Когерентные взаимодействия оптических импульсов с резонансными и нелинейными искусственными средами

2
Оглавление
Введение. Общая характеристика работы...................................4
Глава 1. Распространение ультра-и предельно коротких электромагнитных импульсов в одномерных нелинейных средах.................................13
Введение к главе 1................................................13
§1.1 Волны поляризованного света в нелинейном двулучепреломляющем
волокне. Нелинейный поляризационный ответвитель...................24
§1.2 Динамика поляризационных компонент ультракороткого оптического
импульса в нелинейном двулучепреломляющем активном волокне 40
§1.3 Когерентные эффекты в нелинейном двулучепреломляющем волокне
с резонансными примесями..........................................64
§1.4 Переходные процессы в формировании векторных я-импульсов в световодных усилителях...............................................81
§1.5 Нестационарные эффекты при взаимодействии оптических импульсов
в волокне с нелинейностями третьего и пятого порядков.............99
§1.6 Динамика предельно короткого импульса в штарковской среде...122
Глава 2. Когерентные переходные процессы в тонких плёнках резонансных
атомов....................................................... 143
Введение к главе 2...............................................143
§2.1 Сверхизлучение и фотонное эхо в резонансной плёнке в условиях
одноквантового резонанса.........................................149
§2.2 Когерентное взаимодействие света с тонкой плёнкой трёхуровневых
атомов...........................................................165
§2.3 Преломление коротких оптических импульсов в плёнке атомов
при двухфотонном резонансе...............................................................178
§2.4 Эффекты переключения при прохождении видеоимпульса сквозь тонкий слой диполярных атомов.......................................194
Глава 3. Нестационарные явления в среде изолированных двухэлектронных квантовых точек под действием ультракоротких оптических импульсов...................................................................214
Введение к главе 3...............................................214
§3.1 Теория взаимодействия ультракоротких импульсов со........средой.изолированных двухэлектронных квантовых точек. Эффекты распространения 218
§3.2 Эффекты фотонного эхо и оптических нутаций в системе двухэлектронных квантовых точек..........................................235
§3.3 Взаимодействие ультракоротких электромагнитных импульсов с тонким слоем квантовых точек........................................252
Глава 4. Фотоиндуцированные нестационарные процессы в системе Бозе-
конденсатов в оптической сверхрешётке.........................264
Введение к главе 4...............................................264
§4.1 Модель Бозе-Хаббарда для ансамбля ультрахолодных атомов в оптической сверхрешётке..............................................268
з
§4.2 Эффекты эхо при импульсном возбуждении бозонных атомов в узлах
оптической сверхрешстки............................................277
§4.3 Фотоиндуцированная динамика бозс-эйнштейновсих конденсатов в
оптической сверхрешётке............................................285
§4.4 Модуляционная неустойчивость бозе-эйнштейновского конденсата в оптической сверхрешётке........................................294
Глава 5. Когерентные и нелинейные эффекты в средах с отрицательным показателем преломления......................................................304
Введение к главе 5.................................................304
§5.1 Когерентные эффекты при преломлении предельно короткого импульса электромагнитного излучения в тонкой плёнке метаматериала.............................................................308
§5.2 Нестационарные параметрические процессы в средах с отрицательным преломлением...............................................322
§§5.2.1 Динамика генерации третьей гармоники в среде с отрицательным преломлением волны накачки..........................322
§§5.2.2 Нестационарное трёхволновое смешение с удвоением частоты в «лево-правых» средах...................................341
Заключение.............................................................352
Список цитируемой литературы...........................................362
Список публикаций по теме диссертации..................................398
4
Введение. Общая характеристика работы
Актуальность темы
Современная лазерная физика оперирует мощными и ультра- и предельно короткими импульсами электромагнитного излучения (УКИ, ПКИ) когерентно и нелинейно взаимодействующих со средой. При анализе когерентной динамики мощных УКИ можно выявить области параметров задачи, где существуют нелинейные моды в виде периодических и уединённых волн (обобщённо соли-тонов). Вместе с тем, в более общих моделях взаимодействия импульсного электромагнитного излучения с веществом возникают задачи, для которых стационарные импульсы (солитоны) представляют собой эталонные решения, используемые как тестовые для численного моделирования нестационарных и переходных процессов при распространении волн (в т.ч. поляризованных) в нелинейных средах.
Для быстроразвивающейся прикладной области передачи и обработки оптической информации и для фундаментальных и прикладных оптических исследований создаются искусственные среды, как правило, низкой размерности (оптические волокна с материальной дисперсией и нелинейностями различного типа, тонкие плёнки, квазиодномерные среды), электромагнитный отклик которых контролируется резонансными примесями разной физической природы: резонансными атомами, квантовыми точками, плазмонными наноструктурами.
Значительный технологический прогресс в создании метасред, обладающих свойством отрицательного преломления («левых» сред) в оптическом диапазоне, делает актуальным исследование в области нелинейной оптики метаматериалов.
В настоящее время с помощью методов когерентной и нелинейной оптики широко исследуется фотоиндуцированная динамика ультрахолодных атомов в такой искусственной среде как бозе-конденсаты в квазиодномерной оптической решётке.
Более подробное обоснование актуальности диссертационных исследований
5
содержится во введениях к каждой главе диссертации, где приведены литературные обзоры современных проблем по теме соответствующей главы.
Цель работы состояла в развитии теории когерентного взаимодействия электромагнитного излучения с нелинейными искусственными средами, содержащих в себе резонансно поглощающие структурные элементы или резонансные квантовые системы.
В соответствии с этой целью были поставлены и решены следующие задачи:
1. Разработка теории распространение импульса поляризованного света в нелинейном двулучепреломляющем волокне с учетом нелинейностей третьего и пятого порядков и когерентного взаимодействия излучения с резонансными примесями.
2. Создание аналитических и численных методов описания когерентного взаимодействия электромагнитных импульсов с тонкой пленкой резонансных атомом и квантовых точек в условиях одно- и двухфотонного резонанса и развитие теории нелинейных процессов в таких двумерных средах;
3. Развитие теории распространение предельно коротких импульсов электромагнитного излучения в средах резонансных атомов, молекул или квантовых точек с постоянным дипольным моментом (штарковских средах);
4. Разработка аналитических и численных методов описания ансамбля ультрахолодных атомов в оптической квазиодномерной сверхрешётке, находящихся под воздействием внешнего бигармонического электромагнитного поля и исследование нелинейных откликов этой системы;
5. Создание теории нелинейных электромагнитных эффектов в метаматериалах, обладающих отрицательным преломлением, в том числе теории когерентных откликов и генерации гармоник.
Более детально решаемые в работе задачи сформулированы во введениях к каждой главе диссертации.
6
Научная новизна
Новым в работе является анализ распространения ультра короткого векторного импульса в волокне при последовательном учёте взаимовлияния таких факторов как двулучепреломление, эффект разбегания поляризованных мод, дисперсия групповых скоростей второго порядка, фазовой кросс- и само модуляции из-за наличия нелинейностей третьего и пятого порядков, реакции примесных атомов с вырожденным резонансным переходом на проходящее излучение, эффекта локального поля.
Новым является эффект формирования двухполярного уединённого импульса - ненулевого бризера, найденного при численном анализе модели штар-ковской среды, взаимодействующей с видеоимпульсом.
Впервые продемонстрирована возможность генерирования эффекта эха в штарковских средах на предельнокоротких импульсах.
Новой является постановка задачи о прохождении видеоимпульса сквозь тонкий слой среды с постоянным дипольным моментом с учётом эффекта локального поля. Анализ динамики УКИ прошедшего через пленку резонансных атомов с учётом нелинейного взаимодействия волн, неоднородного уширения резонансных переходов, эффекта локального поля и дисперсии подложки.
Научной новизной обладает исследование эффектов взаимодействия поляризованных ультракоротких импульсов с ансамблями квантовых точек и найденные там аналитические решения обобщенной системы уравнений Максвелла-Блоха. Впервые в такой модели обнаружены когерентные эффекты типа эхо.
