ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
1.1. ЭВОЛЮЦИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ, НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
И ОСОБЕННОСТИ ИХ ПОВЕДЕНИЯ
1.2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ И ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ ОШИБОК ПРИ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИИ
1.3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ И ИХ ОСОБЕННОСТИ
ГЛАВА И. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИХ МАЛЫХ ТЕЛ
2.1. ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ МАЛОГО ТЕЛА
В РАМКАХ СИСТЕМЫ Ы-ТЕЛ
2.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВЕРОЯТНОСТНЫХ КАРТ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ МАЛОГО ТЕЛА
2.3. СХЕМА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АЛГОРИТМА ЭВЕРХАРТА ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ С ТЕХНОЛОГИЯМИ СГЛАЖИВАНИЯ ОШИБОК ИНТЕГРИРОВАНИЯ
3
2.4. СХЕМА ПРОВЕДЕНИЯ И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПО МОДЕЛИРОВАНИЮ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ МАЛЫХ ТЕЛ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ 81
ГЛАВА III. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЕРОЯТНОСТНОСТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 91
3.1. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ НЕКОТОРЫХ КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИХ КОМЕТ В РАМКАХ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ
ЧЕТЫРЕХ И ШЕСТИ ТЕЛ 91
3.2. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЫБРОСА ВЕЩЕСТВА С ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА И ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ ФРАГМЕНТОВ ВЫБРОСА 127
3.3. ВЛИЯНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕДУКЦИИ НА РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ 134
3.4. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЕРОЯТНОСТНОСТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИХ МАЛЫХ ТЕЛ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА 140
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 145
ЛИТЕРАТУРА 149
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность.
Изучение динамической эволюции траекторий малой компоненты ближнего и дальнего космоса имеет большое значение по многим причинам. Во-первых, целый ряд экологических катастроф на Земле связан непосредственно с бомбардировками поверхности телами как естественного, так и искусственного происхождения. Во-вторых, экологическое состояние верхних слоев стратосферы непосредственно связано с безопасной эксплуатацией искусственных спутников, энергетические установки которых в большинстве своем работают на ядерном топливе. Поэтому при расчете орбит движения, запаса прочности обшивок и наружного оборудования ИСЗ следует учитывать пространственную населенность и энергетические характеристики метеороидных роев, которые пересекает Земля в процессе своего движения. В-третьих, планирование трасс движения для межпланетных космических аппаратов требует долгосрочных прогнозов поведения малой компоненты Солнечной системы и оценки ее влияния на динамику их полета.
Потенциальную угрозу околоземным и, в большей степени, межпланетным космическим аппаратам представляют образования естественного происхождения: метеороидные рои, кометы, пояса астероидов, фрагменты выбросову вследствие эруптивных процессов, происходящих на различных объектах Солнечной системы, а также отдельные метеороиды и их комплексы захваченные на околоземную орбиту. К таким же объектам относятся реликтовые хранилища кометного вещества: пояса Уипла-Кейпера, Оорта и др. [12, 25, 45, 98, 99, 104, 133 и др.].
5
Большое влияние на динамическую эволюцию орбит комет и астероидов, а также других малых тел Солнечной системы оказывают гравитационные возмущения со стороны планет и особенно тесные сближения с ними [42, 75]. Согласно результатам, полученным Хоулман^и Висдом [118], зонами относительной стабильности в Солнечной системе являются пояс астероидов, обширная область за Нептуном и узкий пояс между Ураном и Нептуном. Остальное обширное пространство подвержено сильным и вековым возмущениям со стороны системы.
В условиях, когда каталогизация мелких фрагментов невозможна, статистическое моделирование их пространственного распределения является фактически единственным способом получения оценок динамических характеристик малой компоненты Солнечной системы. Построение математических моделей поведения отдельных объектов, а также комплексов малых тел необходимо для решения как теоретических, так и сугубо практических задач: прогнозирование пространственного распределения объектов, подготовка проведения наблюдений и других. Разработка и испытание различного рода космического оборудования также невозможны без использования соответствующих моделей.
Большинство нелинейных математических моделей - неинтегрируемы, для них нельзя получить решение в аналитическом виде, что приводит к необходимости применения методов вычислительной математики и соответствующих технологий для получения решений нелинейных систем уравнений [21].
