Составные оболочки вращения минимальной массы с ограничениями на собственные частоты, напряжения и перемещения

- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
1. ВВЕДЕНИЕ.................................................... 5
1.1. Состояние вопроса....................................... 6
1.2. Цель и краткое содержание работы.................^.... 15
2. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ СОСТАВНЫХ НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МШМАЛЬНУЮ СОБСТВЕННУЮ ЧАСТОТУ, НАПРЯЖЕНИЯ,. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ....... 22
2.1. Постановка задачи оптимизации и переход к задаче нелинейного программирования................................ 23
2.1.1. Ограничение на минимальную собственную частоту..................................................... 28
2.1.2. Ограничения на напряжения и перемещения 31
2.1.3. Геометрические ограничения..................... 34
2.2. Модификация метода проекции градиента................. 37
2.2.1. Определение направления движения вдоль границы..................................................... 37
2.2.2. Определение величины шага вдоль граниш 44
2.2.3. Корректировка нарушенных нелинейных ограничений.................................................... 46
2.2.4. Вычисление множителей Лагранжа................. 49
2.2.5. Правило перебора активных ограничений.......... 51
2.3. Выбор начального приближения.......................... 52
2.4. Алгоритм решения задачи нелинейного программирования 54
- 3 -
Стр.
3. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ И СОБСТВЕННЫЕ НЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СОСТАВНОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ................................................... 57
3.1. Геометрия срединной поверхности оболочки вращения..................................................... 59
3.2. Линейная осесимметричная деформация оболочек вращения и шпангоутов............................... 50
3.2.1. Оболочка вращения............................... 50
3.2.2. Переход через шпангоут.......................... 54
3.2.3. Граничные условия............................... 58
3.3. Несимметричные колебания осесимметрично нагруженных оболочек вращения и шпангоутов....................... 59
3.3.1. Оболочка вращения............................... 59
3.3.2. Переход через шпангоут......................... ^
3.3.3. Граничные условия.........................................
3.4. Решение краевой задачи методом ортогональной
РО
прогонки С.К.Годунова......................... w
ОТ
3.4.1. Неоднородная задача..........................
ос,
3.4.2. Однородная задача............................
3.4.3. Решение характеристического уравнения... 88
3.5. Контрольные примеры расчета оболочек вращения.. 90
4. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МИНИМАЛЬНУЮ СОБСТВЕННУЮ ЧАСТОТУ И ТОЛЩИНУ............................................................... 96
4.1. Цилиндрические оболочки....................... 96
4.2. Конические оболочки.......................... 116
4.3. Сферические оболочки......................... 127
4.4. Тороидальная оболочка.........................134
4.5. Составные оболочки..........................................136
- 4 -
Стр.
4.5.1. Сопряженные между собой цилиндрическая
и сферическая оболочки...................... 137
4.5.2. Тороцилиндрический бак..................... 143
4.5.3. Цилиндрическая оболочка с центральным шпангоутом.......................................... 149
4.5.4. Составная оболочка из кусочно-однородного материала. ......................................... 150
5. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОЙ МАССЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА НАПРЯЖЕНИЯ, ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ЧАСТОТУ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ.......................... 156
5.1. Цилиндрическая оболочка с ограничениями на напряжения............................................... 156
5.2. Цилиндрическая оболочка с ограничениями на перемещения.............................................. 159
5.3. Тороцилиндрический бак...,.......................... 151
5.4. Исследование влияния внешнего давления, характера распределения толщины на значение минимальной собственной частоты.............................. 154
5.5. Оболочка вращения минимальной массы с заданной критической нагрузкой.................................... 155
5.6. Оптимизация по массе составной оболочки вращения при ограничениях на напряжения, частоту и толщину..................................................... 172
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................. 177
ЛИТЕРАТУРА.................................................. 179
ПРИЛОЖЕНИЯ................................................ 191
1. Документы, подтверждающие внедрение результатов ^
2. Описание пакета программ................................. ^94
I. ВВЕДЕНИЕ
Интенсивное развитие науки и техники выдвигает повышенные требования к современным конструкциям. В настоящее время одной из актуальных проблем является уже не только проблема расчета конструкций, но и проблема определения конструкций оптимальных по заданным характеристикам. Важным этапом расчета вибрирующих конструкций, работающих в условиях динамического нагружения, является определение резонансных состояний, когда собственные частоты близки к частотам внешних нагрузок. Явление резонанса, с одной стороны, способствует .разрушению конструкций, с другой стороны, может использоваться в ряде вибрационных приборов, основанных на этом явлении. Наряду с требованиями относительно колебательных характеристик при реальном проектировании часто необходимо удовлетворять условиям по устойчивости, прочности, жесткости, а также учесть конструктивные и технологические факторы.
