Содержание
Введение .......................................................... 5
Глава 1. Новый символьно-численный метод решения задач каналирования ....................................................10
1.1. Зонная структура уровней поперечного движения релятивистских электронов при плоскостном каналировании..................16
1.2. Зонная структура уровней поперечного движения релятивистских электронов при аксиальном каналировании ..................30
1.3. Начальные заселенности квантовых состояний при каналировании: влияние зонной структуры уровней поперечного движения 47
1.4. Выводы к первой главе......................................64
Глава 2. Излучение при каналировании с учетом зонной структуры уровней поперечного движения...............................65
2.1. Влияние зонной структуры уровней поперечного движения релятивистских электронов на спектр излучения при каналировании ...........................................................65
2.2. Зонная структура уровней поперечного движения релятивистских электронов при плоскостном каналировании нейтронов . . 73
2.3. Спиновые поправки к энергетическим уровням поперечного движения релятивистских электронов при аксиальном каналировании ...........................................................85
2.4. Выводы ко второй главе ....................................94
Глава 3. Параметрическое рентгеновское излучение при каналировании ......................................................97
2
3.1. Теория параметрического рентгеновского излучения при каналировании с учетом зонной структуры энергетических уровней поперечного движения ............................................98
3.2. Модель изолированной потенциальной ямы ....................103
3.3. Параметрическое рентгеновское излучение при каналировании: сравнение теории и эксперимента ................................112
3.4. Выводы к третьей главе ....................................116
Глава 4. Дифрагированное рентгеновское излучение при каналировании: теория ..............................................118
4.1. Модификация теории дифрагированного рентгеновского излучения при каналировании: учет зонной структуры .................119
4.2. Угловое распределение дифрагированного рентгеновского излучения при аксиальном каналировании..............................127
4.3. Угловое распределение дифрагированного рентгеновского излучения при плоскостном каналировании ............................131
4.4. Пороговый характер дифрагированного рентгеновского излучения ............................................................139
4.5. Выводы к четвертой главе ..................................144
Глава 5. Расчеты угловых распределений и поляризации дифрагированного рентгеновского излучения при каналировании ...............................................................146
5.1. Угловые распределения дифрагированного рентгеновского излучения при плоскостном каналировании в кристаллах: результаты расчетов ..................................................146
3
5.2. Угловые распределения дифрагированного рентгеновского излучения при аксиальном каналировании в кристаллах: результаты расчетов .................................................175
5.3. Поляризационные свойства дифрагированного рентгеновского излучения при каналировании релятивистских электронов: теория и результаты расчетов .....................................186
5.4. Выводы к пятой главе.....................................196
Глава 6. Вторичная электронная эмиссия при плоскостном каналировании электронов ...................................... 200
6.1. Теория вторичной электронной эмиссии при плоскостном каналировании электронов ......................................... 201
6.2. Результаты символьно-численных расчетов сечения вторичной электронной эмиссии при плоскостном каналировании электронов в 8і ......................................................208
6.3. Сечения вторичной электронной эмиссии при каналировании и К-ионизации: сравнение.........................................216
6.4. Выводы к шестой главе....................................219
Заключение ......................................................222
Литература ......................................................230
Приложение А. ...................................................250
4
Введение
Актуальность работы Каналирование - один из видов ориентационных эффектов, сопровождающих прохождение релятивистских частиц через кристаллы. Эффект каналирования возникает за счет взаимодействия частицы с усредненным электростатическим потенциалом плоскостей (плоскостное каналирование) или осей (осевое каналирование) кристалла, вдоль которых движется частица. Рассматривают либо каналирование заряженных частиц, либо нейтральных, имеющих магнитный момент (например, аномальный - у нейтронов) в инерциальной системе, связанной с частицей, возникает магнитное поле.
По проблемам, связанным с эффектами каналирования, регулярно проходят международные конференции - международная конференция но физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (ФВЗЧК), международный симпозиум “Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures” (RREPS), международная конференция “International Conférence 011 Photouic. Elrectronic, and Atomic Collisions” (ICPEAC), International Conférence 011 Atomic Collisions in Solids (ICACS), международная конференция “Charged and Neutral Particles Channeling Phenomena” (Clianneling) и ежегодно публикуется большое количество научных работ.
