Влияние электрон-электронного взаимодействия на транспорт в низкоразмерных электронных системах и наноструктурах

Оглавление
Введение 7
1 Влияние спиновых и изосниновых степеней свободы на переход металл-изолятор в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе 17
1.1 Введение.................................................................. 17
1.1.1 Переход металл-изолятор и неупорядоченной электронной системе . . 17
1.1.2 Постановка задачи................................................. 23
1.2 Нелинейная сигма-модель................................................... 26
1.2.1 Введение.......................................................... 26
1.2.2 Действие нелинейной сигма-модели.................................. 26
1.2.3 Физические наблюдаемые............................................ 28
1.2.4 Одиопетлевая перенормировка....................................... 29
1.2.5 Уравнения ренормализацлоиной группы в однопетлевом приближении 32
1.3 Взаимное влияние спина и долинного изоспина в двумерной неупорядоченной электронной жидкости...................................................... 34
1.3.1 Введение.......................................................... 34
1.3.2 Мик1Х»скопический гамильтониан.................................... 35
1.3.3 Уравнения реиормгруппы в однопетлевом приближении: 5£/(4) симметричный случай ........................................................ 38
1.3.4 Уравнения реиормгруппы в одпопетлевом приближении: случай симметрии 81/(2) х 5(/(2) 39
1.3.5 Уравнения реиормгруппы в одпопетлевом приближении: полностью
несимметричный случай ............................................. 41
1.3.6 Обсуждение результатов............................................ 44
2
1.4 Двумерная неупорядоченная электронная жидкость в двойной квантовой
яме ...................................................................... 47
1.4.1 Введение................................................... 47
1.4.2 Микроскопический гамильтониан.............................. 47
1.4.3 Уравнения ренормализаииопиой группы в одиопетлевом приближении 53
1.4.4 Время сбоя фазы ................................................... 56
1.4.5 Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом......... 56
1.5 Переход Андерсона в неупорядоченной бесспиновой электронной жидкости 59
1.5.1 Введение................................................... 59
1.5.2 Уравнения ренормализаииопиой группы в однопетлевом приближении 59
1.5.3 Вычисление проводимости в двухпетлевом приближении..................................... 60
1.5.4 Обсуждение результатов..................................... 64
1.6 Заключение ............................................................... 64
2 Роль электрон-электронного взаимодействия в целочисленном квантовом эффекте Холла 66
2.1 Введение.................................................................. 66
2.1.1 Целочисленный квантовый эффект Холла....................... 66
2.1.2 Постановка задачи.......................................... 71
2.2 Нелинейная сигма-модель с топологическим членом........................... 74
2.2.1 Введение................................................... 74
2.2.2 Топологический член и холловская проводимость.............. 74
2/2.3 Мистаитоиы................................................. 78
2/2.4 Квантовая теория: флуктуации около инстантона.............. 79
2.2.5 Физические наблюдаемые ............................................ 84
2.2.6 Обсуждение результатов............................................. 88
2.3 Роль электроп-электронного взаимодействия для переходов между плато . . 89
2.3.1 Введение................................................... 89
2.3.2 Зависимость физических наблюдаемых от размера системы .......... 89
2.3.3 Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом................ 93
2.4 Время сбоя фазы па переходе между плато в случае короткодействующего
межэлектронного взаимодействия............................................ 95
2.4.1 Введение................................................... 95
2.4.2 Выражение для времени сбоя фазы через точные волновые функции 96
2.4.3 Корреляционные функции 90 и Х2 в подходе нелинейной сигма-модели 100
3
2.4.4 Температурная зависимость времени сбоя фазы в критической области 103
2.4.5 Обсуждение результатов.............................................105
2.5 Осцилляции магнитосопротивлсния и теплоёмкости, связанные с наличием
делокализованных состояний ...............................................106
2.5.1 Введение...........................................................106
2.5.2 Зависимость диссипативной и холловской проводимости от температуры и магнитного поля....................................................107
2.5.3 Зависимость теплоёмкости от температуры и магнитного поля .... 109
2.5.4 Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом.................110
2.6 Заключение................................................................112
3 Макроскопическое зарядовое квантование в одноэлектронных устройствах 114
3.1 Введение..................................................................114
3.1.1 Одноэлектропный транспорт и кулонопская блокада....................114
3.1.2 Постановка задачи..................................................120
3.2 Модель Амбегаокара-Эккерпа-Шопа...........................................122
3.2.1 Введение...........................................................122
3.2.2 Гамильтониан одноэлектроиного транзистора..........................122
3.2.3 Действие Амбегаокара-Эккерна-Шона..................................125
3.2.4 Инстаптоны ........................................................126
3.3 Физические наблюдаемые ...................................................128
3.3.1 Введение...........................................................128
3.3.2 Фоновые поля.......................................................129
3.3.3 Линейный отклик....................................................132
3.3.4 Обсуждение результатов.............................................134
3.4 Режим слабой связи, д 1 136
3.4.1 Введение...........................................................136
3.4.2 Теория возмущений...........................'.......................136
3.4.3 Инстантонный вклад.................................................137
3.4.4 Зависимость физических наблюдаемых от температуры..................138
3.4.5 Вольт-ампериая характеристика .....................................139
3.4.6 Обсуждение результатов.............................................140
3.5 Режим сильной связи, д <£. 1..............................................141
3.5.1 Введение............................................................141
4
3.5.2 Эффективное действие в окрестности точки вырождения................141
3.5.3 Главное логарифмическое приближение................................143
3.5.4 Зависимость физических наблюдаемых от температуры..................145
3.5.5 Обсуждение результатов.............................................147
3.6 Заключение...............................................................149
4 Спиновые корреляции в квантовых точках 150
4.1 Введение.................................................................150