Таким образом, задача оптимального проектирования конструкций связана с таким направлением изменения спектра собственных частот, при котором некоторые наперед заданные частоты занимают определенное положение относительно частот возмущающих сил; критические нагрузки, напряжения, перемещения и геометрические характеристики не выходят за пределы допустимых.
Настоящая работа посвящена задаче оптимизации конструкций по массе при наложении ограничений на значение минимальной собственной частоты, максимальные напряжения или перемещения и геометрические параметры, когда собственные частоты зависят от предварительного нагружения, и является дальнейшим развитием исследований, заложенных в работах Майкова В.П. [54]
и Тарасова В.Л. [77] . Объект исследования - составные оболочки вращения с заданной формой меридиана. Исследованию подлежат распределение толщины вдоль меридиана оболочки и геометрические размеры сечений шпангоутов.
1.1. Состояние вопроса
Задачи оптимизации конструкций относительно прочностных, жесткостных и колебательных характеристик в последние два десятилетия привлекают к себе все большее внимание. Появилось большое количество работ, посвященных как разработке методов решения экстремальных задач [4,9,19,30,67,68,76,84] , так и реальному проектированию упругих систем [5,23,54,64,78,80,83].
В теории оптимизации конструкций можно выделить два основных подхода. Первый основан на решении задач с использованием методов проектирования в бесконечном пространстве управлений. Второй основан на решении задач в конечномерном пространстве векторов параметрической оптимизации. Использование первого подхода при решении практических задач достаточно ограничено, но он позволяет получить теоретические границы для оценки реальных проектов. Обзор современного состояния методов, основанных на теории оптимального управления, дан в работе [83] . При оптимизации стержней, пластин и оболочек в настоящее время широко используется второй подход, основанный на сведении задачи оптимального проектирования к задаче математического программирования. Краткий исторический обзор и возможные пути развития этого подхода рассмотрены в работе [20] .
Основные задачи оптимизации для стержней и пластин сфор-
- 7 -
мулированы и решены в работах Баничука Н.В. [б] , Гринева В.Б.
[23] , Малкова В.П. [54] , Троицкого В.А. [80 ] , Ольхоффа Н.
[64] , Хога Э. и Ароры Я. [бз] . При решении этих задач используются оба подхода. В качестве критериев качества выбираются масса (вес), жесткость, прочность, критическая нагрузка и собственные частоты. Большое число работ посвящено конкретным задачам оптимизации стержней и пластин при кручении, растяжении, изгибе и методам их решения. Наряду с вышеперечисленными работами можно указать работы Бирюка В.И., Липина Е.К. и Фролова В.М. [1б] , Литвинова В.Г. [49] , Мажида К.И. [бв], Kari.ha.too &.£. [94] , йсМСна М.£. [87] и других.
Круг работ, посвященных задачам оптимизации оболочек вращения несколько уже. Решение задачи о проектировании осесимметричных оболочек является более сложным, так как краевая задача, описывающая состояние оболочки в некоторых случаях плохо поддается решению.
