Поляризационные эффекты при многократном рассеянии света в средах с крупными неоднородностями

Оглавление
Введение 4
1 Метод основных и дополнительных поляризационных мод для решения
векторного уравнения переноса в средах с крупными неоднородностями 17
1.1 Векторное уравнение переноса в циркулярном представлении. Формализм
матричных единиц....................................................... 18
1.2 Матрица однократного рассеяния света на крупных неоднородностях .... 28
1.3 Транспортные уравнения для основных и дополнительных поляризационных мод. ’’Геометрический” и ’динамический” механизмы деполяризации . . 32
2 Многократное рассеяние неиоляризованного света в средах с крупными
неоднородностями 38
2.1 Транспортные уравнения для интенсивности и второго параметра Стокса в
приближении малых углов............................................... 39
2.2 Многократное рассеяние света в тонких слоях .......................... 42
2.3 Угловая и глубинная зависимости интенсивности рассеянного излучения в
условиях сильного поглощения ......................................... 48
2.4 Степень поляризации рассеянного света в сильнопоглощающих средах ... 57
2.5 Многократное рассеяние света в среде с сильными (’'неборновскими”) дискретными неоднородностями ................................................. 60
2.6 Степень поляризации в импульсе........................................ 65
3 Решение векторного уравнения переноса в малоугловом диффузионном
приближении 74
3.1 Уравнения для основных и дополнительных поляризационных мод в приближении Фоккера-Планка.................................................... 75
3.2 Распространение широкого пучка поляризованного света в приближении
диффузии по углам..................................................... 81
3.2.1 Циркулярно поляризованный свет.................................. 81
3 2.2 Линейно поляризованный свет..................................... 85
3.3 Многократное рассеяние узкого линейно поляризованного пучка. Средний
рытовский угол поворота плоскости поляризации......................... 91
СX
1
3.4 Наклонное падение линейно поляризованного света. Поворот ’’тела поляризации” .................................................................... 96
4 Затухание поляризации в средах с крупными неоднородностями 102
4.1 Многократное малоугловое рассеяние циркулярно поляризованного света . 103
4.1.1 Борновские неоднородности...............................................103
4.1.2 ’’Сильные” частицы......................................................109
4.1.3 Вращение эллипса поляризации в среде с пеборновскими частицами . 112
4.2 Деполяризация линейно поляризованного света при многократном рассеянии па малые углы .........................................................118
4.3 Затухание циркулярной и линейной мод в условиях пространственной диффузии. Эффект ’’сохранения” циркулярной поляризации........................127
4.4 Затухание поляризации в световом импульсе .........................................142
4.5 Пределы применимости приближения основных и дополнительных поляризационных мод..............................................................151
5 Когерентные эффекты при многократном рассеянии поляризованного света в средах с крупными неоднородностями 156
5.1 Связь интенсивности поляризованных компонент рассеянного света с функцией Грина векторного уравнения переноса в конусе когерентного обратного рассеяния..................................................................157
5.2 Угловое распределение поляризованных компонент отражённого вблизи направления точно-назад излучения............................................101
5.3 Флуктуации интенсивности в приближении основных поляризационных мод 169
5.4 Теория дальних корреляций параметров Стокса .......................................179
5.5 Дальние корреляции интенсивности при рассеянии поляризованного света в неупорядоченных образцах с крупными неоднородностями ......................185
5.5.1 Флуктуации интенсивности при рассеянии в тонком слое........................187
5.5.2 Дальние корреляции интенсивности в условиях пространственной диффузии .................................................................189
Заключение 195
А Приложения 197
А.1 Приложение А.1................................................................... 197
А.2 Приложение А.2....................................................................197
А.З Приложение А.З....................................................................199
А.4 Приложение А.4....................................................................200
А.5 Приложение А.5....................................................................202
А.б Приложение А.6....................................................................203
А.7 Приложение А.7....................................................................204
А.8 Приложение А.8....................................................................205
А.9 Приложение А.9....................................................................206
2
Литература 209
3
Введение
На рубеже 80-х годов прошлого века была установлена существенная роль интерференции при многократном рассеянии волн различной природы в неупорядоченных средах. Выло обнаружено, что интерференция электронных волн приводит к слабой локализации - уменьшению проводимости металлов с примесями [1,2]. Позже, в середине 80-х. были выполнены эксперименты но наблюдению эффекта слабой локализации электромагнитных волн, проявляющегося как когерентное усиление обратного рассеяния от мутных сред [3-5]. Результаты работ [3--5] дали толчок исследованиям но когерентному транспорту света и стимулировали развитие новых перспективных методов диагностики (диффузионной спектроскопии, дифференциально-поляризационной спектроскопии, оптической томографии и др. (см., например [6.7])). в основе которых лежат эффекты, обусловленные корреляциями между волнами в многократно рассеивающих средах.
Существенную роль при рассеянии электромагнитных волн играют поляризационные эффекты. Различия в угловых распределениях ортогонально поляризованных компонент излучения наблюдались уже в первых экспериментах по когерентному обратному рассеянию [5.8—11]. В последние годы различия в распространении кросс-поляризованных волн широко используются при анализе временных корреляций интенсивности в спектроскопии рассеивающих сред (суспензий, коллоидных растворов и др. 112—18]) и для визуализации оптически неоднородных объектов в биотканях [6,7,19-37]. Методы, основанные на регистрации поляризации рассеянного излучения, также находят применение в зондировании различных природных сред (морская вода, аэрозоли и т.д. [38-45]).
