2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................... 4
Введение............................................. 6
ГЛАВА I Алгоритмы построения периодических (многопериодических) решений общих линейных дифференциальных систем
в частных производных................................. 15
§ 1.1 Вывод и обоснование алгоритма построения периодического по I и многопериодического решений линейной
дифференциальной системы первого порядка.............. 16
§1.2 Методика построения периодического решения линейной дифференциальной системы с дополнительным "начальным” условием.................................................. 28
§ 1.3 Исследование алгоритма построения периодического решения линейной дифференциальной системы с дополнительными краевыми условиями по одной пространственной переменной............................................. 44
§1.4 Алгоритм построения периодического решения линейной дифференциальной системы с краевыми условиями типа
Гурса .............................................. 56
ГЛАВА 2 Методы построения двоякопериодических решений канонических гиперболических систем и уравнений...... 63
§2.1 Построение двоякопериодического решения каноничес -
кой гиперболической системы с помощью характеристик 64 § 2.2 Построение периодического решения квазилинейного уравнения Клейна-Гордона методом последовательных
приближений.......................................... 74
§2.3 Построение периодического решения линейного волно -
вого уравнения с использованием метода Фурье 81
3
§2.4 К вопросу о построении периодического решения нелинейного телеграфного уравнения........................... 89
ГЛАВА 3 Алгоритмы построения решения задачи Коши для линейных нормальных систем в частных производных.............. 98
§3.1 Построение решения задачи Коши для линейной системы первого порядка методом последовательных приближе -
ний.................................................... 99
§3.2 0 коэффициентных оценках решения задачи Коши и ско-
рости сходимости метода последовательных приближений........................................... 105
§3.3 0 представлении периодических решений задачи Коши
канонических гиперболических систем в виде быстро-
сходящихся рядов....................................... 108
Использованная литература.............................. 115
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Линейные системы дифференциальных уравнений в частных производных являются одним из важных объектов исследования современного математического анализа, что обусловлено как многочисленными приложениями последних в различных областях естествознания, так и их особыми свойствами. В силу этого проблемы, связанные с разработкой простых и эффективных методов интегрирования линейных и нелинейных систем в частных производных, всегда представляли и пред -ставляют интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения.
Классическая точка зрения на интегрирование дифференциальных уравнений (следуя Ж.Адамару) состояла в отыскании "общего интеграла", т. е. решения уравнения, содержащего столько произвольных параметров или произвольных функций, сколько необходимо, чтобы пред -ставить все решения, за исключением некоторых особых. В последние годы особенно интенсивно развивается иная точка зрения на интегрирование дифференциальных уравнений. Задача (в большинстве приложений) состоит не в нахождении общего решения дифференциального уравнения, а в выборе среди них некоторого единственного решения, определяемого дополнительными краевыми условиями. Тем не менее воз -можность представить общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества.
К настоящему времени разработано и фактически применяется большое число разнообразных методов интегрирования дифференциаль -ных уравнений, основанных на принципиально различных идеях.
Среди них важное место занимают итерационные методы и различные модификации метода малого параметра, представляющие собой одно из мощных средств современной прикладной математики. В эпоху бур -
5
ного развития вычислительной техники эти методы отнюдь не утрачивают своего значения. Они дают возможность получать приближенные аналитические представления решений сложных линейных и нелинейных краевых задач, делать заключения о существовании, единственности и области существования решений. Они служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных "тестовых" решений, а в ряде случаев являются и основой для разработки вычислительных методов. Кроме того, при построении аналитических приближений решений ряда задач по специальным алгоритмам, для определения необходимых числовых коэффициентов разложения могут быть использованы современ -ные ЭВМ, что значительно расширяет практическую роль аналитичес -ких методов.
Цель настоящей работы - разработка и исследование эффективных аналитических методов построения периодических решений линейных дифференциальных систем в частных производных. В основу этих методов положены идеи и представления, разработанные в теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
6
ВВЕДЕНИЕ
Краевые задачи, связанные с изучением периодических решений дифференциальных уравнений в частных производных, имеют большое значение для самых разнообразных разделов механики, физики, тех -ники (в последнее время биологии) и занимают важное место в сов -ременной теории дифференциальных и интегральных уравнений ( см., например,[I]). Исследование условий существования и единственности периодических решений осуществляется на основе хорошо разработанной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также на основе методов функционального анализа, особенно интенсивно раз -вивающихся в последнее время.
Использование функционального подхода для изучения периоди -ческих решений нелинейных уравнений в частных производных обусловлено прежде всего необходимостью преодоления трудностей, связанных с "потерей производных" (см. [2-4] ), а также стремлением исследовать самые общие свойства операторов, отвечающих рассматривав -мым задачам. Функциональный подход позволяет устанавливать теоремы существования и единственности решения весьма сложных краевых задач в соответствующих пространствах (см., например, [4]). В то же время проблемам аналитического представления решений дифференциальных систем и эффективным конструктивным способам их построения не уделяется должного внимания, и эти вопросы менее разрабо -таны. Об этом можно судить, в частности, и по имеющейся литературе, посвященной данному кругу вопросов.
В связи с этим обстоятельством разработка конструктивных методов построения периодических решений и получение достаточных коэффициентных условий разрешимости соответствующих краевых задач представляются актуальными как с теоретической, так и с практической точек зрения.