4.1.1 Межэлектронное взаимодействие в квантовых точках: универсальный гамильтониан .........................................................150
4.1.2 Постановка задачи..................................................154
4.2 Универсальный гамильтониан...............................................157
4.2.1 Введение...........................................................157
4.2.2 Универсальный гамильтониан.........................................157
4.2.3 Почти полное разделение спиновых и зарядовых корреляций............158
4.2.4 Преобразование Вея-Нормаиа-Колоколова .............................160
4.2.5 Точное аналитическое выражение дня спиновой восприимчивости . . 163
4.2.6 Точное выражение для туннельной плотности состояний ...............164
4.3 Продольная спиновая восприимчивость .....................................167
4.3.1 Введение...........................................................167
4.3.2 Влияние флуктуаций одночастичных уровней энергии на продольную
спиновую восприимчивость...........................................167
4.3.3 Качественное объяснение влияния флуктуаций одиочасгичных уровней энергии на спиновую восприимчивость .................................173
4.3.4 Обсуждение результатов.............................................175
4.4 Туннельная плотность состояний...........................................177
4.4.1 Введение...........................................................177
4.4.2 Туннельная плотность состояний в магнитном поле без учёта флуктуаций одиочасгичных уровней энергии ................................177
4.4.3 Влияние флуктуаций одиочасгичных уровней энергии на туннельную
плотность состояний................................................181
4.4.4 Обсуждение результатов.............................................184
4.5 Заключение ..............................................................186
Заключение 187
Приложения 189
А Приложения к главе 1 189
А.1 Перенормировка члена 8/г с помощью процедуры фонового поля . . . 189
А.2 Связь физических наблюдаемых с перенормированными величинами 191
А.З Анализ одпопетлевых уравнений репормализациоиной группы .... 192
A.4 Вычисление средних в уравнении (1.112) 192
Б Приложения к главе 2 199
Б.1 Нулевые моды......................................................199
Б.2 Детали вычисления отношения 2-н/г?0...............................199
Б.З Одпопетлевыс поправки в регуляризации Паули-Вилларса .............207
Б.4 Вычисление величины (8'/г11Ш,}(/ в уравнении (2.50).............. 209
Б.5 Усреднение операторов Х\, и Х2 по и(Лг) х и(Лг)-вращепиям 209
Б.6 Собственные операторы ............................................212
В Приложения к главе 3 214
B.1 Аналитическое продолжение функции К(гшп) .........................214
В.2 Вычисление физических наблюдаемых до второго порядка по у включительно ................................................................214
Г Приложения к главе 4 216
Г.1 Преобразование Вся-Нормана-Колоколова.............................216
Г.2 Вывод точных выражений для статистической суммы и туннельной
плотности состояний ..............................................217
Г.З Корреляционная функция С(Ль Лг) ..................................222
Г.4 Вычисление средней спиновой восприимчивости 0) в области ИЛ 224 Г.5 Асимптотическое выражение для функции 7{х,у) при у » 1............226
Список публикаций 228
Литература 230
6
Введение
В настоящее время имеется большой экспериментальный и теоретический интерес к электронному транспорту в низкоразмерных системах (двумерный электронный газ, квантовые проволоки, поверхность трехмерных топологических изоляторов, графен, металлические одноэлектронные транзисторы) и наноструктурах {квантовые точечные контакты, квантовые точки, углеродные панотрубки, молекулярные одноэлектроиные транзисторы). Во всех перечисленных системах электрон-электроииое взаимодействие оказывает существенное влияние на электронный транспорт. Межэлектропное взаимодействие ответственно за явление дробного квантового эффекта Холла, определяет температурную зависимость ширины переходов между плато в холловской проводимости для целочисленного квантового эффекта Холла, приводит к переходу металл-изолятор в двумерных неупорядоченных электронных системах и к переходу сверхпроводник-изолятор в тонких неупорядоченных пленках, а также ведёт к появлению па поверхности трёхмерного топологического изолятора критического металлического состояния, в котором проводимость при нуле температур остаётся конечной. Оно же ответственно за нелинейную при малых напряжениях вольт-амперную характеристику в квантовых проволоках и углеродных панотрубках, кулоновскую блокаду электронного транспорта в одноэлектронных транзисторах и квантовых точках, и явление мезоскопической стоунеровской неустойчивости в квантовых точках из почти ферромагнитных материалов. Существенную роль межэлектропное взаимодействие играет и в неравновесном электронном транспорте, приводя к возможности релаксации неравновесной функции распределения.
Несмотря на то. что влияние электрон-электроипого взаимодействия на электронный транспорт в пизкоразмериых системах и наноструктурах интенсивно исследуется с 70-х годов прошлого века, существует большой круг задач, нерешённых до настоящего времени. Это связано как со сложностью теоретического учёта влияния электрон-электроипого взаимодействия на транспорт, так и с появлением новых объектов для экспериментальных и теоретических исследований.
Настоящая диссертационная работа преследует следующие цели: 1) построение теоретического описания влияния спиновых и изоспииовых степеней свободы на переход металл-изолятор в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе; 2) исследование влияния электрон-электроипого взаимодействия на целочисленный квантовый эффект Холла в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной
7
электронной системе в сильном магнитном иоле, полностью поляризующем электронный спин: 3) построение теории макроскопического зарядового квантования в одноэлектрои-ном транзисторе: 4) исследование влияния сильных спиновых корреляций, связанных с явлением мезоскопической стоунеровской неустойчивости, на термодинамические и транспортные свойства электронов в квантовых точках.
При всём разнообразии рассмотренных в диссертационной работе задач, все они связаны между собой тем, что на физику явлений в рассматриваемых электронных системах оказывает сильное влияние электроп-электроипое взаимодействие. Именно оно приводит к тем физическим явлениям, которые исследуются в диссертации.
Каждая глава диссертационной работы имеет своё собственное введение, в котором представлен детальный обзор теоретических и экспериментальных результатов, связанных с задачами, решаемыми в данной главе.
Основные результаты диссертации, выносимые па защиту, сводятся к следующему:
1. Построена теория электронного транспорта в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе со спиновыми и изоегшновыми степенями свободы. нс предполагающая равенство амплитуд взаимодействия между электронами с разными проекциями спина и изоспина. Показано, что рассмотренный ранее случай, когда амплитуды взаимодействия совпадают, является неустойчивым относительно малых нарушений этого условия.
