Оглавление
1. Обозначения и предварительные сведения 30
1.1. Некоторые сведения из теории интерполяций........................... 30
1.2. Функциональные пространства ........................................ 32
1.3. Теоремы вложения.................................................... 34
1.4. Двойственность ..................................................... 34
1.5. Уравнения Стокса.....................................................36
2. Существование и единственность решения краевой задачи для уравнения переноса 38
2.1. Основные результаты................................................. 38
2.2. Нормальные координаты................................................42
2.3. Модельное уравнение................................................ 45
2.4. Результаты о локальном существовании решений.........................46
2.5. Существование решения в окрестности области втекания...............49
2.6. Доказательство теоремы 2.1.4....................................... 52
2.7. Доказательство леммы 2.2.2..........................................56
2.8. Доказательство леммы 2.2.3..........................................63
2.9. Доказательство леммы 2.3.1..........................................64
3. Существование и единственность решений краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа 76
3.1. Постановка задачи................................................... 76
3.2. Существование решений краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа.............................83
3.3. Единственность решений краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа.............................90
3.4. Вывод уравнений (3.3.2) ............................................ 99
3.5. Доказательство леммы 3.3.1..........................................101
3.6. Доказательство леммы 3.3.2..........................................103
3.7. Корректность интегрального тождества (3.3.13).......................103
3.8. Замена переменных в уравнениях Навье-Стокса.........................105
3.9. Замена переменных в формуле для функционала сопротивления .... 106
3.10. Вывод уравнений в краевой задаче (3.1.14)..........................108
4. Дифференцируемость по области функционала сопротивления и решений краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа 110
4.1. Основные результаты.................................................110
4.2. Предельный переход в краевой задаче для уравнений Навье-Стокса . .115
4.3. Вывод формулы для производной функционала сопротивления по области..................................................................118
4.4. Вывод уравнений сопряженного состояния..............................120
4.5. Существование решения краевой задачи для уравнений сопряженного состояния. Формула для производной функционала сопротивления в терминах сопряженного состояния..........................................122
4.6. Формальный вывод уравнений в задаче (4.1.3).........................124
5. Производная по области функционала сопротивления 127
5.1. Производная функционала сопротивления в терминах нормального сдвига, заданного на поверхности обтекаемого тела........................127
5.2. Нормалыиле координаты...............................................129
5.3. Возмущение поверхности обтекаемого тела.............................131
5.4. Пределы интегралов..................................................134
5.5. Доказательство теоремы 5.1.1........................................138
2
Введение
В работе доказывается корректность постановки и приводится анализ чувствительности решения неоднородной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого баротропного газа к изменению формы области течения. Под анализом чувствительности решения краевой задачи мы понимаем анализ того, насколько сильно изменится решение при малом изменении исходных данных задачи (к примеру, формы области течения). В ходе данного анализа, в частности, выводятся оценки на норму решения краевой задачи через нормы варьируемых исходных данных.
Пусть, например, найдена оптимальная форма тела, движущегося в вязком газе, такая, что действующая на тело сила сопротивления минимальна. Если при малом изменении формы области течения решение краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого газа существенно меняется, то действующая на тело сила сопротивления также существенно изменится (возрастет). Таким образом, данная математическая модель будет неудобной для практических приложений.
В диссертации исследуется вопрос об оптимизации формы области течения в случае установившегося движения вязкого сжимаемого баротропного газа. Предложенные в работе методы носят общий характер и могу т быть использованы для анализа более широкою класса оптимизационных задач для нелинейных эллннтико-гинерболических уравнений.
В рабо те предполагается, что вязкий газ заполняет ограниченную односвязную область И = В\Б с границей класса С°°, где В с К3 - внешняя область с
границей Е = сШ, а 5 СС В - компактная подобласть. Скорость газа совпадает с заданным векторным полем и € С°°(К3)3 на поверхности £ и равна нулю на
3
границе dS обтекаемого препятствия S. В этих предположениях границу области течения Г2 можно разделить па три части: область втекания Ejn, область вытекания Eout и характеристическое множество Е0, которые определены следующим образом:
ЕіП = {z Є <9£2 : U • n < 0}, Eout = {x Є OÜ : U • n > 0}, (0.0.1)
Eo = {.t € Ш : U • n = 0}, где n - внешняя нормаль к <9£2 = Е U OS.
Рис. 1.
Таким образом, многообразие Г =: (с1 П (с1 (Еоп1 и Е())) делит поверхность Е
на три непересекающисся части £|П1 Еои1 и Г.