В модели Бозе-Хаббарда для ансамбля бозе-конденсатов в оптической сверхрешётке, впервые исследованы эффекты распространения волн плотности бозонов, продемонстрирована возможность эффекта эха в когерентном токовом состоянии при облучении решётки импульсами бигармонического электромагнитного поля, исследована модуляционная устойчивость найденных стационарных решений.
Впервые рассмотрены когерентные эффекты типа осцилляторного эхо при воздействии предельно коротких оптических импульсов на нелинейные метас-
7
реды, допускающие изменение знака коэффициента преломления в разных спектральных участках плазмонных колебаний. Впервые задача о генерации второй и третьей гармоник в лево-правой среде на встречных волнах накачки и гармоники проанализирована с учетом эффектов дисперсии, разбегания волн и нелинейной фазовой модуляции. Новыми являются найденные аналитические решения, описывающие уединённые связанные нелинейные волны фундаментальной и кратных частот.
Оригинальность и новизна результатов подтверждается публикациями в высоко рейтинговых журналах по профилю диссертации.
Научная и практическая значимость работы
Результаты исследований, проведённых в работе, имеют фундаментальное значение, поскольку вносят существенный вклад в понимание процессов когерентного взаимодействия оптических импульсов с резонансными и нелинейными искусственными средами разной природы.
С единых теоретических позиций, учитывающих эффект локального поля, рассмотрено формирование когерентных откликов тонкой плёнки резонансных атомов, атомов с постоянным дипольным моментом, квантовых точек и плазмонных структур из наночастиц и наноконтуров на возбуждение ультракороткими оптическими импульсами. Учёт, обнаруженных при анализе этих моделей, временных и спектральных свойств прошедших тонкий слой сигналов, таких как пики сверхизлучения, эффекты типа эхо, быстрая релаксация под действием локального поля, формирование сильно запаздывающих откликов в штарковских средах и др., важен в приложениях в устройствах и схемах оптической обработки информации.
Полученные в работе теоретические результаты по исследованию динамики коротких оптических импульсов в нелинейных поляризационных ответвителях и когерентных волоконных усилителях могут быть полезны при разработке устройств передачи и обработки оптической информации. В результате численного анализа и аналитических расчётов выявлена роль взаимосвязанных
8
факторов среды и импульсного поля (резонансные примеси, двулучепреломле-ние, дисперсия групповых скоростей, фазовая кросс- и автомодуляция вследствие комбинированной нелинейности, предельно малая длительность импульсов возбуждения, учёт эффекта локального поля, наличие постоянного дипольного момента резонансных примесных атомов) в их совместном влиянии на временные и поляризационные свойства сигналов в волокне. Обнаружен новый тип уединённого устойчивого сигнала - «ненулевого бризера», импульсная площадь которого не равна нулю.
В диссертации, в рамках модели Бозе-Хаббарда, теоретически обоснован метод фотоиндуцирования волн ультрахолодных бозонных атомов в оптической решётке ассиметричных двухъямных потенциалов воздействием внешнего бигармонического электромагнитного поля. Обсуждается модуляционная устойчивость стационарного распределения бозе-конденсатов в такой искусственной среде.
Практическую значимость в применении необычных свойств метаматериалов имеют проведённые в работе исследования нелинейных нестационарных процессов смешения частот в средах с отрицательным преломлением: генерации третьей гармоники (ГТГ) в среде с отрицательным преломлением волны накачки, нестационарного трёхволнового смешения с удвоением частоты (ГВГ) в «лево-правых» среде, а также исследования когерентных откликов метаматериалов на широкополосное возбуждение ПКИ электромагнитного поля.
В диссертации сформулированы и обоснованы научные результаты и выводы, совокупность которых представляет собой основу нового научного направления: динамика нелинейных уединенных электромагнитных волн в одномерных и двумерных искусственных средах.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Теория нелинейного переключения состояния поляризации оптического импульса в двулучепреломляющем волокне; эффект запирания переключателя в сильном поле.
9
2. Теория распространения ультракоротких импульсов и когерентных переходных процессов в нелинейном двулучепреломляющем легированном резонансными примесями волокне, которая предсказывает эффект подавления самоин-дуцированной прозрачности; многоимпульсное фотонное эхо в сопряжённом поляризационном канале.
3. Выражение для электрического поля огибающей стационарного импульса, распространяющегося в двулучепреломляющем волокне с конкурирующими нелинейностями третьего и пятого порядков и результаты расчетов, демонсти-рующих устойчивость этих импульсов при нелинейном кросс взаимодействии их поляризационных компонент. Векторный л-импульс и явление пленения населенности в когерентном волоконном усилителе.
4. Результаты численного и аналитического исследования когерентной динамики нелинейных уединённых волн в системе резонансных атомов с постоянным дипольным моментом. Обнаружение в численном эксперименте предельно короткого по длительности электромагнитного объекта - ненулевого бризера и исследование его свойств.
5. Теория когерентных откликов тонкой резонансной плёнки резонансных атомов, квантовых точек и атомов с постоянным дипольным моментом на возбуждение ультракороткими и предельнокороткими оптическими импульсами.
6. Теория взаимодействия ультракоротких импульсов поляризованного излучения с ансамблем двухэлектронных полупроводниковых квантовых точек. Когерентные эффекты типа сверхизлучения, фотонного эхо и оптических нутаций, поляризационные и временные особенности откликов резонансной среды квантовых точек.
7. Модель оптической сверхрешётки (ОСР) заполненной ультрахолодными бозонами. Эффект эхо отклика в системе бозе-конденсатов в узлах ОСР. Результаты исследования фотоиндуцированной динамики бозе-эйнштейновского конденсата в ОСР, эффект модуляционной неустойчивости однородного заполнения ОСР атомами конденсата.
10
8. Результаты исследования импульсной генерации второй и третьей гармоники в нелинейных метаматериалах. Теория когерентных откликов от тонкой пленки резонансного метаматериала на ПКИ возбуждении.
Апробация работы
Результаты исследований, включенные в диссертацию, докладывались на следующих конференциях и симпозиумах: II-V Международные конференции «Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург 2000, 2002, 2004, 2006, 2008), X-XIV Международные конференции «Оптика лазеров» ( Санкт-Петербург 2002, 2004, 2006, 2008, 2010), Международная конференция по квантовой электронике (IQEC) (Москва 2002), XIV,XX1-XXIII Международные конференции по когерентной и нелинейной оптике (ICONO) (Ленинград 1991, Санкт-Петербург 2005, Минск 2007, Казань 2010), VII - IX Международные симпозиумы но фотонному эхо и когерентной спектроскопии (PECS) (Новгород 2001, Калининград 2005, Казань 2009), VIII-X Международные чтения по квантовой оптике (IWQO) (Казань 1999, Санкт-Петербург 2003, Самара 2007), Международная конференция по когерентному контролю фундаментальных процессов в оптике и оптике х-лучей (CCFP'2006) (Нижний Новгород 2006), Международный симпозиум «Когерентная и нелинейная оптика искусственных сред» (CNOAM) (Лиссабон 2006), Конференция по квантовой электронике и лазерной физике (CLEO/QELS 2007) (Балтимор, Мэрилэнд 2007), Научные сессии НИЯУ МИФИ (2004, 2006, 2007, 2008, 2011)
Публикации
По теме диссертации опубликовано 39 работ. Основные результаты диссертации содержатся в 26 статьях в российских и зарубежных рецензируемых журналах
Объём и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, в котором сформулированы основные выводы диссертации. Изложена на 401 странице машино-
11
писного текста, включая 134 рисунка и список литературы, содержащий 430 наименований.
Первая глава посвящена эффектам распространения ультра- и предельнокоротких импульсов поляризованного излучения в нелинейных одномерных средах. Обсуждаются свойства стационарных решений, рассматриваются особенности динамики импульсов в классических эффектах самопрозрачности и фотонного эха, обусловленные дополнительной нелинейностью материала, наличием постоянного дипольного момента атомов примеси, эффектом локального поля, динамическим балансом потерь и усиления и др.
