-2-
ВВЕДЕНИЕ
Важным пунктом аналитических методов исследования вопросов качественной теории уравнений является проблема оценки решения уравнения.При оценке решения важная роль принадлежит теоремам типа теорем С.А.Чаплыгина.Применения такого рода теорем в качественных методах весьма разнообразны.Как отмечает Н.В.Азбелев [13],такие теоремы используются,например,при исследовании вопросов существования и единственности решений уравнений,непрерывной зависимости от параметров,при выборе начальных приближений и т.д.
Оценки,полученные из теорем о дифференциальных неравенствах, привели к значительным результатам в качественной теории уравне-
I»
ний.Т.Важевский,В.В.Немыцкий,М.А.Красносельский и С.Г.Крейн отмечали,что более общие и глубокие теоремы о дифференциальных и интегральных неравенствах должны привести к дальнейшему развитию качественных методов.
Среди большого количества итеративных процессов выделился широкий класс двусторонних процессов,которые монотонно снизу и сверху аппроксимируют искомые решения уравнений.
С.А.Чаплыгин на основе установленных им теорем о дифференциальных неравенствах[97]построил новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений,обладающий квадратичной сходимостью.
Исследование академиком H.H.Лузиным[60]метода С.А.Чаплыгина послужило началом для многих исследований этого метода и его многочисленных применений к уравнениям высшего порядка и системам уравнений.
H.H.Лузин в своей работе[60]отмечает важный результат Б.Н.ПЕ-трова[80] о неприменимости теоремы С.А.Чаплыгина для некоторых
-3-
нелинейных уравнений второго порядка и ставит вопрос о промежутке применимости указанной теоремы к системам уравнений первого порядка.В работе Н.В.Азбелева и др.[8]содержится пример системы двух уравнений первого порядка,к которым теорема С.А.Чаплыгина не применима.Исследованием метода С.А.Чаплыгина и определением промежутка его применимости в различных видах уравнений занимались многие.Важные результаты,полученные при решении этих вопросов, содержатся в работах Н.В.Азбелева/Т-51.Н.В.Азбелева и Л.Ф.Рахматуллиной[6,7], Н.В.Азбелева и З.Б.Цалюка[9-14],Б.Н.Петрова [79,80] ,Б.Н.Бабкина[19],Я.Д.Мамедова[б2-64] ,С.Н.Слугина [85-87] и др.Из зарубежных авторов в первую очередь следует отметить работы Й.Шарсного£126] ,В.Вальтера[130,13Й ,Т.Важевского [132].В.Лакшмикантама и С.Леелы[113] ,К.0леха[117].
Приведем известную теорему С.А.Чаплыгина для дифференциального уравнения первого пориздка:пусть функция непрерыв-
на на промежутке [ О, Т] по совокупности переменных,функции Х{4) и у. (4) непрерывно дифференцируемы на промежутке [о, Г] , ОС СО -решение уравнения
XV)-10,0СО)),
а £(4-) удовлетворяет неравенству
ус*)*
причем у (о) - 0С( .Тогда у (О УХ[Ь) на всем промежутке [&, Т].
Если ОС. СО , }Ц,дс) вектор-функции,т.е. уравнение Х'(4) = /С^дС.) представляет систему уравнений,то теорема С.А.Чаплыгина на всем промежутке,вообще говоря,не верна.Более того,без каких-либо ограничений на функцию теорема
может иметь "нулевой промежуток" применимости,т.е.вообще не вер-на[8]. Одним из условий применимости теоремы для системы уравнений являются условия Камке-Важевского,так называемая внедиаго-
-4-
нальная монотонность: для уравнения
Х'м = Х<>.~,ЭС»), С *- К
Функция ]■; не убывает по переменным Хк , /О* .В случае
е £/ и*г,ЗС):1о,Т}<£ -+ Е ♦ где Е -банахово пространство, задача еще усложняется.Установлению достаточных условий для выполнения теореш С.А.Чаплыгина в банаховом пространстве с конусом посвящены работы Н.В.Азбелева,В.Вальтера[131],Фолькмана [128,129],Я.Д.Мамедова[631и др.Многие известные доказательства теорем о диффференциальных неравенствах используют интегральные неравенства.Достаточные условия для выполнения интегральных неравенств содержатся в работах Н.В.Азбелева и З.В.Цалюка/см.напр. [9,12,13]/,В.А.Бондаренка[23,24]»Ю.В.КОмленка и Л.В.Чичкина[39], П.П.Логинова[55,56],Я.Д.Мамедова и др./02*66] ,а также в работах зарубежных авторов [103,111,113,126,127,130,135].Аналогичными вопросами для интегро-дифференциальных уравнений занимались Т.Аманнулов[15],Ю.В.Комленко13б],В.С.Ручинский[82,83] и другие. Следует отметить монографии Я.Д.Мамедова[63,64],Н.С.Курпеля и Б.А.Щувара[51],В.Вальтера[130],В.Лакшмикантама и С.Леелы[ПЗ], Р.Рабчука [120]»которые содержат важные результаты исследований дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных неравенств.
