Дробно-дифференциальная теория аномальной кинетики носителей заряда в неупорядоченных полупроводниковых и диэлектрических системах

Оглавление
Введение 5
1 Дробно-дифференциальная кинетика дисперсионного переноса в неупорядоченных полупроводниках 23
1.1 Универсальность кривых переходного тока н автомодельность дисперсионного переноса............................................................. 25
1.2 От автомодельности к устойчивым законам и дробному уравнению адвекции 29
1.3 Модель Шера-Монгролла и дробно-дифферсицпальное уравнение Фокксра-Планка.................................................................... 35
1.4 Физические основания степенной асимптотики в распределении времён локализации ................................................................ 41
1.5 Кинетика в режиме многократного захвата .............................. 49
1.6 Подход Архипова-Руденко-Никитенко..................................... 52
1.7 Дробно-дифференциальные уравнения дисперсионного переноса для локализованных и квазисвободных носителей..................................... 57
1.8 Диффузия электронов по собственным локализованным состояниям .... 66
1.9 Концепция локализации и дробно-дифференциальиая кинетика ............. 67
1.10 Учёт рекомбинационных процессов...................................... 68
1.11 Учёт генерационных процессов......................................... 72
1.12 Биполярный дисперсионный перенос..................................... 74
1.13 От переходного тока к распределению времён ожидания.................. 76
1.14 Статистический подход................................................ 78
1.15 Концепция слабой ограниченности и модель гауссова беспорядка Басслера 97
1.16 Перколяция и дробно-дифференциальная кинетика....................... 102
1.17 Моделирование дисперсионного переноса с помощью коночно-разностного метода................................................................... 106
1.18 Динамика Ланжевена и уравнение дробной диффузии..................... 108
1.19 Дробное уравнение Больцмана......................................... 109
1.20 Систематизация дробно-дифференциальных уравнений дисперсионного переноса .................................................................. 112
Выводы к главе 1 ........................................................ 115
2 Применение дробно-дифференциального подхода к описанию переноса
в неупорядоченных полупроводниках 118
2.1 Переходный ток в неупорядоченных полупроводниках..................... 118
2.2 Переходный ток в случае усечённых степенных распределений времён ожидания ................................................................... 123
2.3 Переходный ток в полупроводниках с распределенным дисперсионным параметром ............................................................... 128
2
2.4 Кривые переходного тока в модели гауссова беспорядка Басслера.......... 131
2.5 Частотная зависимость проводимости..................................... 134
2.6 Нестационарная радиационная электропроводность......................... 137
2.7 Перколяционный подход для описания время-пролётного эксперимента в
нанопористом кремнии................................................... 138
2.8 Непуассоновское распределение ловушек в пространстве................... 141
2.9 Роль корреляций в случае фрактального распределения пробегов 144
2.10 Фотолюминесценция, контролируемая дисперсионным переносом.............. 151
Выводы к главе 2............................................................ 155
3 Описание переходных процессов в структурах на основе неупорядоченных полупроводников 157
3.1 Учёт пространственного распределения локализованных состояний .... 157
3.2 Учёт поверхностных слоев полимера во врсмя-пролётном эксперименте и перенос в многослойных структурах .......................................... 158
3.3 Переходный гок в структурах неупорядоченный полупроводник - кристаллический полупроводник ..................................................... 161
3.4 Переходный процесс при переключении диода и з нейтрального в пропускное
состояние в условиях дисперсионного транспорта......................... 165
3.5 Переходный процесс при выключении диода из пропускною состояния размыканием цепи в условиях дисперсионного транспорта.......................... 167
3.6 Дисперсионная диффузия водорода в окисле МОП-транзисторов.............. 169
3.7 Частотная зависимость комплексной проводимое і и диода при дисперсионном переносе................................................................ 170
3.7.1 Частотная зависимость кондактанса ............................ 170
3.7.2 Частотная зависимость проводимости диода...................... 173
3.7.3 Частотная зависимость диффузионной ёмкости диода.............. 173
Выводы к главе 3............................................................ 175
4 Недебаевская релаксация в диэлектрических системах 176
4.1 Недебаевская диэлектрическая релаксация................................ 176
4.2 Частотные диэлектрические отклики...................................... 178
4.3 Модель вращательной дробно-дифференциальной субдиффузии................ 185
4.4 Диэлектрическая релаксация, управляемая дисперсионным транспортом
носителей заряда....................................................... 189
4.4.1 Два представления функции Грина.................................. 192
4.4.2 Сравнение с экспериментальными данными........................ 195
4.5 ДД-кинетика и отклик Коула-Дэвидсона................................... 197
4.6 ДД-кинетика и отклик Гаврильяка-Негами................................. 199
4.7 Универсальный диэлектрический отклик Джоншера.......................... 205
4.8 Учёт сквозной проводимости и отклик Райку.............................. 206
4.9 Закон релаксации Кольрауша-Вильямса-Ваттса............................. 207
4.10 Методика і оков поляризации-деполяризации ............................. 213
4.11 Радиационно-диэлектрический эффект в рамках дробно-дифференциальной теории.................................................................. 215
Выводы к главе 4............................................................ 217
3
5 Аномальная кинетика в наноструктурах 219
5.1 Электронный транспорт в массиве коллоидных квантовых точек.......... 221
5.1.1 Моделирование методом Монте-Карло.................................... 221
5.1.2 Блокирование переноса электронов в модифицированной модели
Шера-Монтіюлла........................................................ 223
5.1.3 Степенное затухание тока ............................................ 227
5.1.4 Физические основания стенного распределения времён локализации
в квантовых точках.................................................... 227
5.1.5 Обобщённый закон Ома и эффект памяти в массиве КТ.................... 229
5.2 Электронный транспорт в нанокомпозитах.............................. 231
5.3 Мерцающая флуоресценция одиночных нанокрнстяллов.................... 233
5.3.1 Физические механизмы степенного мерцания ............................ 235
5.3.2 Статистическое описание.............................................. 238
5.3.3 Распределение числа счёта фотонов.................................... 247
5.4 Проводимость многоканальных квантовых проводников с фрактальным беспорядком ............................................................... 250
5.4.1 Режим слабого рассеяния.............................................. 251
5.4.2 Режим последовательного некогерептного туннелировании................ 255
Выводы к главе 5........................................................ 261
Заключение 263
Приложения 265
Приложение 1. Дробные интегралы и производные........................... 266
Приложение 2. Свойства дробных производных и интегралов Римана-Лиувилля 272
Приложение 3. Обобщённая предельная теорема (точная формулировка) .... 275
Приложение 4. Свойства дробно-устойчивых распределений.................. 277
Приложение 5. Связь решений дробного и стандартною уравнения Фоккора-
Планка............................................................. 280
Приложение 6. Класс дробно-подчиненных безгранично делимых процессов . . 282
Список литературы 284
4
Введение
К настоящему времени накоплен большой объем информации по переносу и релаксации носителей заряда в неупорядоченных твёрдых телах [132, 309, 380]. Характерным свойством кинетики носителей заряда в неупорядоченных средах является степенной режим (скейлинг) релаксации, который подразумевает бесконечный иерархический набор времён релаксации. Скейлинг такого типа характерен для дисперсионного переноса в неупорядоченных полупроводниках, недебаевской релаксации в диэлектриках, переноса электронов в массивах коллоидных квантовых точек, мерцающей флуоресценции одиночных нанокристаллов, проводимости неупорядоченных квантовых проволок, полимерных нанофибрилл и др. Этим процессам свойственна универсальность, т. с. нечувствительность вероятностных распределений некоторых измеримых величин к микроскопическим деталям, что стимулирует развитие статистических моделей. Долговременная релаксация в большинстве случаев объясняется асимптотически степенным распределением времён локализации носителей заряда. Последний факт обуславливает неприменимость центральной предельной теоремы (ЦПТ) и гауссовой (нормальной) статистики, модели пуассоновского случайного процесса и классических диффузионных схем. В связи с этим, совокупность таких процессов обозначается в последнее время термином “аномальная кинетика” (АК).