Оптические характеристики отдельной неоднородности сильно влияют на степень поляризации многократно рассеянного излучения. Среди наиболее ярких поляризационных эффектов следует отметить обнаруженные в [12,46] различия в затухании циркулярной и линейной поляризации. В экспериментах по просвечиванию водных суспензий частиц латекса было установлено, что различия в затухании увеличиваются с ростом размера неоднородностей. Этот эффект проявляется также и при когерентном обратном рассеянии света от мутных сред [5,10]. Связь степени поляризации многократно рассеянного излучения с оптическими характеристиками отдельной неоднородности экспериментально исследовалась в [35,36,47-52].
Систематическое исследование поляризации многократно рассеянного света применительно к проблемам астрофизики и атмосферной оптики началось более шестидесяти лег назад. В конце 40-ых - начале 50-ых годов прошлого века Чандрасекар рассмотрел задачу о переносе излучения в астрофизических объектах, для которых основную роль играет рассеяние на свободных электронах и матрица однократного рассеяния является рэлеев-
4
ской (53,54). Та же задача исследовалась в работах Соболева (55,56]. В 1959 году Кучер и Рибарич |57| предложили использовать для параметров Стокса циркулярное представление, что дало возможность построить метод решения векторного уравнения переноса, основанный на разложении искомых величии по обобщенным сферическим функциям |58|. Такой подход является прямым векторным обобщением предложенного ранее (см., например, [59]) разложения решения скалярного уравнения переноса по полиномам Лежандра. Метод (57] в дальнейшем использовался в задачах о рассеянии света в средах с нерэлеев-скими матрицами однократного рассеяния (60-74] (см. также ссылки в (75-77]) и в оптически анизотропных космических средах (см. монографию |78’ и ци тируемую там литературу). В работах (60—66] был рассмотрен глубинный (асимптотический) режим, когда угловое распределение изотропно и излучение ’’забывает” о первоначальной поляризации. Задача о затухании исходной поляризации света в процессе многократного рассеяния в [60-66] не обсуждалась. В работах (67—71] решение векторного уравнения переноса было выражено через решение соответствующей задачи на собственные значения [79]. Численные расчёты на основе предложенного в (67-71) подхода были выполнены в |72-74]. Полученные в [72-74] результаты относятся к случаю, когда размер рассеивателя меньше длины волны и однократное рассеяние слабо отличается от изотропного (см. (80,81]).
В настоящее время, в связи с широким развитием поляризационных методов исследования таких объектов, как суспензии, коллоидные растворы, биоткани, аэрозоли, морская вода и т.д., значительный интерес представляет изучение деполяризации света при многократном рассеянии в средах с крупными (размер а больше длины волны А) неоднородностями. В этом случае однократное рассеяние резко анизотропно, и методы решения векторного уравнения переноса, развитые для плавных индикатрис, оказываются мало эффективны.
Среди работ, посвящённых исследованию распространения поляризованного снега в мутных средах с крупными неоднородностями можно выделить работы (82-96) (см. также |76. 77, 97)), в которых для решения векторного уравнения переноса применяются различные численные методы - прямое численное интегрирование уравнения переноса (82-88,92), разложение параметров Стокса по кратности рассеяния (93), метод Монте-Карло |89-91,94-96|.
В случае многократного рассеяния на малые углы удаётся получить приближённые аналитические решения векторного уравнения переноса |98—1011. Полученные в (98— 1011 результаты применимы, когда степень поляризации многократно рассеянного света мало отличается от единицы и можно пренебречь ’’геометрическим” (см. ниже) механизмом деполяризации. Эго обстоятельство не позволяет использовать подход (98-101) для вычисления коэффициентов затухания поляризации света.
Недавно для решения векторного уравнения переноса был предложен метод моментов (102,103), в рамках которого пространственно-угловое распределение излучения параметризуется в гауссовом виде с корреляционными функциями и дисперсиями, выраженными через пространственные моменты параметров Стокса. Пространственные моменты вычисляются с помощью системы зацепляющихся уравнений (первые моменты удаётся вычислить в явном виде).
Имеется ряд работ [104-111|, в которых для расчета поляризации многократно рассе-
5
янного света использовались подходы, отличающиеся от решения векторного уравнения переноса.
В (104,106 108) в длинноволновом пределе найдено решение уравнения Беге-Солпитера дня матрицы плотности рассеянного электромагнитного поля, записанного в импульсном представлении. Решение сведено к задаче на собственные значения для коэффициентов затухания элементов матрицы плотности. Проведённые в [104,106—108| вычисления соответствуют диффузионному приближению для каждого из элементов матрицы плотности. Такой подход можно рассматривать только как качественный, поскольку затухание недиагональных элементов матрицы плотности происходит на расстояниях порядка транспортной длины ilr (ltr — lj( 1 — (cos7))s I - длина свободного пробега относительно упругого рассеяния, (cos 7) - средний косинус угла однократного рассеяния) и диффузионный подход для их расчёта использовать нельзя.
В (105.110,111] для нахождения поляризации рассеянного света использовался метод случайных матриц. Условия применимости результатов (105,110,111], по-существу, совпадают с ограничениями, накладываемыми диффузионным приближением. Результат (110| дня длины затухания циркулярной поляризации повторяет результат [112), который был получен ранее с помощью решения векторного уравнения переноса (см. главу 4 диссертации). Затухание линейной поляризации на заданной длине пути рассмотрено в |105,Ш]. Однако, на основе результата 1111) нельзя определить коэффициент затухания поляризации с глубиной, поскольку деполяризация происходит на длинах порядка транспортной длины, где связь распределения по путям с глубиной неизвестна (диффузионное распределение в этом случае неприменимо). По той же причине результаты (105] для поляризационных характеристик света в конусе когерентного обратного рассеяния следует рассматривать как качественные оценки.
