- 2 -
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы.
Одной из важных задач теории абелевых групп является изучение строения их вполне характеристических подгрупп. Знание свойств вполне характеристических подгрупп абелевой группы существенно помогает как при изучении свойств самой группы, так и при исследовании свойств её кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов и других алгебраич£сгких систем, связанных с исходной группой (см., например,.[II] 9 [31] , [36] , [20] , [35] и другие работы). Выяснение строения вполне характеристических подгрупп абелевых групп представляет также интерес при изучении вполне характеристических (вполне инвариантных) подмодулей и подалгебр модулей и алгебр. Информацию о вполне характеристических подгруппах абелевых групп полезно иметь и при исследовании абелевых групп, как модулей над своими кольцами эндоморфизмов.
Для некоторых классов р- групп описание вполне характеристических подгрупп получено в работах Бэра [19] , Капланского [30] и других авторов. Эти классы р- групп включают в себя, например, все сепарабельные и все тотально проективные р- группы. Как правило, эти описания вполне характеристических подгрупп абелевых групп даются не на наиболее удобном для этих групп языке инвариантов Ульма-Капланского. И в ряде случаев требуется преодолеть значительные трудности для перевода такого описания на этот язык.
0 вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения и связях их строения со строением самой группы в отличие от примарных групп известно, вообще, очень мало, что связано в
- 3 -
первую очередь с тем, что сами группы без кручения ещё недостаточно изучены.
В настоящей работе предложен подход к изучению вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения и связей их строения со строением самой группы. Основная идея этого подхода, изложенного в главе П, состоит в следующем. Задаётся некоторое свойство вполне характеристической подгруппы абелевой группы без кручения, записываемое в терминах характеристик элементов группы, а затем в различных классах абелевых групп без кручения выделяются и описываются группы, в которых все вполне характеристические подгруппы обладают заданным свойством. Выбор свойства, которому должны удовлетворять вполне характеристические подгруппы осуществляется, конечно, так, чтобы группы, определяемые таким свойством, составляли достаточно широкий класс групп. Таким образом, приходим к понятию %-группы, т.е. такой абелевой группы С* без кручения, в которой каждая вполне характеристическая подгруппа имеет вид Сг[^ гг} , где Х(р) - характеристика элемента ^ , гГ- (ггг*1 гг(г*.. .. ) - некоторая последова-
тельность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов оо . Отметим, что во всякой группе без кручения А её подгруппы вида А [1/~\ вполне характеристичны и, как правило, любая группа без кручения А достаточно "насыщена" вполне характеристическими подгруппами такого вида.
Выделение X -групп в ряде классов абелевых групп без кручения фактически равносильно описанию вполне характеристических подгрупп в выделенных группах.
Всякая X- -группа является транзитивной абелевой группой без кручения, то есть группой, в которой для любых двух элементов X.
- 4 -
свойством у(х.)= у . Транзитивными группами являются, в частности, алгебраически компактные, квазисервантно инъективные, сильно однородные и другие группы без кручения. Заметим, что изучению как самих транзитивных групп, так и других групп "богатых" эндоморфизмами уделяется в последнее время большое внимание (см., например, [5] , [б] , [18] , [37] ).
Отметим, что указанный подход к изучению вполне характеристических подгрупп даёт возможность установить различные их инварианты, получить информацию об их решетке и решить ряд задач, связанных с вполне характеристичностью.
Полученные в работе результаты о ^ - группах могут быть применены затем к изучению вполне характеристических подгрупп различных теоретико-групповых конструкций, полученных из исследованных групп. Такие конструкции, в частности, прямые суммы групп, уже не являются, вообще говоря, ни Ж - группами, ни даже транзитивными группами. Однако в целом ряде случаев возможно получить исчерпывающую информацию о вполне характеристических подгруппах таких групп (см. § б).
Заметим также, что многие результаты о транзитивных абелевых группах без кручения и их вполне характеристических подгруппах, полученные в работе, могут быть перенесены на К - прямые ([1б]:, с. 54) суммы групп без кручения [54] .
При изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп и связей их строения со строением самой группы важную роль играет понятие почти изоморфизма по вполне характеристическим подгруппам, представляющее и самостоятельный интерес. Две группы А и В , каждая из которых изоморфна подгруппе другой группы, называются почти изоморфными [29] . Две группы А и 6 называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством,
- 5 -
если каждая из них изоморфна подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского [30] ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение. Однако в работе [25] приведён пример неизоморфных р- групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы. Для групп без кручения примеры такого рода были построены в [24] и [38] . Естественно ставить вопрос об изоморфизме абелевых групп почти изоморфных по некоторым специальным подгруппам (сервантным, вполне характеристическим и другим). В работах [27] и [15] исследовано когда из почти изоморфизма групп по сервантным подгруппам вытекает их изоморфизм. В [12] рассматривались вполне разложимые абелевы группы без кручения, изоморфные всякой группе, которой они почти изоморфны по вполне характеристическим подгруппам. Понятия, близкие к изоморфизму (почти изоморфизм, квазиизоморфизм и другие), оказались очень полезными при изучении строения абелевых групп и их колец эндоморфизмов. (См.,например, [29] , [Зб1, [7] ).
Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Бернштейна (Шредера-Бернштейна) явилась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [23] изучается теоретико-кольцевой, а в [39] теоретико-категорный . аналоги теоремы Кантора-Бернштейна. Почти изоморфные модули (то есть такие модули А и В , каждый их которых изоморфен некоторому подмодулю другого модуля) рассматриваются в работах [22] , [28] , [13 ] и [и] . Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности, в топологии ( [4], стр. 20-21).
- 6 -
При изучении абелевых групп, почти изоморфных по некоторым подгруппам, удобно считать, что одна группа зафиксирована, а другая пробегает класс всех абелевых групп. Назовём абелеву группу А £1.- корректной, если для любой абелевой группы В из того, что А =£>' и В £ А/ , где £>' , А1 - соответственно вполне характеристические подгруппы групп В , А (то есть А и В почти изоморфны по вполне характеристическим подгруппам), следует изоморфизм А = В .
Изучение ^.1.- корректных абелевых групп представляет интерес по следующим причинам. Во-первых, каждая /Л. - корректная абелева группа даёт положительное решение задачи об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам. Во-вторых, при изучении ^.1.- корректных абелевых групп глубже выявляются связи мевду строением абелевой группы и строением ее вполне характеристических подгрупп. В-третьих, как известно, имеется связь между цепочками вполне характеристических подгрупп
абелевой группы А и стабилизаторами этой цепочки, которые являются нормальными делителями группы её автоморфизмов ЛсЛ(А) ( [17] , стр.300). Если 0=ХоСХ^ -СХ^=
* А - такая вполне упорядоченная цепочка подгрупп группы А , что Хт вполне характеристична в при т<А , то для £1.- корректной группы А такая цепочка обладает интересным свойством: либо эта цепочка не содержит собственных подгрупп, изоморфных А , либо существует такое 2Гух , что Х^ = А для всех .
Так как всякая вполне характеристическая подгруппа абелевой группы А является нормальной подгруппой её голоморфа Г(А)> то обобщением задачи об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам является следующая задача. Пусть А и 5 - абелевы группы и А = в/ , В — А* , где А' , В/ - соответственно нормальные подгруппы групп Г(А)
- 7 -
и Г(В) (такие группы будем называть почти голоморфно изоморфными) . Будут ли сами группы А и В> изоморфны ? Изоморфизм почти голоморфно изоморфных конечно поровденных абелевых групп был показан в [32] . Всякая группа является нормальной подгруппой своего голоморфа, поэтому задача об изоморфизме почти голоморфно изоморфных групп является также обобщением задачи об опреде-ляемости группы своим голоморфом. Некоторые классы групп, определяющиеся своими голоморфами, были выделены в [32] у [2] и [3] .