2. Построена теория транспорта в двумерной взаимодействующей двухдолиниой неупорядоченной электронной системе в присутствии междолигаюго и зссмановского расщеплений. Объяснена экспериментально наблюдаемая эволюция температурной зависимости сопротивления от металлического типа к диэлектрическому типу при увеличении параллельного магнитного поля. Предсказана возможность существования двух максимумов в температурной зависимости сопротивления вблизи перехода металл-изолятор.
3. Построена теория транспорта для двумерной взаимодействующей неупорядоченной электронной системы в структурах с двойной квантовой ямой и общими рассеива телями. Объяснено наблюдаемое в эксперименте слабое изменение температурной зависимости сопротивления и времени сбоя фазы при сильном уменьшении концентрации электронов в одной из квантовых ям.
4. В двухпетлсвом приближении исследован переход металл-изолятор в системе взаимодействующих электронов с полностью поляризованными спинами. Показано, что
8
в случае размерности пространства (I = 2 переход металл-изолятор отсутствует.
5. Для случая спип-полярнзовапиых электронов построена теория целочисленного квантового эффекта Холла с учетом электрои-электронного взаимодействия. Проведённые аналитические вычисления подтверждают тот факт, что а) наличие межэлек-троипого взаимодействия не меняет хорошо известное для модели невзаимодействующих электронов объяснение целочисленного квантования холловской проводимости.. б) переход между плато в случае короткодействующего электрои-электронного взаимодействия попадает в тот же класс универсальности, что и модель невзаимодействующих электронов, тогда как в случае кулоновского взаимодействия этот квантовый фазовый переход находится в новом классе универсальности по сравнению с моделью невзаимодействующих электронов.
6. С помощью подхода нелинейной сигма-модели исследована температурная зависимость времени сбоя фазы в критической области перехода между плато в режиме целочисленного квантового эффекта Холла в спин-ноляризовапной электронной неупорядоченной системе с короткодействующим межэлектронпым взаимодействием. Показано, что критический индекс, характеризующий степенную зависимость времени сбоя фазы от температуры в критической области перехода между плато, определяется значением аномальной размерности амплитуды электрои-электронного взаимодействия в критической точке, соответствующей невзаимодействующим электронам.
7. Для двумерной неупорядоченной электронной системы с кулоновским взаимодействием в перпендикулярном магнитном поле, полностью поляризующем спин электрона. построена теория квантовых холловских осцилляций магнетосопротивлсния и теплоёмкости в магнитном поле, связанных с наличием делок&лизовапных состояний. Показано, что при низких температурах зависимость амплитуды квантовых холловских осцилляций от температуры отличается от температурной зависимости амплитуды осцилляций Шубиикова-де Гааза.
8. Для решения проблемы кулоповской блокады в одноэлектропном транзисторе предложена и исследована новая физическая величина, определяющая затворную ёмкость одиоэлектрониого транзистора, которая отличается от геометрической ёмкости затвора из-за перенормировок, связанных с наличием кулоновского взаимодействия. Показано, что диаграмма двухпараметрнческого потока (в координатах: перепорми-
9
ровалные кондакганс и затворная ёмкость) имев!' топологию аналогичную диаграмме потока (в координатах: продольная и холловская проводимости) для целочисленного квантового эффекта Холла. Предсказано целочисленное квантование заряда, соответствующего (перенормированной) затворной ёмкости, при нулевой температуре.
9. В рамках нульмерного приближения (модель универсального гамильтониана) для квантовой точки с прямым и ферромагнитным обменным взаимодействиями аналитически решена задача об одновременном учете в спиновой восприимчивости и туннельной плотности состояний зарядовых и спиновых корреляций, зеемановского расщепления и флуктуаций одночастичных уровней энергии. Вблизи порога сто-уперовской неустойчивости найден широкий интервал температур, в котором явление мезоскопической етоуиеровской неустойчивости проявляется в законе Кюри для спиновой восприимчивости с квадратом эффективного спина, логарифмически зависящим от температуры, и в дополнительном немонотонном поведении туннельной плотности состояний как функции энергии.
Все результаты диссертационной работы получены впервые, её выводы обоснованы надежностью применявшихся аналитических методов, согласием с теоретическими результатами. полученными гз других работах, и согласием с данными физических и численных экспериментов, выполненных другими авторами.
Развитые в диссертационной работе методы могут быть использованы для описания широкого круга явлений в электронном транспорте в низкоразмерных электронных системах и наноструктурах.
Полученные в диссертационной работе однопетлевые уравнения репормализациониой группы, описывающие зависимость физических величии (проводимости, спиновой восприимчивости. изоспиновой восприимчивости) от размера системы при нулевой температуре в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе со спиновыми и изоспиповыми степенями свободы и не предполагающие равенство амплитуд межэлек-тронного взаимодействия, существенно обогощают теорию переходов металл-изолятор. Применение полученных уравнений репормализациониой группы к конкретным двумерным электронным системам с дополнительными изоспиповыми степенями свободы позволяет объяснить ряд экспериментальных наблюдений в электронном транспорте и сделать предсказание о новом интересном поведении сопротивления при понижении температуры, гребуюшее экспериментальной проверки.
10
Развитый в диссертационной работе метод получения непертурбативных уравнений ренормализациоппой группы, описывающих для случая взаимодействующих спин-поляризованных электронов зависимость диссипативной и холловской проводимости, а также амплитуда взаимодействия от размера системы и магнитного поля при нулевой температуре. является в настоящее время единственным способом учесть одновременно перенормировку проводимости за счёт электрон-электроииого взаимодействия и орбитального влияния магнитного поля. В дальнейшем этот метод может быть применён для изучения вопроса о наблюдаемом экспериментально сосуществовании перехода металл-изолятор в нулевом магнитном поле и целочисленного квантового эффекта Холла. Развитый в диссертационной работе метод вычисления непертурбативных уравнений ренормализациоппой группы может быть применён и для вычисления непертурбативных поправок к физическим наблюдаемым в неабелевых калибровочных теориях поля.
Построенная в диссертационной работе теория квантовых холловских осцилляций магнетон ро води мости и теплоёмкости, учитывающая влияние межэлектронного взаимодействия, будет способствовать постановке экспериментов по изучению всплывания делока-лизоваппых состояний над уровнем химического потенциала и квантования холловской проводимости в слабых магнитных полях.