Нелинейные модели, которые изучаются и рассматриваются в небесной механике, в той или иной степени обладают чувствительностью к точности начальных данных. Одним из фундаментальных результатов нелинейной динамики является осознание принципиальных ограничений в области получения прогноза даже для простейших нелинейных динамических
6
систем [43, 60, 65, 115]. Учет неопределенности начальных условий особенно важен при исследовании небесномеханических объектов, имеющих тесные сближения с возмущающими телами.
Стохастическое варьирование начальными значениями переменных и параметров системы позволяет выявить множество особенностей системы и получить структуру пространства траекторий, что, в конечном итоге, позволяет построить более полноценный прогноз поведения системы, а также установить степень влияния неопределенностей переменных и параметров системы на устойчивость системы к начальным данным.
Стохастическое моделирование на основе методов Монте-Карло позволяет дать вероятностное описание динамической эволюции орбит объектов исследования и построить наиболее адекватные вероятностностатистические компьютерные модели. Вероятностно-статистическое
моделирование, учитывающее особенности дискретного характера
компьютерных моделей, на основе новых технологий обработки и представления информации, как единственное универсальное средство
построения решения задач эволюции, позволяет получить более полную информацию о динамических характеристиках движения объектов, поведение которых изучается. Такое понимание компьютерного и математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но также описание и изучение основных их качественных свойств.
Широко известные специалисты ВВЦ РАН в области численных методов и вычислительного эксперимента Самарский A.A. и Михайлов А.П. в своей монографии [81] пишут: “компьютерное моделирование при решении задач динамической эволюции составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки, причем по важности оно не только приближается к традиционным экспериментальным и теоретическим
7
методам, но в целом ряде задач является единственно возможным способом их исследования и построения прогноза эволюции”.
Построение адекватных вероятностно-статистических моделей эволюции траекторий малых тел в гравитационном поле при тесных сближениях с массивными телами представляет одну из актуальных задач небесной механики.
Цели и задачи настоящей работы.
Целью настоящей работы является разработка новых методов исследования небесно-механических аспектов сложной хаотической динамики математических моделей эволюции траекторий короткопериодических комет и метеороидного вещества в межпланетном пространстве.
Практическая реализация этой концепции приводит к необходимости разработки способов математической формализации задач динамической эволюции траекторий малых тел, стохастических моделей вычислительного эксперимента и численных схем Монте-Карло.
Работа выполнялась по следующим основным направлениям.
1) разработка и обоснование вероятностно-статистической модели динамической эволюции траекторий малых тел в рамках пространственной задачи И-тел;
2) исследование влияния тесных сближений малых тел Солнечной системы с другими телами большой массы на динамическую эволюцию их траекторий в рамках пространственной задачи четырех и шести тел в условиях неопределенности начальных данных;
3) исследование и учет влияния процесса компьютерной редукции на результаты вычислительного эксперимента;
4) численное моделирование процесса эруптивного выброса с поверхности кометы с учетом влияния движения родительского тела на
8
структуру траекторий нового образования, сформированного из продуктов выброса;
5) сравнительный анализ полученных результатов вероятностностатистического моделирования динамической эволюции траекторий ряда короткопериодических комет Солнечной системы с результатами, полученными на основе классических детерминированных методов.
Основной метод выполнения работы - теоретическое исследование в сочетании с технологиями вероятностно-статистического моделирования и вычислительного эксперимента с привлечением наблюдательных данных при анализе эволюции конкретных небесных объектов и результатов моделирования.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:
1) разработана, обоснована и доведена до практической реализации схема проведения вычислительных экспериментов на основе вероятностностатистической модели, имитирующей динамическую эволюцию траекторий малых объектов естественного происхождения в условиях неопределенности начальных данных;
2) определены области регулярной и стохастической динамики в общей эволюции траекторий для ряда короткопериодических комет, определены моменты времени и начальные условия, при которых наиболее вероятен переход от одного типа динамики к другому;
3) получены количественные оценки роста стохастического хаоса в динамической эволюции траекторий для ряда короткопериодических комет;
4) определены наиболее вероятные области устойчивого и неустойчивого движения некоторых корогкопериодических комет в условиях неопределенности начальных данных и параметров математической модели и ограниченной информативности схем вычислительного эксперимента;
9
5) разработаны численные вероятностно-статистические технологии исследования траекторий малого тела в сферах влияния тел большой массы;
6) разработан вероятностно-статистический способ описания плотности (населенности) траекторий малых тел при их эволюции в гравитационном поле сил в условиях неопределенности начальных данных;
7) исследовано влияние процесса компьютерной редукции на получаемые результаты при компьютерном моделировании на примере конкретных небесномеханических задач, предложен способ сглаживания процесса редукции.