Во второй главе рассматриваются когерентные переходные процессы при преломлении ультракоротких и видеоимпульсов в тонких плёнках резонансных атомов с учётом эффекта локального поля и разных типов резонансного поглощения.
В третьей главе представлены результаты исследований нестационарных явлений в среде изолированных двухэлектронных квантовых точек под действием ультракоротких оптических импульсов. Вслед за теоретическим обоснованием модели рассмотрены эффекты распространения импульсов электромагнитного поля в протяжённой среде квантовых нанообъектов. Обсуждаются особенности эффектов фотонного эха и оптических нутаций в системе двухэлектронных квантовых точек, а также преломление оптических импульсов в тонких плёнках квантовых точек.
Четвёртая глава посвящена исследованию фотоиндуцированных нестационарных процессов в системе Бозе-конденсатов в оптической свсрхрешётке. Здесь приводится теоретическое обоснование использования модели Бозе-Хаббарда для ансамбля ультрахолодных атомов в оптической сверхрешётке, рассмотрены эффекты типа эха при импульсном возбуждении бозонных атомов в узлах оптической сверхрешётки, обсуждаются результаты численных экспериментов по наблюдению фотоиндуцированной динамики бозе-эйнштейновсих кондесатов в оптической сверхрешётке, представлены результаты исследования модуляционной неустойчивости некоторых стационарных решений модели.
12
В пятой главе рассматриваются когерентные и нелинейные эффекты в средах с отрицательным показателем преломления. В качестве таковых представлен эффект эха при преломлении предельно коротких импульсов оптического излучения в тонкой пленке метаматсриала, а также нестационарные параметрические процессы в средах с отрицательным преломлением на примере импульсной генерации второй и третьей гармоник в «лево-правой» среде.
В заключении помещены основные результаты работы, суммированные в восьми защищаемых положениях.
13
Глава 1. Распространение ультра- и предельно коротких
электромагнитных импульсов в одномерных средах
Введение к главе 1
Исследование эффектов, сопровождающих пространственно-временную эволюцию коротких электромагнитных импульсов в протяжённых оптических средах (таких как оптические волокна разного типа, балк-образцы и т.п.), несмотря на долгую историю развития [1-4], остаётся актуальной задачей, т.к. даёт методы анализа быстропротекающих процессов в естественных и искусственных средах-носителях, и выходит на многочисленные практические применения в оптоэлектронике [5-13], созданию источников когерентного излучения на волокнах, активированых резонансными примесями, например ионами Ег3' [14-17]. разработке методов управления режимами пропускания ультракоротких оптических импульсов [18-21]. Главной областью применения ультракоротких оптических импульсов стало проектирование сверхдлинных волоконно-оптических линий связи (ВОЛС) с участками волокна, легированного резонансными примесями. Носителем оптического кода в таких ВОЛС являются уединённые устойчивые нелинейные волны - солитоны - современная парадигма волновой теории.
Прогресс в солитонных коммуникационных системах [см, например, 22, 23], чья скорость передачи данных приближающихся к терабитам в секунду [24], связан с созданием ВОЛС с контролем знака и величины дисперсии групповых скоростей [25-27]. Вместе с тем обнаруживается, что ограничение на скорость передачи в сверхскоростных солитонных ВОЛС и увеличение вероятности сбоя [28] связано с эффектом дрожания (jitter effect) [29,30] положения солитона во временном окне и его фазы из-за шума в источнике солитонов, шума в накачке и нелинейным взаимодействием уединённых импульсов на трассе.
В оптике, помимо упомянутых импульсов в кубично-нелинейной среде (солитонов нелинейного уравнения Шредингера (НУШ)), наиболее известны нелинейные волны в виде 2л-импульсов самоиндуцированной прозрачности (СИП)
14
[31,32]. Для идеальных моделей этих явлений и некоторых их обобщений удалось доказать свойство полной интегрируемости соответствующих систем уравнений и методом обратной задачи рассеяния (ОЗР) [33,34] найти точные решения в виде уединённых устойчивых волн. К настоящему времени исследование свойств солитонных решений и поиск новых классов уравнений, допускающих решения в виде солитонов, развилось в отдельную отрасль математической физики [см. подробные обзоры в 1,2,35]. Термин солитон стало широко употребим, любую нелинейную уединённую волну иногда расширительно называют солитоном, хотя в строгом смысле солитоны должны обладать свойством устойчивости к возмущениям, в частности, сохранять форму своей огибающей при столкновениях.
Вместе с тем, вполне интегрируемые системы, одним из решений которых являются уединённые волны - солитоны, составляют класс задач более узкий, чем множество неинтегрируемых эволюционных задач. Так, учёт кросспроцессов при распространении поляризованных импульсов, учёт высших нелинейностей и другие дополнительные физические механизмы нарушают свойство интегрируемости НУШ. В свою очередь и неинтегрируемые системы могут иметь стационарные решения, но, строго, не солитоны. Нахождение таких решений - нетривиальная математическая задача, а полученные решения - неординарный результат. Поиск точных решений, описывающих переходные нестационарные решения, даже в рамках такого мощного аналитического метода как ОЗР, ведёт к серьёзным математическим трудностям, девальвирующим ценность аналитического результата по сравнению с приближёнными или численными решениями.
С физической точки зрения математическая уникальность солитонов связана с тем, что возникновение солитона и, в более широком смысле, стационарной уединённой волны, является, как правило, результатом точного баланса конкурирующих нестационарных механизмов, заложенных в физическую модель. Так в явлении распространения мощного короткого импульса в оптическом волокне, математической моделью которого можно считать НУШ и его
15
обобщения, прохождение импульсов без искажений (солитонов НУШ) может быть реализовано при условии компенсации эффекта амплитудной самомоду-ляции линейной дисперсией групповых скоростей. В свою очередь явление СИП состоит в когерентном равновесии между поглощением на переднем фронте и стимулированном излучении на заднем фронте 2-л импульса. Энергия распространяется по среде уже не в форме электромагнитного поля, а как поляритонная волна и скорость этой волны может отличаться на два порядка от скорости света в непоглощающей среде. Равновесие противонаправленных физических процессов лежит в основе идеи диссипативных солитонов в волоконных усилителях с потерями [36].
Идеальный баланс, в виде жёстких соотношений между параметрами среды и поля, может быть задан прямо в граничных условиях, и тогда запускаемый импульс распространяется сразу как солитон. В более реалистичной ситуации такой батане складывается в ходе переходных процессов при эволюции входных импульсов в глубине среды, где могут сформироваться временные и пространственные солитоны.
Таким образом, помимо солитонных решений, в моделях взаимодействия импульсного электромагнитного излучения с веществом возникают более общие задачи распространения коротких импульсов, для которых стационарные импульсы (солитоны) представляют собой эталонные, предельные решения, используемые для качибровки более общих нестационарных и переходных процессов при распространении волн (в т.ч. поляризованных) в нелинейных средах. Решению некоторых из таких задач посвящена первая глава диссертационной работы.
В силу большого числа эффектов, включенных в рассмотрение, основным методом исследования базовых уравнений являлось численное моделирование. Вместе с тем, в ряде случаев удалось аналитически получить стационарные решения. Так в параграфе 1.1 в результате применения вариационного подхода [37-39] в рамках лагранжева формализма установлены режимы нелинейного двулучепреломления и эффект запирания поляризационных каналов поляриза-
16
ционного ответвителя. Численное моделирование в более общих условиях позволило обнаружить области хаотизации режимов пропускания поляризационного ответвителя.