Феноменологический подход к описанию деполяризации света был предложен в |109|. Элементы матрицы плотности параметризовались через материальные коэффициенты среды, которые предполагалось определять из опыта.
Несмотря на значительное количество экспериментальных работ и численных расчётов, посвящённых исследованию транспорта поляризованного света, теории многократного рассеяния света в средах с крупными неоднородностями, опирающейся на решение векторного уравнения переноса и объясняющей основные наблюдаемые поляризационные эффекты, до недавнего времени не было. Однако существует ряд особенностей распространения света в среде с крупными неоднородностями, которые позволяют развить приближённый метод решения векторного уравнения переноса [ 112—124].
Имеются два фундаментальных механизма деполяризации света в рассеивающей среде (125-127). Один из них - ’’геометрический” механизм - обусловлен рытовским поворотом плоскости поляризации [128]. При распространении света вдоль неплоской траектории плоскость поляризации поворачивается согласованно с искривлением светового луча. При многократном рассеянии в среде плоскости поляризации лучей, двигавшихся вдоль различных случайных траекторий, становятся хаотически ориентированными, и по мере изотропизации пучка но направлениям наступает деполяризация света. Длина затухания поляризации по порядку величины совпадает с транспортной длиной ltr ~ //(7)2 ”> поэтому, ’’скорость” геометрической деполяризации пропорциональна среднему квадрату угла
6
однократного рассеяния {у)2. "Динамический” механизм деполяризации обусловлен различием амплитуд однократного рассеяния А \ и волн, поляризованных параллельно и перпендикулярно плоскости рассеяния |126|. По мере нарастания различий в амплитудах кросс-поляризованных компонент напряжённости электрического моля поляризация затухает. "Скорость” динамической деполяризации определяется квадратом разности Ai — /li|2 и для крупномасштабных неоднородностей оказывается пропорциональной четвертому моменту угла однократного рассеяния, |.4ц — /Щ2 ~ (74).
Существование двух механизмов деполяризации является причиной различий в затухании линейно и цнркулярно поляризованных волн При рассеянии линейно поляризованного света действу ют оба механизма деполяризации. Деполяризация циркулярно поляризованною света происходит только за счёт "динамического” механизма (поляризованный по кругу свет представляет собой суперпозицию кросс-поляризованных волн равной амплитуды, сдвинутых но фазе на 7г/2; рытовский поворот не меняет фазовых и амплитудных соотношений между ними) [112]. В зависимости от оптических характеристик рассеивающих неоднородностей, их формы и распределения по размерам, ’’геометрический” механизм может быть главным или играть роль того же порядка, что и ’’динамический” механизм Поэтому уменьшение степени поляризации прошедшего излучения с ростом толщины рассеивающего слоя существенно зависит от характеристик однократного рассеяния. В средах с крупномасштабными неоднородностями, когда однократное рассеяние происходит преимущественно на малые углы и (74) <§С (т2), возникает иерархия ’’скоростей” затухания различных поляризаций В этих условиях можно выделить относительно быстрый - ’’геометрический” - и медленный - ’’динамический” - процессы В частности, относительно малая скорость ’’динамической” деполяризации света объясняет обнаруженный в эксперименте [12,46,47] эффект ’’сохранения'’ циркулярной поляризации
Тот факт, что в условиях резкой анизотропии однократного рассеяния разиичия в амплитудах 4у и Aj_ малы, позволяет развить приближенный метод расцепления векторного уравнения переноса, записанного в циркулярном представлении [57|. В первом приближении можно пренебречь недиагональными элементами матрицы однократного рассеяния В результате, исходное матричное уравнение переноса расцепляется на три независимых уравнения скалярного типа для основных поляризационных мод - скалярной (интенсивности), циркулярной и линейной. В следующем приближении ’’взаимодействие” между основными модами приводит к возбуждению дополнительных мод - ’’обертонов” Транспортные равнения для обертонов содержат ’’источники” - слагаемые, пропорциональные основным модам.
Решение векторного уравнения переноса оказывается важным не только для описания транспорта света, но и для анализа когерентных эффектов, обусловленных интерференцией волн при многократном рассеянии.
На рубеже 70-ых годов был предсказан [129,130], а в середине 80-ых - экспериментально обнаружен эффект когерентного усиления обратного рассеяния света |3-5]. Волны, проходящие в неупорядоченной среде по одним и тем же траекториям в противоположных направлениях, при условии симметрии процесса многократного рассеяния относительно обращения времени, набирают одинаковые фазы. Когерентное сложение волн при отражении от случайной среды приводит к возникновению в угловом распределении обратнорас-
7
сеянных фотонов в направлении "точно назад" резкого пика (с угловой шириной порядка Л/1,г)
Кроме когерентного обратного рассеяния, из-за интерференции воли возникают случайные флуктуации интенсивности. При прохождении через систему неподвижных центров фаза многократно рассеянной волны зависит от их пространственного расположения |131]. Интерференция волн, рассеянных на случайно расположенных центрах, образует спекл - угловое распределение интенсивности рассеяного света имеет ’’пилообразную" структуру (см., например, [10]). Усреднение спекла по различным конфигурациям расположения рассеивателей даёт среднее значение интенсивности (/), которое подчиняется скалярному уравнению переноса. Сильные отклонения от фона обусловлены интерференцией волн и не описываются теорией переноса.
При рассеянии электромагнитных волн когерентность может сохраняться как между одинаково поляризованными волнами, так и между волнами со взаимно ортогональной поляризацией Длина, на которой затухает когерентность между кросс-поляризованпыми волнами, существенно зависит от оптических характеристик отдельных неоднородностей В частности, в средах с крупными рассеивателями к росс-корреляции между различно поляризованными нолями исчезают значительно позже наступления пространственной диффузии 112, 46,47]. Относительно медленное затухание корреляций между кросс-по-ляризоваииыми волнами приводит к возникновению новых, но сравнению со скалярным случаем, когерентных явлений при многократном рассеянии поляризованного света.