Предсказываемое в диссертационной работе целочисленное квантование в пределе нулевой температуры повой физической величины, соответствующей затворной ёмкости од-иоэлектропиого транзистора с большим числом туннельных каналов, имеет фундаментальное значение и существенно обогащает теорию кулоновеной блокады в одиоэлектрон-ных устройствах. Полученный результат показывает существование тесной связи между теорией целочисленного квантового эффекта Холла и теорией электронного транспорта в одноэлектронных устройствах.
Полученные в диссертационной работе результаты для температурной зависимости спиновой восприимчивости и туннельной плотности состояний, учитывающие наличие зарядовых и спиновых корреляций, зеемановского расщепления и флуктуаций одночастич-иых уровней энергии, показывают, что в квантовых точках из почти ферромагнитных материалов явление мезоскопической стоунеровской неустойчивости можно экспериментально исследовать при достаточно высоких температурах.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в '2002 - 2011 годах в 14 научных работах, список которых приводится в конце диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, четырёх приложений, списка публикаций и списка литературы.
11
Во введении обрисовано современное состояние физики электронного транспорта в низкоразмерных электронных системах и наноструктурах, обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, обоснованы новизна и практическая ценность полученных результатов. Здесь же раскрыто содержание диссертации по главам.
Первая глава посвящена изучению влияния спиновых и изоспиновых степеней свободы на переход металл-изолятор в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе. Во введении (раздел 1.1) делается обзор основных теоретических и экспериментальных результатов о переходе металл-изолятор и электронном транспорте в двумерной неупорядоченной электронной системе и формулируются задачи, решаемые в первой главе. В разделе 1.2 рассматривается нелинейная сигма-модель для взаимодействующей электронной системы со спиновыми и изоегшновыми степенями свободы, и в рамках однопетлевого приближения выводятся уравнения ренормализациоииой группы, описывающие зависимость физических наблюдаемых (проводимости, спиновой и изоспи-новой восприимчивости) от размера системы при нулевой температуре. Полученные уравнения ренормализациоииой группы обобщают известные в литературе результаты на случай разных параметров взаимодействия между электронами с различными проекциями егшна и изоспина. Показывается, что рассматриваемая рапсе в литературе ситуация с одинаковыми параметрами взаимодействия оказывается неустойчивой. В разделе 1.3 общие уравнения ренормализациоииой группы, полученные в разделе 1.2. применяются для описания зависимости сопротивления, спиновой и долинной восприимчивости от температуры в двумерной электронной системе в кремниевых металл-оксид-полупроводпик структурах с высокой подвижностью носителей в параллельном магнитном поле. Показывается, что при температурах меньших, чем междолинпое или зеемаповское расщепление, реализуется ситуация, когда параметры взаимодействия между электронами с разными проекциями спина и изоспина оказываются различными. Это приводит к ряду новых эффектов, например, к существованию режима с двумя максимумами в температурной зависимости сопротивления. Также появление различных параметров взаимодействия позволяет объяснить экспериментальные наблюдения. В разделе 1.4 общие уравнения ренормализаци-оиной группы из раздела 1.2 используются для описания зависимости сопротивления от температуры в двумерной электронной системе с двумя почти идентичными квантовыми ямами и с общими рассеивателями в ситуации баланса, когда концентрации и подвижности электронов в обоих квантовых ямах совпадают. Этот случай сравнивается со случаем, когда одна из квантовых ям полностью обеднена электронами. Оказывается, что различие в межэлектронном взаимодействии внутри и между квантовыми ямами приводит к раз-
12
линию в параметрах взаимодействия, которое согласно уравнениям реиормализационной группы усиливается при понижении температуры. Показывается, что построенная теория позволяет объяснить наблюдаемое в эксперименте слабое изменение температурной зависимости сопротивления и времени сбоя фазы при сильном обеднении электронами одной из квантовых ям. В разделе 1.5 изучается переход Андерсона в бессииновой неупорядоченной электронной системе. В размерности (I - 2, хорошо известные однопетлевые уравнения реиормализационной группы предсказывают в случае кулоновского взаимодействия температурную зависимость сопротивления диэлектрического типа, что указывает на вероятное отсутствие перехода металл-изолятор. Показывается, что вычисленное в двухпетлевом приближении (следующий порядок малости по безразмерному кондактапсу) уравнение ре-нормализационпой группы также приводит к температурной зависимости проводимости диэлектрического типа, подтверждая гипотезу о том, что для взаимодействующих бес-спиновых электронов переход металл-изолятор в размерности (1 = 2 отсутствует и электронная система становится локализованной на больших масштабах. Завершается глава заключением (раздел 1.6)
Во второй главе исследуется влияние электрон-электронного взаимодействия на целочисленный квантовый эффект Холла Во введении (раздел 2.1) делается обзор основных теоретических и экспериментальных результатов для электронного транспорта в режиме целочисленного квантового эффекта Холла и ставятся задачи, решаемые во второй главе. В разделе 2.2 рассматривается нелинейная сигма-модель с топологическим членом, которая описывает двумерную взаимодействующую электронную систему в сильном, поляризующем спин, перпендикулярном магнитном поле. С учётом наличия межэлектронного взаимодействия вычисляются иепертурбативные (иистаитонные) вклады в зависимость диссипативной и холловской проводимости от размера системы при нулевой температуре. Показывается, что механизм появления зависимости физических наблюдаемых от 0-угла (холловской проводимости) в нелинейной сигма-модели с топологическим членом не зависит от наличия межэлектронного взаимодействия, несмотря на то. что взаимодействие меняет поведение наблюдаемых при увеличении размера системы. В разделе 2.3 результаты инстаитоипого анализа предыдущего раздела применяются для изучения влияния электрон-электронного взаимодействия па ширину критической области (при конечном размере системы или ненулевой температуре) при переходе между плато в режиме целочисленного квантового эффекта Холла. Для этого, результаты, полученные в разделе 2.2, интерпретируются как уравнения реиормализационной группы для физических наблюдаемых. Тогда ширина квантовой критической области (перехода между плато) определя-
13