В задаче о распространении ультракороткого импульса (т.е. импульса такой длительности, когда приближение медленных амплитуд ещё применимо) эллиптически поляризованного света в нелинейном, двулучепреломляющем, и легированном резонансными примесями волокне присутствуют эффекты, связанные с матрицей волокна (дисперсия групповых скоростей, двулучепреломле-ние, эффект разбегания поляризационных компонент, нелинейная фазовая модуляция), так и когерентное взаимодействие поля импульса с резонансной подсистемой.
Вместе с тем характерные пространственные масштабы действия упомянутых эффектов разнятся, и для того, чтобы ярче представить действие волоконных и резонансных эффектов, физически целесообразно разделить общую проблему на два характерным случая: а) влияние линейного и нелинейного двулу-чепреломления при когерентном распространении поляризованных уединённых волн в коротком допированном волокне, когда по крайней мере дисперсия групповых скоростей может рассматриваться как слабый эффект, и б) слабое воздействие резонансного поглощения и преломления на распространение связанных солитноподобных импульсов в нелинейном двулучепреломляющем волокне. Этот последний случай представляет главный интерес в параграфе 1.2. Результаты, полученные по пункту а) рассматриваются в параграфе 1.3.
Что касается «state of art» проблемы, обсуждаемой в §§1.2,1.3, в целом, то теоретические аспекты СИП в допированных волокнах обсуждались в [4,40], в частности в [40] метод обратной задачи рассеяния был применён к связанной системе векторного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) и блоховских уравнений в задаче распространения и столкновения поляризованных уединённых импульсов в активированной керровской среде. После публикации Наказа-
вы и др. [41,42], где СИП наблюдалась экспериментально в волокне с примеся-
с- з+
ми Ьг , интерес к когерентному распространению коротких импульсов пере-
17
местился в область усиления ультракоротких импульсов (УКИ) [42-45], поиску новых режимов распространения [46-48], и анализу дальнейших обобщений моделей резонансных и нерезонансных подсистем [49-53]. Так, например, в [53] динамика ультракоротких импульсов (УКИ) была теоретически исследована в квадратично нелинейных резонансных плазмонных метаматериалах. С другой стороны, заметный отход от резонанса редуцирует проблему к НУШ с неоднородными коэффициентами [54].
Ярким проявлением когерентного, задержанного во времени взаимодействия УКИ с резонансным волокном был, доложенный в [55,56], эффект фотонного эхо. Позже аккумулированное фотонное эхо было экспериментально получено в активном волоконном усилителе [57].
В оптическом волокне каждая из компонент поляризованного излучения распространяется с индивидуальной фазовой (и групповой) скоростью. Соотношение между поляризационными состояниями меняется и, следовательно, вектор электрического поля может вращаться при распространении импульса.
Когда интенсивность излучения достигает достаточно высокого уровня, заметную роль начинают играть нелинейные поправки к показателю преломления [58]. Как следствие, скорости распространения различных поляризационных мод изменяются [59]. Для таких интенсивностей фазовая кросс-модуляция становится достаточно сильной, чтобы инициировать нелинейное двулучепрелом-ление, когда период межмодового биения может расти даже неограниченно [60,61]. При определённой, высокой пиковой интенсивности входного импульса нелинейные эффекты [62-66] могут конкурировать с линейным двулучепре-ломлением.
Внедрение резонансных примесей изменяет оптические свойства волокна. Если длительность импульса много больше, чем времена релаксации поляризации и населённости, возникает дополнительные поглощение и насыщение резонансной среды. Характер поглощения меняется [67], если импульс короче релаксационных времён. Поглощение уменьшается с увеличением амплитуды импульса вплоть до полного исчезновения, когда достигаются условия СИП.
18
Если энергетические уровни примесных атомов вырождены по проекциям углового момента, условия распространения для различных поляризационных мод могут также быть различными, приводя к дополнительному двулучепре-ломлению. В фемтосекундном диапазоне длительностей импульсов разница в групповых скоростях становится существенной. Импульс испытывает расщепление на два расходящихся отдельных сигнала (эффект разбегания -«\valk-off»). Без учёта линейного двулучепреломлсния, разницы групповых скоростей поляризационных мод и поляризации, индуцированной в резонансной подсистеме, нелинейные уравнения для компонент поля представляет пример полностью интегрируемой системы [68,69]. При определённых условиях короткий импульс в резонансной среде может эволюционировать в уединённую волну (2л-импульс) [32]. Это означает, что в идеале (при достаточно жёстких условиях) в модели подобной этой можно наблюдать существование одновременно явления самоиндуцированной прозрачности (СИП) и оптических солитонов НУШ [70-72]. Но в реалистических волокнах с примесями для импульсов с умеренными амплитудами это вряд ли случится из-за существенной разницы в пространственных масштабах и энергии солитонов СИП и солитонов НУШ. К примеру, одному 2л СИП импульсу по энергии соответствуют сотни солитонов НУШ.
С увеличением плотности примесей за пределы газовой концентрации, также как переход к большим значениям дипольных моментов резонансных частиц, необходимость в учёте ближнего диполь-дипольного взаимодействия [73] возрастает. Такое взаимодействие ведёт к эффекту локального поля, характеризующемуся динамическим сдвигом резонансной частоты, пропорцианальному разности населённостей [74]. Даже для широких неоднородно уширенных линий поглощения такой частотный сдвиг может вызвать частичную потерю когерентности. Конкуренция между дефазировкой и междуатомным диполь-дипольным взаимодействием, вызывающим соответствующую отстройку от резонанса, ведёт к формированию некогерентных солитонов [75].
В параграфе 1.4 в рамках той же модели взаимодействия векторного (поляризованного) импульса с нелинейным допированным волокном исследована
19
динамика переходных процессов в случае усиливающей среды с внешней накачкой и стабилизирующими потерями. При определённых предположениях здесь возможно возникновение диссипативного солитона [36]. На этот, возможно, менее известный, но равно интересный эффект в 1965 году указывали Арекчи и Бонифацио в [76], которые обсуждали возникновение диссипативных солитонов в оптических лазерных усилителях. Этот солитон известен как зт-импульс, и он представляет когерентный баланс между стимулированной эмиссией от инвертированной атомной населённости и линейных потерь в материале образца [77].
Пространственное расплывание пучков из-за дифракции ограничивают эксперименты по когерентному распространению импульса в объёмном образце с примесями [78,79]. Это ограничение может быть снято, когда оптические импульсы распространяются в оптическом волокне с резонансными примесями. Действительно, наблюдение СИП и солитонного распространения л-импульса на несколько метров было осуществлено Наказавой и др. с помощью оптического волокна, допированного эрбием [41,42]. В этих экспериментах волокно необходимо было охладить до нескольких Кельвин для того, чтобы увеличить время необратимой релаксации поляризации Т2 до порядка 10 не.
Недавний технологический прогресс в создании фотоннокристаллических (ФК) оптических волокон [80-82], в которых свет канализируется в пустой сердцевине волокна с помощью механизма брэгговского отражения, позволяет уменьшать керровскую нелинейность материала волокна на несколько порядков с обычными стеклянными световодами. Заполнение сердцевины ФК волокон резонансным атомным или молекулярным газом делает возможным наблюдать когерентные эффекты при распространении импульсов [83], такие как электромагнитно индуцированная прозрачность, на относительно длинных дистанциях [84,85]. Действительно, нелинейный коэффициент в ФК волокнах на несколько порядков меньше, чем в обычных силиконовых волокнах [86].