Теоретическое описание когерентного обратного рассеяния основано на суммировании ’’веерных" диаграмм и может быть сведено к решению уравнения переноса [ 130] Большинство теоретических исследований когерентного обратного рассеяния основаны на скалярном приближении (см , например, [132 137]). Поляризационные эффекты рассматри-вались только в небольшом числе работ 1104,138—14Т| Наиболее подробно исследованы поляризационные особенности пика обратного рассеяния для сред с рэлеевскими рассеивателями [104,138-140,143,144]. Случай крупномасштабных неоднородностей теоретически исследован в меньшей степени. Аналитические результаты получены в приближении двукратного рассеяния [146,147]. Имеющиеся численные расчёты [87,141,142] относятся к вычислению фактора усиления рассеяния точно-назад. Данные об угловом распределении поляризованных компонент излучения в окрестности направления назад, были получены только методом Монте-Карло и относятся к случаю, когда анизотропия однократного рассеяния выражена достаточно слабо [145]. Аналитической теории когерентного обратного рассеяния света от сред с крупными неоднородностями, которая описывала бы форму углового распределения поляризованных компонент отраженного света и объясняла бы наблюдаемые в экспериментах закономерности, до последнего времени не существовало
Поляризационные эффекты в спеклах исследовались в работах (148-155] В частности, в 1155] для гауссовой статистики [ 156] найдена функция распределения флуктуаций параметров Стокса и показано, что дисперсии и корреляционные функции выражаются через средние значения флуктуирующих величии. Сделанные в [155] качественные выводы опираются на результаты, справедливые для сред с рэлеевскими рассеивателями, где деполяризация циркулярно и линейно поляризованного света наступает одновременно на длинах порядка длины свободного пробега. Поэтому поляризационные эффекты, возни-
8
кающие при рассеянии электромагнитных поли в средах с крупными неоднородностями и связанные с различиями в затухании циркулярной и линейной поляризации, объяснить в рамках сделанных в [155] допущений не удаётся.
Что касается дальних корреляций интенсивности, то поляризационные эффекты в них вообще не рассматривались. Как известно, главным источником крупномасштабных флуктуаций интенсивности является расплывание в пространстве при многократном рассеянии локального всплеска интенсивности, возникающего в объеме среды из-за интерференции волн 1157,158]. При учете векторной природы света появляется дополнительный, обусловленный когерентностью между кросс-поляризованными волнами, поляризационный вклад в объёмный спекл, который существенно влияет на величину флуктуаций интенсивности, и заметен на расстояниях, намного превышающих длину затухания поляризации [159].
Целью настоящей диссертации является создание метода решения векторного уравнения переноса в приближении основных и дополнительных поляризационных мод, и объяснение с его помощью поляризационных эффектов, наблюдаемых при многократном рассеянии электромагнитных волн в неупорядоченных средах.
Остановимся кратко на содержании диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и девяти приложений. В первой главе сформулирован метод решения векторного уравнения переноса в приближении основных и дополнительных поляризационных мод. В остальных главах этот метод применяется для описания поляризационных эффектов. возникающих при многократном рассеянии света. Во второй главе вычислены интенсивность и степень поляризации в случае рассеяния первоначально неполяризованного излучения. Третья глава посвящена решению век горного уравнения переноса в приближении Фоккера-Планка. В четвертой главе проанализирована деполяризация циркулярно и линейно поляризованного света в реальных средах. В пятой главе изложены результаты исследований когерентного обратного рассеяния поляризованного света, векторной статистики и дальних пространственных корреляций параметров Стокса рассеянного излучения. В приложениях приведены вычисления, на основании которых получен ряд наиболее важных формул.
В первой главе развит приближённый метод решения векторного уравнения переноса - метод поляризационных мод - основанный на малости отношения недиагональных и диагональных элементов матрицы однократного рассеяния в средах с крупномасштабными неоднородностями.
В разделе 1.1 показано, что в циркулярном представлении матрицу плотности электромагнитного поля можно представить в виде разложения но матричным единицам |Ш)|. Эго является обобщением известного разложения матрицы плотности в линейном представлении по матрицам Паули (161,162]. Развитый формализм значительно упрощает вычисление второго и четвёртого моментов поля с учетом когерентных эффектов, возникающих при многократном рассеянии поляризованного света в мутных средах с крупными неоднородности N1 и.
Рассеяние света на крупных неоднородностях происходит преимущественно вперёд. Поэтому величины амплитуд рассеяния кросс-поляризованных волн близки друг к другу и недиагональные элементы матрицы рассеяния малы по сравнению с диагональными. В
9
разделах 1.2, 1.3 изложен метод решения векторного уравнения переноса в циркулярном представлении 1112—124|. В разделе 1.2 рассмотрены особенности матрицы однократного рассеяния на крупных неоднородностях. Показано, что иедиагоиальные элементы матрицы рассеяния в области малых углов, куда преимущественно рассеивается излучение, малы по сравнению с диагональными Указанные свойства проиллюстрированы на примерах сферических частиц, для которых элементы матрицы рассеяния рассчитаны по теории Ми [163], моделях облачной среды Claud 1 [164] и морской воды [38].