ется критическими индексами, которые вычисляются стандартным образом по значениям ренормгрупповых бета-функций и их производных в критической точке. Показывается, что для электронов, с полностью поляризованными спинами, взаимодействие не меняет топологию диаграммы потока. В разделе 2Л изучается температурная зависимость времени сбоя фазы на переходе между плато в случае короткодействующего межэлектронпого взаимодействия. Вычисление в духе золотою правила Ферми показывает, что температурное поведение времени сбоя фазы зависит от двух индексов и а, определяющих скейлинговое поведение усреднённых но беспорядку корреляционных функций с четырьмя и восьмью волновыми функциями, соответственно. В подходе нелинейной сигма-модели эти корреляционные функции представляются в виде средних от линейной комбинации собственных относительно реиормалнзационпой группы операторов, являющихся полиномами четвёртой степени от матричного поля нелинейной сигма-модели. Показывается, что индекс а определяется аномальной размерностью одного из этих собственных операторов. Известные в литературе иертурбативные вычисления для соответствующей аномальной размерности дают нулевое значение о . Инстантонный анализ, аналогичный вычислениям раздела 2.2. показывает, что пепертурбативпый вклад в а так же равен нулю. Полученный результат о нулевом значении индекса о = 0 подтверждается результатами численных экспериментов. В разделе 2.6 изучается зависимость физических наблюдаемых (диссипативной и холловской проводимости, а также теплоёмкости) от температуры и магнитного поля в области, где диссипативная проводимость велика по сравнению с квантовым значением е2/Н. Согласно предсказанию Д. Е. Хмельницкого для невзаимодействующих электронов, магпетощюводимость в этой области должна испытывать осцилляции в магнитном поле, связанные с наличием делокалнзовяииых состояний. Показывается, что для случая кулоиовского взаимодействия эти. так называемые квантовые холловские. осцилляции испытывает не только магнето проводимость, но и теплоёмкость, а их амплитуда определяется ипстангонным вкладом, и как следствие, растёт с понижением температуры. Демонстрируется, что найденная температурная зависимость амплитуды квантовых холловских оенцлляций магпетопроводимости находится в качественном согласии с результатами экспериментов по магиетотранспорту. Завершается глава заключением (раздел 2.6).
Третья глава посвящена изучению явления макроскопического зарядового квантования в одноэлектронных устройствах. Во введении (раздел 3.1) делается обзор основных теоретических и экспериментальных результатов по электронному транспорту в одпоэлек-тронпых устройствах и изучению явления кулоновской блокады, а также формулируется
14
задача, решаемая в третьей главе. В разделе 3.2 приводятся необходимые для дальнейшего рассмотрения сведения о действии Амбегаокара-Эккерна-Шона, описывающего одиоэлек-тронный транзистор с большим числом туннельных каналов. Дня теоретического описания этой системы используется модель, п которой межэлектроипое взаимодействие на островке одноэлектронного транзистора учитывается с помощью емкостного взаимодействия. Связь островка с резервуарами описывается в рамках туннельного гамильтониана. В разделе 3.3 определяются физические наблюдаемые для одноэлектронного транзистора. С помощью стандартной процедуры отклика на изменение граничного условия для фазы в действии Амбегаокара-Эккерна-Шона находятся две физические наблюдаемые С и Ф, первая из которых совпадает с коидактапсом одноэлектронного транзистора, а вторая, связанная с иссимметризованиым коррелятором токов, в задачах о транспорте через одно-электронный транзистор до сих пор не рассматривалась. Показывается, что величины С и О1 оказываются аналогичными диссипативной и холловской проводимости в целочисленном квантовом эффекте Холла. В разделе 3.4 исследуется поведение физических наблюдаемых в режиме слабой связи в действии Амбегаокара-Эккерна-Шона, что соответствует пределу сильного туннелирования между островком и резервуарами. Показывается, что в этом режиме, температурная зависимость физической наблюдаемой О появляется только при учёте топологически нетривиальных решений классических уравнений движения (инстаптопов) для действия Амбегаокара-Эккерна-Шона. В разделе 3.5 рассматривается режим сильной связи для действия Амбегаокара-Эккериа-Шопа. когда между островком и резервуарами имеется слабое туннелирование. В области кулоповскнх пиков, т. с. при значениях наведённого заряда близкого к полуцелому значению, с помощью известного отображения действия Амбегаокара-Эккерна-Шона на более простое действие для модели Бозе-Коидо вычисляется зависимость физической наблюдаемой ^ от температуры и напряжения затвора. Показывается, что при пулевой температуре физическая наблюдаемая ф становится независящей от туннельною коидактаиса и целочисленно квантуется при всех значениях напряжения затвора, соответствующих полуцелым значениям наведённого заряда. Таким образом, демонстрируется, что одноэлектронный транзистор с большим числом туннельных каналов при нулевой температуре оказывается эквивалентным изолированному островку. Завершается глава заключением (раздел 3.6).
В четвёртой главе исследуются спиновые корреляции в квантовых точках вблизи порога стоунеровской неустойчивости. Во введении (раздел 4.1) делается обзор основных теоретических и экспериментальных результатов по межэлектропиому взаимодействию в квантовых точках и ставится проблема, которая решается в четвёртой главе. В разделе 4.2
15
содержатся необходимые сведения об универсальном гамильтониане, который, как хорошо известно, описывает взаимодействующие электроны в квантовой точке в нульмерном пределе. Также в этом разделе для модели универсального гамильтониана содержится вывод точного аналитического результата для туннельной плотности состояний, определяющей ток через квантовую точку в приближении последовательного туннелирования. В разделе
4.3 вычисляется продольная спиновая восприимчивость, усреднённая по реализациям одноэлектронных уровней энергии, в зависимости от магнитного поля и температуры, при температурах больших типичного расстояния между одночастичными уровнями энергии. Анализируется поведение средней спиновой восприимчивости вблизи порога стоуперов-ской неустойчивости в разных областях на плоскости безразмерных параметров: отношения зеемановского расщепления к энергии обменного взаимодействия и отношения перенормированной энергии обменного взаимодействия, расходящейся па переходе Стоунера, к температуре. Показывается, что в области температур малых по сравнению с перенормированной энергией обменного взаимодействия из-за известного явления мезоскопической стоуперовской неустойчивости, средняя спиновая восприимчивость в нулевом магнитном поле ведет себя согласно закону Кюри с квадрата эффективного спина, логарифмически зависящим от температуры вследствие флуктуаций одиочастичпых уровней энергии. В разделе 4.4 рассматривается поведение туннельной плотности состояний, усреднённой по реализациям одноэлектропиых уровней энергии, с изменением магнитного поля и температуры. при температурах больших типичного расстояния между одночастичными уровнями энергии, и вблизи порога стоунеровской неустойчивости. Показывается, что при температурах малых по сравнению с перенормированной энергией обменного взаимодействия явление мезоскопической стоунеровской неустойчивости проявляется в возникновении дополнительных максимумов в туннельной плотности состояний, причём учёт флуктуации одиочастичпых уровней энергии приводит к тому, что эти максимумы становятся более резкими. Завершается глава заключением (раздел 4.5).