Далее, в параграфе 1.5, модель одномерной оптической среды керровского типа (нелинейность третьего (кубик) порядка) дополнена нелинейностями пя-
20
того (квинтик) порядка, т.е. нелинейный коэффициент преломления в своём разложении по степеням интенсивности света содержит квадратичные слагаемые п = п{) + п21 + пА12. Распространение коротких оптических импульсов в нелинейной диспергирующей кубик-квинтик среде (ККС) описывается обобщённым НУШ с учётом слагаемых, отвечающих за нелинейность пятого порядка (КК-НУШ) [87-90]. Существование и свойства стационарных решений в форме светлых [2,89-91] и темновых [92,93] импульсов, а также кинков [92,94] довольно широко обсуждалось в литературе [2,87-96], хотя в строгом смысле найденные решения не являются солитонами, а само КК-НУШ или его векторное обобщение (ВКК-НУШ) не являются полностью интегрируемой задачей. Вместе с тем, видоизменение задачи о ВКК-НУШ путём удержания слагаемых типа рамановского саморассеяния и формирования оптической ударной волны позволило авторам [97] найти пару Лакса и установить интегрируемость такой модели. Учёт мнимой части нелинейной восприимчивости для ККС [98] добавляет в модель механизмы усиления и диссипации, когда поступление энергии в солитон за счёт линейного и нелинейного усиления и её диссипация достигают равновесия, как это происходит при стабилизации диссипативных солитонов [36].
Поиском сред, где нелинейность пятого порядка не вызвана насыщением керровской нелинейности, а есть свойство самого вещества, занимаются довольно давно. В литературе упоминается большая квинтик-нелинейность в парах щелочных металлов [99], в жидких кристаллах, в волоконных стёклах с полупроводниковыми присадками [87], в галогенидных стёклах [100], в нелинейных полимерных материалах, таких как полидиацетилен пара-толуин сульфонат (ПТС) [101]. Авторы [102] предсказывают гигантские восприимчивости
^(3) и разных знаков в четырёхуровневых системах в режиме электромагнитно-индуцированной прозрачности.
Особенно интересен случай конкурирующих нелинейностей, когда кубичная по полю нелинейность в терминах пространственных свойств является фо-
21
кусирующей п2> 0, а нелинейность пятого порядка - дефокусирующей п4 < 0.
Эти нелинейности привлекают внимание из-за возможности избежать коллапса [103] как лазерных импульсов, так и лазерных пучков при достаточно больших интенсивностях из-за нелинейной фазовой модуляции, что важно в устройствах оптоэлектроники. В результате конкуренции дисперсии групповых скоростей и нелинейностей разного знака формируются ряд нетривиальных физических эффектов при взаимодействии как скалярных, так и векторных импульсов, включая распады мощных импульсов на каскады субимпульсов разной степени поляризации. Добавление резонансных примесей в кубик-квинтик волокно даёт возможность наблюдать в численном анализе когерентные эффекты типа фотонного эхо.
В оптике лазерных пучков ККС способна поддерживать двумерные солито-ны различной спиральности и стабильные трёхмерные солитоны (“световые пули”) [104-107]. Устойчивость световых пуль в ККС позволила выдвинуть любопытную модель конденсированного состояния жидкого света со свойствами поверхностного натяжения подобными обычным жидкостям [108-110].
Во всех перечисленных выше задачах полевыми уравнениями являлись НУШ и его обобщения, описывающие распространение в нелинейной диспергирующей среде огибающих спектрально узких импульсов, т.е. использующие квазигармоническое приближение. Переход в фемтосекундный диапазон длительностей требует иного подхода, основанного на отказе от огибающих и рассмотрении импульсов истинного поля, т.е. напряжённости поля - действительной величины, с предельно короткой длительностью в несколько оптических периодов (пульсон) и даже долей периода (видеоимпульс). Проблемы, связанные с динамикой предельно коротких импульсов в оптически плотной среде с постоянным дииольным моментом примесных атомов рассмотрены в параграфе 1.6 первой главы.
Под предельно короткими импульсами ПКИ принято понимать импульсы электромагнитного поля, длительность которых составляет лишь несколько периодов колебаний напряжённости, а за время действия так называемого полу-
22
периодного импульса поляризация электрического поля вообще не успевает изменить знак [111-119]. Подобные импульсы представляют собой вспышки энергии поля, для которых неприменимы понятия несущей частоты и длины волны. Спектральный состав ПКИ получает сверхуширение [120-121] и приближается к белому шуму, а спектр ПКИ в определённых случаях имеет максимум на нулевой частоте.
Обычные в нелинейной оптике квазимонохроматических импульсов [2,4,122-123] приближения медленных амплитуд для уравнений электромагнитного поля и вращающихся волн для резонансной среды - должны быть, по крайней мере, уточнены в сторону учёта следующих порядков теории возмущений, что делает их применение достаточно громоздким. В ходе дискуссии по проблемам субпикосекундной оптики получил распространение подход [124-129], при котором анализируется динамика непосредственно поля импульса, а не его огибающей. Указывалось также, что сверхуширенным должен быть не только временной, но и пространственный спектр ПКИ в силу предельной (порядка центральной длины волны) малости продольных размеров распространяющегося светового пятна [130,131]. В этом случае последовательная теория самовоздействия таких электромагнитных образований должна быть непараксиальной.
Распространение ПКИ в среде двухуровневых атомов исследовалось в типичной для многих резонансных сред ситуации, когда диагональные элементы оператора дипольного момента равны нулю [115,117,126,132-135]. Однако, существуют молекулы, для которых имеет место линейный эффект Штарка. Нарушение чётности квантовых состояний, между которыми происходит переход, может быть вызвано внешними полями, либо воздействием поверхностных сил при адсорбции молекул на поверхности. В этих случаях диагональные элементы оператора дипольного перехода между резонансными уровнями считаются ненулевыми величинами. В системе квантовых точек постоянный дипольный момент возникает из-за возможных нарушений симметрии формы квантовых точек в ходе их создания. По аналогии с керровскими средами, среды с нснуле-
23
выми матричными элементами дипольного момента можно назвать штарков-скими средами [136-138]. Взаимодействие электромагнитного импульса длительностью в несколько колебаний поля со штарковской средой без учёта эффектов распространения рассматривалось в [139].
Здесь следует отметить, что применение приближения медленных амплитуд к задаче прохождения ПКИ через штарковскую среду приводит к генерации ряда чётных гармоник, что делает такой подход сложным, если вообще реализуемым. Тогда как отказ от медленных амплитуд дополненный приближением однонаправленных волн делает задачу полностью интегрируемой и позволяет найти стационарные устойчивые решения - солитоны [140-142].
Таким образом, из приведенного во введении перечня проблем в физике распространения ультра- и предельно коротких электромагнитных импульсов в одномерных средах вытекают следующие задачи, которые будут решаться в первой главе диссертации:
1 .Распространение импульса поляризованного света в нелинейном двулучепре-ломляющем волокне. Нелинейные режимы волоконного поляризационного ответвителя.
2.Формирование и распространение поляризационных компонент ультракороткого оптического импульса в нелинейном двулучепреломляющем активном волокне.
3. Когерентные эффекты в нелинейном двулучепреломляющем волокне с резонансными примесями.
4. Возникновение когерентных векторных л-импульсов в световодных усилителях.
5. Нелинейные и когерентные эффекты при распространении оптических импульсов в среде с нелинейностями третьего и пятого порядка.
6. Численные исследования возникновения уединённых осцилляторных волн при распространении предельно коротких импульсов в резонансных средах с постоянным дипольным моментом
24
§1.1 Волны поляризованного света в нелинейном двулучепрелом-ляющем волокне. Нелинейный поляризационный ответвитель
Распространение оптического импульса в двулучепреломляющем волокне является одной из актуальных проблем нелинейной волоконной оптики. Теория этого процесса основывается, прежде всего, на нелинейном уравнении Шре-дингера с дополнительными членами, ответственными за взаимодействие поляризационных мод световой волны, распространяющейся в волокне [142-150]. Возмущённое НУШ такого типа интересно фазовыми соотношениями, которые оказываются весьма важными в рассматриваемой задаче.
Формализм
Оптический импульс в нелинейном двулучепреломляющем волокне описывается следующими уравнениями [142,143]:
. д е. 1 д2е
—- н—сг—
дг 2 дГ
.Эе, 1 Э2е, - - (111)
1 + + |е,|2 +р\ег |2)е, =-Ке2-Ае1
д2 а
&—Ь + к(\е1 I2 +Р\ех \2)еу --Кех -Ас, , дг 2 д!'2 У 2 ‘ } 2 1 2
Здесь е\ и е2 нормализованные комплексные огибающие электрического поля оптического импульса в кругополяризованных состояниях противоположной направленности.