Итак, если всякие почти голоморфно изоморфные группы из некоторого класса групп УЬ являются изоморфными, то любая группа
определяется своим голоморфом в этом классе, и из почти изоморфизма по вполне характеристическим подгруппам таких групп следует всегда их изоморфизм (то есть любая группа С* € УС -
корректна в классе УС ).
Интерес к изучению почти голоморфно изоморфных групп вызван с одной стороны отмеченными выше связями с корректностью абе-
левых групп и определяемостью групп своими голоморфами, а с другой стороны тем, что при этом изучении удаётся получить определённую информацию о нормальных подгруппах голоморфов абелевых групп, а также - о вполне характеристических и характеристических подгруппах абелевых групп.
Цель работы.
1. Получить описание вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения из ряда классов групп.
2. Установить связи мевду строением абелевой группы и строением её вполне характеристических подгрупп.
3. Выделить корректные группы в ряде классов абелевых
групп.
4. Выяснить в каких случаях почти голоморфно изоморфные абе-
- 8 -
левы группы являются изоморфными.
Краткое содержание работы.
Основное внимание в главе I уделено изучению примарных абелевых групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам. Результаты § I носят общий характер и применяются на протяжении всей работы. В этом параграфе вводится понятие гомоморфной оболочки подгруппы А' группы А в группе б , и с помощью него устанавливаются некоторые свойства вполне характеристических подгрупп абелевых групп. Доказана следующая теорема, которая даёт представление вполне характеристической подгруппы 5 абелевой группы Сг , зависящее от строения делимой и редуцированной частей Сг :
Теорема 1.6. Пусть С - абелева группа, где £ и 1/0 - соответственно её редуцированная и делимая без кручения части, а 1/^ - примарная р - компонента делимой части группы Сг . Подгруппа 5 группы Сг вполне характеристична в Сг тогда и только тогда, когда она имеет один из следующих двух видов:
1) £- Я'®^СФ1/р [ > где - периоди-
р Г I р г /
ческая вполне характеристическая подгруппа группы Я ( Ир - примарная р- компонента группы Ц1 ) и Кр ^ Я* }
( Кр - целое неотрицательное число или ’<*» , причём полагаем
* у? ) ;
2) 8-£'©1/оф£ф1/р , где /С - вполне характеристи-
Р '
ческая подгруппа группы Ц .
Из этой теоремы следует известный результат Брамре [211 о вполне характеристических подгруппах абелевых групп С вида С-Т&Я®
, где Т - делимая примарная группа, 2) - делимая груп-
па без кручения, а И - редуцированная группа без кручения.
- 9 -
В § 2, используя описание Капланского [30] вполне характеристических подгрупп примарных абелевых групп одного класса в терминах последовательностей специального вида ( Ц- последовательностей), удалось получить ответ на вопрос: какие пары последовательностей задают почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам и будет ли следовать из этого почти изоморфизма изоморфизм самих групп (теорема 2.7). В лемме 2.6. осуществлён перевод с языка " Ц - последовательностей” на язык "инвариантов Ульма-Капланского” для неограниченной вполне характеристической подгруппы 5 редуцированной сепарабельной р - группы Сг . В §2 вводится понятие абелевой группы А - транзитивной относительно функции \/\ Н , где Н - некоторая нижняя полурешетка, а^-функция со специальными свойствами и показывается, что при изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп полезно рассматривать группы транзитивные относительно таких функций (предложение 2.1). Основные результаты главы I содержатся в § 3.
В этом параграфе рассматриваются примарные абелевы группы, почти изоморфные по вполне характеристическим и большим подгруппам. (Подгруппа 1_ примарной абелевой группы Сг называется её большой (широкой) подгруппой, если она вполне характеристична в Сг и вместе со всякой её базисной подгруппой порождает группу Сг [35] ).