Подробное описание истории открытия и исследований явления каналирования можно найти в работах [1-4]. Список работ, опубликованных до середины 1973 г., приведен в |2-4]. Фактически, эффект каналирования релятивистских заряженных частиц был открыт в 70-годах (прошлого века) при компьютерном моделировании прохождения ионов через кристалл [5-9]. Позднее, компьютерное моделирование применялось для исследования спектров излучения, поляризации и каналирования в изогнутых кристаллах релятивистских электронов и позитронов. В работах 110—14] по компыотерно-
5
му моделированию использовалась модель бинарных столкновений, которая была использована и в недавней работе [15|. Возможности вычислительной техники 80-90 годов позволяли проводить компьютерные эксперименты для каналирования в тонких кристаллов.
Усредненный потенциал плоскостей введен в работе [16|. Зонная структура энергетических уровней при плоскостном каналировании изучалась, например в |17, 18) и в 119] - методом ячеек. В работах (20], [21] для построения усредненного потенциала применялся формализм псевдопотенциалов при плоскостном каналировании и в работе [22] - при осевом каналировании.
Существенно возросшие возможности современной вычислительной техники, и в частности, в области символьно-численных методов, оставались (до 2007 г.) практически без внимания физиков, работающих в области каналирования. Одним из наиболее совершенных программных пакетов, использующих новый символьно-численный метод расчетов является пакет символьной математики Mathematically (и более поздние его версии). С появлением Mathematical возникла возможность построения нового символьно-численного метода решения задачи на собственные значения для уравнения Шредин-гера с релятивистской массой (в которое переходит уравнение Дирака в приближении каналирования) для электронов и позитронов, который способен значительно ускорить расчеты в одномерных (для плоскостного каналирования) и двумерных (для осевого каналирования) периодических потенциалах кристаллов и позволяет проводить расчеты с учетом зонной структуры всех (подбарьерных и надбарьерных) поперечных энергетических уровней канал и-рованных электронов (позитронов).
Открытие излучения при каналировании (Channeling Radiation - CR) [23. 24] показало, что каналирование представляет собой уникальное явление, позволяющее изучать электродинамические процессы в сильных внешних полях [25, 26].
6
Классическая и квантовая теория излучения релятивистских заряженных частиц при плоскостном каналировании в кристаллах изложена в монографиях [27-39) и обзорах [3, 16, 40-48].
Параметрическое рентгеновское излучение (PXR.) было теоретически предсказано в 1971 г. и экспериментально обнаружено в 1985 г. К настоящему времени накопилась весьма обширная библиография публикаций, посвященных PXR: монографии [30, 34, 49, 50] и обзоры [42, 51-55], теоретические [56] и экспериментальные [57-63] диссертации и литература, цитированная в них.
В 1996 - 2001 гг. в работах японских теоретиков [64], начатых в [65, 66), была предложена теория нового вида рентгеновского излучения, названного Diffracted Channeling Radiation (DCR). Фактически DCR- сложный комбинационный эффект CR и PXR. Теория была построена для случая плоскостного каналирования (в дипольном приближении) и без учета зонной структуры энергетических уровней поперечного движения каналированных электронов.
В 2011 г. группа из SAGA Light Source (Япония) на электронах с энергией 255 МэВ провела эксперименты по наблюдению PXR при каналировании - PXRC. Теоретические данные для этих экспериментов были получены нами на основе нашей модификации теории DCR - был предсказан новый эффект- асимметрия углового распределения PXRC. Результаты эксперимента однозначно подтвердили наши предсказания. Сотрудничество с экспериментальной группой из SAGA Light Source (Япония) продолжается и результаты, изложенные в диссертации будут использоваться при планировании и проведении экспериментов по наблюдению эффекта DCR.
На синхротроне AN КА в KIT ISS (Karlsruhe Institute of Technology, Institute for Synchrotron Radiation, Karlsruhe, Германия) планируются эксперименты на пучках электронов с энергий, характерной для инжектора и бустера синхротрона AN КА. Теоретические данные для этих экспериментов представлены в нашей работе [67|. В LNF Frascati (Italy) планируются новые экспери-
7
менты по взаимодействию пучков релятивистских электронов с кристаллами, при подготовке которых используются результаты [48], изложенные в диссертации.