7
В работах, посвященных конструктивному анализу дифференциальных систем в частных производных, выделим прежде всего задачи, поставленные для гиперболических систем и уравнений, как имеющие важное прикладное значение и тесно примыкающие к теории обыкновенных дифференциальных уравнений* В частности, для изучения квазиперио -дических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1х/&{ = {и,х) с квазипериодической правой частью в монографии [5] изложен подход, основанный на рассмотрении вспомогательной системы в частных производных вида
с периодической по ип..Мт правой частью. Это дало возможность записать условие квазипериодичности решения с помощью конечных уравнений (разрешимость которых устанавливается на основании теорем о неявных функциях) и получить ряд важных результатов.
В то же время выяснилось, что изучение этих и более общих систем в частных производных представляет известный интерес, так как они находят применение в некоторых разделах математики и в прикладных задачах. В связи с этим обстоятельством в монографии [б] были изучены многопериодические и почти многопериодические решения систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковой главной частью, содержащих различные малые параметры. Для таких систем удается избежать ’’потери производных", пос -кольку они сводятся к соответствующим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разработан мощный аналитический аппарат. Тем не менее, там же отмечается, что такое сведение может привести к обеднению свойств уравнений в частных производных. Кроме того, многие системы в частных производных вообще не сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому обобщение изло -
8
женных в монографиях [5,6] результатов представляет важную задачу.
Следует сказать, что задача о периодических решениях линей -ных и нелинейных гиперболических систем и уравнений явилась предметом многочисленных исследований. Обширная библиография по этому вопросу содержится в [1,7] (см. также[8-Ю] ).
Отметим работы [10,11-14], в которых построение периодичес -ких решений осуществляется на основе метода последовательных приближений. Обратим внимание также на идею Проди [4,стр.502], которая связана с представлением периодического решения.
Изучению периодических решений автономных волновых уравнений посвящены работы [15-18] (см. также и библиографию в них). Специфика этих задач заключается в том, что период искомого решения является неизвестной величиной и определяется в процессе построения решения. При этом, как правило, искомые период и решение представляются в виде степенных рядов по малому параметру.
Для линейных гиперболических уравнений и систем с постоянными и переменными по Ь коэффициентами, рассмотренных в [7], периодические решения предлагается строить в виде рядов Фурье по незави -симым переменным. Возникающие при этом трудности в обосновании сходимости этих рядов связаны с проблемой малых знаменателей.
Для непосредственного построения периодических решений некоторых линейных гиперболических уравнений целесообразно использовать метод поэтапного разделения переменных, предложенный в работе [19].
В последнее время в связи с биологическими и другими приложениями интенсивно исследуются периодические решения систем уравне -ний параболического типа [20-27] . Менее разработана теория перио -дических решений систем уравнений эллиптического типа (см., например, [28-30] ). Наиболее изученными в этом плане можно считать лишь скалярные параболические и эллиптические дифференциальные уравне -ния. В частности, отметим работы В.А.Треногина, А.М.Тер-Крикорова
9
[31], посвященные исследованию длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений, работы А.Б.Васильевой [32,33], связанные с изучением периодических решений сингулярно возмущенных уравнений, а также работы Ю.А.кубинского [34], в которых исследуются перио -дические решения нелинейных уравнений бесконечного порядка. Заметим, что периодические решения общих (без ограничения на тип) линейных систем в частных производных слабо изучены.
С точки зрения конструктивных методов отыскания периодических решений дифференциальных систем в частных производных также пред -ставляют интерес работы [35-38] , в которых рассматриваются некоторые специальные системы в частных производных.
Основная цель настоящей работы - разработка эффективных ана -литических методов построения периодических решений дифференциальных систем в частных производных и нахождение достаточных коэффи -циентных условий разрешимости рассматриваемых краевых задач, а также - исследование возможностей конструктивного способа преодо -ления трудностей, связанных с "потерей производных".
Работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы.
В первой главе на основе подхода, предложенного в [39] и ос -нованного на идеях метода малого параметра и учете аналитической структуры матрицы Грина периодической краевой задачи, развивается методика построения периодических и многопериодических решений общих (без ограничения на тип) линейных дифференциальных систем в частных производных, с независящими от X коэффициентами, и обо -сновывается конструктивный способ преодоления трудностей, связанных с "потерей производных".
В частности, в §1.1,1.2 разработаны алгоритмы построения периодических по { и многопериодических решений линейной системы вида
10
|^ + £л«>$е -ьа)и.+{а,х)
С "* 1 V
с периодическими по I коэффициентами, а также алгоритмы построения периодических решений этой системы с дополнительным условием
^ 1=0 *,=Г
В последующих двух параграфах разработаны алгоритмы построения решений следующих краевых задач:
и(1+и), х) = и.(1х),
а(о,а,х1,...хп) = хп)>
(о,-а, ,■. ■ £„.) — 1ъ1(х2>...
где К(-1;д/дх) - любая линейная комбинация операторов дифференцирования конечного или бесконечного порядка с непрерывными, и) -периодическими, матричными коэффициентами, зависящими только от *1: ;
ЭГ +СШ + А/ (£; 0/дх, = №>*)>
а(о)х1,о) = , и(о,одг) = Ц(*4),
- Київ+380960830922