В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы, выносимые на защиту.
В приложения вынесен ряд громоздких вычислений.
В диссертации используется система единиц, в которой постоянные Планка, Больцмана и скорости света равны единице: И = кв = с = 1.
16
Глава 1
Влияние спиновых и изосниновых степеней свободы на переход металл-изолятор в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе
1.1 Введение
В этой главе изучается влияние спиновых и изосниновых степеней свободы па переход металл-изолятор в двумерной силыю-коррелированной неупорядоченной электронной системе. Построенная в этой главе теория позволяет объяснить ряд экспериментальных наблюдений в температурной зависимости сопротивления двумерных электронных систем при низких температурах. Также, построенная теория предсказывает ряд новых особенностей в низкотемпературном поведении сопротивления, которые являются специфическими для двухдолинных электронных систем.
1.1.1 Переход металл-изолятор в неупорядоченной электронной системе
Явление аидерсоновской локализации (1) состоит в том, что интерференция может полностью подавить диффузию квантовой частицы в случайном потенциале. Квантовые состо-
17
яния частицы с данной энергией могут быть либо все локализованы либо все делокали-зовалы. Это приводит к возможности существования квантового фазового перехода при изменении энергии частицы или параметров случайного потенциала, который принято называть переходом Андерсона. Вместо квантовомеханической задачи про одну частицу можно рассматривать задачу о системе невзаимодействующих электронов. В этом случае переход Андерсона может происходить при изменении безразмерного параметра кр1. где кр - импульс Ферми, а I длина свободного пробега. При этом факт наличия дслокали-зованных состояний будет означать, что с точки зрения транспорта электронная система является металлом. Если же все состояния локализованы, то система невзаимодействующих электронов ведёт себя как изолятор.
Будут ли состояния при всех энергиях локализованы, делокализованпы или существует переход Андерсона зависит от размерности пространства. В случае размерности пространства Л = 1 все состояния локализованы при сколь угодно слабом случайном потенциале [2] (см. также [3]), а при Л = 3 существует переход Андерсона [1|. Вопрос о том, какой вариант реализуется в размерности (1 = 2 оказывается болсс сложным. Основываясь на связи между копдактапсом и откликом па изменение граничных условий в системе конечного размера [4|, оказывается возможным построить скейлииговую теорию дня колдактанса [5], которая находится в согласии с диаграммным расчётом в области слабого беспорядка [6, 7]. Анализ скейлипговой теории показывает, что в размерности (I = 2 все состояния должны быть локализованы. При (I > 2 скейлииговая теория предсказывает существование перехода Андерсона, вблизи которого кондак тан с ведет себя степенным образом в зависимости от расстояния до точки перехода [8|. Наличие сксйлинга вблизи перехода Андерсона позволяет использовать методы, развитые для описания критических явлений: низкоэнергетическое эффективное действие и {юнормализациоиную группу (см., например (9, 10. 11]).
Для задачи об апдерсоиовской локализации низкоэпергетическое эффективное действие Ихмеет вид нелинейной сигма-модели [12. 13, 14, 15, 16. 17], которая описывает диффузное движение частицы на масштабах больших длины свободного пробега '. Изучение апдерсоиовской локализации в области слабого беспорядка с помощью нелинейной сигма-модели существенно удобнее [19, 20], чем с использованием стандартной диаграммной техники. Для явления локализации основную роль играет взаимодействие диффузных мод 2, приводящее на масштабах больших длины свободного пробега к логарифмическим
1 Для размерности (1= I и строго одно канал ьнох! случае подход нелинейной сигма-модели не работает. Это связано с тем. что длина локализации равна длине свободного пробега и нет области масштабов, где происходит диффузное движение частицы 118)
2Под диффузными модами понимаются как диффузоны {двухчастичный пропагатор в канале частица-
18
расходимостям в размерности <2 = 2.
Существование перехода Андерсона зависит не только от размерности пространства, но и от симметрии гамильтониана, описывающего движение частицы. Вывод об отсутствии перехода Андерсона в размерности (1 = 2 справедлив для гамильтониана из ортогонального класса симметрии по классификации Вигнера-Дайсона [21, 22, 23), т.е. когда гамильтониан симметричен относительно обращения времени и вращения спина. Например, в случае симплектического класса симметрии, когда отсутствует симметрия относительно вращения спина, что бывает, например, при наличии спин-орбиталыюго взаимодействия, в размерности (1. = 2 реализуется переход Андерсона. В настоящее время установлено существование ровно десяти классов симметрии для гамильтонианов, описывающих случайное движение частицы, и вид соответствующих им нелинейных сигма-моделей [24, 25, 26].
Оказывается, что для каждог о класса симметрии соответствующая нелинейная сигма-модель при некоторых размерностях пространства допускает существование топологических членов. Наличие топологического члена существенным образом влияет на вопрос о локализации 3. Первым и самым известным примером такого рода является целочисленный квантовый эффект Холла. Гамильтониан частицы в случайном двумерном потенциале в присутствии перпендикулярного постоянного магнитного поля относится к унитарному классу симметрии (нарушена симметрия относительно обращения времени). В этом случае в размерности (1 = 2 стандартная скейлииговая теория предсказывает локализацию [27]. Существование при (1 = 2 в нелинейной сигма-модели для унитарного класса симметрии топологического члена [28, 29| приводит к появлению делокализованных состояний и целочисленному квантованию холловской проводимости [30). В настоящее время построена полная классификация топологических членов ддя всех десяти классов симметрии в зависимости от размерности пространства [31, 32, 33].