Таким образом, в излучении релятивистских электронов в кристаллах имеется ряд нерешенных проблем, что и определяет актуальность и практическую значимость темы диссертации.
Цель диссертационной работы состоит в проведении расчетов при помощи развитого нами нового символьно-численного метода на основе пакета символьной математики Mathematical7.0 сложных физических явлений комбинационных процессов в излучении релятивистских электронов и позитронов при каналировании в кристаллах.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
• Развит новый символьно-численный метод решения задачи на собственные значения для уравнения Шредингера с релятивистской массой (в которое переходит уравнение Дирака в приближении каналирования) для электронов и позитронов. Новый метод значительно упрощает расчеты в одномерных - 1D (для плоскостного каналирования) и двумерных - 2D (для осевого каналирования) периодических потенциалах “реальных” кристаллов и позволяет проводить расчеты с учетом зонной структуры всех (подбарьерных и надбарьерпых) поперечных энергетических уровней каналированного электрона (позитрона) и даже нейтральных частиц (нейтронов).
• В рамках квантовой электродинамики построена теория без использования дипольного приближения нового вида рентгеновского излучения под брэгговскими углами при каналировании электронов и позитронов - Diffracted Channeling Radiation (DCR) и детально изучены угловые и поляризационные свойства DCR.
• Построена теория PXR. при каналировании (PXRC) и впервые показано, что с учетом зонной структуры форма углового распределения PXRC определяется поперечным форм-фактором каналированных электронов и как следствие, в угловом распределении PXRC возникает асимметрия (по сравнению с угловым распределением PXR)1.
• Найдено точное решение системы уравнений Дирака и уравнения па собственные значения оператора спина для электрона, каналированно-го вдоль отдельной оси кристалла (потенциал типа 1 /г) и показано, что в спектре излучения (для фотонов, вылетающих под фиксированным углом) от аксиально каналированных электронов можно наблюдать расщепление спектральных линий, соответствующее двум возможным проекциям спина на направление продольного импульса электрона.
• В рамках квантовой электродинамики впервые построена теория вторичной электронной эмиссии при каналировании (CSEE) электронов для плоскостного каналирования и показано, что вклад CSEE в полное сечение К-ионизации каналированными электронами может быть значительным (около 16% при 7 = 100).
Научная новизна
• Развит новый символьно-численный метод решения задачи на собственные значения для уравнения Шредингера с одномерным (для плоскостного каналирования) и двумерным (для осевого каналирования) периодическим потенциалом. Наш метод отличается от обычных численных методов тем. что позволяет проводить расчеты в символьном виде вплоть до конечных выражений для волновых функций. Это позволяет
1 В 2011 г. результат подтвержден группой из SAGA Light Source (Япония) в экспериментах на электронах с энергией 255 МэВ каналированных в (220) Si |б8).
9
нам проводить точные расчеты собственных значений энергии и волновых функций для всех квантовых состояний.
• С использованием нового подхода (построение теоретической модели и расчет с помощью развитого символьночисленного метода), впервые показано, что при осевом каналировании электронов энергетические уровни (зоны) поперечного движения электронов при каналировании двукратно вырождены.
• Впервые показано, что в спектральном распределении излучения при каналировании (ИК) для электронов, каналированных вдоль плоскостей (111) кристалла LiF, четко различаются вклады от отдельных переходов при увеличении релятивистского фактора электронов вплоть до 7 5000 - сохраняются характерные квантовомеханические черты ИК - линейчатый спектр ИК.
• Впервые получено точное решение системы уравнений Дирака и уравнения на собственные значения оператора спина для электрона, канали-рованного вдоль отдельной оси (потенциал типа 1/г) и показано, что в спектре излучения (для фотонов, испускаемых под фиксированным углом) от аксиально каналированных электронов можно наблюдать расщепление спектральных линий, соответствующее двум возможным проекциям спина на направление продольного импульса электрона.
• В рамках квантовой электродинамики впервые построена теория без использования дипольного приближения нового вида рентгеновского излучения под брэгговскими углами при плоскостном и аксиальном каналировании электронов и позитронов - Diffracted Channeling Radiation (DCR).
10
• Впервые получены формулы, описывающие направления линейной поляризации DCR. Показано, что известные формулы для направлений линейной поляризации параметрического излучения (PXR) являются частным случаем полученных формул.