В работе [Юб] рассмотрены необходимые и достаточные условия для проектирования оболочек минимального веса. Предложен вариационный метод решения задачи оптимизации с помощью процедуры неограниченной минимизации. Получены доказательства для некоторых частных случаев.
Разработке алгоритмов оптимизации,с учетом свойств и специфики ограничений, для сложных конструкций посвящена работа [86] . Леви Р [48] разработал процедуры, улучшающие обработку ограничений на напряжения при использовании метода критериев оптимальности для проектирования конструкций минимальной массы с ограничениями на напряжения и податливость, заключающейся в использовании процедур сортировки при определении набора активных ограничений.
- 8 -
Баничук Н.В. и Кобелев В.В. [б] рассмотрели задачи оптимального проектирования упругих оболочек вращения в предположении, что масса, жесткость или прочность могут быть заданными величинами. Доказывается, что для некоторого класса оболочек критерием оптимальности является условие равнопрочности. Исследование задачи оптимизации формы двумерных упругих тел в задачах с неизвестными границами проводится в работе [7] . Предложена методика вывода необходимых условий оптимальности для класса локальных и интегральных ограничений, основанная на необходимых условиях оптимальности и анализе чувствительности. С использованием этого подхода в работах [40] и [2] изучаются соответственно задача оптимального распределения толщины в упругой оболочке, нагруженной внешним давлением и собственным весом, и задача распределения материала в стреловидных крыльях при ограничениях на потерю несущей способности, напряжения.
Chun У. М. и Наи^ <5. у. [SO] рассмотрели постановку задачи оптимизации формы упругих тел и предложили методику вычисления вариаций функции цели и ограничений через вариации параметров управления. Приводится пример минимизации объема тела вращения цилиндрической формы с использованием метода проекции градиента.
Литвинов В.Г. и Медведев Н.Г. [50] рассмотрели задачу о напряженном состоянии ортотропных некруговых цилиндрических оболочек как задачу оптимального управления. За управление приняты толщина и радиус кривизны направляющей оболочки. Минимизируется масса оболочки при ограничениях по прочности и другим параметрам.
Задача максимизации паршетра верхнего критического дав-
- 9 -
ления цилиндрической круговой оболочки, нагруженной переменным вдоль оси давлением, при постоянной массе рассматривается в работе [73] . Используются ограничения на толщину и ее производную. При решении задачи применяется метод последовательных приближений с использованием градиента параметра критического давления, как функции толщины оболочки. Обоснование вопроса о наложении ограничений на толщину и ее производную при решении задач оптимизации и исследование влияния на оптимальное решение ограничений на градиенты толщин проводятся в работе [в] .
Задачам оптимизации подкрепленных цилиндрических оболочек по массе, весу посвящены работы [27,56,74,99] . В работе [27] отыскивается толщина обшивки, высота и ширина продольных и поперечных ребер и расстояние между ними из условия минимума массы при наложении прочностных и технологических ограничений, а также условию устойчивости панелей между ребрами. Задача решается с использованием методов нелинейного программирования.
Максименко В.П. [56] рассмотрел вопрос определения оболочки минимальной массы с ортогональной сеткой ребер, а также ребер переменного сечения при нагружении локальной продольной нагрузкой.
Рар.[\аз М. и МогасИ у. исследовали подобную задачу для оболочки с кольцевыми ребрами Т-образного сечения. Варьируются толщина оболочки, размеры поперечных сечений колец и их расположение. Толщина и высота полок подкрепленных колец выбирается из условия исключения местного выпучивания [99] .
В работе [88] Вгои>а Р. Т. рассмотрел задачу оптимизации слоистых оболочек при ограничениях по прочности. Наряду с задачами оптимизации с ограничениями по прочности и жесткости к настоящему времени появились работы по управлению спектром собст-
- 10 -
венных частот и критическими нагрузками.