Весьма эффективным для анализа АК является отказ от ограничений ЦПТ, применение устойчивых законов с бесконечными моментами и связанного с ними дробно-дифференциального исчисления. Были введены дробные обобщения уравнений Л иу вилл я [219], Больцмана [252]. Фоккера-Планка [123]. Ланжевена |261], закона Фика [164]. Однако, с прикладной точки зрения, эти исследования в большинстве случаев ограничивались только демонстрацией адекватности дробно-дифференциального уравнения частному экспериментальному результату. Системный анализ процессов АК в неупорядоченных конденсированных средах на основе кинетических уравнений с производными дробного порядка отсутствовал. Сами уравнения часто вводились формально. Не было алгоритмов расчёта параметров кинетических уравнений дробного порядка на основе экспериментальных кривых. В большинстве работ отсутствовали выражения, связывающие коэффици-
енты дробных уравнений переноса с характеристиками микроскопических моделей: плотностью локализованных состояний, темпами захвата и эмиссии, подвижностью квазисвободных носителей и др. Прснебрсгалось эффектами рекомбинации, биполярной диффузией, заполияемостыо локализованных состояний, дальнодействующими корреляциями, кулоновской блокадой, переходом к квазиравновесной статистике и др. явлениями. Решению этих и близких к ним задач в рамках кинетической теории на основе дробнодифференциальных уравнений переноса, и посвящена данная диссертация.
В неупорядоченных полупроводниках наблюдаются различные транспортные режимы. С точки зрения статистической физики нормальный режим характеризуется гауссовой статистикой и описывается стандартным диффузионным уравнением. Среди аномальных (негауссовых) диффузионных режимов принято выделять дисперсионный транспорт [193. 309, 113]. Этот тип негауссова переноса наблюдается во многих неупорядоченных материалах, различающихся своей микроскопической структурой: в аморфных полупроводниках, в пористых твёрдых телах, в поликристаллических плёнках. жидкокристаллических материалах, полимерах и др. Главные особенности дисперсионного транспорта были выявлены на основе время-нролётных экспериментов но измерению переходного тока и определению дрейфовой подвижности носителей заряда в аморфных полупроводниках. Важное свойство кривых переходного тока I(t) для дисперсионного переноса - это так называемая «универсальность», которая подразумевает самоподобие кривых в координатах log / - logt Кривые тока существенно отличаются от нормального случая, для которого I(t) имеет вид ступеньки. При дисперсионном переносе ток затухает по очень медленному закону, выделяются два степенных участка: /(£) а £_1+а для t < tf, и /(£) ос t~l~a для t > tт. Параметр О < а < 1 называется дисперсионным параметром, он зависит от структуры материала и механизма транспорта, для некоторых механизмов наблюдается температурная зависимость с\(Т) [309].
Среди разработанных теорий дисперсионного переноса только в двух из них предлагаются аналоги диффузионного уравнения. Первая из них теория Архипова-Рудеико-Никитенко [283, 342], оперирующая уравнениями с нестационарными коэффициентом диффузии и подвижностью, и вторая -дробно-дифференциальная теория (ДДТ). Подходы неэквивалентны, и необходим сравнительный анализ их возможностей при анализе процессов, управляемых дисперсионным транспортом, в структурах па основе НГ1. Несмотря на явное приближение, используемое в подходе на основе диффузионного уравнения с нестационарными коэффициентами, теория очень успешно описывает вес основные закономерности дисперсионного и квазидисперсионного транспорта. Приближение уровня, разделяющего локализованные состояния
б
на «мелкие» и «глубокие» роднит подходе методом ренорм-группы, который подразумевает, что стечением времени нес более «глубокие» степени свободы начинают принимать участие в процессе. С другой стороны, получаемые в рамках этой теории диффузионные уравнения с переменными коэффициентом диффузии и подвижностью указывают на возможную связь с дробным броуновским движением.
Важно отметить, что дисперсионный параметр а. извлекаемый из время-пролётного эксперимента для некоторых материалов (часто для мористых полупроводников) слабо зависит от температуры (см., например, [25, 177]). этот факт многие авторы связывают со структурным беспорядком. Диффузионное уравнение Архипова-Руденко для механизма многократного захвата, которое было адаптировано для термоактивируемых прыжков в работах Никитенко, не применимо в случае слабой зависимости а от Т и сильного структурного беспорядка. Уравнения не учитывают перколяцион-ный характер траекторий прыжковой проводимости и их резкое отличие от броуновских. Связь дробно-дифференциальных субдиффузионных уравнений с моделями теории протекания позволяет надеяться на прогресс в этом направлении.
Перечислим основные мотивы для создания теории аномальной кинетики в неупорядоченных полупроводниках и диэлектриках на основе уравнений переноса с производными дробного порядка:
1. связь дробно-дифференциальных кинетических уравнений с известными моделями случайных процессов и предельными теоремами теории вероятностей;
2. возможность развития единого формализма описания нормальной и аномальной кинетики:
3. возможность совместного учёта энергетического и структурного беспорядка;
4. необходимость разработки эффективного метода анализа частотных свойств структур на основе неупорядоченных полупроводников и диэлектриков.
В первой главе диссертации будет показано, что универсальность кривых переходного тока связана с автомодельностью переноса, в частности, с самоподобием пакета неравновесных носителей. Дисперсионный перенос характеризуется эредитарностью и немарковостью. Это означает, что он должен описываться интегро-дифференциальным уравнением. Самоподобие -
7
важное свойство, которое, как мы покажем, выделяет из множества интегро-дифференциальных уравнений уравнения с дробно-дифференциальным оператором. Дробные производные - это, по сути, интегро-дифференциальные операторы с ядрами специального типа, но они обладают свойствами, которые роднят их с производными целого порядка и это позволяет надеяться на возможность унифицированного описания дисперсионного и нормального переноса.
Впервые дробные производные в теории полупроводников использованы (в явном виде) в книге Бабенко |287| для нахождения временной зависимости концентрации на границе р-п-перехода при нормальном переносе по заданной плотности тока путём факторизации оператора нормальной диффузии:
д &2 ( д1/2 д\(д[!2 д
дь дх2 дх) дх
В теории дисперсионного переноса дробные производные типа Римана-Лиувилля [358]
впервые появляются в статье Архипова. Поповой и Руденко |282| в 1982 го-ду: через интеграл дробного порядка была выражена связь концентраций свободных и локализованных носителей. В их последующих работах (см. например [2. 306)) чаще встречается другое приближённое соотношение между концентрациями локализованных и свободных носителей, которое сами авторы иногда называют «основным уравнением дисперсионного транспорта». Мы будем называть это уравнение, следуя [380. 342]. т-приближснисм. Это соотношение считается справедливым для любой плотности локализованных состояний, а в случае экспоненциальной плотности позволяет выразить результаты через элементарные функции, т-приближение приводит к диффузионному уравнению с переменными коэффициентом диффузии и подвижностью [283].