Выделился класс неравенств,обобщающих результат Гронуолла, опубликованный им в 1918 г. [107],и Веллмана,и известный под названием леммы Гронуолла-Беллмана.Такие неравенства применязотя при оценке решений в теории устойчивости.Среди многочисленных обобщений леммы следует отметить работы К.Г.Валеева[25]»В.Н.Лаптин-ского[52],а также работы зарубежных авторов [97,99,101,102,114, 116,118,122,134] .
В последние годы особенно появилось значительное число работ
-5-
о дифференциально-функциональных неравенствах.Установлены некоторые теоремы сравнения решений,известные ранее для дифференциальных неравенству получены новые результаты.Среди работ,содержащих теоремы сравнения для решений уравнений и неравенств с отклоняющимся аргументом,имеются работы Н'.В.Азбелева и Л.Ф.Рахма-туллиной[6,7,],Ю.Г.Борисовича и Л.В.Кибенка[22],Г.М.Дцанова[29,30} Ю.И.Зубко[31,32],Э«И.Клямко[34],Ю.В.Комленко[38]А.И.Логунова[57, 58],М.П.Михайловой и В.В.Подгорнова[68iА.Д.Мышкиса [69,70] и др.
Как уже отмечалось,промежуток применимости теории С.А.Чаплыгина для уравнений /7 -го порядка вида
у'Ъ) = Кь.усъуЮ,.:,#*!»), iePJi
в общем ограничен или даже "нулевой".Установлению достаточных условий /ограничений для f /для применимости теоремы на конечном промежутке /0/7« j er [0,Т] определению этого промежутка и исследованию случаев,когда теорема применима на всем промежутке [OJJ ,посвящены работы Н.В.Азбелева/см.напр. [1-5.|/,Б.С.Без-домникова и Ю.В.Комленка[20] ,П.А.Кащеева[33],А.Ю.Левина[53], П.Юогинова[5б],С.А.Пака и Е.С.Чичкина[74],Б.Н.Петрова[79,80], С.Н.Слугина[87]и зарубежных авторов [96,98,100,105,108,111,119, 121,123,125 J .
Сравнение решений для общих операторных уравнений и неравенств и обобщения метода С.А.Чаплыгина содержатся в работах
Н.С.Курпеля[41-43],Н.С.Курпеля и Б.А.Шувара. £49,50].
Заметим,что в теории о>дифференциальных нескалярных неравенствах первого порядка одним из основных направлений развития является установление достаточных условий выполнения теоремы,менее ограничительных,чем уже известные.Например,условие монотонности функции iiifOC) по DC. со временем было заменено условием Li /или Lz / т.е.требованием монотонности функ-
-6-
ЦИИ } (/, X) *}С±)ЭС «В работе [128] теорема доказывается для более широкого класса функций,чем функции,обладающие условием Ьі .С другой стороны,некоторые известные результаты для скалярных уравнений обобщаются на. конечные системы или на уравнения в банаховом пространстве.При этом выполнение многих теорем о дифференциальных неравенствах существенно зависит от того,единственное или неединственное решение задачи Коши для уравнения X'С*) -^СІ{эс(1г)) в точке (С0/Хо) •
В теории о: дифференциальных неравенствах высшего порядка возникли такие задачи: а/ установление типа уравнений,к которым теорема С.А.Чаплыгина вообще применима /хотя бы на ограниченном отрезке /; б/отыскание промежутка применимости теоремы; в/выделе<? ние типа уравнений,к: которым теорема применима на всем промежутке определения и непрерывности функции /
Целью настоящей диссертационной работы является:
- установление условий,менее жестких,чем уже известные,при ко*-торыхтеорема С.А.Чаплыгина имеет место для нескалярных уравнений первого порядка на всем промежутке существования;
- исследование уравнений высших порядков,к которым теорема С.А.Чаплыгина может быть применена хотя бы на ограниченном промежутке ;
- установление условий,при которых теорема С.А.Чаплыгина верна для уравнений с запаздыванием аргумента;
- применение теорем о дифференциальных неравенствах к построению и ''исследованию сходимости монотонных итерационных процессов.
