Классические решения в теории струн

Содержание
1 Введение 3
1.1 Классические струны и аномальные размерности операторов............. 4
1.2 Классические решения в калибровочных теориях....................... 10
2 Асимптотический анзатц Бете и регуляризация 13
2.1 Алгебраическая кривая для сложенной струны......................... 13
2.2 Выбор регуляризации................................................ 16
3 Фермионные частоты циркулярных струн 19
3.1 Спиновые расслоения и угловые координаты .......................... 19
3.2 Циркулярные струны в Ас/5’5 х 55................................... 22
3.2.1 Случай 5ц(2) циркулярной струны............................ 22
3.2.2 Случай................................й/(2) циркулярной струны............................. 26
3.3 Циркулярные струны в пространстве х СР3............................. 27
3.3.1 Случай 5^(2) циркулярной струны.............................27
3.3.2 Случай................................9/(2) циркулярной струны............................ 28
3.4 Бозонная СР3 частота............................................... 30
4 Неабелевы струны 32
4.1 Несуперсимметричная модель......................................... 32
4.2 Суперсимметричная модель........................................... 38
4.3 Теория на мировой поверхности струны ...............................42
5 Обобщенные уравнения Богомольного и системы типа Тоды 44
5.1 Редукция уравнений Богомольного.................................... 44
5.2 Граничиые операторы ‘т Хоофта ..................................... 46
5.3 Уравнения открытой цепочки Тоды из уравнений Богомольного .... 46
5.4 Решение уравнений Тоды............................................. 50
5.5 Доказательство гипотезы для алгебр Ап.............................. 52
5.6 Решения с линейной сингулярностью.................................. 56
5.7 Частные случаи..................................................... 61
6 Заключение 63
2
1 Введение
Исследование квантовой динамики системы невозможно без хорошего понимания ее классической динамики. В режиме слабой связи квазиклассическое вычисление является хорошим приближением. В случае сильной связи наивное квазиклассиче-ское приближение обычно дает ответы, весьма далекие от реальности, однако из этого правила есть исключения. Например, существуют величины, защищенные от перенормировки симметрией. Например, в суперсиммегричных теориях массы так называемых ВПС состояний связаны с центральными зарядами алгебры суперсимметрии. Исследование суперсиммегричных уравнений и их солитонных решений является одной из тем данной диссертации. Другое применение квазиклассических методов в режиме сильной связи возникает в случае дуальностей типа сильная-слабая связь. Классическим примером такой дуальности является 8-дуальность калибровочных теорий, связывающая электрические и магнитные возбуждения. В 1997 году была открыта [1, 2, 3] более удивительная дуальность, связывающая калибровочную теорию и теорию гравитации, точнее, теорию струн, в большем числе измерений. Первоначально гипотеза была сформулирована для максимально суперсимметрич-ной теории Янга-Миллса в четырехмерии и замкнутой суперструны типа II В в пространстве А(1$5 х Э*. Некоторые аспекты применения этой дуальности к вычислению аномальных размерностей в калибровочной теории будут рассмотрены в нашей диссертации.
Структура работы
Диссертация состоит из вводной главы и четырех глав, в которых представлены оригинальные результаты, выносимые на защиту. Во введении дан краткий обзор применения АйБ/СРТ соответствия к вычислению аномальных размерностей операторов в калибровочной теории, а также некоторых аспектов БПС уравнений в суперсим-метричных калибровочных теориях, в том числе топологических. Во второй главе с помощью метода алгебраической кривой получены значения частот возбуждений для так называемой сложенной струны в пространстве АЛБ* хСР3. Предложен метод ре-
3
гуляризации суммы по частотам, естественный с точки зрения интегрируемой системы. В третьей главе рассмотрены частоты фермиониых возбуждений для различных классических решений для струны в пространствах и ЛДО4 хСР6. Показано,
что для получения правильного результата для фермиониых частот методом разложения над классическим решением необходимо выбирать правильные условия периодичности для фермионов. Эти условия периодичности связаны со спин-структурой таргет-пространства. В главе 4 мы переходим к рассмотрению ВПС уравнений в су-персимметричных теориях. Обсуждаются струнные решения этих уравнений в теориях с ненулевым химпотенциалом. В главе 5 рассмотрены решения обобщенных уравнений Богомольного, задающие граничные операторы ’т Хоофта в А/' = 4 супер-симметричной теории Янга-Миллса на полупространстве.