Простейшие задачи проектирования с ограничениями относительно частотных характеристик были поставлены и решены впервые для стержней и пластин [5,23,24,64,77,96,98] . Задача оптимизации оболочек вращения с целью удовлетворения ограничениям на частоту собственных колебаний и критическую силу потери устойчивости является более трудной по сравнению с задачей по удовлетворению условий прочности. В литературе рассматриваются, как правило, оболочки простой формы.
Проблему проектирования упругих конструкций с целью получения наперед заданных собственных значений (собственных частот незатухающих колебаний или критических значений нагрузки, в задачах потери устойчивости) рассмотрел WißCiams J, Ж, [l04] . Особое внимание он уделил вопросу о влиянии изменения жесткостей масс и конструкции на собственные значения.
Беликовым Г.И. и Тарасовым A.A. [II] поставлена задача повышения низшей частоты собственных колебаний путем изменения геометрических параметров и формы меридиана градирни с учетом влияния собственного веса на напряженно-деформированное состояние оболочки. При решении задачи оптимизации используется метод релаксации с корректировкой вектора решения на каждой итерации.
В работе [70] с помощью методов теории оптимального управления решена задача отыскания зависимости радиуса тонкостенного стержня от координаты вдоль меридиана сетчатой сферической оболочки из условия, что параметр первой собственной частоты задан, а функционал массы принимает минимальное значение.
Методика построения области работоспособности по собственным значениям г-афрированных оболочек вращения изложена в работе [65] . Приводится алгоритм проектирования упругих элементов
- II -
с использованием сечений области работоспособности.
Малковым В.П. и Тарасовым В.Л. [55] поставлена в общем виде задача оптимизации по массе цилиндрической оболочки при заданной минимальной собственной частоте. Приводится решение задачи при фиксированной форме колебаний.
Задачи оптимизации цилиндрических оболочек вращения с однородным и симметричным расположением слоев по толщине с наложением ограничений на собственные значения сформулированы и решены Тетерсом Г.А., Рикардсом Р.Б. и Нарусбергом В. Л. [78] . Полученные авторами результаты охватывают широкий круг проблем по оптимизации оболочек из слоистых композитов. Задаче оптимизации композитных оболочек с ограничениями на собственные значения с использованием численных методов и принципа Релея посвящена работа [102] .
Ла&Ьаг1аг\ У.£. и М. рассмотрели задачу оп-
тимального распределения угла армирования по толщине цилиндрической оболочки, обеспечивающего максимальное значение минимальной собственной частоты или критической нагрузки при осевом сжатии и внешнем давлении. Решение строится с использованием методов математического программирования [97] .
В работе [72] предложена методика поиска оптимального решения для подкрепленной конической оболочки из композита, с помощью метода информационного планирования эксперимента, позволяющего аппроксимировать ограничение на значение критической нагрузки модельной функцией.
Решению задач оптимизации конструкций при взаимодействующих ограничениях на собственные частоты, критические нагрузки, напряжения и перемещения посвящены работы [79,93,95,100,101] .
Ра1па1к 5. N. и М. [100] рассмотрели задачу
- 12 -
оптимального проектирования подкрепленной конструкции при наличии предварительного нагруяения. В работе [101] Pa.tno.Lk $.Ы. показал, что при одновременном действии активных ограничений на собственные частоты и по устойчивости, надежность оптимального проекта следует повышать путем повышения его веса, по сравнению с весом оптимального проекта при невзаимодействующих ограничениях.
Численный подход к решению задач оптимального проектирования конструкций, воспринимающих статические нагрузки при совместном учете ограничений на напряжения, перемещения и собственные значения, дан в работе [93] .
Торопов В.В. [79] с использованием принципа поэтапной параметрической оптимизации [54] решил задачу минимизации веса составной осесимметричной оболочечной конструкции. Расчет конструкции при заданном наборе управляемых параметров толщины отдельных подконструкций осуществляется вариационно-разностным методом. Наложена система взаимодействующих ограничений на напряжения, перемещения и устойчивость.