Состояние газа описывается распределением плотности д(х), давления р(х) и полем скоростей и(х), которые удовлетворяют следующим уравнениям и краевым условиям:
Ли + А’7 сИу и = Яди • VII 4- ^'Ур(д) в £1, (0.0.2а)
сНу(£и) = 0 в £1, (0.0.2Ь)
и = и на Е, и = 0 на дЭ, (0.0.2с)
о — до на Еь, (0.0.2с1)
где давление р = р(д) - гладкая строго монотонная функция плотности, с - число Маха, Я - число Рейнольдса, до - положительная константа, А = 1/3 + ^А'ь где 1У\ - коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость), - объемная вязкость. Уравнения (0.0.2а), (0.0.2Ь) записаны в безразмерной форме, вывод данных уравнений приведен в монографии [12].
Общая теория краевых задач для уравнений Навье-Стокса динамики вязкой жидкости и газа представлена в работах [36], [48] и [53]. В монографии [48]
II. Л. Лионсом получены основные результаты о глобальном существовании слабых (обобщенных) решений однородных краевых задач для уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа. Эти результаты были существенно улучшены в монографиях (36| и [53|. См. также [40], [18), [17] для последующих обобщений.
В литературе представлено много работ, посвященных исследованию решений однородных краевых задач для стационарных уравнений Иавье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа в предположении малости чисел Маха, Рейнольдса и отношения коэффициентов динамической и объемной вязкости. Напомним, что существуют разные подходы к решению подобных задач, предложенные в работах [28], |54] и [51]. К примеру, метод, предложенный М. Падулой, состоит в том, чтобы ввести так называемое эффективное вязкое давление и выразить дивергенцию скорости через плотность газа, получив, таким образом, транспортное уравнение для нахождения плотности газа. Основные результаты о локальном существовании и единственности сильных решений однородных краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого газа представлены в работе [53]. Также интерес представляют результаты, полученные в работе [55].
Неоднородные краевые задачи были исследованы в работах [46], [47], где получены результаты о локальном существовании и единственности решений в двухмерной области в предположении, что на границе области течения скорость и близка к заданному постоянному вектору.
Вопрос о существовании и единственности сильных решений неоднородных краевых задач в трехмерной области с гладкой границей до сих пор не исследован до конца, поскольку существует* ряд сложностей в решении данной задачи, включая проблему контроля общей массы газа, а также проблему слабой сингулярности решения на характеристическом многообразии Г =: (с1 (£,„)) П (с1 (£ои1 и £о))-
Поясним проблему контроля общей массы газа па примере задачи протекания (0.0.2). Поскольку течение является установившимся, то можно считать, что оно происходит "вечно" и поскольку нет данных о том, весь ли втекающий в ограниченную область П С К3 вязкий сжимаемый газ вытекает из нее, то, вообще говоря, газ может накапливаться. Таким образом, при исследовании вопроса о существовании сильных непрерывных решений задачи (0.0.2) необходимо
5
контролировать обшую массу газа и она должна быть конечна.
Поясним проблему слабой сингулярности плотности на характеристическом многообразии Г на следующем простом примере. В области П = {(£,?/) : У > х2} С 1R2 рассмотрим линейное транспортное уравнение
(.,„>« я.
В дампом случае IJ = (1,0), а области втекания, вытекания и характеристическое многообразие Г заданы следующим образом:
Sin = {х = у2, х> 0}, ^out = {х = у2, X < 0}, Г = {(0,0)}.
Зададим краевое условие
Р(х,у) = 1 на Sin,
тогда решение данной краевой задачи для транспортного уравнения может быть выписано в явном виде
Р(х, у) = 1 + у/у + х, а производная решения по переменной у
flp(s.y) _ J_
% у/У
обращается в бесконечность при х — у — 0. Таким образом, имеет место слабая сингулярность решения на Г.
В диссертации доказывается локальная теорема существования и единственности сильных решений задачи (0.0.2) в пространствах Соболева W*,r(Q) с вещественным индексом 6* в предположении, что число Маха, число Рейнольдса, отношение коэффициентов динамической и объемной вязкости малы, а заданное векторное поле U и многообразие Г удовлетворяют условию возникающего поля.
2.1.3. Условие. Г является замкнутым одномерным многообразием класса С°°. Существует константа с(П, U) такая, что справедливо неравенство
U - V(U • п) > с > 0 на Г. (0.0.3)
G
Поскольку векторное ноле U является касательным к dQ на Г, то левая часть предыдущего неравенства определена значениями векторного поля на Г. Очевидно, что данное условие выполнено для всех строго выпуклых областей и постоянных векторных нолей. Условие (0.0.3) имеет простую геометрическую интерпретацию, а именно: величина U • и обращается в ноль на Г только до первого порядка, в любой точке Ре Г вектор U(P) касается части DQ где U - внешнее векторное поле. Впервые условие возникающего поля было введено JI. Хёрмандером, оно играет важную роль в теории задач с наклонной производной для эллиптических уравнений, см. [23]. Данное условие мы задаем для того, чтобы гарантировать непрерывность плотности газа д.