• Впервые показано, что с учетом зонной структуры форма углового распределения PXR при каналировании (PXRC) определяется поперечным форм-фактором каналированных электронов и угловое распределение PXRC имеет асимметрию но отношению к угловому распределению PXR2.
• Впервые получена формула дифференциального сечения для вторичной электронной эмиссии при каналировании электронов - Channeling Secondary Electron Emission (CSEE) и показано, что вклад CSEE в полное сечение К-ионизации каналированными электронами может составить около 16% (при 7 = 100).
• Впервые показано, что за счет зонной структуры энергетических уровней поперечного движения каналированных нейтронов, для нерелятивистских нейтронов с 7 « 1 вероятность захвата в режим плоскостного каналирования пренебрежимо мала и только при релятивистском факторе 7 » 1 (начиная С7~ 10) достигает значения близкого к 1.
Научно-практическая значимость Результаты, изложенные в Гл.З диссертации, были использованы при подготовке эксперимента по наблюдению PXR при каналировании - PXRC (группой из SAGA Light Source (Япония) в экспериментах на электронах с энергией 255 МэВ). Сотрудничество с экспериментальной группой из SAGA Light Source (Япония) продолжается и
2 В 2011 г. результат подтвержден группой из SAGA Light Source (Япония) в экспериментах на электронах с энергией 255 МэВ каналированных в (220) Si |68].
11
результаты, изложенные в Гл.4 и Гл.5 диссертации будут использоваться при планировании и проведении экспериментов по наблюдению эффекта DCR. Результаты, изложенные в Гл.2 (в спектральном распределении излучения при каналировании (ИК) для электронов, каналированных вдоль плоскостей (111) кристалла LiF, четко различаются вклады от отдельных переходов при увеличении релятивистского фактора электронов вплоть до 7 = 5000) и в п.1.3 Гл.1 (в спектре излучения от аксиально каналированных электронов можно наблюдать расщепление спектральных линий) могут быть полезными при планировании экспериментов на синхротроне ANKA в KIT ISS (Karlsruhe Institute of Technology', Institute for Synchrotron Radiation, Karlsruhe, Германия) по изучению тонкой структуры ИК.
Теория CSEE и новый символьно-численный метод, примененный для расчета сечения CSEE, позволяют утверждать, что вклад CSEE в полное сечение К-ионизации каналированными электронами может быть сравнимым с сечением К-ионизации (около 16% при 7 = 100). Это должно привести к увеличению ионизационных потерь энергии каналированных электронов и увеличению выхода характеристического излучения. Результаты, изложенные в п.2.4 Гл.2 диссертации, могут быть полезны при дальнейшем исследовании эффектов каналирования нейтральных частиц.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
1. Зонная структура энергетических уровней поперечного движения при каналировании электронов и позитронов в кристаллах приводит к качественному изменению картины начальных заселенностей квантовых состояний поперечного движения релятивистских электронов и позитронов.
2. Угловое распределение дифрагированного рентгеновского излучения при
12
каналировании (DCR) с учетом зонной .структуры представляет собой очень узкие кольцеобразные пики большой высоты (более, чем в 10 раз превышающими высоту углового распределения параметрического рентгеновского излучения - PXR.) на фоне PXR..
3. Пики DCR вблизи брэгговского направления образуют систему окружностей. радиусы И и координаты центров Х0 которых зависят от энергии перехода между энергетическими уровнями поперечного движения кан aj I и ро\т \ ного электрон а.
4. Форма углового распределения PXR при каналировании (PXRC) с учетом зонной структуры определяется поперечным форм-фактором кана-лированных электронов и угловое распределение PXRC имеет асимметрию по отношению к угловому распределению PXR\
5. Вклад вторичной электронной эмиссии при каналировании электронов -Channeling Secondary Electron Emission (CSEE) в полное сечение К-иони-зации может быть сравнимым с сечением К-ионизации (около 16% при 7 = 100).
6. Спектральное распределение излучения при каналировании (ИК) для электронов, каналированных вдоль плоскостей (111) кристалла LiF, сохраняет характерные квантовомеханические черты ИК - линейчатый спектр - при увеличении релятивистского фактора электронов вплоть до 7 — 5000.