При оптимизации стержней, пластин и оболочек относительно собственных значений в ряде случаев спектр частот оптимального проекта может содержать кратные значения. Это накладывает определенные трудности при решении задачи методами теории оптимального управления, а также может повысить чувствительность оптимального проекта к начальным несовершенствам. Этой проблеме посвящен ряд работ отечественных и зарубежных авторов.
В работе [95] исследована задача упругого равновесия цилиндрической оболочки при осевом сжатии и внешнем давлении при наличии'начальных напряжений, близких к критическим. Показано, что традиционный подход к проектированию, основанный на стрем-
- 13 -
лении повысить критическую нагрузку, может привести к сгущению начального спектра частот. Предложен метод обеспечения в процессе проектирования уменьшения плотности первых собственных значений линейной задачи.
В работах [17,18] для случая двухкратных собственных значений для непрерывных и дискретных систем получены необходимые и достаточные условия оптимальности. Подход реализован на примере максимизации минимального собственного значения самосопряженных матричных и дифференциальных операторов.
В работах [59,GO] рассмотрена задача об определении закона изменения толщины в ортотропной цилиндрической оболочке, обеспечивающего максимальную критическую нагрузку при ограничениях на вес, прочность и толщину. Показано, что при оптимальном законе изменения толщины потеря устойчивости может происходить по нескольким формам. В рассмотренной авторами задаче кратность равна 12.
Для конечномерных задач оптимизации с кратными собственными значениями Choi К.К., Наиф 5еоп^ H.G-. [89]
предложили итеративную процедуру поиска оптимального решения.
В работе [81] отмечено, что у некоторых оболочек в зоне непрерывного спектра могут существовать собственные частоты, которым соответствуют формы колебаний особой структуры - в них возрастают безмоментные составляющие, аналогично как в явлении резонанса. Анализ проводился с помощью асимптотического метода.
Появление кратных собственных значений у оптимальных стержней, пластин и оболочек переменной толщины отмечалось также в работах [32,64,78] .
Наряду с вышеупомянутой проблемой, возникающей при оптимизации упругих конструкций, в литературе рассматривается воп-
- 14 -
рос о корректности постановки задачи оптимизации по собственным значениям.
Ольхофф Н. [64] показал, что в задачах оптимизации с ограничениями на собственные значения при неограниченных функциях управления могут появляться решения с бесконечно часто расположенными жесткостями - выступами и для них может не существовать оптимальное управление. В работе [51] доказано, что никакое конечное разбиение области на куски с различными значениями толщины не приводит, как правило, к оптимуму, если не наложить ограничение на управляемые параметры.
Таким образом, к настоящему времени накоплен большой опыт решения задач оптимизации стержней, пластин и оболочек вращения, как правило, при не взаимодействующих ограничениях. Использование необходимых условий оптимальности при решении задач оптимизации составных конструкций при смешанной системе ограничений является пока трудно разрешимой проблемой. Найти явное решение с помощью условий экстремума удается в ограниченных случаях. Подход сведения задачи оптимального проектирования к задаче математического программирования в конечномерном пространстве управляемых параметров позволяет обойти эти трудности.
Решение задачи математического программирования во многом зависит от выбранного метода решения. Теория численных методов оптимизации в настоящее время хорошо разработана. Однако, при численной реализации конкретных задач еще есть много проблем. Переход от методов к четкому алгоритму не прост. Требуется реализовать процедуры решения вспомогательных задач, задать параметры требуемой точности, выбрать критерии прерывания счета и т.д. В работах [30,68] проведены исследования по решению тес-
- 15 -
товых задач различными методами. Показано, что алгоритмы, имеющие большое значение при решении частных задач проектирования, как правило, не применимы к проектированию сложных систем. Трудности возникают из-за высокой размерности задач, при формализации целей и критериев проектирования. В задачах с неявно заданными функциями могут быть задачи с гладкими и не гладкими функциями, овражностыо, унимодальностью, многоэкстремальностью и т.д.