Научная и практическая значимость.
Работа направлена на решение проблем, способствующих расширению знаний об окружающем космическом пространстве, динамической эволюции траекторий его малых объектов. Разработанные вероятностно-статистические модели и методы исследования нелинейных динамических систем небесной механики позволяют описывать поведение таких систем (либо отдельных их объектов) в условиях неопределенности начальных данных и параметров системы и резкого изменения переменных движения при тесных сближениях с возмущающими телами. Эти методы позволяют получать решения нелинейных динамических систем небесной механики, недоступные классическим методам. Результаты могут быть использованы для:
а) вероятностного описания динамической эволюции траекторий малых объектов;
б) определения и описания областей регулярного движения и областей вероятного перехода к хаотической динамике, с возможностью оценки масштабов роста хаотического поведения и его вероятностного описания;
10
в) определения начальных условий, при которых происходят выбросы на устойчивые или неустойчивые орбиты, на орбиты с определенными параметрами;
г) построения карт плотности траекторий комплексов малых объектов, выявления зон наиболее вероятной концентрации и расхождения траекторий, а также для определения моментов времени разделения траекторий на группы.
Сведения такого характера могут быть использованы как для планирования наблюдений, так и для прогноза метеороидной опасности при планировании протяженных космических миссий. Одним из важных практических преимуществ результатов, получаемых в процессе использования компьютерной модели, является их целочисленный характер. Это упрощает их возможную дальнейшую компьютерную обработку без потерь точности.
На защиту выносится:
1) вероятностно-статистическая схема вычислительного эксперимента, позволяющая имитировать и исследовать динамическую эволюцию траекторий малых объектов Солнечной системы с учетом влияния гравитационных возмущений в условиях неопределенности начальных данных;
2) вероятностно-статистический метод моделирования динамики малых тел в сферах влияния тел большой массы в рамках задачи И-тел в условиях неопределенности начальных данных;
3) вероятностно-статистический способ описания плотности (населенности) траекторий малых тел при их эволюции в гравитационном поле сил в условиях неопределенности начальных данных;
4) количественные и качественные оценки параметров динамической эволюции траекторий и пространственно-временных масштабов роста
и
стохастического хаоса в динамике движения короткопериодических комет Брукса 2, Неуймина 3, Отермы, Лекселя, Швассмана-Вахмана 1, Энке;
5) вероятностно-статистический способ оценки и уменьшения влияния компьютерной редукции на результаты численного моделировании.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:
- международном конгрессе “Энергетика - 3000” (ИАТЭ, г. Обнинск, 12—16 октября, 1998 г.);
- на научной конференции “Новые результаты аналитической и качественной небесной механики” (ГАИШ, г. Москва, 7-9 декабря, 1998 г.);
- на научно-технической конференции “Структурные основы
модификации материалов методами нетрадиционных технологий (ИАТЭ, МНТ-У)” (г. Обнинск, 14-17 июня, 1999 г.);
- на научной конференции “XXXIV Научные чтения, посвященные
разработке творческого наследия К.Э. Циолковского“ (г. Калуга, 14-16 сентября, 1999 г.);
- на научной конференции “Околоземная астрономия и проблемы
изучения малых тел Солнечной системы” (ЦИПК, г. Обнинск, 25-29 октября, 1999 г.);
- на “1-ой Российской конференции молодых ученых по
математическому моделированию” (филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана, г.Калуга,12-14 апреля, 2000г.);
- на научной конференции “XXXV Научные чтения, посвященные
разработке творческого наследия К.Э. Циолковского” (г. Калуга, 12 - 14 сентября, 2000 г.);
- на научной конференции “Новые результаты аналитической и
качественной небесной механики” (ГАИШ, г. Москва, 5-6 декабря, 2000 г.);
12
- на научной конференции “Околоземная астрономия XXI века” (г. Звенигород, 21-25 мая, 2001 г.).