В терминах интегрального преобразования Лапласа, из кинетических уравнений захвата-эмиссии, записанных Нулапди [154], Тиджи [222] вывел уравнение переноса в пренебрежении диффузией для концентрации свободных носителей. Обратное преобразование Лапласа этого уравнения представляет собой дробно-дифференциальное уравнение |362].
Баркаи [11] применил дробно-дифференциальное уравнение Фоккера-Планка, предложенное в статье [123] Метцлера. Баркаи и Клафтера, для объяснения релаксации переходного фототока в аморфных полупроводниках. В [11] показана согласованность некоторых результатов, полученных на
8
основе дробно-дифференциального подхода, и предсказаний модели Шера и Монтролла [193]. Для оправдания введения дробно-дифференциального уравнения автор [11] приводит следующие слова: «Перенос в упорядоченных средах часто моделируется с помощью диффузионного уравнения. Этот подход наиболее прост и является самым распространённым. Дисперсионный транспорт типа Шера и Монтролла, экспериментально наблюдаемый в различных неупорядоченных полупроводниках, может быть феноменологически описан с помощью дробного уравнения Фоккера-Планка. Это единственный пример из всех физических явлений, в котором другой тип исчисления (в данном случае интегральное и дифференциальное исчисление дробного порядка) играет центральную роль». Авторы [123] не выводили уравнение строго из каких-то начальных посылок, а обосновали его адекватность аномальному переносу выполнением следующих требований:
1. в отсутствие внешней силы, выполняется субдиффузионное соотношение для временной зависимости ширины пакета частиц;
2. при наличии внешней не зависящей от времени нелинейной силы стационарное решение уравнения является больцмаиовским распределением;
3. выполняется обобщённое соотношение Эйнштейна;
4. при устремлении дробного показателя к единице уравнение переходит в стандартное уравнение Фоккера-Планка.
Другое дробно-дифференциальное диффузионное уравнение, полученное в [76] простой заменой производной по времени в стандартном уравнении диффузии производной дробного порядка рассматривает Бискерт [23] в отношении к переносу путём многократного захвата. Функция в этом уравнении с несохраняющейся нормировкой интерпретируется как концентрация дел окал изованных носителей. В |23. 24] не приводятся решения интерпретируемого уравнения и нет результатов применения уравнения к описанию время-пролётных экспериментов. Автор [24] использует это уравнение для объяснения степенного затухания фотопроводимости и степенной релаксации люминесценции в полупроводниках с экспоненциальной плотностью ло-кал изо ван ных состоя и и й.
Степенное затухание фотолюминесценции в аморфных полупроводниках описывается в [198, 197] па основе обобщённой модели случайных блужданий с рекомбинацией путём туннельных излучательных переходов. Рекомбинация ограничивается дисперсионной диффузией носителей. Авторы [197] в рамках предложенной модели составили дробно-дифференциальное уравнение для плотности распределения времени первого достижения. Для на-
9
хождения темпа рекомбинации [197] используется интегральное преобразование Лапласа предложенного уравнения.
В наших работах [381, 245] было показано, что главные асимптотические члены решений уравнений случайных блужданий модели Шера и Монтрол-ла являются решениями дробно-дифференциальных уравнений. Функциями Грина последних являются дробно-устойчивые плотности. Нами [392] найдено решение уравнения, предложенного в работе Биекерта [23], в терминах устойчивых плотностей.
В параграфе 1.4 будет продемонстрирована связь дробно-дифференциального подхода с моделью Шера и Моптролла и моделью многократного захвата. Кроме этого, покажем, что дробно-дифференциальное уравнение Фоккера-Планка. которое применяет Баркаи [11]. и уравнение для концентрации делокализованных носителей, используемое в [23] и обощённое в [362] на случай диффузии со сносом, связаны соотношением, полученным Архиповым, Поповой и Руденко [282]. В дробно-дифференциальных уравнениях произведём учёт мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации за счёт туннельных излучательных переходов. Будет рассмотрен случай распределённого дисперсионного параметра для моделирования неоднородных неупорядоченных сред. Составим дробно-дифференциальные уравнения ам-биполярного дисперсионного транспорта. В рамках ДДТ исследуем переходные процессы в условиях врем я-пролётного эксперимента и нестационарной радиационной электропроводности, частотные свойства структур и др. Для проверки адекватности выводимых уравнений и их решений аналитические результаты будем сравнивать сданными время-пролётного эксперимента. В некоторых случаях будем использовать метод моделирования Монте-Карло в рамках схемы блужданий с непрерывным временем.
Интерес к различным подходам описания негауссова переноса недавно возобновился в связи с наблюдением процессов аномальной диффузии в иа-норазмерных системах: нанопористом кремнии, в легированных квантовыми точками стёклах, квази-ID системах и массивах коллоидных квантовых точек. Последние не только перспективны с точки зрения приложений в спин-тронике и квантовых вычислениях, на основе этих искусственных материалов с контролируемыми свойствами могут быть изучены фундаментальные концепции физики неупорядоченных твёрдых тел: локализация, нелинейные эффекты, связанные с дальнодействующими кулоновскими корреляциями, заполпяемостыо ловушек и кулоновской блокадой. В связи со способом получения коллоидных нанокристаллов, энергетический беспорядок всегда присутствует в этих системах, что подтверждается опытами по мерцающей флуоресценции одиночных квантовых точек (CdSe. CdS, CdSe/ZnS, CdTe, InP и др). И как показано в недавних работах [156. 363] статистика Леви играет
Ю
важнейшую роль при интерпретации экспериментов по кинетике переноса заряда в массивах.
Во многих образцах массивов коллоидных КТ (в латеральной геометрии). наблюдается степенное затухание тока после приложения постоянного напряжения. Показатель а меньше 1 и его значение зависит от размера нанокристаллов и температуры. Д. Новиков и соавт. [156] утверждают, что наблюдаемый ток “ это ток проводимости, а не ток смещения, поскольку интеграл тока (заряд) расходится. Неэкспоненциальная релаксация тока может быть объяснена, временной зависимостью состояния системы. Авторы [66] предложили, что поток заряда уменьшается вследствие подавления инжекции из контакта. Это подавление вызвано эффектом кулоновской блокады электронами, захваченными в нанокристаллах. В работе [ 131 ] степенное затухание /(£) объясняется представлением совокупности неравновесных электронов, распределенных по массиву КТ, в виде кулоиовского стекла. Новиков [155] предложили модель параллельных каналов, характеризующихся статистикой Леви времён ожидания между последовательными импульсами тока. Модель, в принципе, успешно объясняет степенное затухание тока и степенной спектр шума, но она не раскрывает физической сущности процесса, она постулирует степенное распределение. Кроме этого, возникает следующее противоречие. В основе модели, как утверждают авторы [156], лежит стационарный процесс и это противоречит временной зависимости свойств системы, в частности представлению о блокировании инжекции из контакта, которая в принципе должна следовать из соотношения баланса заряда. Возникает много дополнительных вопросов, ответы на которые в работах [155, 156] не даются. Какова природа проводящих каналов, почему распределение времён ожидания между последовательными импульсами имеет степенную асимптотику, почему импульсы тока дискретны и одинаковы по величине. Если память процесса объяснять в рамках концепции скрытых переменных [386]. то состояние системы, характеризующееся этими скрытыми переменными, изменяется со временем и этот факт находится 15 противоречии с предположением о стационарности процесса, о которой утверждают авторы.