Д/Ь8г/?,=2Д (1.1.2)
- волновая расстройка, где /?а - константы распространения для поляризационных мод, , К - коэффициент линейного двулучепреломления [145-151], 2 - координата вдоль оси световода, /' = t - г 1у?. Для упрощения модели считается, что групповые скорости и дисперсия групповых скоростей для обоих типов поляризаций равны. Нелинейная кросс-модуляция фазы, характеризуется коэффициентом р. Коэффициент к определяет нелинейные свойства волновода [152], сг - коэффициент диспресии групповых скоростей [152]. В ранее изучен-
25
ных случаях [143,144,147,153] предполагаюсь, что А/? =0. Если А/? несильно отклоняется от нуля принятое упрощение вполне допустимо.
Известно, что система (1.1.1) представима в форме уравнения Эйлера-Лагранжа б£?,/5е\ = 0, 5&/5е2=0, когда лагранжиан выбирается в следующей форме
дг дг
( де2 . де2 ^ е2—--е>—- а +— / де, 2 + де2
^ дг дг} 2 к. дГ дг /
(1Л.З)
-*(\4-\4)-^(\4+\4)-р*\4\4
Экстремум функционала действия 3 = достигается на точном решении
системы (1.1.1). Если выбрать пробную функцию е12 (*,/'; {а}), зависящую от набора параметров (а(г)} и вычислить 5 на пробных функциях (5 = ] £(’о']^2,где | ё2 ]<#'), тогда приближённое решение системы (1.1.1) будет определяться условием экстремальности на наборе пробных функций £5 = 0 (или ЗЯ1/5а^= 0). Такой подход к изучению динамических задач демонстрирует один из прямых методов вариационных вычислений [154-157]. Точность аппроксимации зависит от успеха в выборе пробных функций ёХ2. На этом этапе
численные симуляции играют важную роль в предсказании вида е12.
При выборе пробной функции в виде
«1,2 (V') = Я],2 (фес/1[/угД2)]ехр[;р, 2 (г)+й(г)г'2] (1.1.4)
параметры (а(г)} представлены действительными амплитудами /? 1,2(2) и фазами <£>12(2) импульсов кругополяризованных волн противоположного направления, длительностью этих импульсов /р(г), и глубиной Ь{г) линейного чирпа фазовой модуляции.
Лагранжиан (3), усреднённый по времени может быть выражен в терминах действительных переменных 1,2(2), #>1,2(2), и Ь(г):
26
£ = 2/Дй,2 jdz + Л2 d<p2/dz) + (Rf + R2 )(2<т/3/р + 2тг-сгг'рЬ2 ji) +
x2/6{Rl + Riypdbldz-(2Kt,,/i)(R: + Ri + 2pR?Rl)- f (1Л.5)
- 4rpAT?, Я, cos Ф + 2f„Д ( Я,2 - Я2)
где Ф = <?>, - <р2 .Вычисление вариационных производных от «£по R\^(z\ <p 1,2(2), /p(z) и 6(z) даёт систему уравнений для определения R!>2(z), (Р],г(г), /p(z) и 6(z):
S£/S<p,=0=> d(lpR?)/dz-2tpKR,R2sin(t> = 0 (1.1.6.1)
S£/Sip2=0=>d(tpR2)/dz + 2tpKRlR2sinO = 0 (1.1.6.2)
S£/Sb = 0 => (я,2 +R;)]/dz-8ег(я2 + Ri)tlpb = 0 (1.1.6.3)
= 0 =>d<pjdz + [Зсг/З/2 + 2n2at\b2 (ъ + (я-2/2 /(>)db/dz^j2 -(2лг/з)(/г,2 + ря2) - (лт?2 /я,) cos ф+д = о Сы .6.4)
S£/SR2 =0=> dq>2/dz+ 2aj3tp+2x2at2pb2 j3 + y2tpj6)db/dz^j2
- (2к-/з)(л2 + ря,2) - ( а:л, /л2) cos ф - д = о )б5)
<У35/Л„ = О => (л,2 d<f>Jdz + Л,2 dtp2 jdz) +1/2 (Я2 + Я,2)х х [2я2ст/262 + я2,; /2Ь2 ] [2я2<т62/2 +(x2t2p/6)db/dz- 2aj3t\ ] - (1.1.6.6)
-(лт/3)(л,4 + /г,4 + 2Л,2Я2)- гяЯ.Я, соэФ = о
Уравнения (1.1.6.1) и (1.1.6.2) дают первый интеграл
/,(*)( Л,2 +^22) = И72 =const (1.1.7)
Величина W2 пропорциональна интенсивности импульса с множителем с2.
Из (1.1.6.3) с помощью (1.1.7) можно получить
dtp/dz = 4а Ыр (1.1.8)
Из (1.1.6.4) и (1.1.6.5) получается уравнение для Ф
~^~ = 2Д + [2я(1 -р)/3](Я,2 - Я2) + Я1 cosФ (1.1.9)
Используя (1.1.6.4) и (1.1.6.5), из уравнения (1.1.6.6) получается уравнение для
b(z).
27
{пЬЦб)%г2ф\-2*>*'У/3-К(к?+к! + 2рЯ^)/з(^ + Л22) (1.1.10)
При введении новых переменных Ки(г) = \У1^ ''/а(г), система (1.1.6) трансформируется к более удобному виду [144]:
^- = К/25 тФ, & = -*/,яп Ф,
#2 ск
^ = 2А + [2ф-^Пф?-Я) + к(Л-//' ^со8Ф,(1.1.11)
Интеграл движения выглядит как
УІ2+Л2=І- (11-12)
Уравнение (1.1.12) было использовано при записи правых частей уравнений (1.1.11).
Система уравнений (1.1.11) является основой для приближённого описания распространения оптического импульса в нелинейном двулучепреломляющем волокне. Поскольку найти аналитические решения достаточно затруднительно, необходимо либо сделать дополнительные приближения [147], либо прибегнуть к численному моделированию. Предварительно удобно рассмотреть некоторые известные предельные случаи рассматриваемой задачи.
Лилейный режим распространения
Нели интенсивность входного импульса определённой поляризации столь невелика (/сИ/2 ->0), что нелинейными эффектами можно пренебречь, а импульс противоположной поляризации отсутствует при 2=0, тогда, после линеаризации система (1.1.11) распадается на две несвязанных системы уравнений. Первая описывает периодическое перетекание световой энергии от волны одной поляризации к волне другой поляризации. Это полностью совпадает с хорошо из-
28
всстными уравнениями для направленного ответвителя [151]. Вторая система моделирует уширение импульса вследствие дисперсии групповых скоростей второго порядка [153]. В линейном приближении эти процессы независимы и, следовательно, характеризуются длиной связи поляризованных волн [150] в волокне ЬС = К~' и дисперсионной длиной Ьи=т2р(0)/4|<т| [152]. Нелинейные
процессы связывают эти два независимых в линейном приближении процесса и приводят к появлению нового пространственного масштаба Ьк =!р{0)/к\У2-
керровской длины.
Нелинейный режим распространения
Если интенсивность входного импульса достаточно высока, т.е. керровская длина 4 =tp(0)/к^И/2 порядка 4 или 1С, тогда нелинейные эффекты нельзя
игнорировать и система (1.1.11) должна решаться полностью. Точное решение системы найти в этом случае затруднительно. Однако, если 4»4 или
4 « 4» можно попытаться найти аналитические решения (1.1.11).