Интересной и важной особенностью перехода Андерсона является явление мульги-фрактальности [34, 35[, проявляющееся в существовании бесконечного набора критических индексов, характеризующих поведение моментов функции распределения модуля квадрата волновой функции в системе конечного размера. Это явление связано с сильными корреляциями волновых функций в точке перехода. В нелинейной сигма-модели мультифрактальность волновых функций проявляется в существовании бесконечного числа релевантных операторов [34, 36).
Подчеркнем, что всё перечисленное выше разнообразие явления андерсеновской ло-
дырка), так и купероны (двухчастичный иропагатор в канале частица-частица).
3Более подробно влияние топологии на переход металл-изолятор обсуждается н главе 2
19
кализации проявляется в задаче о невзаимодействующих (квази)частицах. Несмотря на простоту постановки задачи об андерсоновской локализации, к настоящему времени она полностью не решена, хотя и получено большое количество, как аналитических, так и численных результатов, позволяющих построить детальную качественную, а в чём-то, и количественную картину явления [37, 38. 39].
Согласно скейлинговой теории [5] кондактанс невзаимодействующих электронов в случайном потенциале зависит от размера системы L. При этом температура в этой зависимости не появляется, так как предполагается идеальная ситуация: электроны не взаимодействуют друг с другом и с окружением. Реализовать такие условия в лабораторных экспериментах достаточно сложно, гак как невозможно исключить межэлектрониое взаимодействие и взаимодействие электронов с фопонами 4. При низких температурах основную роль играет электрон-электроиное взаимодействие. Неупругие процессы при электрон-электронпом рассеянии с малой по сравнению с температурой передачей энергии приводят к тому, что фазовая когерентность, необходимая для квантовой интерференции, сохраняется только на временных масштабах меньших времени сбоя фазы Тф [42, 43, 44]. 5 При понижении температуры время Гф и соответствующий ему пространственный масштаб Ьф растут, обращаясь в бесконечность при нулевой температуре. При конечных температурах таких, что < L, длина сбоя фазы играет роль эффективного размера системы, что приводит к температурной зависимости кондактанса [44].
Кроме влияния на кондактанс через время сбоя фазы 6 электрон-электронное взаимодействие приводит к появлению при низких температурах сильной температурной зависимости кондактанса, связанной с виртуальными процессами при электрон-электронном рассеянии [51]. Физически сильная температурная зависимость кондактанса возникает из-за когерентного рассеяния на фриделсвских осцилляциях [53|. Сильная, по сравнению с ферми-жидкостной, температурная зависимость возникает также в термодинамических величинах: теплоёмкости и спиновой восприимчивости (см., например [54)). Наиболее интересная ситуация возникает в размерности d = 2, где в области слабого беспорядка
4Иедавно появились эксперименты (см., например (40, 41]) в которых андерсоновская локализация изучается в системе холодных атомов в оптическом случайном потенциале.
53аметим. что вообще говоря, время сбоя фазы отличается от обратной частоты электрон-элсктронных столкновений (уходного времени в формализме квантового кинетического уравнения |45. 46|) (см., например |47|).
6В ситуации, когда з приближении невзаимодействующих электронов все состояния локализованы электрон-электроиное взаимодействие может приводить к существованию при конечной температуре перехода между состояниями с нулевой (при низких температурах) и конечной (при высоких температурах) проводимостью |48. 49. 50).
20
вклады в кондактанс. связанные с электрои-электроииым взаимодействием, так же как и вклады, связанные с интерференцией электронов (обсуждавшиеся выше), оказываются логарифмическими [52). В обоих случаях к логарифмическим вкладам приводит взаимодействие диффузных мод на масштабах больше длины свободного пробега. Для ортогонального класса симметрии влияние сильного электроп-электронного взаимодействия на кондактанс оказывается противоположным влиянию интерференции, стремящейся локализовать электроны. Это приводит к возможности существования в размерности d = 2 квантового фазового перехода металл-изолятор при изменении безразмерного параметра kpl в области сильного межэлектронного взаимодействия.
Первая попытка построить скейлинговую теорию перехода металл-изолятор но аналогии со скейлинговой теорией (5) для невзаимодействующих электронов была сделана в работе [55|. Несмотря на качественную и количественную неправильность предложенной теории, важным обстоятельством была идея о необходимости двухнараметрическо го скейлинга для описания перехода металл-изолятор в присутствии межэлектроппого взаимодействия. Для последовательного изучения вопроса о переходе метал л-изолятор оказывается возможным построить эффективное пизкоэнергетическое действие, которое обобщает нелинейную сигма-модель для невзаимодействующих электронов ira случай межэлектронного взаимодействия [56]. С помощью метода реиормализациопиой группы удалось построить правильную скейлинговую теорию для перехода металл-изолятор в размерности d > 2 с учётом электрон-электроииого взаимодействия (57, 58, 59, 60. 61, 62). Как правило, электроп-электронное взаимодействие приводит к изменению класса универсальности перехода металл-изолятор по сравнению с задачей без взаимодействия, (см., например [63. 64] ). т.е. с точки зрения теории критических явлений, взаимодействие, как правило, оказывается релевантным возмущением для перехода Андерсона. Недавно влияние взаимодействия на локализацию было изучено также в сверхпроводящих и киральиых классах симметрий [65|.
Для ортогонального класса симметрии в размерности d = 2 при слабом беспорядке влияние электрон-электроиного взаимодействия оказывается сильнее интерференционного эффекта, что приводит к металлическому поведению кондактапса при низких температурах [62|. Этот факт является аргументом в пользу существования перехода металл-изолятор в d. = 2 при учёте межэлсктрониого взаимодействия.
Несмотря па длительное экспериментальное изучение двумерных электронных систем [66], экспериментальное наблюдение [67. 68] в кремниевых металл-оксид-иолупроводник (Si-МОП) структурах с высокой подвижностью носителей изменение тем-
21
Т (К)
Рисунок 1.1: Температурная зависимость сопротивления в ЭьМОП структуре. Электронная концентрация возрастает на 0.224 • Ю10 см-2, начиная с 6.72 • Ю10 см-2 (верхняя кривая) Рисунок взят из работы [69].