Как известно, коллоидные квантовые точки (КТ) имеют широкий спектр поглощения, узкий спектр излучения, высокий квантовый выход люминесценции, являются устойчивыми к световой деградации. Благодаря этим свойствам, КТ перспективны в качестве активной среды для лазеров, однофотонных источников и люминесцентных меток в химии и биологии. Однако, мерцающий характер флуоресценции КТ ограничивает их применение (оп-состояния, в которых испускается множество фотонов, чередуются о Й'-со стояниям и, в которых наночастица не излучает). В многочисленных экспериментальных исследованиях мерцающей флуоресценции КТ отмеча-
11
ется, что длительности on- и off-интервалов распределены по степенным законам, причём степенные показатели практически не изменяются при варьировании условий измерений: температуры, интенсивности излучения лазера, размеров квантовых точек. В связи с этим определение механизма мерцающей флуоресценции оказалось сложной задачей. В качестве возможных механизмов, приводящих к степенному распределению интервалов, предлагаются термически активируемая ионизация (Куно и соавт., 2001). модель туннелирования через флуктуирующие барьеры (Куно и соавт., 2001). резонансное туннелирование между ядром и заряженными ЛС (Шимизу и соавт., 2001) и др. Нами найдены распределения числа счёта фотонов мерцающей флуоресценции одиночных коллоидных квантовых точек, свидетельствующие о су-перпуассоновской статистике излучения, больших флуктуациях числа флуоресцентных фотонов и неэргодичности процесса. Сформулированы асимптотические условия подавления мерцания. Результаты указывают на один из механизмов мерцания одиночных коллоидных квантовых точек - ионизацию ядра путём резонансного туннелирования, управляемого аномальной диффузией энергетического уровня приповерхностной ловушки.
Беспорядок играет важнейшую роль в мезоскопических системах: случайно распределённые неоднородности и квантовые интерференционные эффекты приводят к флуктуациям кондактаиса д в ансамбле мезоскопических образцов. Распределение кондактаиса обычно изучается в трёх различных режимах: металлическом (£ > L), диэлектрическом (£ « L) и промежуточном (£ ~ L). Здесь £ - длина локализации и L - характерный размер системы. Наиболее подробные теоретические результаты были получены для одномерных и квази-ID систем в рамках двух подходов к описанию когерентной проводимости и локализации в неупорядоченных проволоках: теории поля и теории передаточных матриц. Авторы [60. 32| показали эквивалентность этих двух теорий в случае большого числа поперечных мод N ^> 1 для всех классов симметрии. В теории передаточных матриц, электронный транспорт рассматривается как проблема рассеяния. Кондактанс при нулевой температуре связан с квантово-механической матрицей передачи t с помощью формулы Ландауэра. Дорохов. Мелло, Перейра и Кумар [47, 122| вывели уравнение, известное как ДМПК-уравнение для функции распределения собственных чисел матрицы t в режиме слабой локализации. Мутталиб и Клаудер |135] предложили обобщенное ДМПК-уравнение для описания электронного транспорта в сильно неупорядоченных системах. Эти уравнения типа Фоккера-Планка в обоих случаях (слабой и сильной локализации) были получены в предположении о регулярном распределении неоднородностей. Однако, экспериментальные работы[97, 96, 73] и численное моделирование [110] показали, что беспорядок в мезоскопических систс-
12
мах может быть фрактальным (самоподобным). Очевидно, что стандартное ДМПК-уравнение и его многомерные обобщения не применимы в этом случае.
В недавних теоретических работах [56. 17) изучается проводимость одномерной квантовой системы с беспорядком фрактального типа, характеризующимся асимптотически степенным распределением расстояния между рассеивающими барьерами. Нами получены распределения кондактанса С длинной квантовой проволоки с фрактальным беспорядком в режимах слабого рассеяния и последовательного некогерентпого туннелирования. Асимптотическое (Ь —> оо) поведение моментов (Сгк(Ь)), средней мощности дробового шума {£(£)) и фактора Фано находятся в согласии с результатами работы [17), сами распределения хорошо описывают результаты численного моделирования методом Монте-Карло. Получено уравнение для распределений сопротивления и кондактанса, которое согласуется с полученным нами дробно-дифференциальным обобщением уравнения ДМПК-уравнения для квазиодномерных многоканальных неупорядоченных проводников с фрактальным распределением рассеивателей.
Рассматриваемая квази-Ш система с самоподобным пространственным распределением рассеивателей является простейшим примером мезоскопической системы с фрактальным беспорядком. Результаты согласуются с дробным аналогом ДМПК-уравнения, которое как и стандартное уравнение применимо только в случае слабого рассеяния. Мутталиб. Клаудер и Гопар (1999, 2002) получили обобщение ДМПК-подхода для сильной локализации в предположении, что малые изменения масштабных параметров системы (например, длины) приводят к малым изменениям параметров передачи .т,. Однако, это предположение не всегда выполняется для сильной локализации. Известно [9), например, что для квантового туннелирования небольшие флуктуации параметров потенциальных барьеров могут приводить к гигантским флуктуациям темпов туннелирования. Эффект проявляется на макроскопических масштабах, например, в явлении дисперсионного переноса в НИ. Если предположить, что флуктуации параметров передачи являются самоподобными, то можно избежать разложения по малому параметру и обобщить ДМПК-подход для случая сильной локализации и более высоких размерностей в рамках дробно-дифференциального подхода.
Цель диссертационной работы - разработка и апробация теории переноса и релаксации носителей заряда в неупорядоченных полупроводниковых и диэлектрических системах на основе кинетических уравнений с производными дробного порядка с учётом различных типов рекомбинации, биполярной диффузии, запалняемости локализованных состояний, дально-
13
действующих корреляций, кулоновской блокады.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1. Разработать теорию аномальной кинетики носителей заряда в условиях экспериментов по измерению времени пролета и нестационарной радиационной электропроводности НП. Необходимо связать кинетические уравнения с известными моделями случайных процессов, коэффициенты и порядки уравнений выразить через физические параметры системы: плотность ЛС, темпы захвата и эмиссии, подвижность квазисвободных носителей, температуру и др.
2. Сравнить теоретические результаты с экспериментальными данными по переносу и релаксации носителей заряда в НП и диэлектриках, а также с результатами теории Архипова-Руденко-Никитенко, стохастической модели Шера-Монтролла, модели гауссова беспорядка Басслера и др. В рамках дробно-дифференциального подхода рассмотреть кинетику поляризации и рекомбинации близнецовых пар, процессы люминесценции, управляемые дисперсионной диффузией.
3. Рассчитать характеристики переходных процессов в диодах на основе НП при различных режимах переключения. Вычислить частотные зависимости комплексной проводимости на переменном токе для НП и диода на их основе при условиях дисперсионного переноса.