7. В противоположность PXR. карта направлений линейной поляризации DCR имеет две области резкой неоднородности, расположенных далеко от центра брэгговского направления и не зависит от типа кристалла,
3 В 2011 г. результат подтвержден группой из SAGA Light Source (Япония) в экспериментах на электронах с энергией 255 МэВ клналированных в (220) Si |68|.
13
причем величина изменения направлений линейной поляризации внутри кольца DCR зависит и от угловой ширины пика DCR. и от типа каналирования (аксиальное или плоскостное).
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
• На XXXVII - XXXXI международных конференциях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (ФВЗЧК): Москва, 29-31 мая 2007; 27-29 мая 2008; 26-28 мая 2009; 25-27 мая 2010; 31 мая-2 июня 2011; 29-31 мая 2012.
• На 7 - 9 международных симпозиумах “Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures”: (RREPS-07) Prague, Czech Republic, September 24-28. 2007; (RREPS-09) Zvenigorod, September 7-11, 2009, Moscow; (RREPS-11) Egham. United Kingdom, September 12-16, 2011.
• На. XXV международной конференции <:XXV International Conference on Photonic, Electronic, and Atomic Collisions” - Germany, Freiburg. July 25-31, 2007.
• Ha 3 и 4 международных конференциях “Charged and Neutral Particles Channeling Phenomena”: (Channeling 2008). Erice, Italy, October 25 - November 1, 2008; (Channeling 2010) , Ferrara, Italy, October 3-8, 2010.
По материалам диссертации были сделаны доклады на научных семинарах:
• Лаборатории «Взаимодействие релятивистских частице веществом» кафедры теоретической и экспериментальной физики ГНУ, 2007 - 2012;
14
• Института Синхротронного Излучения - KIT ISS (Karlsruhe Institute of Technology, Institute for Synchrotron Radiation, Karlsruhe, Германия), 2011;
• Кафедры N 32 Национального исследовательского ядерного университета (НИЯУ) “МИФИ”, 2011.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 25 печатных работах (48, 67—90].
Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения. выносимые на защиту, отражают персонапьный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, б глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации 258 страниц, включая 93 рисунка и 3 таблицы. Библиография включает 165 наименований.
15
Глава 1
Новый символыю-числснный метод решения задач каналирования
В главе 1 развит новый символьно-численный метод решения задачи на собственные значения для уравнения Шредингера с релятивистской массой (в которое переходит уравнение Дирака в приближении каналирования) для электронов и позитронов. Новый метод значительно упрощает расчеты в одномерных - Ш (для плоскостного каналирования) и двумерных - 20 (для осевого каналирования) периодических потенциалах кристаллов и позволяет проводить расчеты с учетом зонной структуры всех (подбарьерных и надба-рьерных) поперечных энергетических уровней капелированных электронов и позитронов. Показано, что учет зонной структуры подбарьерных энергетических уровней приводит к качественному изменению картины начальных заселенностей энергетических уровней поперечного движения.
1.1. Зонная структура уровней поперечного движения релятивистских электронов при плоскостном каналировании
Рассмотрим релятивистский электрон (позитрон), движущийся вдоль плоскостей (осей) кристалла. Направление движения электрона (позитрона) вдоль плоскостей (осей) кристалла будем называть продольным, а перпендикулярное плоскостям (осям) кристалла - поперечным. Соответственно, индексом || будем обозначать продольные компоненты любых векторов, параллельные кристаллическим осям (или плоскостям), вдоль которых каналированы
16
электроны (позитроны) и индексом _1_ - поперечные компоненты векторов, перпендикулярные осям (или плоскостям).
Если энергия продольного движения много больше энергии поперечного движения Е\\ Е_і, то продольное движение для релятивистских электронов (позитронов) является практически свободным - за счет большой скорости электрон “видит” только усредненный потенциал К(г±) плоскостей (или осей) кристалла вдоль которых он каналирован. Другими словами, поперечное движение электрона (позитрона) происходит в усредненном периодическом поле 1'(п) плоскостей (или осей) кристалла, где гх - поперечная компонента радиус-вектора электрона (позитрона).