В разделе 1.3, в предположении о малости иедиагональных элементов матрицы однократного рассеяния, построена теория возмущений, позволяющая ’’расцепить" векторное уравнение переноса. Она основана на выделении основных и дополнительных мод. Взаимодействие между основными поляризационными модами в предположении о сильной вытянутости индикатрисы является слабым и в первом приближении им можно пренебречь. В этом приближении основные моды - скалярная (интенсивность), циркулярная и линейная - подчиняются трем независимым транспортным уравнениям. Уравнение для интенсивности совпадает со скалярным уравнением переноса. В уравнениях для циркулярной и линейной поляризационных мод содержатся слагаемые, отвечающие за дополнительное, по сравнению с уравнением для интенсивности, эффективное "поглощение”. Это дополнительное ’’поглощение” отвечает за затухание поляризации. Для основной моды циркулярной поляризации дополнительное поглощение обусловлено различиями между амплитудами однократного рассеяния кросс-иоляризованных волн (т.е. динамической деполяризацией). В уравнении для основной моды линейной поляризации, помимо слагаемого, отвечающего за "динамическое” поглощение, есть слагаемое, пропорциональное транспортному коэффициенту рассеяния о1т = 1^}, и определяющее "геометрическое” поглощение.
В следующем приближении учитываются недиагональные элементы матрицы однократного рассеяния. Они определяют взаимодействие между основными модами и приводят к возбуждению дополнительных мод - "обертонов”. В качестве "источников" в уравнениях для обертонов выступают основные поляризационные моды. Решения этих уравнений позволяют определить величину обертонов как результат первой итерации в векторном уравнении переноса по малым величинам иедиагональных элементов матрицы рассеяния. Учёт обертонов позволяет найти такие характеристики, как угол поворота эллипса поляризации, степень поляризации диффузно отражённого излучения, интенсивность деполяризованной компоненты при когерентном обратном рассеянии и другие.
В последующих главах метод основных и дополнительных мод используется для решения векторного уравнения переноса в практически важных случаях пространственной диффузии и малоуглового многократного рассеяния электромагнитных волн.
Вторая глава посвящена изучению поляризационных эффектов, возникающих при многократном рассеянии неноляризованного света |165-169]. В этом случае из основных мод "возбуждается" только скалярная мода. Векторная природа света сказывается в следующем приближении, когда учитывается обертон линейной поляризационной моды. В этом случае рассеянное излучение представляет собой суперпозицию неноляризованного и линейно поляризованного пучков.
10
Многократное рассеяние неполяризованого света в условиях пространственной диффузии, когда угловое распределение интенсивности изотропно, хорошо изучено (54,56,59. 64-67,170,171|. Поэтому в этой главе предполагается, что многократное рассеяние носит малоугловой характер.
В разделе 2.1 в приближении малых углов выведено уравнение переноса для второго параметра Стокса - обертона линейной поляризационной моды. Показано, что для вычисления степени поляризации необходимо детально знать форму углового распределения и глубинную зависимость интенсивности излучения.
В случае сильно вытянутых индикатрис однократного рассеяния перенос излучения удовлетворительно описывается в рамках модели Фоккера-Плаика (т.е., в приближении диффузии по углам) 1172,173). Однократное рассеяние в реальных средах с хорошей точностью описывается индикатрисами, которые убывают с ростом угла рассеяния по степенному закону (~ 7-л, а > 2). В частности, показатель а = 11/3 отвечает рассеянию света в турбулентной среде (спектр Колмогорова-Обухова) (174,175]. Индикатриса с показателем а = 3 {модель Хеньи-Гринстейна) часто используется для описания рассеяния света в аэрозолях, биотканях и водной среде [176,177]. Индикатрисы с показателем близким к cv = 2 описывают рассеяние света в веществе вблизи точки фазового перехода (177-180]. Для индикатрис степенного вида приближение Фоккера-Планка неприменимо. Поэтому, чтобы количесгвенно описать рассеяние света в реальных средах, необходимо выйти за рамки приближения диффузии по углам |181]. Эта задача решена в разделах 2.2-2 4. в которых найдено приближенное аналитическое решение уравнения для интенсивности и вычислена степень поляризации многократно рассеянного излучения в средах со степенными индикатрисами однократнот рассеяния [174-180].
Из полученных в разделах 2.2-2.4 результатов следует, что в угловом распределении интенсивности можно выделить две области: ’’купол” - область малых углов отклонения, и ’’крылья”. ’’Купол” образован многократно рассеянными под малыми углами волнами. ’’Крылья" формируются за счёт многократного рассеяния на малые углы и одного рассеяния на большой угол. Угловое распределение на ’’крыльях” убывает по тому же закону, что и индикатриса однократного рассеяния (~ $~а). В поглощающей среде, из-за потери сильно отклонившихся фотонов, угловое распределение убывает быстрее (~ 0~а~2). Что касаегся степени поляризации, нормированной на квадрат угла отклонения, то в области ’’купола” её величина зависит от показателя а. На ’’крыльях” распределения степень поляризации не зависит от cv и равна степени поляризации однократно рассеянного света,
Р * Psinsie = -в2/2.
Для индикатрис с показателем убывания а = 2 ’’купол” в угловом распределении отсутствует, и степень поляризации во всём интервале углов равна Pnngic = -О'2j2. В асимптотическом режиме, когда угловая и пространственная зависимости интенсивности факторизуются, форма углового распределения такая же, как и при а > 2.
13 разделе 2.5 рассмотрено распространение света в среде с сильными (’’неборновеки-ми") рассеивателями. Показано, что в этом случае зависимость степени поляризации от глубины, в отличие от борновских рассеивателей, немонотонна.
В разделе 2.6 вычислена временная зависимость степени поляризации света в прошедшем через многократно рассеивающий слой импульсном сигнале. Найдено, что степень
11
поляризации при 2 > а < 4 не зависит от запаздывания и совпадает со степенью поляризации в стационарного пучка.