4. На основе полученных уравнений рассмотреть диэлектрические свойства НП. В рамках нового подхода описать радиационнодиэлектрический эффект.
5. Создать теоретические предпосылки для разработки метода решения обратной задачи, позволяющего по наблюдаемым в эксперименте результатам восстанавливать характеристики процессов, происходящих на мезоскопическом уровне, определять пространственно-временные параметры локализации носителей заряда, и вычислять коэффициенты и порядки дробных кинетических уравнений.
6. Описать с помощью ДДТ процессы аномальной кинетики в наносистемах: мерцающую флуоресценцию одиночных нанокристаллов, туннелирование электронов в массивах коллоидных квантовых точек, электропроводность квантовых квазиодномерных систем с фрактальным беспорядком (синтезированных проволок, полимерных нанофибрил).
Научная новизна полученных автором результатов:
14
1. Разработана теория переноса носителей заряда в неупорядоченных твёрдых телах. основанная на уравнениях переноса с дробными производными. Она позволяет' в рамках унифицированного подхода описать перенос в режиме многократного захвата на ЛС и в режиме нестационарной прыжковой проводимости. Теория успешно описывает поведение переходного фототока в НП и нестационарной электропроводности полимеров мри импульсном воздействии проникающего ионизирующего излучения. Подход эффективен при анализе частотных свойств структур на основе НП. Удалось учесть влияние структурного беспорядка и отличие диффузионных траекторий носителей от броуновских на распределение неравновесных носителей и переходный ток во время-пролётном эксперименте.
2. С помощью обобщенной предельной теоремы уточнены условия дисперсионного переноса для основных физических механизмов транспорта, для различных спектров ЛС и пространственных распределений ловушек.
3. В рамках нового подхода дано объяснение наблюдаемому в экспериментах переходу от дисперсионного типа переноса к квазигауссову при увеличении размеров образца и/или ослаблении электрического поля во время-пролётных экспериментах. В мезоскопических масштабах теория описывает негауссов перенос, в макроскопических - согласуется со стандартной моделью переноса, тем самым выполняется принцип соответствия.
4. В рамках ДДТ описана близнецовая рекомбинация, управляемая дисперсионным транспортом носителей заряда. Произведен учёт рекомбинации в дробно-дифференциальных уравнениях дисперсионного переноса. что позволило описать фотолюминесценцию, контролируемую негауссовым мононолярным транспортом носителей или биполярным транспортом близнецовых нар. Обобщена формула Мозумдера для функции выживания пары.
5. Разработано два новых механизма, недебаевской релаксации: механизм смещения при дисперсионном переносе и формирование перколяцион-ных каналов с нерегулярной динамикой процессов делокализации. Эти механизмы приводят к дробно-дифференциальным соотношениям между током и напряжением и объясняют наследственные эффекты поляризации в органических диэлектриках. Исследованы зависимости токов поляризации от температуры и количества влаги для бумажномасляного конденсатора.
15
6. Впервые предложена нелинейная модель переноса электронов в массиве коллоидных квантовых точек, учитывающая кулоновскую блокаду и влияние энергетического беспорядка межточечного пространства. Модель согласуется с гипотезой Новикова о статистике Леви в проводящих каналах, идеей Жинжера и Гринхема о блокировании инжекции. Удалось описать степенное затухание тока при ступенчатом переключении внешнего напряжения, эредитарный эффект и фликкер-шум в массивах нанокристаллов.
7. Найдены распределения числа счёта фотонов мерцающей флуоресценции одиночных коллоидных квантовых точек, свидетельствующие о су-перпуассоновской статистике излучения, больших флуктуациях числа флуоресцентных фотонов и неэргодичности процесса. Сформулированы асимптотические условия подавления мерцания. Результаты указывают на один из механизмов мерцания одиночных коллоидных квантовых точек - ионизацию ядра путём резонансного туннелирования, управляемого аномальной диффузией энергетического уровня приповерхностной ловушки.
8. Впервые исследована проводимость квазиодномерной системы в случае фрактального беспорядка. Исследование выполнено в рамках дробного обобщения эволюционного уравнения для плотности распределения собственных чисел матрицы переноса. Получен новый класс универсальных распределений кондактанса квазиодномерных систем с самоподобным распределением рассеивателей. В рамках подхода произведен учёт влияния нерегулярных модуляций диаметра в синтезированных квантовых проволоках и полимерных нанофибриллах.
Практическая значимость.
1. Дробно-дифференциальная теория дисперсионного переноса в НП с учётом структурного беспорядка и отличия диффузионных траекторий носителей от броуновских даёт более точное описание время-пролётных экспериментов, чем существующие диффузионные модели.
2. Продемонстрировано, что дробно-дифференциальная модель релаксации может служить теоретической основой методики 'гоков поляризации и деполяризации (ТПД) для тестирования состояния изоляции электронных устройств. Метод диагностики не является разрушающим. В работе исследованы зависимости ТПД от температуры и количества влаги для бумажно-масляного конденсатора и изучено влияние предыстории зарядки на ток деполяризации.
16
3. Уточнены расчёты флуктуаций числа излучённых фотонов мерцающими квантовыми точками, найдены асимптотические выражения для распределения числа счёта фотонов. Определены статистические условия подавления эффекта мерцания - главного препятствия па пути исполь-зования одиночной наночастицы в качестве флуоресцентной метки биологических клеток.
Теоретическая значимость. В рамках унифицированного подхода описана кинетика носителей заряда в НП, диэлек триках и наносистемах для различных физических механизмов транспорта. Разработанная теория удовлетворяет принципу соответствия: в мезоскопических масштабах она описывает дисперсионный перенос, в макроскопических - согласуется со стандартной моделью переноса, характеризуемой нормальным распределением, короткими пространственными корреляциями, марковским характером эволюции. Учёт эффектов кулоновской блокады и заполпяемоети ЛС привел к нелинейной модели переноса носителей в неупорядоченных материалах. Модель успешно интерпретирует степенное затухание тока при ступенчатом переключении напряжения, эффекты памяти и фликкер-шум в массивах коллоидных квантовых точек Ссйс, СсГГс. С(1Ве/2п8. Предложено два новых механизма педебаевской релаксации: механизм смещения при дисперсионном переносе и формирование перколяциоиных каналов с нерегулярной динамикой процессов делокализации, объясняющим наследственные эффекты поляризации в органических диэлектриках.
Положения, выносимые на защиту:
1. Дробно-дифференциальная теория кинетики носителей заряда в неупорядоченных полупроводниках в рамках единого формализма описывает нормальный и дисперсионный перенос и согласуется с известными теориями в рамках их применимости и с экспериментальными данными за пределами их применимости.
2. Установлено, что теория адекватно описывает основные механизмы переноса в неупорядоченных полупроводниках: многократный захват на локализованные состояния и нестационарную прыжковую проводимость.
3. Принцип слабой ограниченности времён локализации позволил согласовать теорию с принципом соответствия. В мезоскопических масштабах она описывает дисперсионный перенос, в макроскопических - согласуется со стандартной моделью переноса, характеризуемой нормальным распределением, короткими пространственными корреляциями, марковским характером эволюции.