Как показано Линдхардом [27]. если импульс р0 электрона (позитрона), движущегося в поле усредненного потенциала К(г±), составляет угол 0о = |Ро±|/ Роп| с плоскостями (или осями) кристалла, который меньше предельного угла каналирования (рис. 1.1)
(здесь р0± - поперечная и р0ц - продольная компоненты вектора р0, е - заряд электрона (позитрона)), то электрон (позитрон) находится в режиме каналирования. В уравнении (1.1) К» = тах1/(гх) - глубина “ямы” усредненного потенциала. Е - полная энергия электрона (позитрона). Это означает, что в условиях каналирования должно выполняться следующее соотношение между продольной энергией электрона (позитрона) £| и его потенциальной энергией ІІ(гх) = еК(гх) в поле усредненного потенциала К(гх) плоскостей (или осей) кристалла:
При этом условии, как известно [32, 41], уравнение Дирака для поперечного движения каналированного электрона (позитрона) переходит в уравнение
Н = \/2|еУ0/Е\
(1.1)
Щ » и(г±).
(1.2)
17
2
плоскости каналирования
8у
Г
и(у)
Рис. 1.1. Плоскостное каналирование электронов
18
Шредингера с релятивистской массой 7т
Нфп( Г±) = (Рпх/2те7 + У(г±))^„(гх) = Еп1фп(г^), (1.3)
где п - целое число, нумерующее квантовые состояния электрона (позитрона), 7 = E\Jmec2 - релятивистский фактор. Ввиду периодичности структуры
кристалла, усредненный потенциал его плоскостей (или осей) К(г±) и волновые функции электрона фп{* i) в таком потенциале тоже должны быть периодическими:
V(rL) = ^(rx + d), фп( г±) = фп{ r± + d), (1.4)
где d - радиус-вектор расстояния между плоскостями (или осями).
В периодическом внешнем поле волновые функции 0„(rj_) И энергии Е_I поперечного движения являются (см., например, |91|), непрерывными функциями волнового вектора электрона (позитрона) kj_
фп(Гх) = Фп{г±. kj.), EnL = Еп±(kj_). (1.5)
При этом [91], волновая функция ^(гд.кх) является функцией Блоха
Фп{г±, kj.) = ^Cn(gra:kx)exp [i(ki + g,„)ri], (1.6)
m
a уравнение (1.3), используя Фурье разложение
U[r±) = 5Z^(gm)cxP [i(kx + gm)ri] , (1.7)
m
периодической функции U(r±) = еК(гх), можно переписать в пространстве импульсов (34, 92, 93|
У! AmlCnjëm-. kl) = fîn(ki)C„(g(,ki). (1.8)
m
Anxl = f/(gm-e) + ^(gm:gi)(^2|gmH-kx|2/2me7), (1.9)
19
где и(&іп) - Фурье разложение потенциальной энергии, gm - вектор обратной решетки.
Таким образом, проблема отыскания собственных функций и собственных значений дифференциального уравнения (1.3) сводится к решению задачи на собственные значения алгебраической системы (1.8, 1.9).
Рассмотрим алгоритм вычислений зонной структуры энергетических уровней и волновых функций поперечных квантовых состояний для плоскостного каналирования электронов. При этом будем считать, что продольное движение каналированных электронов происходит вдоль оси ГА декартовой системы, а вектор обратной решетки gm для плоскостей каналирования имеет только одну компоненту ду, направленную вдоль оси У - как изображено на рис. 1.1.
Опыт решения задачи (1.8, 1.9) с помощью МаЬНетаЫса©!.0 мы обобщили в достаточно простом и высокоэффективном алгоритме [69. 72, 73, 79), который позволяет:
• вычислять Фурье-компоненты У(ду) периодических потенциалов У{у) для плоскостного каналирования;
• решать задачи на собственные значения и собственные функции, т.е. ВЫЧИСЛЯТЬ энергетические ЗОНЫ Еп(ку) и волновые функции фп[у> ку) поперечного движения (здесь ку - у-компонента волнового вектора поперечного движения каналированного электрона);
• вычислять начальные заселенности Рп(к0іку.у) квантовых состояний поперечного движения каналированных электронов (см. Гл.1 п. 1.3).
Для построения усредненного потенциала 1Дг_Д используем формулу, предложенную Дойли и Тернером |94| для потенциала отдельного атома
Уаі(г) = (2Н2/е\/пте) а3с~3/2ехр(— г2/с3), (1-Ю)
з
20
где а3 и Ь1 = 4тсс3 - коэффициенты, полученные фитингом электронного форм-фактора, г = (г1} гц), е - заряд электрона.