1.1 Классические струны и аномальные размерности опера-
Ас^/СУТ соответствие сопоставляет различные величины в конформноинвариантной калибровочной теории и теории суперструны в пространстве анти де Ситтера. Пространство .4^5,, можно представить как поверхность в п + 1 мерном пространстве с метрикой
Топологически это пространство представляет собой 51 х К”-1, но как правило рассматривают его универсальное накрытие К1 х И'1-1, т.е. временное направление становится некомпактным. Конформной границей этого многообразия является конформно-компактифицированное пространство Минковского К1 х $п~2. При радиальном квантовании конформной теории поля на К1 х 5П-2 спектр состояний есть спектр размерностей соответствующих им операторов. Согласно Ас13/СРТ дуальности, эти размерности должны совпадать с энерг иями струнных состояний в пространстве А(1Б. Понять, какому состоянию соответствует оператор, можно из соображений
торов
(1)
заданную уравнением
(2)
4
симметрии.
Квантование свободной суперструны в пространстве анти де Ситтера и вычисление спектра является нетривиальной задачей, поскольку струнная сигма-модель нелинейна. В пределе большой размерности оператора движение струны становится квазиклассическим. и энергия может быть вычислена разложением сигма-модели над данным классическим решением. Однако более систематическое изучение этой задачи стало возможным с обнаружением в ней интегрируемости.
Интегрируемость в четырехмерной теории Янга-Миллса впервые обсуждалась в работе [4, 5]. Интенсивное развитие началось после важной работы Минахана и Зарембо [6|, где было показано, что спектр длинных однотрейсовых операторов в ДГ = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса в одной петле совпадает со спектром состояний некоторой интегрируемой цепочки. Эта калибровочная теория дуальна суперструне в пространстве Лс15ь х 55, и в дальнейшем была показана классическая интегрируемость теории струн в этом бэкграунде |7], которая, по-видимому, сохраняется и на квантовом уровне. Важным этапом в изучении спектра этой системы было построение асимптотического Бете-анзатца [8, 9, 10].
Кроме дуальности для N = 4 четырехмерной теории была обнаружена также дуальность между N — б суперсимметричной теорией Черна-Саймонса с калибровочной группой С/(ЛГ) х £/(Лг) с уровнем к и теорией суперструн в пространстве АйБл х СР* в пределе больших А1’, при фиксированной константе ‘т Хоофта А = N/к [11,12]. Аналогично четырехмерному случаю, здесь тоже спектр операторов калибровочной теории описывается интегрируемой системой [13] (см. также [14, 15]). Теория струн также оказывается интегрируемой на классическом уровне [16, 17]. Всепетле-вые уравнения Бете для этого случая были предложены в работе |18| и проверены, в частности, в работах (19, 20].
Классическая интегрируемость в данном случае означает, что уравнения движения сигма-модели могут быть записаны в виде условия нулевой кривизны
(й-Ж*))2 = о (з)
для связности Лакса Л(х), зависящей от спектрального параметра х. Тогда монодро-
5
мия этой связности вокруг струны
Q(x) = Рехр <Ь А(х),
(4)
является матрицей, собственные значения которой — интегралы движения. Уравнение на собственные значения задает некоторую конечнозонную алгебраическую кривую [21, 22|. Она является римановой поверхностью для многозначной функции, ветви которой - собственные значения матрицы i2(:r). Логарифмы этих собственных значений называются квазиимпульсами.
Для теории суперструны в пространстве AdS4 х СР3 алгебраическая кривая была построена в работе |23|. Алгебраическая кривая дает единое калибровочноинвариантное описание всех классических решений, а также может быть использована для вычисления спектра квантовых флуктуаций над классическим решением [24]. Для этого нужно добавить к решению малое возмущение и вычислить соответствующее изменение энергии. Возмущение представляет собой новый разрез между листами кривой, а условие малости означает, что этот разрез заменяется на полюс. Вычет в полюсе фиксируется квазиклассическим условием квантования.
Мы применяем эту технику для вычисления частот флуктуаций для важного классического решения, т.н. сложенной струны (folded string). Эти частоты были вычислены в работах [25, 52, 57) путем непосредственной диагонализации действия струны, разложенного на фоне классического решения. Сравнение результатов дает независимую проверку метода алгебраической кривой |23|.
Сложенная струна вращается в пространстве Ad.S3 с большим угловым моментом 5 и в пространстве СР3 с угловым моментом J ~ log 5. Разность между энергией струны и ее спином ведет себя как J [26, 27] для любых значений ‘т Хоофтовской константы связи Л пн Аналогичное решение в контексте AdSh/CFl\ дуальности уже хорошо изучено для любых значений Л [28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46]. В работе [18] было предложено уравнение, описывающее 5/(2) сектор AdS4 х СР3 струны:
S
-1
= -П
(5)
6