17
4. Модель рекомбинации локализованных близнецовых пар, управляемой субдиффузией, приводит к обобщенной формуле Мозумдера для функции выживания пары и согласуется с экспериментально наблюдаемой асимптотикой затухания интенсивности фотолюминесценции в аморфных полупроводниках.
5. Два новых механизма нсдебаевской релаксации: механизм смещения при дисперсионном переносе и формирование перколяционных каналов с нерегулярной динамикой процессов делокализации, приводят к дробнодифференциальным соотношениям между током и напряжением и объясняют наследственные эффекты поляризации в органических диэлектриках.
6. В рамках ДДТ разработана нелинейная модель переноса электронов в массиве коллоидных нанокристаллов, учитывающая эффект куло-новской блокады. Модель успешно интерпретирует степенное затухание тока при ступенчатом переключении напряжения, эффекты памяти и фликкер-шум в массивах коллоидных квантовых точек Сс18е, Сс1Те, СаБе/гпБ.
7. Найдены распределения числа счёта фотонов мерцающей флуоресценции одиночных коллоидных квантовых точек, свидетельствующие о суперпуассоновской статистике излучения, больших флуктуациях числа флуоресцентных фотонов и неэргодичности процесса. Установлены асимптотические условия подавления мерцания одиночных нанокристаллов.
8. Установлен новый класс универсальных распределений кондактанса квантовых проволок, характеризующихся фрактальными модуляциями диаметра. Выявлено сосуществование диэлектрического и металлического режимов проводимости и получены критические значения концентраций рассеивателей для подавления металлического состояния.
Личный вклад автора. Диссертация представляет итог самостоятельной работы автора, обобщающей полученные им результаты, а также в соавторстве с коллегами. В работах, выполненных в соавторстве, научные вклады авторов приблизительно равноценны. Все сделанные в диссертации выводы принадлежат автору. Вывод аналитических выражений, проведение конкретных расчётов, сравнение с экспериментальными данными, численное моделирование и анализ его результатов выполнены автором самостоятельно. Ряд результатов математического характера получен в соавторстве с научным консультантом В. В. Учайкиным. Экспериментальные данные, используемые для анализа и апробации моделей, взяты из открытых источников.
18
Данные по ТПД в бумажно-масляном конденсаторе, некоторые результаты время-пролстных экспериментов в ноливинилкарбазоле (ПВК), легированном квантовыми точками CdSc, и наблюдений мерцающей флуоресценции одиночных коллоидных нанокристаллов любезно предоставлены С. А. Ам-брозевичем (ФИАН), которому автор очень благодарен.
Достоверность результатов. Представленные в диссертации результаты доказаны с использованием аналитических методов теории интегральных преобразований, асимптотического анализа, теории вероятностей и случайных процессов. Достоверность результатов подтверждается согласием с экспериментальными данными. Многие результаты ДД-подхода к описанию дисперсионного переноса в НИ согласуются с результатами теории Шера-Монтролла, подхода Архипова-Руденко, модели многократного захвата, подхода Никитенко для прыжковою транспорта, моделей Тютнсва и соавт. Правильность аналитических выражений в рамках конкретных моделей проверяется численным моделированием методом Монте-Карло.
Апробация работы. Результаты, полученные в работе, были представлены на Межд. симпозиуме «Weak Chaos, Infinite Ergodic Theory, and Anomalous Dynamics» (Дрезден. Германия, 2011); XXII Межд. конф. «Релаксационные явления в твёрдых телах» (Воронеж, 2010). III Межд. конф. «Nonlinear Science and Complexity» (Анкара. Турция. 2010); Межд. конф «New Trends in Nanotechnology and Nonlinear systems» (Анкара, Турция, 2010); Межд. симпозиуме «Fractional Signals and Systems» (Лиссабон, Португалия, 2009); Российско-Абхазском и Российско-Болгарском симпозиумах «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2009; Хабез, 2010); Межд. конф. «Statistical Physics» (Ханья, Греция. 2008): XI Межд. конф. «Физика диэлектриков» (Санкт-Петербург, 2008); VIII-XIII Межд. конф. «Опте-, наноэлектроника, нанотехнология и микросистемы» (Ульяновск. 2006-2008; Махачкала. 2009; Абрау-Дюрсо, 2010); Вссрос. конф. с межд. интернет-участием «От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к наноиндустрии» (Ижевск, 2007); Межд. конф. «Critical Phenomena, and Diffusion in Complex Systems» (Нижний Новгород, 2006); V Межд. конф. «Аморфные и микрокристаллические полупроводники» (Санкт-Петербург, 2006), IX Межд. конф. «Арсенид галлия и полупроводниковые соединения группы III-V» (Томск, 2006), Межд. конф. «Nonlinear Science and Complexity» (Пекин, 2006); VII Всерос. молодежной конф. по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург. 2005); IV Всерос. симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи. 2003, 2004. 2005; Кисловодск, 2006). Частные результаты докладывались на научных семинарах на кафедре физики полупроводников МГУ им. М. В. Ломоносова, кафедре физики твёрдого те-
19
ла НИЯУ МИФИ, в отделе люминесценции ФИАН им. П. Н. Лебедева (г. Москва), на кафедре теоретической физики ТГПУ (г. Казань).
Публикации. В ходе выполнения исследований по теме диссертации опубликовано 53 научных работы, 26 из которых - в журналах, рекомендованных ВАК, 8 - в других журналах, и 19 - в трудах конференций.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объём работы: 303 страницы, включая 80 рисунков. 5 таблиц, С приложений и список литературы из 404 наименований.
Благодарности. Я глубоко признателен за плодотворное сотрудничество и поддержку научному консультанту профессору Владимиру Васильевичу У чай к и ну.
Выражаю благодарность н. с. ФИАНа Сергею Александровичу Ам-брозевичу за ценные обсуждения некоторых вопросов, а также за любезно предоставленные данные по токам поляризации-деполяризации в бумажно-масляном конденсаторе, за экспериментальные результаты время-пролётных экспериментов в поливинилкарбазоле (РУК), легированном квантовыми точками СсіБс, и наблюдения мерцающей флуоресценции одиночных коллоидных нанокристаллов.
Глубоко признателен профессору Сергею Викторовичу Вулярскому за конструктивную критику работы и ценные рекомендации, а также за организацию многочисленных конференций по полупроводниковой опто- и наноэлектронике, и возможность представлять на них свои результаты.
Очень признателен профессору Наталье Сергеевне Грушко за интерес к работе, за обсуждение ряда вопросов по нестационарным процессам в неупорядоченных полупроводниках и полезные рекомендации. Благодарен профессору Борису Абрамовичу Зону за обсуждение вопросов по недебаевской релаксации в диэлектриках и за возможность выступить на семинаре физического факультета Воронежского государственного университета.
Я признателен профессору Владимиру Роленовичу Никитенко за обсуждения и ряд ценных советов, касающихся апробации дробно-дифференциальной теории дисперсионного переноса. Выражаю благодарность профессору Андрею Павловичу Тютчеву за интерес к работе и за подаренную монографию 'Диэлектрические свойства полимеров в полях ионизирующих излучений”, которая просветила меня во многих вопросах, касающихся дисперсионного переноса и геминальной рекомбинации в полимерах. Благодарен профессору Игорю Сергеевичу Оса.дько за обсуждение механизмов мерцающей флуоресценции одиночных коллоидных квантовых точек и за подаренную монографию “Селективная спектроскопия одиночных молекул”. Признателен профессору Игорю Петровичу Звягину за возможность
20
выступить на семинаре и за полезное обсуждение ряда вопросов.