Количество атомов, приходящееся на единицу кристаллографической плоскости, можно найти как (1п = 2тгг1^/г: рп(1р , где рп - атомная плотность, с1р - расстояние между плоскостями каналирования. Интегрируя формулу (1.10), получим выражение для усредненного потенциала одной плоскости
(:У = г±)
^(г/) = у 51аА?ех р(-у2ь13)- (1-и)
С
3
При записи этой формулы мы, следуя [95]. заменили коэффициент Ь, из формулы Дойли и Тернера на Ь3/4л2 + 2р\ для того, чтобы учесть тепловые колебания атомов кристаллографической плоскости (р\ - среднее квадратичное отклонение). Далее, для сокращения записи, мы ввели обозначения: ЬРЗ = 1 /у/Ь3/41т2 Н- 2р\ и а([ = 4у/т:г])Е0рп(1р, где Е0 = 13, С эВ энергия связи электрона на первой боровской орбите с радиусом г0.
Результирующий потенциал плоскостей кристалла будет равен сумме потенциалов отдельных плоскостей с учетом их взаимного расположения. Например, для плоскостей (110) кристалла потенциальная энергия электрона Ц(у) = еУ^у) в поле результирующего потенциала У(у) будет иметь вид
(7(2/) = еУ{у) = 1^ (иЛу- тс1р) + и^у + ^ - тА.„)) , (1.12)
т
где £Л(...) = еУ\ (...). Очевидно, что потенциал, построенный по формуле (1.12), будет периодическим с периодом, равным межплоскостному расстоянию (1р . Соответственно. Фурье-компоненты потенциальной энергии и (у) для такого потенциала
ип(9„) = 9у^ £ £ а,{/~п] - };хпз)е-{9М2- (М3)
т з
где обозначено /*гу = егф дуп/2Ьрз -I- (2т ± ^)7тЬРЗ/ду] и ег![...] - функция ошибок.
21
В нашей работе [69] расчеты по описанной схеме проведены для случая каналирования электронов с энергиями, соответствующими релятивистскому фактору 7 = 20,25,35,50,75 и 100. вдоль плоскостей (110) и (111) кристалла Бі. В работе [73] - для того же диапазона энергий и тех же плоскостей каналирования, но для позитронов.
Результаты вычислений собственных значений энергии Еп(ку) для электронов с энергией Е ~ 40 МэВ (7 = 80). каналированных вдоль плоскостей (110) в кристалле Бі, представлены на рис. 1.2. Из рисунка хорошо видно, что в этом случае имеется 6 подбарьерных энергетических уровней поперечного движения. Причем, как видно из графиков для \фп(у, ку)\2, зонная структура является существенной только для 6-го уровня.
Результаты расчетов для более сложного потенциала - "двойной ямы”, описывающего каналирование электронов с той же энергией Е ^ 40 МэВ (7 = 80) вдоль плоскостей (111) в кристалле Зі, представлены на рис.1.3. В этом случае у каналированных электронов имеется уже 11 подбарьерных энергетических уровней поперечного движения. Причем, как видно из графиков для \фп(У: ку)\2. зонная структура является существенной опять только для самого верхнего (11-го) уровня.
В работе [96] был описан эксперимент по наблюдению излучения при каналировании электронов с различными энергиями в кристалле ЬіР и построены усредненные потенциалы для сравнения теории и эксперимента. С нашей точки зрения “оптический” кристалл Ъ\¥ интересен тем, что при каналировании электронов вдоль плоскостей (111) в этом кристалле усредненный потенциал имеет сложное строение (см. рис. 1.4). В работе |96| для случая каналирования электронов вдоль плоскостей (111) в кристалле ЬіР использовались электроны с энергией Е ~ 54.3 МэВ (7 = 107.6). Результаты вычислений для электронов с такой энергией по разработанному нами символьно-численному методу приведены в |76| и хорошо согласуются с результатами
22
Рис. 1.2. Результат решения задачи на собственные значения для электронов, кана-лированных вдоль плоскостей (110) кристалла Бі (релятивистский фактор 7 = 80): а) расположение энергетических уровней поперечного движения: б) плотность вероятности \фп(у-. ку)\2 для подбарьсрных квантовых состояний поперечного движения.
23
- Київ+380960830922