладкости начальных данных доказана гладкость решений при любом ~Ь > 0 обеих смешанных задач С.Л.Со-
- 8 -
болева о талых колебаниях вращающейся жидкости для областей с ребрами.
2. Получены конкретные примеры областей, для которых существуют участки чисто непрерывного спектра задачи СЛ.Соболева с граничным условием Дирихле, в частности, предъявлена некоторая тороидальная область, для которой спектр этой задачи является непрерывным везде, кроме, может быть, пяти точек: 0,£Ав>-і*
3. Установлен ряд общих свойств решений гиперболических уравнений на плоскости, не обладающих априорной традиционной гладкостью, в частности, при условии равенства нулю косой производной на границе области для таких решений получено представление, аналогичное формуле Римана.
4. Доказано, что если осесимметричная область ограничена коническими поверхностями, то независимо от взаимного расположения конусов и их углов раствора существуют не почти-периоди-ческие решения задачи С.Л.Соболева с условием Дирихле на границе области.
5. Получен некоторый новый метод исследования спектра указанной задачи для не обязательно выпуклых областей, границы
которых содержат ребра и, быть может, конические точки.
6. Известно, что если область б является эллипсоидом вращения, то решения задачи С.Л.Соболева с граничным условием Дирихле обладают свойством почти-периодичности по времени. В диссертации доказано, что если поверхность эллипсоида изменить определенным образом на сколь угодно малом участке в окрестности "экватора”, то для такой области обязательно появляются не почти-периодические решения этой задачи.
Диссертация состоит из четырех глав.
- Київ+380960830922