В третьей главе впервые получены и аналитически решены уравнения типа Фоккера-Планка для основных и дополнительных поляризационных мод 1113,114,118,182|.
В разделе 3.1 выведены уравнения типа Фоккера-Плапка для циркулярной, линейной и дополнительных поляризационных мод.
В разделе 3.2 решена задача о затухании циркулярной и линейной поляризации в условиях малоуглового многократного рассеяния. Показано, что деполяризация в обоих случаях наступает на глубинах, намного превышающих асимптотическую длину. Также показано, что динамический механизм подавлен по сравнению с механизмом геометрической деполяризации и циркулярная поляризация затухает значительно медленнее, чем линейная. Установлено, что дополнительные моды определяются взаимодействием между скалярной и линейной поляризационными модами. Обертоны, возникающие за счёт взаимодействия между комплексно сопряженными компонентами линейной моды, имеют дополнительную малость но углу однократного рассеяния (т5) «С 1) [113,118].
В разделах 3.3. 3.4 решена задача о малоугловом многократном рассеянии узкого линейно поляризованного пучка в геометрии нормального и наклонного падения. Обнаружено, что векторная природа электромагнитных волн особенно ярко проявляется в отсутствие азимутальной симметрии задачи. В этих условиях среднее значение рытовского угла поворота
где <5х« ~ изменение угла поворота плоскости поляризации относительно начальной ориентации после г-го акта рассеяния, {...)- усреднение по случайному ансамблю рассеивателей, оказывается отличным от пуля. В результате, пространственная ориентация плоскости поляризации многократно рассеянного света отличается от первоначальной. Показано, что этот эффект должен наблюдаться при падении узкого и наклонном падении широкого линейно поляризованных пучков. Дисперсия рытовского угла поворота плоскости поляризации
ответственна за затухание основной моды линейной поляризации. Наблюдаемое на опыте затухание линейной поляризации наступает на глубинах порядка транспортной длины упругого рассеяния, когда дисперсия (<5х2) становится порядка единицы, (<5х2) ~ 1.
С ростом глубины излучение в результате геометрической деполяризации ''забывает" о начальной поляризации и задача сводится к вычислению степени поляризации узкого неполяризованного пучка (см. конец раздела 3.3).
В условиях наклонного падения линейно поляризованного света вычислена глубинная зависимость угла, под которым наблюдается максимум степени поляризации Показано, что с ростом глубины величина этого угла уменьшается и в асимптотическом режиме стремится к нулю. Этот эффект, по аналогии с поворотом "тела яркости” (уменьшением угла,
12
под которым наблюдается максимум интенсивности) |183-185|, можно назвать поворотом "тела поляризации" Обнаружено, что угловые положения максимумов интенсивности и степени поляризации не совпадают
Четвертая глава содержит результаты исследований закономерностей затухания циркулярной и линейной поляризации в реальных средах с крупными рассеивателями (водных суспензиях, облачной среде и др) в двух предельных случаях распространения - в условиях малоуглового многократного рассеяния и в режиме пространственной диффузии [112,116,117,119-124,186-189].
В разделе 4 1 решена задача о малоугловом многократном рассеянии циркулярио поляризованного пучка в поглощающей среде с борцовскими (подраздел 4.1 1) и неборновскими (подразделы 4 1 2, 4 1 3) сферическими частицами Вычислена длина затухания степени поляризации Установлено, что деполяризация циркулярио поляризованного света наступает на глубине, намного превышающей асимптотическую длину В приближении малых углов выведено уравнение переноса для третьего параметра Стокса - обертона, возникающего в результате взаимодействия основных мод циркулярной и линейной поляризации Решена задача о деполяризации циркулярио поляризованного света в средах с оптически менее плотными, чем окружающая среда, рассеивателями. Показано, что в таких образцах должен наблюдаться поворот эллипса поляризации (раздел 4 13} Этот эффект возникаем из-за ненулевого сдвига фаз однократно рассеянных кросс-поляризовапных воли и связан с нарушением симметрии задачи относительно зеркального отражения в плоскости, перпендикулярной направлению распространения фотона.
В разделе 4 2 рассмотрено малоугловое многократное рассеяние линейно поляризованного пучка в среде со сферическими частицами [121] Показано, что, как и в случае циркулярной поляризации, деполяризация линейно поляризованного света наступает значительно позже перехода, к асимптотическому режиму распространения Из-за преобладающей роли геометрического механизма деполяризации линейно поляризованного света. отношение показателей затухания линейной и циркулярной поляризации оказывается больше единицы и растет но мере увеличения размера отдельного рассеивателя
В разделе 4.3 рассмотрена деполяризация света в режиме пространственной диффузии излучения, который реализуется в большом числе экспериментов (см , например, 112,46,47]) В приближении основных и дополнительных поляризационных мод найдено решение векторного уравнения переноса Использованный при решении метод - разложение поляризационных мод по обобщённым сферическим функциям |60—74] - является развитием хорошо известного в скалярной теории подхода, основанного на разложении интенсивности по полиномам Лежандра [59] Вычислены коэффициенты затухания циркулярной и линейной поляризации. Показано, что в асимптотическом режиме в условиях слабого истинного поглощения, в разложении основных поляризационных мод достаточно ограничиться двумя слагаемыми, а в разложении обертонов - одним Установлены п вычислены основные интегральные характеристики матрицы однократного рассеяния, определяющие качественную картину деполяризации света в мутных средах с крупными неоднородностями Показано, что вклад геометрического механизма, в зависимости от особенностей матрицы однократного рассеяния, либо больше, либо того же порядка что и
13
вклад динамического механизма деполяризации. В частности, в случае распространения света в водной суспензии частиц латекса |112| динамический механизм оказывается подавленным, что объясняет эффект относительно медленного (в масштабах транспортной длины) затухания циркулярной поляризации (12,46.47). Результаты проведенных расчетов степени поляризации прошедшего через рассеивающий слой излучения удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными |4б,47| и с результатами численного моделирования [46,50,82).