пературиого поведения сопротивления от диэлектрического к металлическому типу при увеличении электронной концентрации (см. Рис. 1.1) оказалось неожиданным. Как раз к такому “веерному" поведению температурной зависимости сопротивления при разных электронных концентрациях и должен приводить переход металл-изолятор. Позже похожее поведение сопротивления было экспериментально обнаружено и в других двумерных электронных системах (70, 71, 72. 73, 74, 75]. В существовании температурного поведения сопротивления, характерного для перехода металл-изолятор, важную роль играет электронный сиии. На это указывает тот факт, что магнитное поле, слабое по сравнению с полем необходимым для полной поляризации электронных спинов и приложенное параллельно двумерному слою в БьМОП структуре, меняет температурную зависимость сопротивления с металлической на диэлектрическую [76, 77. 78](см. Рис. 1.2). Аналогичный эффект наблюдался в двумерной дырочной системе в гстероструктуре СаАэ/АЮаАз (80). В последнем случае такое поведение сопротивления в параллельном иоле при низких температурах может быть объяснено скейлинговой теорией, учитывающей, что на больших расстояниях зеемаиовское расщепление выключает две из трёх диффузных мод в триплет-ном канале (63]. Недавно существование перехода металл-изолятор в размерности Л = 2 было теоретически продемонстрировано в специальном случае, при котором спин электрона равен N —► ос (сигма-моделыюе действие 5'£/(Х) инвариантно) (81). Таким образом, существующие экспериментальные и теоретические результаты показывают, что спиновые степени свободы играют важную роль для существования перехода металл-изолятор
22
Рисунок 1.2: Температурная зависимость сопротивления для Бі-МОҐІ структуры с электронной концентрацией п = 1.075 • 10і1 см-2 в параллельном магнитном иоле. Магнитное поле меняется на 0.1 Т в днапозоне от 0 до 2.5. наминая с нижней кривой. Рисунок взят из работы [79].
в двумерной электронной системе.
1.1.2 Постановка задачи
Недавно, предсказания скейлипговой теории [63] были детально сопоставлены с результатами экспериментов на Бі-МОП структурах. Температурная зависимость сопротивления в металлической области [82]. магннтосопротивлепие в параллельном поле |79. 83], и сопротивление в критической области (двух-параметрический скенлинг) (69] показали неплохое согласие с теорией. Существенной особенностью двумерной электронной системы в изучаемых экспериментально Бі-МОП структурах является наличие двух долин 7. Это приводит к появлению двух дополнительных энергетических масштабов: междолинпого расщепления Д,. и времени междолинпого рассеяния 1/т„, величины которых в критической области оказываются порядка 1 К и 0.1 К, соответственно [84, 85). Поэтому для детального сравнения экспериментальных данных с теорией при температурах ниже 1 К, требуется развитие теории с учётом наличия в двухдолинной электронной системе междолинпого расщепления и конечного времени междолинпого рассеяния.
7В объемном кремнии в зоне Брнллюэна находится 6 долин вырожденных по энергии. В 5і(001)-МОП структуре вырождение частично снимается и четыре из шести долин становя тся отделены от двух других долин, центры которых лежат на оси 2 в обратном пространстве, энергетической щелью порядка 200 К и поэтому не участвуют в транспорте при низких температурах
Хорошо известно [86], что двухдолинная электронная система реализуется также в п-А1Аз квантовой яме 8. В отличие от ЗьМОП структуры, в п-А1Аз квантовой яме можно воздействовать не только па спиновую степень свободы, прикладывая параллельное магнитное ноле, по и на возникающую из-за наличия двух долин изоспиновую степень свободы, используя упругое напряжение для изменения величины междолипного расщепления |87, 88]. В работах [87, 88] было обнаружено, что для изменения температурной зависимости сопротивления с металлической на диэлектрическую недостаточно приложить только параллельное магнитное иоле или только упругое напряжение: необходимо наличие как зеемановского. так и междолипного расщеплений. Этот экспериментальный результат находится в согласии с экспериментами [76, 77. 78[, так как в электронной системе в 8ьМ()Г1 структуре конечное междолшиюе расщепление всегда присутствует. Однако, экспериментальные наблюдения работ [87, 88] находятся в противоречии с теорией. Простейшее обобщение теории (82) на случай только зеемановского или междолипного расщеплений приводит к тому, что наличие одного из этих факторов достаточно для смены температурной зависимости сопротивления с металлического на диэлектрическое [89]. Таким образом, теория электронного транспорта в двухдолиипой системе оказывается в противоречии с экспериментом.
Ещё одной системой, в которой двумерные электроны имеют изоспиновую степень свободы, является гетероструктура с двойной квантовой ямой. В этом случае изоспин отличает состояния локализованные в разных ямах. Несмотря на большое количество интересных физических явлений, обнаруженных в гетероструктурах с двойной квантовой ямой, в том числе и в присутствии сильного магнитного поля, влияющего на орбитальное движение двумерных электронов, и таких как кулоновское увлечение [90, 91, 92, 93|, конденсация Бозе-Эйиштейиа экситоиов [94, 95, 96], ферромагнитная [97. 98] и наклонная аитиферромагнитная [99] фазы, переход металл-изолятор экспериментально подробно не исследовался. Электронный транспорт в гетероструктуре с двойной квантовой ямой изучался только при больших концентрациях электронов, вдали от области параметров, в которой можно ожидать перехода металл-изолятор 1100, 1011.
В гетероструктуре с двойной квантовой ямой и с общими рассеивателями для электронов в обеих ямах можно ожидать такое же поведения сопротивления как и в БьМОП
,::В объемном А1Аз имеется шесть долин, вырожденных по энергии, центры которых расположены точно на границах зоны Бриллюэна, так что на одну зону приходится 3 долины. В п-А1А$ квантовой яме вырождение частично снимается и при низких температурах играют- роль только долины, расположенные на осях х м у в обратном пространстве.
24