Будем говорить, что р- группы Сг и (^базисно изоморфны, если их базисные подгруппы изоморфны. Группы Сг и Сг7будем называть базисно эквивалентными по большим подгруппам, если каждая из групп базисно изоморфна большой подгруппе другой группы. Обозначим через ^(^г^множество, состоящее из р- группы Сг и всех её больших подгрупп. Группу Сг назовём В1- - группой, если всякие две базисно изоморфные группы множестваЗС(Сг)изоморфны. В1- - группами являются, в частности, группы разложимые в прямые суммы
- 10 -
своих циклических подгрупп, и замкнутые группы.
Последовательность Сі0), (Х^ ... кардинальных чисел (конечных и бесконечных) назовём сильно зависимой, если при выполняются равенства:
.Ц Л-і > где + і ■= ік +£ (*) .
і. 9 Ск V
Причем среди сумм, стоящих в правых частях равенств ( * ) могут быть и вырожденные, то есть состоящие из одного слагаемого, но равенств вида ОС'с ~ & і может быть лишь конечное число, и если СХ,0 - ~ ••• у ~ * * ■ •’*’ ^ » а
^ Я о » то в последовательности •• должна су-
ществовать хотя бы одна пара не равных между собой чисел.
Основная теорема § 3 (теорема 3.2) даёт полный ответ на вопрос: когда всякая абелева р - группа Н , базисно эквивалентная абелевой р- группе Сг по большим подгруппам, будет базисно изоморфной группе Сг .
Теорема 3.2. Пусть С - абелева р- группа. Всякая абелева р- группа Н , базисно эквивалентная группе О- по большим подгруппам, будет базисно изоморфной С тогда и только тогда, когда группа Сг удовлетворяет одному из трёх условий:
1) редуцированная часть группы С ограничена;
2) все инварианты Ульма-Капланского (с - О, ... )
группы Сг равны и бесконечны;
3) последовательность инвариантов Ульма-Капланского группы С ( і = 0,1,2, ...) не является сильно зависимой.
С помощью этого результата для Е>1- - групп полностью решена задача, когда из почти изоморфизма групп по большим подгруппам следует их изоморфизм (следствие 3.4), а также получены необходимые и достаточные условия - корректности для некоторых наиболее важных классов сепарабельных р- групп (следствия З.б и 3.7).
- II -
В главе П проводится изучение вполне характеристических подгрупп и связей их строения со строением самой группы для достаточно широких классов абелевых групп без кручения. С помощью подхода к исследованию вполне характеристических подгрупп, предложенного в этой главе, устанавливаются связи между строением вполне характеристических подгрупп рассматриваемых групп и строением самих групп, даётся некоторая информация о решетке вполне характеристических подгрупп, а также решается задача об изоморфизме групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам.
Из полученных в главе П результатов следует все известные нам результаты, связанные с описанием вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения.
При изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп О' без кручения интерес представляют группы, в которых каждая вполне характеристическая подгруппа имеет вид Сг[у]-^бСт\\(у.]Ъ'У) > где Х(^) - характеристика элемента V- (7Г'** 7/сг)^ .. > ?
- некоторая последовательность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов . Как следует из предложения
2.1, такие группы являются транзитивными группами без кручения, то есть группами, в которых для любых двух элементов X и ^ таких, что Х-(х) ^ ЯСу) существует эндоморфизм со свойством ц>(х)=§ 4 посвящен изучению транзитивных абелевых групп без кручения. Важность изучения транзитивных групп обуславливается ещё и связью этих групп с проблемой 17а) из [16] : изучить свойства квазисервантно инъективных групп (то есть таких групп/}, что всякий гомоморфизм С* А % где йг - сервантная подгруппа группы А > индуцируется эндоморфизмом группы А ). Эта связь вызвана тем, что всякая квазисервантно инъективная абелева группа без кручения транзитивна.
В § 4 доказана теорема 4.2, дающая полный ответ на вопрос: ког-
- Київ+380960830922