В разделе 4.4 в приближении основных поляризационных мод рассмотрена деполяризация света в коротком импульсе. Вычислена степень поляризации для случаев цирку-лярио и линейно поляризованного света. Расчёты проведены для среды со сферическими частицами и в рамках модели Фоккера-Планка. Показано, что теоретические результаты хорошо согласуются с результатами численного моделирования (86). Как и в стационарном случае, при рассеянии циркулярно поляризованного сигнала наблюдается эффект "медленного" затухания циркулярной поляризации - импульс остается поляризованным при больших запаздываниях, когда угловое распределение излучения уже изотропно. В случае рассеяния линейно поляризованного импульса степень поляризации отлична от нуля только при малых запаздываниях. Время затухания линейной поляризации не превышает транспортное время упругого рассеяния. Обнаружено, что степень линейной поляризации рассеянного света не зависит от толщины образца.
В пятой главе изучено влияние корреляций между кросс-поляризованными волнами на интерференционные эффекты, возникающие при многократном рассеянии света в неупорядоченных средах. В рамках приближения основных и дополнительных поляризационных мод рассчитаны поляризационные характеристики рассеянного света в конусе когерентного обратного рассеяния, а также вычислены функции распределения и корреляционные функции интенсивностей поляризованных компонент излучения |112,114,124, 159,190,191].
В разделах 5.1, 5.2 рассмотрен эффект когерентного усиления обратного рассеяния поляризованного света.
В разделе 5.1, с помощью формализма матричных единиц (см. раздел 1.1), интерференционный вклад в параметры Стокса отраженного излучения выражен через элементы функции Грима векторного уравнения переноса, записанного в циркулярном представлении.
В разделе 5.2, в приближении основных и дополнительных поляризационных мод, вычислены угловые распределения поляризованных компонент излучения, отраженного вблизи направления точно-назад. Проанализирована роль геометрического и динамического механизмов деполяризации при интерференции электромагнитных волн. Показано, что в конусе когерентного обратного рассеяния "рытовский” механизм в силу симметрии кручения траекторий приводит к полной деполяризации отраженного излучения. Когерентная составляющая обратнорассеянного излучения в приближении основных мод определяется только вкладами скалярной (интенсивности) и циркулярно поляризованных мод.
Для линейно поляризованного света когерентное обратное рассеяние излучения без
14
изменения поляризации в приближении основных мод определяется интенсивностью и может быть описано в рамках скалярной теории Когерентное обратное рассеяние ортогонально поляризованной компоненты обусловлено корреляциями между кросс-поляри-зованными волнами, которые исчезают по мере затухания циркулярно поляризованной моды. Это объясняет обнаруженный ещс в первых экспериментах |5,10] рост величины интенсивности кросс-гюляризованной компоненты по мере увеличения размера неоднородностей и уменьшения затухания циркулярной поляризации.
В случае рассеяния циркулярно поляризованного света, за интерференцию волн, отражённых без изменения поляризации, отвечают скалярная и циркулярно поляризованная моды. Угол раствора треугольного пика в угловом распределении излучения оказывается в два раза большим, чем для линейно поляризованных волн Когерентное усиление обратного рассеяния волн с противоположной круговой поляризацией определяется дополнительной модой линейной поляризации (в приближении основных поляризационных мод оно вообще отсутствует). Поэтому, в отличие от случая отражения без изменения поляризации, интенсивность соответствующей компоненты значительно меньше, а угловая зависимость более плавная.
В разделе 5.3 исследована векторная статистика многократно рассеянного поляризованного света. Показано, что в приближении основных поляризационных мод функции распределения интенсивностей поляризованных компонент излучения выражаются через степень поляризации прошедших через слой среды первоначально циркулярно и линейно поляризованных волн. Обнаружено, что при падении двух ортогонально поляризованных некогерентных между собой пучков, функция распределения полной интенсивности п функции распределения интенсивностей поляризованных компонент из-за различий в деполяризации циркулярно и линейно поляризованных волн могут существенно отличаться как от рэлеевского распределения, так п от функции распределения неполяризованного света.
В разделе 5.4 построена векторная теория дальних корреляций параметров Стокса многократно рассеянного света. С помощью формализма матричных единиц корреляционные функции параметров Стокса выражены через элементы функции Грина векторного уравнения переноса, записанного в циркулярном представлении. Полученные соотношения обобщают результаты скалярной теории [157,158]
В разделе 5.Г), в приближении основных поляризационных мод, вычислены спектр пространственных флуктуаций и корреляционная функция между локальными значениями плотности потока выходящего из среды излучения. Показано, что спектр флуктуаций можно представить в виде суммы трёх слагаемых. Первое слагаемое обусловлено интерференцией воли одинаковой поляризации и определяется скалярной модой. Второе и третье слагаемые описывают поляризационный вклад в корреляции. Они связаны с сохранением когерентности между кросс-поляризованными полями и определяются основными модами циркулярной п линейной поляризации
Когерентность между кросс-поляризованными волнами вызывает дополнительную неоднородность объемного спекла, масштаб которой совпадает с длиной деполяризации света. Показано, что поляризационный вклад в дальние корреляции интенсивности убывает степенным образом и может быть значительным на расстояниях, намного превышающих
15
длину деполяризации. В частности, поляризационный вклад в относительную величину дисперсии коэффициента прохождения циркулярно поляризованного света вообще не зависит от толщины образца. Это обстоятельство позволяет предложить новый метод измерения длины затухания циркулярной поляризации, основанный на изменении степени круговой поляризации падающего света при фиксированной толщине образца.