Одними из первых работ, посвященных исследованию задач оптимального управления и управляемости для уравнений Навьо-Стокса, являются работы [19], (20], [21|, 1221, [241, [341-
В работе [411 исследована задача оптимального управления для трехмерной нестационарной системы Навье-Стокса во внешности ограниченной области. Цель управления состояла в том, чтобы минимизировать функционал работы по преодолению сопротивления тела, а в качестве управления бралась скорость жидкости на границе области. Было доказано существование решения задачи оптимального управления и выведена система оптимальности.
Задачи оптимального управления для стационарного уравнения конвекции-диффузии исследованы в работах [7]. [27), |61|. Экстремальные задачи для стационарной модели массопереноса исследованы в работах [2|, [8|. В работах [6|, [9| и [35] рассмотрены задачи оптимального управления для стационарных уравнений тепловой конвекции. Экстремальные задачи для стационарной модели, описывающей совместный перенос тепла и масс, исследованы в работах [3| и [1|. В монографии [10[ рассмотрены задачи управления и обратные экстремальные задачи для стационарных моделей гидродинамики и тепломассопереноса. В монографии [4] исследованы задачи управления для стационарных уравнений тепломассопереноса и магнитной гидродинамики.
Задача оптимизации формы области течения, описываемого стационарными уравнениями Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого баротроиного газа,
7
исследовалась в работах П. И. Плотникова и Я. Соколовского [17], [56] и [60]. В частности, в работе |60| методом минимизации функционала исследован вопрос о существовании оптимальной формы области в предположениях на область течения, краевые условия и коэффициенты уравнений, сравнимых с предположениями, используемыми в данной работе. Отметим, что действующая на обтекаемое тело сила сопротивления зависит от формы тела. Задача минимизации сопротивления включает в себя поиск оптимальной формы обтекаемого тела, а также контроль течения путем изменения формы тела. Последний вопрос был исследован в работе [43], кроме того, в указанной работе представлен обзор оптимизационных задач.
Зависимость решений краевых задач для нестационарных уравнений Навьс-Стокса динамики вязкой сжимаемой жидкости от формы области течения и разрешимость задачи оптимизации формы области течения исследовались в работах [37|, [38|.
В диссертации иссле\луется задача минимизации силы сопротивления, действующей на твердое неподвижное тело S, обтекаемое потоком газа, скорость которого на внешней границе Е области течения Q = B\S равна постоянному вектору U^. Действующая на тело S гидродинамическая сила определена следующим образом (см. [62]):
J(S) = - / (Vu + (Vu)* + (А - l)(div u)I - 4>(e)I) ■ ndS,
Jos c
где I - единичная матрица размера 3 x 3, п - внешняя единичная нормаль к DS.
Функционалом сопротивления Ju(S) является компонента Л, параллельная Uoo,
Jd(S) = U« • J(5), (0.0.4)
подъемной силой является компонента J, ортогональная U«,. В случае, когда скорость и плотность течения заданы, функционал сопротивления можно рассматривать как функционал, зависящий от формы обтекаемого тела S. Наибольший практический интерес представляют задачи минимизации функционала сопротивления и максимизации подъемной силы.
Зададим в пространстве R3 отображение
х —> у(х) = х + еТ(х),
8
которое описывает возмущение формы обтекаемого тела S. Пусть векторное поле Т € C2(R3)3 и рашю нулю в окрестности >3. Для малого числа є > 0 отображение х —> у диффеоморфно переводит область течения £2 на область = В \ Sc, где Se = y(S) - возмущенное обтекаемое препятствие. Обозначим через (й£(;</), д£(у)) -решение задачи (0.0.2) в возмущенной области £2t., а через Л(5Є) - силу, действующую со стороны течения на возмущенное препятствие Stг.
Рассмотрим присоединенную матрицу N матрицы Якоби (1 4- єТ1), заданную формулой
N(:c) = del (1 4- єТ'(х))(І 4-£Т'(х))-1, положим g(x) = \/det N.