Предположим, что дисперсионная длина мала по отношению к длине связи (4 «4). На расстоянии порядка 4 правая часть уравнений (1.1.11) близки к
нулю. Следовательно, поляризационное состояние (вектор / = (4>/2)) может рассматриваться как неизменное. В то же время длительность импульса и фазовая модуляция могут заметно меняться, приводя в итоге к солитону. Поскольку пробная функция (1.1.1) имеет солитоноподобную форму, обсуждать многосо-лионные решения не имеет смысла по той причине, что класс пробных функций (1.1.1) не содержит мультисолитонных решений краевой задачи. Выражение в скобках во втором слагаемом последнего уравнения (1.1.11) может быть заменено на 1 -2(1 - р)/\ [I с учётом равенства (1.1.12). Поскольку /|2 <1 произ-
г2 г2
ведение /| Л мало по сравнению с единицей, и оно может быть или опущено или заменено на произведение «средних» значений, т.е. = /2" = у.
29
Для первого варианта оценки системы, последние два уравнения (1.1.11) могут быть приведены к системе, не содержащей /х или /2:
Лв
—- = 4ст6/
а2 р
аъ 4ст/ 4 2.а 2к1У2 (1.1.13)
= Т С-^--------------7^-
с12 К ] 7Г
В терминах новой переменной г = /р//^(0) уравнение (1.1.13) переписывается
в форме
с12Т _з _2
= -кг /2, (1.1.14)
где у =(16<т2/яг2^(0)) = ^2, ^ = (16<т /г^2/л-2^(0)).
Исключив из последних двух уравнений (1.1.11) переменную Ь и проинтегрировав получившееся уравнение, можно получить интеграл движения
О +и^=и^ (,-,л5>
где и(т) = ут~2 -ут~] и С/0 = (16сг26,2 + У“1/), = 6(7 = 0).
Уравнения (1.1.14) и (1.1.15) могут быть интерпретировны как аналог одномерного движения частицы в потенциальном поле С/(г) [154]. Тогда уравнение
(1.1.14) представляет собой уравнение движения частицы, а уравнение (1.1.15) есть закон сохранения энергии.
Если у<0, и(т) функция монотонно убывает от +со при г = 0 к нулю при
увеличении т. В потенциале такого типа частица движется от начального положения при 2 - 0 в бесконечность при 2 —► со. Это соответствует неограниченному уширению входного импульса в области нормальной дисперсии групповых скоростей. В этом частотном диапазоне параметр у отрицателен и соли-тон не существует. Если к>0, что соответствует области аномальной дисперсии, и[т) равна нулю при т =у/у, имеет минимум при тт =2у/у =я1к/2[.а и стремится к нулю при г ->оо, оставаясь отрицательным при т>т. Движение
30
частицы финитно, если £/(г)<£/0 <0. Это означает, что импульс сохраняет конечную длительность при уширении или сжатии пока не привратится в стационарный импульс с длительностью 1рз“1р(0)т = \ст\/к\У2. Из (1.1.13) видно, что этот стационарный импульс нефазомодулирован (Ь -» 0 при т тт).
Поскольку масштаб пространственной эволюции поляризационного состояния £с значительно превышает , тогда положив (р в первых трёх уравнениях (1.1.11) равной ^р$, можно получить полную систему уравнений для определения /и /2 и Ф(^).
Введя обозначения /2(г) = /(г) и У[(г) = ^1-/(г)]^, втрое и третье уравнение системы (1.1.11) дают
м =-0-/2)''2«>пФ
с>С
2 .4 , (1.1.16)
■соэФ
2
— = 28 + - 2/2)+ Щ=Л соэ Ф ’
где <5 = А/К , // = 2к-(1 - р)\У2/3/р5 АГ, ^ = г/АГ с начальными условиями
/2(С = 0) = 0,Ф(С = 0) = ;г/2. (1.1.17)
Система (1.1.16) имеет интеграл движения
со*Ф = (а/2)/(1 - /2 У* + <5/(1 - /г (1.1.18)
Пусть постоянные распространения для обоих каналов одинаковы, тогда
6 = 0. Замена / (%) = $лг\(у 12) и использование (1.1.18) позволят получить из
(1.1.16) уравнение для у (£):
^- =-2[)-(/у/4)2 вт2^]*
Решение этого уравнения выражается неявно через эллиптический интеграл первого рода:
-2/ = Р(,ф|/4) (1.1.19)
31
Равенство (1.1.19) даёт
соъЧ/(С)=сп{2С]м\/4)
«п^(4') = ^(2^',|а|Л)
Используя функции Якоби, отсюда можно получить явные выражения для нормированных амплитуд импульсов в различных каналах волоконного световода и разности фаз Ф(£):
/Д^)=4-(-1)М2£,///4)]
2 г , а-1,2 (1.1.20)
ф(С) = агссо$[(///4)(1 - сп2(2C.fi/4)' “ ]
Из (1.1.20) следует, что амплитуды различных компонент импульса периодически меняются в пространстве с периодом
20=2К(И/4) (1.1.21)
где К( ) - полный эллиптический интеграл первого рода.
С увеличением интенсивности входного импульса \У2 параметр // растет и период осцилляций 2^ увеличивается. Величина 1сп-2^/2 играет роль нелинейной длины связи в рассматриваемом нелинейном поляризационном ответвителе. Ьсп стремится к бесконечности, когда |//| —» |//с| = 4. При таком критическом значении параметра //
Л2(<Г) = |[1-(-1Г*есА(20], а = 1,2 (1.1.22)
Таким образом, существует критическое значение 1¥с когда, если условие IV = \УС соблюдено, излучение перераспределяется из одной поляризационной компоненты импульса в другую. Критическая величина И'2 задаётся формулой:
=ЬК\с\1к1{\-р) (1.1.23)
Соответствующее значение нормированной керровской длины следует из выражения
/2 1 1 -Р ;
Ч=^,. (1.1.24)
М2)
32
где учтена волновая расстройка б. При больших значениях амплитуды исходного импульса, когда \рс\> 4, пространственное поведение амплитуд импульсов в а-м поляризационном канапе дается выражением:
где использованы ^/«-функции Якоби. Этот результат можно получить либо решив (1.1.16) для случая р>рс, либо прибегнув к правилам преобразования функций Якоби при изменении их модуля непосредственно в выражениях
(1.1.20). Теперь нелинейная длина связи выражается следующей формулой:
Излучение, как следует из (1.1.25), проникает в невозбужденный поляризационный канат не в полной мере, часть его остается в исходном канале. Из (1.1.25) можно найти максимальную величину интенсивности перетекающей в моду с противоположной поляризацией:
Таким образом, с увеличением амплитуды исходного импульса или его интенсивности происходит запирание нелинейного поляризационного ответвителя. Пусть теперь длина дисперсии велика по сравнению с длиной связи >>ЬС. В этом случае можно считать, что на расстоянии масштаба Ьс ушире-
ние импульса не происходит, т.е. гр(г) = гр(0) и Ь(г) = Ь0, и эволюция поляризационных состояний описывется системой (1.1.11) при гр (г) = (0). Вместе с зависимостью от \У2 функции /\(г) и /2{2) определяются выражениями
(1.1.20), (1.1.22) и (1.1.25) при р = 2к[\ -р^\У2р[0^К. Критическое значение
параметра //с =4 не меняется, но критическая величина интенсивности дается формулой
(1.1.25)
(1.1.26)
2
что означает, что при увеличении IV , Ьсп стремится к нулю.
тах^2 =(^72) '-('-'б//*2)*]
33
Таким образом эффект запирания поляризационного канала здесь также имеет место.