Признателен доктору Трифче Сандеву за плодотворные обсуждения методов решения дробно-дифференциальных уравнений и профессору Эли Баркаи (Израиль) за обсуждение модели блуждания Леви и её применении в проблеме мерцающей флуоресценции одиночных квантовых точек.
Глубоко признателен администрации Ульяновского государственного университета за хорошие условия работы и финансовую поддержку. Особую благодарность выражаю начальнику отдела аспирантуры и докторантуры УлГУ Павлу Евгеньевичу Львову.
Благодарен также семье, друзьям и коллегам за поддержку и советы.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объём работы: 303 страницы, включая 80 рисунков, 5 таблиц, б приложений и список литературы из 404 наименований.
В первой главе развивается кинетическая теория, основанная на транспортных уравнениях с производными дробного порядка, для описания дисперсионного переноса. Эта теория позволяет в рамках унифицированного подхода описывать многократный захват на распределенные по энергии локализованные состояния и нестационарную прыжковую проводимость. В рамках нового подхода дано объяснение наблюдаемому в экспериментах переходу от дисперсионного типа переноса к квазигауссову при увеличении размеров образца и/или ослаблении электрического поля во время-пролётных экспериментах. В мезоскопических масштабах теория описывает негауссов перенос, в макроскопических - согласуется со стандартной моделью переноса, тем самым выполняется принцип соответствия.
Во второй главе полученная система ДД-уравнеиий, аналитические и численные методы их решения применяются для интерпретации: 1) время-пролётных экспериментов (ВПЭ) по измерению фототока в монослоях неупорядоченных полупроводников; 2) измерений радиационной электропроводности (РЭ) полимеров при импульсном воздействии проникающего ионизирующего излучения; 3) измерений частотной зависимости проводимости неупорядоченного полупроводника; 4) затухания фотолюминесценции в аморфных полупроводниках, управляемой дисперсионной диффузией электрон-дырочных пар 5) экспериментов по нестационарной электролюминесценции в тонких слоях органических материалов.
Третья глава посвящена описанию переходных процессов в структурах на основе неупорядоченных полупроводников при условиях дисперсионного переноса. Изучаются частотные свойства проводимости и диффузионной ёмкости диода при дисперсионном переносе. Также в главе приведены расчёты ВПМ и измерений РЭ в случае неоднородного распределения локализованных состояний, произведён учёт поверхностных слоён в рамках ДДТ.
21
Четвертая глава посвящена изучению процессов недебаевской диэлек-тричекой релаксации в рамках дробно-дифференциальной теории аномальной кинетики. Предложены три новых механизма недебаевской релаксации: 1) поляризация (деполяризация) за счёт смещения несвязанных зарядов в режиме дисперсионного переноса, 2) ориентационная субдиффузия с учётом разброса значений элементарных дипольных моментов и усечённой статистики Леви времен локализации диполей. 3) дисперсионный перенос вдоль независимых квазиодномерных каналов с учётом блокирования переноса, вследствие нерегулярного распределения актов локализации.
В пятой главе описываются процессы аномальной кинетики в нано-размерных системах. Предложена нелинейная модель переноса электронов в массиве коллоидных квантовых точек, учитывающая кулоновскую блокаду и влияние энергетического беспорядка межточечного пространства. Модель описывает степенное затухание тока при ступенчатом переключении внешнего напряжения, эредитарньгй эффект и фликкер-шум в массивах нанокри-сталлов. Исследована статистика мерцающей флуоресценции одиночных КТ и проводимость квазиодномерной системы в случае фрактального беспорядка.
22
Глава 1
Дробно-дифференциальная кинетика дисперсионного переноса в неупорядоченных полупроводниках
Дисперсионный (иегауссов) перенос (ДП) [331, 309] наблюдается во многих неупорядоченных материалах, различающихся своей микроскопической структурой: в аморфном гидрированном кремнии [77, 113), аморфном селене [165. 154], аморфных халькогенидах [329, 402], в органических полупроводниках, полимерах [380, 15, 230], в пористых твёрдых телах [270, 272, 316], в наноструктурных материалах [37], в поликристаллических плёнках [176], жидких кристаллах [28] и др. Сопоставление результатов свидетельствует о наличии универсальных свойств переноса - свойств, не зависящих от детальной атомной и молекулярной структуры вещества [191]. ДП считается альтернативой гауссова переноса, впрочем существуют попытки (см. например [317]) описать дисперсионную диффузию с помощью обычного диффузионного уравнения и гауссовой формы пакета частиц. Излагаемый в данной главе дробно-дифференциальный подход открывает перспективу развития нормальной и аномальной кинетики в рамках единого математического формализма. Важный аспект ДДТ - это возможность одновременного учёта энергетического и структурного беспорядка материала.
Аппарат дробного интегрального и дифференциального исчисления [358, 169, 335, 90, 386, 385, 208] является хорошо разработанным и имеет много физических приложений. Он часто используется при анализе аномальных диффузионных и релаксационных процессов [385]. Формализм дробных производных иногда упрекают в том, что предлагаемые уравнения не «подкреплены физическим содержанием» (см., например, примечательную работу [305], в которой авторы, высказывая этот упрёк, в итоге всё равно приходят к уравнению с дробной производной). Эти упрёки, однако, часто справедливы, поскольку дробно-дифференциальиые уравнения иногда получают
23
простой заменой производных целых порядков в классических кинетических уравнениях дробными производными, и лишь потом пытаются дать физическое обоснование такой замены [23]. Но есть множество работ, в которых уравнения с производными дробного порядка выводятся из предположений о микроскопическом механизме физического процесса. Перечислим основные способы вывода дробно-дифференциального субдиффузионного уравнения.
1. Уравнения с дробной производной по времени были получены Нигматул-линым при рассмотрении диффузии на фрактальных структурах, моделирующих пористые и неупорядоченные среды [140. 141].
2. Один из способов вывода уравнений основан на асимптотическом переходе от интегральных уравнений случайных блужданий модели Шера и Монтролла [193| со степенным распределением времён ожидания к дробно-дифференциальным (подробнее см. [188, 381]). Модель Шера и Монтролла, как известно, хорошо описывает основные особенности ДП.
3. Основываясь на уравнении Ланжевена, Метцлср и Клафтер [124] развили трёхуровневое описание субдиффузии с переходом к макроскопической дробно-дифференциальной динамике. В [124] исследовалось немарковское обобщение уравнения Чэпмена-Колмогорова для случайных процессов с непрерывным временем, управляемое распределением времён ожидания. Асимптотически степенное распределение (с «тяжёлыми хвостами») времён ожидания приводит к дробному уравнению Клейна-Крамерса. из которого выводятся дробные обобщения уравнений Релея и Фоккера-Плапка.
4. Дробные уравнения можно получить из балансных уравнений захвата-эмиссии модели многократного захвата с экспоненциальной плотностью локализованных состояний (подробнее см. [362, 24]).