Матрица N(z) аналитически зависит от малого параметра є и имеет представление
N = I + £D(x) + £2D,(e,x), где D = div(T)I - Т'. (0.0.5)
Для того, чтобы провести анализ чувствительности решений краевой задачи (0.0.2) к изменению формы области течения, в невозмущенной области Q зададим функции
п£(х) — Niif (х 4- єТ(х)), д£{х) = де(х + eT(z))
и сведем краевую задачу (0.0.2) с неизвестными функциями ііє, дє, заданными в области £2С, к краевой задаче (0.0.6) с неизвестными функциями ис, д£, заданными в области £2.
Дие 4- V 1 div uc - -jKfe)) = (uc) 4- ЯЩве> uC} u£) в £2, (0.0.0a)
div (&ue) = 0 в £2, (0.0.6b)
ut- — U на S, и« = 0 на dS, (0.0.6c)
gc = 0o на Хіп. (0.0.6d)
Здесь линейный оператор jrf и нелинейное отображение вё зависят от N и определены
следующим образом:
&4(и) « Ли - (N’)_1 div (g_1NN*V(N_1u)),
. (0.0.7)
Що, и. w) = ^(N*)“1 I и • V(N~'w) ).
9
В переменных ие(х)э дс(х) выражения для силы Л(5£) и функционала сопротивления Лг>(5с) перепишутся в виде
где г/ 6 - произвольная функция, равная 1 в окрестности тела 5 и 0 в
окрестности £. Отметим, что значение .Т не зависит от выбора функции //.
Зададим производные по области решений краевой задачи (0.0.6) и функционала сопротивления (0.0.9) по следующим формулам:
В работах (30], [31] и |03] исследовались вопросы о дифференцируемости но области решений неоднородных краевых задач для стационарных уравнений Павьс-Отокса динамики вязкого несжимаемого газа, а также функционала сопротивления. В частности, в работе [30] доказано существование производных но области решений неоднородной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого несжимаемого газа в трехмерной ограниченной области с липшицевой границей, получена формула для производной по области функционала сопротивления и выведены уравнения сопряженного состояния. Данные результаты были обобщены в [04| и [65]. Подробный обзор результатов, посвященных численным методам и приложениям, представлен в [44| п [50]. 13 случае, когда течение описывается стационарными уравнениями Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа подобных результатов в литературе представлено не было.
В диссертации доказывается существование производных по области решений неоднородной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого баротропного газа, а также выводится формула для производной но области функционала сопротивления, которая, в частности, может быть использована для записи условий оптимальности в явном виде (см. [57|, |59|).
Л(&) = - / [й ’ (Г'ГУ(Г'ГЧ) + У(Г>ГЧ)^ - (<Ку и£)1) (0.0.8)
-(ЯрЧ)/е2 - Ад Ч\'и,.)1 - Я&.(М~Ч) ® 4 Ч^'УЧз:,
М5С) = 14 • .14),
(0.0.9)
10
«Г
}
Для того, чтобы вычислить производную по области функционала сопротивлении, мы, в соответствии с предложенным Ж. Симоном в работе [63) методом, применяем производные по области решений краевой задачи (0.0.6), а также подходящее сопряженное состояние. Кроме того, поскольку газ обтекает препятствие с гладкой границей, то из формулы Адамара следует, что формулу для производной но области функционала сопротивления можно преобразовать таким образом, чтобы она зависела только от тех значений возмущения, которые заданы на границе обтекаемого препятствия. Таким образом, в итоговой формуле для производной по области функционала присутствуют только нормальные возмущения границы обтекаемого тела.
По своей структуре диссертация состоит из введения, пяти глав, состоящих из параграфов, двух иллюстраций и списка литературы. В диссертации принята единая нумерация формул. Например, в формуле (2.4.7) первая цифра обозначает номер главы, вторая цифра обозначает номер параграфа данной главы, а третья цифра - порядковый номер формулы в данном параграфе. Нумерация формулируемых в работе теорем, следствий, свойств, предложений, утверждений и определений также является единой. Например, номер 1.2.3 теоремы обозначает, что она сформулирована во втором параграфе первой главы.
Охарактеризуем содержание диссертации по главам.
Первая глава состоит из пяти параграфов, в которых приводятся основные определения и обозначения, а также известные результаты, которые будут использоваться в работе.
В параграфе 1.1 приведены некоторые результаты из ин терполяционной теории, которые можно найти в [11). Пусть Л0 и Л\ - пространства Банаха. Для t > 0 введем две неотрицательные функции К : Л0 + А\ IR и J : Л0 П А\ R. определенные следующим образом:
K(t,u, Л0, Ai) = inf MUe + ^IMUi,
и = щ + щ Ui Е Ai
J(t,«,ylo,Ai) = шах {|MUo.*IMU}.
и Е Л о П Л]
11
- Київ+380960830922