1.2. Цель и краткое содержание работы
Целью данной работы является:
1. Разработка подхода к решению задачи оптимизации по массе составных оболочек вращения при ограничениях на минимальную собственную частоту, напряжения, перемещения и геометрические параметры, когда собственные частоты зависят от предварительного нагружения.
2. Разработка модификации метода проекции градиента с учетом специфики функций геометрических и нелинейных ограничений.
3. Разработка алгоритмов и программ расчета и оптимизации составных оболочечных конструкций.
4. Численное исследование задач оптимизации оболочек вращения и проектирование составных конструкций.
Работа состоит из настоящего введения (гл.1), четырех глав и приложений.
Вторая глава посвящена постановке задачи оптимизации по массе составных оболочек вращения при совместном учете ограничений на минимальную собственную частоту, напряжения или перемещения и геометрические параметры. Ставится задача отыскания
- 16 -
функции распределения толщины вдоль меридиана составной оболочки и геометрических параметров поперечных сечений шпангоутов, соответствующих минимуму массы и удовлетворяющих указанной системе ограничений. Смешанная задача оптимизации сводится к задаче нелинейного программирования в конечномерном пространстве управляемых параметров. При этом функции распределения толщины заменяются кусочно-линейными или кусочно-постоянными функциями. Отыскиваются значения этих функций в узлах {'участках) вдоль меридиана. Явное ограничение на минимальную собственную частоту заменяется системой неявных ограничений на величины частотных определителей. Ограничения на напряжения (перемещения) заменяются ограничениями на максимальные эквивалентные напряжения (максимальные перемещения) на заданных подобластях. В результате преобразования ограничений к единому виду получается задача нелинейного математического программирования с нелинейной целевой функцией, системой нелинейных ограничений неравенств (частотные, прочностные и яесткостные ограничения) и системой линейных ограничений неравенств (геометрические ограничения).
В параграфе 2 главы 2 приводится вывод основных соотношений для модифицированных этапов метода проекции градиента. С учетом специфики геометрических ограничений получены формулы, позволяющие более эффективно проводить вычисления, в смысле затрат времени ЭВМ, при определении матрицы проектирования, направления спуска на границу допустимой области, множителей Лагранжа. Величина шага вдоль касательного многообразия определяется из условия заданного отклонения от него, в предположении квадратичной аппроксимации функций ограничений в окрестности точки в направлении движения. Направление спуска на границу определяется проектированием градиента целевой функции на орто-
гональное дополнение к касательно му многообразию. Критерием останова вычислительного процесса является выполнение необходимых условий оптимальности типа Куна-Таккера.
В параграфе 2 главы 2 описано правило перебора активных ограничений в стационарной точке и формирование предварительного набора активных ограничений.
Далее описан способ выбора начального приближения при оптимизации составных конструкций и пошаговый алгоритм решения задачи нелинейного программирования.
Алгоритм модифицированного метода проекции градиента предусматривает в процессе итераций изменение величины отклонения от границы в зависимости от степени удаленности точки от экстремума. Величины точностей и пробного шага определяются на основе анализа исходного проекта. Предусмотрено постепенное увеличение числа управляемых параметров в процессе оптимизации.
Проверка на многоэкстремальность проводится с помощью спуска из различных начальных точек.
В третьей главе описан метод решения прямой задачи-расчета напряженно-деформированного состояния осесимметрично нагруженных составных оболочек вращения, частот и форм несимметричных колебаний. Приводятся основные соотношения линейной осесимметричной деформации и неосесимметричных колебаний оболочек вращения и колец. Выводятся соотношения для преобразования неизвестных при переходе через шпангоут или узел стыка для выбранной системы неизвестных, фи решении краевой задачи используется метод Рунге-Кутта с ортогональной прогонкой Годунова С.К.
В параграфе 4 главы 3 показывается, что при переходе через шпангоут или узел стыка оболочек коэффициенты интегрирова-