При формулировке большинства теорем предполагается,что задача Коши соответствующего уравнения имеетррешение и,вообще говоря,не единственное.
В процессе работы над диссертацией получены следующие результаты.
7'
В главе І сравниваются решения дифференциальных уравнений и неравенств первого порядка в банаховом пространстве £ .Рассматриваются двустронние неравенства вида
v'w *кк m,uw)ш
на промежутке [О, Т] и уравнение
Ki,KW,XLi)) ( te[o,T] /2/
Установлены достаточные условия для выполнения неравенств
ЮС-t) і XL*) * W , teiojj /3/
приведем одну из теорем § I.
Теорема 1.1,4.Пусть функция 66,6^ :1°,Т]хЕ*Е ~* £
непрерывна по' совокупности переменных,квазимонотонно не убывает
по переменной К- при фиксированном £ .двазимонотонно не
• /
возрастает па у при фиксированном U- є £ ;функции LL(i) и : J Е непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют нера-
венства
U (о) * if (о)
U(i) - Ш,и,&) < (SZ+) - Н*,*,и)
на промежутке [0,Т] .Тогда выполняется неравенство
и(І) < »(*) , Ье[0іТ].
Заметим,что условие квазимонотонности /см.определение на стр. 2 2 / менеее ограничительное чем условие L-l или Lz В $ I этой главы показано,что существуют функции квазимоно-тонные^ но не удовлетворяющие условию Ll .Теорема I.1.4.обо-
-8-
бщает результат тех теорем,где применяется условие ,а так-
же результат работы (128] на случай двусторонних неравенств. Теорема 1.1,5. содержит достаточные условия для выполнения неравенств /3/ при условиях квазимонотонности.
Теорема 1.2.I. обобщает результат работы [123] .полученный для линейных уравнений,результат работы /1247 »полученный для систем скалярных уравнений на нелинейные уравнения в банаховом пространстве с К-линеалом[27] .Приведены примеры на существенность условий теоремы 1*2.1•
Исследования,изложенные в § 3,посвящены доказательству неравенства типа леммы Гронуолла-Беллмана: пусть ©(() & £ удовлетворяет неравенству
Э(-[) - к+) *%(£) I к($) 0(5) кЬ } Ь Є [О, Т] }
ъА>0 ( ±А<0) , к([)>0СкШ<о),
где ~
скалярные функции, £(0 £ Е .Все функции непрерывные*Тогда выполняется неравенство
{2(5) к (ї) с! $
/6/
где к /(5) .
Неравенство,полученное в работе [103] »следует из неравенства /5/,если А - і ,при менее жестких ограничениях / в работе [103] требуется 0(1)70 , ; К(г) -монотонно возрастает, £ /.
Показано одно из применений теорем о дифференциальных неравенствах.Построен алгоритм
ЬСц+! (к) +
--Не, им, ЯIV) + а,ф^нф-дл*М^
Л„ (*) + А<Ш&нШ - \ iLtylAhHU-) -
Ш,№),№)) +ЫЬ)1АС1)-Ы+)и*(0,
/6/
\КЛ°Н- и*+,(0)*Хо , п,*о,(,гг...
Указаны условия,при которых процесс последовательных приближений сохраняет монотонность и сходится к решению уравнения /2/. Заметим,что простые итерации в этом случае,вообще говоря,дают последовательности немонотонные и не обязательно сходящиеся.