В целом, в диссертации развита теория поляризационных эффектов при многократном рассеянии света в средах с крупными неоднородностями. Разработан метод решения векторного уравнения переноса - приближение основных и дополнительных поляризационных мод. Вычислены параметры Стокса электромагнитных волн для практически важных случаев пространственной диффузии и малоуглового многократного рассеяния излучения. Построена векторная теория интерференционных явлений, возникающих при многократном рассеянии электромагнитных волн. Разработанный в диссертации метод позволяет объяснить и количественно описать уже обнаруженные и предсказать новые поляризационные эффекты, возникающие при многократном рассеянии излучения. Метод является принципиально важным для векторной теории рассеяния электромагнитных волн в случайных средах, а результаты, полученные с его помощью, могут быть использованы в оптических исследованиях сильнорассеивающих сред.
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [112-124,159.165-169,182. 186-191]. Эти результаты докладывались на Международной конференции по физике атмосферного аэрозоля (1999), International Radiation Simposium (2000), International Conference "Current Problems in Optics of Natural Waters" (2001,2003,2007.2011), Международный симпозиум по атмосферной радиации (2004,2011), International Workshop он Multiple Scattering Lidar Experiments (2004), Международной конференции "Поляризационная оптика - 2008" (2008), Научных сессиях МИФИ (1998-2011).
16
Глава 1
Метод основных и дополнительных поляризационных мод для решения векторного уравнения переноса в средах с крупными неоднородностями
Векторное уравнение переноса представляет из себя систему из четырех зацепляющихся между собой интегро-дифференциальных уравнений, описывающих изменение параметров Стокса при многократном рассеянии. Решить эту систему в общем случае произвольной матрицы однократного рассеяния найти не удаётся. В данной главе изложен приближённый метод решения векторного уравнения переноса, записанного в циркулярном представлении, в основе которого лежит предположение о сильной вытянутости индикатрисы однократного рассеяния. В этом случае удаётся выделить основные и дополнительные поляризационные моды и "расцепить” исходную систему уравнений. Взаимодействие между основными поляризационными модами определяется значениями недиагональных элементов матрицы однократного рассеяния, которые в предположении о сильной вытянутости индикатрисы являются малыми. В пренебрежение недиагональными элементами матрицы рассеяния для основных поляризационных мод - скалярной (интенсивности), циркулярной и линейной получены три независимых уравнения скалярного типа. В следующем приближении, когда учитываются недиагональные элементы матрицы однократного рассеяния, взаимодействие между основными модами приводит к возбуждению дополнительных мод ("обертонов”). Обертоны также подчиняются транспортным уравнениям скалярного типа. "Источниками” в этих уравнениях являются основные поляризационные моды. Решения уравнений для обертонов позволяют определить величину недиагональных элементов функции Грина как результат первой итерации в векторном уравнении переноса по относительно малым величинам недиагональных элементов матрицы одно красного рассеяния.
Результаты этой главы опубликованы в 1112-124].
17
Рис. 1.1:
1.1 Векторное уравнение переноса в циркулярном представлении. Формализм матричных единиц
Векторное уравнение переноса излучения можно вывести либо опираясь на закон сохранения энергии электромагнитного поля [54, 56. 78), либо используя диаграммную технику, развитую в статистической теории многократного рассеяния волн (см., например, [192-196]). В этом разделе, с помощью матричных единиц [160], дан оригинальный вывод векторного уравнения переноса в циркулярном представлении. Формализм матричных единиц оказывается весьма удобным при описании когерентного транспорта поляризованного света (см. главу 5).
Пусть на слой толщины I (0 < г < Ь), состоящий из случайным образом расположенных рассеивателей, по нормали к поверхности падает поляризованный световой пучок (рис. 1.1). Рассеиватели предполагаются оптически изотропными.
Задача о вычислении углового распределения и поляризационных характеристик рассеянного излучения сводится к нахождению усредненных по реализациям {ИД положений рассеивателей величин
Оп,г\) = (СДгьг',)), Г$1(г1,г2;Г'1,г'2) - <С1к(г„г\)С;((г2,г'2)}, (1.1)
где (^(г, г') - иропагатор светового поля в среде (см., например, 1192--194]). В условиях слабой локализации А <£ / (А - длина волны, I - длина свободного пробега) основной вклад
18
+ А
= +
+ . =
Рис. 1.2:
в моменты (1.1) дают суммы диаграмм лестничного типа Г(1) ^ Г^ « С(2\ [192-194] (рис. 1.2). Транспортные уравнения, получающиеся в результате суммирования таких диаграмм, в операторном виде совпадают с аналогичными уравнениями для скалярного поля.
Первый момент подчиняется уравнению вида
<5(1> = 6(0) + 6(0> ^ Д,<5(|)
(1.2)
6<°) = -(V х V - к$ - Ю)-1 - функция Грина свободного волнового уравнения для ком-понент элек'грического поля, ра - тензор рассеяния на расположенной в точке И.,, неоднородности [78].
Явный вид решения уравнения (1.2) в случае точечного источника излучения выглядит следующим образом (см., например [78])
где О ил = <7 + <та - полное сечение рассеяния, <7, <7а - сечения упругого рассеяния и поглощения отдельного рассеивателя; щ - число рассеивателей в единице объема.
Уравнение для второго момента можно записать в следующем виде (см., например. |158])
с<2) = 6(1)00» + бо)6о» ^ рЛдт (1.4)
а
В дальнейшем мы будем рассматривать среды, в которых рассеиватели находятся достаточно далеко друг от друга, и рассеяние на данной неоднородности происходит в зоне
19