Все перечисленные способы основаны на предположениях относительно механизма переноса. Эти предположения приходится обосновывать при рассмотрении каждого отдельного случая: для конкретного материала и для конкрегиых условий эксперимента. Встает вопрос, нельзя ли непосредственно из набора экспериментальных данных сделать однозначный вывод о дробно-дифференциальном характере уравнения переноса.
В следующих двух параграфах дан феноменологический вывод дробнодифференциального уравнения дисперсионного транспорта на основе экспериментально установленных фактов, без использования предположений относительно механизма переноса. Предлагаемый вывод носит не только методический характер, но и указывает на то, что дробно-дифференциальные уравнения отражают статистические закономерности и являются универ-сальными уравнениями дисперсионного переноса в неупорядоченных нолу-
24
light я)
1
и
с
ко
<0 1т
Рис. 1.1: Методика экспериментов по определению дрейфовой подвижности: а) электрическая схема эксперимента, Ь) распределение носителей заряда при нормальном переносе, с) кривая переходного тока при нормальном переносе, с!) линейная зависимость времени пролёта от толщины образца.
проводниках.
1.1 Универсальность кривых переходного тока и автомодельность дисперсионного переноса
Рассмотрим классический время-пролётный эксперимент по определению дрейфовой подвижности носителей заряда. Электроны и дырки генерируются в образце обычно световым импульсом лазера со стороны полупрозрачного электрода. К электродам прикладывается напряжение такое, что соответствующее электрическое поле внутри образца значительно превышает поле неравновесных носителей заряда. Электроны (или дырки, в зависимости от знака напряжения) после генерации уходят в полупрозрачный электрод, дырки (или, соответственно, электроны) дрейфуют к противоположному электроду. В случае нормального переноса дрейфующие без захвата в поле Е носители формируют прямоугольный импульс фототока
Г const, t < t?, /(г)а\0, *>*,
(1.1)
где время пролёта tj определяется скоростью дрейфа v и длиной образца L: tj = Ljv. В действительности, рассеяние делокализованных носителей в процессе дрейфа, захват в локализованные состояния и термическое высвобождение носителей приводят к размытию пакета. Этот пакет имеет гауссову форму со средним значением {x(t)) ос t и шириной Ax(t) a уД. В этом случае переходный ток I(t) остается постоянным, пока передний фронт гауссова пакета не достигает другого края образца. Спад тока происходит в течение времени Ах/{v). Как результат, мы наблюдаем сглаженный правый край импульса фототока (см. Рис. 1.1). Такая картина наблюдается в большинстве упорядоченных материалов.
25
Однако, при определении дрейфовой подвижности в некоторых неупорядоченных полупроводниках {в аморфных, пористых, неупорядоченных органических, сильно легированных и др.) наблюдается специфический сигнал переходного тока /(£), состоящий из двух областей со степенным поведением I(t) и промежуточной области:
I t~l+a t < t'V
т ос {rl_0; t > 4; *<i. (1.2)
Показатель а. называемый дисперсионным параметром, зависит от характеристик среды и может зависеть от температуры. По аналогии с нормальными переходными процессами параметр tp называется временем пролёта, хотя имеет другой физический смысл. Экспериментально установлено, что при дисперсионном переносе:
tT ос (L/U)1'*, (1.3)
где U - напряжение.
В работах [193. 166] отмечается, что форма сигнала переходного тока
в приведенных координатах \g[I(t)/1(tr)] - lg[£/frr] практически не зависит
от величины приложенного напряжения и размеров образца. Это свойство присуще многим материалам (не всем [181|). и названо свойством универсальности формы кривых; переходного тот (см. Рис. 1.2). Распространенность этих особенностей для различных неупорядоченных материалов подтверждает универсальность свойств переноса. Большое количество экспериментальных наблюдений этой универсальности было представлено как в первых работах, так и в недавних (подробнее см. [331, 309. 193, 84, 85]).
Если наблюдаются зависимости (1.2-1.3), то кривые переходного тока автоматически обладают асимптотическим свойством универсальности. Действительно, перепишем (1.2) в виде:
( А(Ь,Е,а,...) t~l+a, t<t т, . /л
^ ~ { B(L, Е,а,...) Г1"", t > tu, а ( )
Время пролёта р£ определяется по пересечению асимптотик:
/г = А(Ь, Е, а,...) £-J1+ft = B(L, E.. а,...)
Откуда £т = (В/А)1/2а. Свойство асимптотической универсальности означает, что функция I(rtx)/h зависит от £т. Нетрудно заметить, что для функций с асимптотиками (1.3) это свойство справедливо:
I 7" Т 1
/(r£T)//T~ { „-i-a Т>{ а<1
20
/Л,
Рис. 1.2: а) Кривая релаксации переходного фототока; на вставке - зависимость времени пролёта от толщины в случае дисперсионного переноса, Ь) зависимость точки
- экспериментальные данные для а-Аво^з из [193). сплошная линия - аппроксимация степенной зависимостью, с) приведённые временные зависимости переходного фототока в а-Ая^Без в двойном логарифмическом масштабе из [193].
Отметим, что значение /(£т) не равно /т - точка (£т, /т) определяется по пересечению асимптотик переходного тока при малых и больших временах.
Плотность переходного фототока в образце толщиной Ь определяется как усреднённая по толщине плотность тока проводимости
1 1
Щ) = т / з(*Л)<1х. (1.5)
о
Очевидно, что на начальном этапе £ Ьг интеграл в последней формуле не зависит от Ь. Согласно (1.3). Ьу ос Ь1^а. Значит, для Л, В и 1т можно
27
записать:
А ос L“1, В ос A t'p ос L, 1т ос
Плотность у(£, t) пропорциональна потоку вероятности q(xyt)
j[x,t) = eNq(x, t),
где e - элементарный заряд, N - число фотоинжектированных носителей, приходящееся на единицу площади освещаемого электрода. Поток вероятности эквивалентен плотности распределения времени первого достижения p(t\x):
q(x,t) = p{t\x).
Произведение p(t\x)dt представляет собой вероятность того, что блуждающая частица (в машем случае, носитель заряда) достигнет координаты х, за время, лежащее в интервале (t, t+dt). Плотность распределения координаты блуждающей частицы p(x\t) и поток вероятности p(t\x) связаны уравнением сохранения вероятности
+ МЙ _ едад. (1-6)
Таким образом, универсальность формы кривых переходного тока представляет собой в математическом смысле свойство автомодельности (самоподобия) на временных масштабах:
/(i; La) « (Ь2/Ь,у1/а1 (t(L2/Ll)~l,n\ L,) , (1.7)
где I(t\Li) и I(t\ L2) ~ временные зависимости переходного тока в образцах толщиной Ь\ и L2. соответственно. Согласно (1.2) асимптотика переходного тока и плотности распределения времени первого достижения на больших временах является степенной с показателем а. Заменив плотность тока проводимости в (1.5) на плотность времени первого достижения, с учётом универсальности кривых переходного тока (1.7) можно показать, что функции p(t\x) являются самоподобными на временных масштабах:
p(t\x2) = (x2/xi)~^ap (t(x2/xi)~l^° I л:,) .
Таким образом, свойство универсальности кривых переходного тока по отношению к изменению толщины образца и внешнего поля представляет собой самоподобие по времени (скейлинг) при изменении параметра Ьт•
28