Однако истинная длина связи здесь 20,ис ростом W1 условие Ld »Z0 может быть нарушено. Уширение светового импульса из-за дисперсии групповых скоростей уменьшает вклад нелинейного эффекта
(пропорцианального W2) в динамику /(2), что формально выражается в увеличении параметра ц и, возможно, прекращении роста «нелинейной длины связи» ZQ. Замечательно, что, если изменить граничные условия (1.1.17) на следующие:
/2(<Г = 0) = 1А/2,Ф(<Г = 0) = 0,
то уравнения (1.1.16) будут описывать эффект захвата соли-тона [158], который может быть рассмотрен таким же образом. На рис. 1.1.1 показаны фазовые плоскости уравнений (1.1.16) при изменении }л (/^>0) около критического значения /лс = 4. Интегральная кривая, проходящая через точку (/ = 0, Ф = я/2 ) детально обсуждалась выше. Остальные кривые имеют качественный характер. Следует обратить внимание на то, что при М > Мс вместо исчезнувшей стационарной точки (/ = i/n/2, Ф = 0) появились две новые
/2 = 1/21^1 ± (1 - 4//^)М ],собФ = 1
/г</ь
S
S
//>//'
S
Рис. 1.1.1. Фазовые плоскости системы уравнений (1.1.16) при изменении параметра /у в окрестности критического
значения - 4
34
Численный анализ
Для численного анализа удобно переписать систему (1.1.11) в безразмерной форме:
= /, біпФ, ^ = -/,ьтФ
СІТ _ 1
^=Т„пт
(1.1.27)
СІТ] 1 Г1 „2І 2 1
ч 1 V 7гЄк Г3
і Ъл
'-Т “тМ'
где введены следующие обозначения:
П = яф)Ь, 6 = *ё = ЬаК> Ц = ЦК,
эффективный коэффициент нелинейной связи /л (параметр самовоздействия) есть
8 /с(\-р)1У2 і //_3^ ір(0)К 1
(1.1.28)
В качестве характерной длины выбран параметр Ьс = К~1, так что £с = 1СК = 1 .
Следует заметить, что третье уравнение системы (1.1.27) содержит сингулярность в правой части при малых /2. Как следует из первых трёх уравнений системы (1.1.27) малая величина /2 соответствует разности фаз лево- и право поляризованных волн Ф^тс/2. Если предположить, что отклонения иояя/2 от нуля и разности фаз Ф от л/2 пропорциональны, то можно показать, что уравнение для разности фаз в (1.1.26) в линейном приближении выглядит следующим образом
4 і
(1.1.29)
В численном решении уравнение (1.1.29) программно замещало уравнение для разности фаз в (1.1.27) в малой окрестности нулевого значения функции
35
Численные симуляции были проведены для различных значений коэффициента кросс-модуляции р. В расчётах этот коэффициент выбирался р = 0.5.
На рис. 1.1.2. результаты численного решения системы (1.1.27) на плоскости со§Ф уэ/=[/?| в предельном случае к« 1.
Из рисунка видно, что при моделировании процесса распространения с использованием полной системы уравнений происходит при больших интенсивностях световой волны и, следовательно, при меньших (примерно на порядок) значениях £кУ чем это следует из
формулы (1.1.24). Семейство кривых на рис. 1.1.2. и аналогичные кривые на рисунках далее в этом параграфе показывают результаты численного решения системы (1.1.27) при различных граничных условиях для нормализованной амплитуды и разности фаз. Длина трассы прохождения импульса £ является параметром. По мере распространения импульсов связанных волн в волокне, точка, представляющая решение системы уравнений
(1.1.27) многократно перемещается по соответствующим ветвям параметрического графика.
Наличие чётких траекторий свидетельствует о регулярном поведении поля и фазы импульсов вдоль трассы. Кривые на рис. 1.1.2. иллюстрируют полученные
выше в этом параграфе аналитические решения для случая «Ьс (^«1) (см.
рис. 1.1.1). На рис. 1.1.3 представлены нормализованные интенсивности связанных волн |//|2 и |/}|2 как функции расстояния, пройденного в волокне при выполнении граничных условий Ф(0)-71/2. ,Д0)=0 и критической величине коэффициента р=рс=Л.
0.20
040
060
060
1 00
Рис. 1.1.2. Фазовые траектории системы уравнений (1.1.27) при ^"6,4-10*4, 4=10'*, ц-4, р=0.5, 5=0.-
36
Отчётливая БесЬ-форма огибающих соответствует аналитическому результату (1.1.22). В то же время пространственный период осцилляций остаётся конечным, что, по-видимому, свидетельствует о конечной точности выбора численного значения параметра /л. Расчёты показали, что период пространственных осцилляций длительностей поляризационных компонент, распространяющихся в волокне не изменялся. Изменение приведённой дисперсионной длины в пределах 0.1 до 1
Рис. 1.1.3. Нормализованные интенсивности связанных волн Т||2 и |Г2|2 при граничных условиях Ф(0)=я/2> Г(0)=0. Ск=6,А ЮЛ 4г1(Г5, //=/4=4.
показывает ослабевание стабилизирующей роли дисперсии, что ведёт к заметной потере устойчивости решений (Рис. 1.1.4-1.1.6).
В области параметров Ьс » Ьк (£к » 1)
аналитические решения системы (1.1.27) трудно найти даже приближённо. Рисунки 1.1.5, 1.1.6 демонстрируют, как меняется численная картина фазовых траекторий на (собФ.У) плоскости с увеличением интенсивности входного импульса (величина пропорцианальная параметру
V).
На рисунках 1.1.5 и 1.1.6 видно особенно хорошо, что увеличение эффективности нелинейных процессов (или уменьшение керровской длины) вызывает «хаотизацию» в эволюции поляризационных компонент оптического импульса по мере распространения в волокне. Фазовые траектории избегают центральной части (собФ,/) плоскости.
Рис. 1.1.4. Фазовые траектории системы (1.1.27) при 10.0, (л= 1.0, р=0.0021.
37
Рисунок 1.1.7 представляет интенсивности как функции £ для 4=0*1 и
/^=21.2. Соответствующие фазовые траектории располагаются в левой части рисунка 1.1.6. Конкуренция интенсивных процессов керровского сжатия и дисперсионного уширения приводит к периодическому сжатию импульса с ростом £ что должно сопровождаться сильной фазовой модуляцией. Полученный численно режим распространения для высокого уровня интенсивности входного импульса
(Рис. 1.1.6. где 4=0.1) аналогичен эффекту запирания, обсуждавшемуся выше.
Но наблюдаемая в расчётах эволюция амплитуд поляризационных компонент более сложна. Численное моделирование выявило, что дисперсия, когда этот эффект сильнее керровского сжатия
(4^4)» вызывает периодическое
перетекание энергии из одной поляризационной моды в другую.
Фазовые траектории начинают «размазываться» только при приближении параметра самовоздействия // к критическому значению.
Эволюция светового импульса при условии 4»1 определяется первыми
тремя уравнениями системы (1.1.27), причём т(<^) заменяется граничным значением т(0).
Рис. 1.1.6. То же. что и на рис.1.1.2. при 4=0.1, 4=1.0,
ООО 020 0 40 0 60 ООО 100
Рис. 1.1.5. То же, что и на рис.1.1.2, при 4=0.23, 4-1.0, |д=4.0
38
Полученная система описывает периодический поток энергии от волны одной поляризации к волне с противоположной поляризацией [151].
Периодический характер пространственного распределения световой энергии наблюдался также и в численных расчётах, но в то же время, решение полной системы (1.1.27) показывает, что было потеряно в аналитике из-за игнорирования самосогласованности системы (1.1.11).
Рисунок 1.1.8 представляет любопытный пример конкуренции нелинейной керровской компрессии и дисперсионного уширения как раз для случая £с<£&. Пороговое изменение интенсивности поляризационных мод находится в очевидной связи с коллапсом длительности импульса, произошедшими в одной пространственной точке (Рис. 1.1.9). В результате локального сжатия импульса часть энергии каждой из поляризационных компонент остаётся в своём канале, даже, когда дисперсия групповых скоростей все-таки возобладала.
По-видимому, аналитические решения для случая £&»\ [144] могут считаться
полностью адекватными только до момента максимального сжатия им-
Рис. 1.1.7. Нормализованные интенсивности связанных волн |4|2 и |Г2|2 при граничных условиях Ф(0)=тг/2Д0)=0. 4=0.1, 4=10. р=21.2.
Рис. 1.1.8. Длительность одной из поляризационных мод как функция расстояния, пройденного в волокне 4=1.0, 4-15.8, р=4.0.