- на семинарах Совета по небесной механике (ГАИ111, г. Москва, 9 октября 2001 г., 8 октября 2002 г.)
- на семинаре “Проблемы происхождения и эволюции кометно-астероидного вещества в Солнечной системе и проблема астероидной опасности” (ИНАСАН, г. Москва, 25 сентября 2002 г.)
Диссертация основана на цикле работ, выполненных автором в 1998-2002 гг. В совместно опубликованных статьях полный объем работ по составлению алгоритмов вычислительного эксперимента выполнен лично автором при научном руководстве и консультациях по вопросам постановки задачи и интерпретации результатов моделирования профессора, доктора физико-математических наук Н.В. Куликовой и доцента, кандидата физико-математических наук A.B. Мышева. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах (одна в печати).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Работа изложена на 160 страницах, включающих 42 рисунка, 43 таблицы, библиографический список состоит из 134 наименований.
Во введении отражается актуальность темы, определяются цели и задачи научного исследования, новизна и практическая значимость работы.
Глава I состоит из трех разделов и посвящена описанию проблем, связанных с численным (машинным) исследованием неинтегрируемых математических моделей эволюции орбит малых тел Солнечной системы, проявляющих сложное хаотическое поведение.
В разделе 1.1 излагаются основные проблемы вычислительной небесной механики и нелинейной динамики. Формулируются трудности,
13
которые возникают при исследовании нелинейных динамических систем, проявляющих хаотическое поведение. Кратко описываются методы и
А
способы исследования нелинейных моделей. Приводится способы формализации хаотического движения.
В разделе 1.2 приводятся особенности построения детерминированных численных методов интегрирования дифференциальных уравнений, влияющие на точность численного решения. В разделе проводится сравнительный анализ численных методов интегрирования уравнений движения, использующихся в задачах небесной механики. В данном разделе утверждается, что все численные алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений сводятся к двум типам разностных схем: одношаговые (схема Рунге-Кутта) и многошаговые (схема Адамса), и по сути своей представляют собой нерекурсивные и рекурсивные цифровые фильтры, соответственно.
В разделе 1.3 описываются особенности стохастического компьютерного моделирования, такие как дискретность времени и пространства допустимых значений переменных и параметров, а также присущие им ошибки. Приведены примеры и описаны принципы построения компьютерных моделей, с успехом заменяющие диффузионные (непрерывные) модели. В разделе обсуждается вопрос применения распределенных вычислительных средств при стохастическом компьютерном моделировании.
Глава II состоит из четырех разделов и посвящена описанию математических и вероятностно-статистических методов и технологий для исследования динамической эволюции траекторий малых тел в рамках пространственной задачи 1Ч-тел, имеющих сближения с другими телами большой массы.
14
' В разделе 2.1 изложена общая математическая постановка задачи исследования эволюции траекторий системы Ы-тел. В данном разделе описана стохастическая формализация задачи исследования динамической эволюции траекторий движения, когда правые части эволюционного оператора, заданного системой дифференциальных уравнений, задаются детерминированными функционалами от детерминированных и стохастических переменных и параметров.
В разделе 2.2 проводится описание основных принципов метода вероятностных карт. Приводится практическая реализация метода для решения задач данной работы, которая заключается в описании построения вероятностных карт двух типов: статистические образы эволюции в пространстве элементов кеплеровского движения и статистические образы сечений торового объема траекторий.
В разделе 2.3 на различных типах задач показано влияние локальной ошибки интегрирования на глобальную ошибку интегрирования Рассмотрен вопрос о влиянии локальной ошибки численного интегрирования на динамику роста глобальной ошибки. Приведены результаты моделирования, показывающие на конкретных примерах неконтролируемый рост глобатьной ошибки при долговременном численном интегрировании уравнений движения, исследованы особенности формирования локальной ошибки. Предложен стохастический способ уменьшения глобальной ошибки интегрирования.
В разделе 2.4 описана комплексная вероятностно-статистическая модель динамической эволюции траекторий малых тел, описаны функциональный состав модели и методика проведения расчетов на компьютере.
Глава III состоит из четырех разделов и посвящена описанию и анализу результатов использования разработанной вероятностно-
- Київ+380960830922