В случае Ь, и, &) - / и) /для скалярных функций/получаем алгоритм,рассмотренный Я.Д.Мамедовым [62] ,при условии,что У\Цг,и) не убывает по Ы .Случай [0,Т] хЕ -*Е ,
£(Ь(и) -монотонно не убывает по К! Ы € Е / рассмотрен в работе С.Атдаева и С.Аширова [16] и следует из алгоритма /67 при условии А/ = <1 г - О 1 [ С/, и, 1Я) = [(/, Ы) / см. (71] /.
В §5 исследуется алгоритм для построения последовательных приближений к решению интегральных уравнений.Доказывается его сходимость.
Глава II содержит исследования нелинейных уравнений и неравенств порядка выше первого.
Доказаны теоремы сравнения решений неравенств второго порядка
ЬС'(*) + РСким,№))иН) * Нкищ, щ+)),
-10-
1?т+)+р((,щн(У)гю * Ш,т,ию)
и уравнений вида
X"{*} <Р(*>x-lt),X(<r))£W -Кеми,X(*)J.
Частные случаи неравенств и уравнений такого вида рассматривались в работах [98,100,106,НО,III,119J .Полученная здесь формула ±
Uli)-- [C(i,s,u(!))}cs,u(s))Us + г/. +
для решения уравнения
ЬСЬ) * Р(е, UW) и'(*) -- Re, UW)
при условиях 1/(о) = Къ, Ur(О) - 1/J обобщает результат работы [119] ,где рассматривается скалярное уравнение в случае
ра,и) -- рс+), h*,u)-$wu.
Результаты,полученные в теоремах сравнения,отличаются от ранее известных [98,100,106] ,как.и налагаемые на функции Р и £ условия.
Рассматриваются нелинейные уравнения и -го порядка вида
ХМС*) + Р(+,X(V)х‘И&) --Не,хШ))
для которых теоремы сравнения имеют место на.всем промежутке [0,Т] при определенных условиях,налагаемых на функции Р и /. Исследуются уравнения вида
L [х] 5 з}Ъ)+Р.шх01#) -••• +Р*мх'(+) --
-II-
для которых указан промежуток применимости теоремы С.А.Чаплыгина.
Приведены два алгоритма, при помощи которых строятся последовательные приближения к решению уравнения.Например,для решения задачи
[[X] } , К-О,
строятся последовательные приближения при помощи алгоритма
( [и I + А/СО Мын 1^,4-! - Р ^(_ь
\
Z [ ^+(] * ^ ^^2 &~)ЫыН = Р £ +
■>0,К «,Ик,л.)-)да„-1,мй., и£(°1--1/£(0)*Х?и ,
УИ-0,/}...
При определенном выборе начальных приближений 1/с I/■) / 1%№) теоремы о.'дифференциальных неравенствах гарантируют монотонность и сходимость последовательностей \и*,№)]■» {(Л, Ш} к решению уравнения.Дана оценка скорости сходимости.
Так как рассматриваемая функция и, ся) ,вобще говоря,не
монотонна,то последовательности,получаемые при помощи простых итераций,немонотонные и не гарантирована их сходимость.
В главе III исследуются решения дифференциальных,интегро-дифференциальных уравнений и неравенств,содержащих отклонение
-12-
аргумента. Например, теорема 3.1.2. о сравнении решений уравнений и неравенств вида
УЮ--№,№),№«)))
IX(±) ъ- }■(£/ иш, и(Ш),
-к й 1ъЦ-) £ /»обобщает на банахово пространство некоторые результаты работ /29,34,683 при менеее ограничительных условиях.
Теоремы сравнения,полученные для уравнений и неравенств вида
1>[х.] - {С*,*■(*>,*((■))
им >ХХ, иххс*))
им ( ш,т, их»,
где
их1=т'ятх) * I лих(м),
С 21 К-(
LifxJs ХГ’х* zp.-m.xj - £
с*/
кыи .зЬ,
удовлетворяет условиям /1 ,и к2, »содержат результаты работы /109]в случае ~ Н^) , -/Ь*С£)=0}
УС~2.,..;У* ; к,(±) - / для скалярных функций 1^,1^, к .
Теоремы 3.2.6.-3.2.10.позволяют сравнивать решения уравнений и неравенств высшего, порядка,когда функция,содержащая отклонения аргумента,входит нелинейно.
Теоремы 3.2.6.-3.2.7. указывают,кроме того,на ограниченность промежутка применимости теоремы С.А.Чаплыгина.
- Київ+380960830922