СОДЕРЖАНИЕ
Введение...................................................................4
Глава 1. Метод разделения потоков. Основные уравнения
1.1. Постановка задачи...................................................49
1.2. Индикатрисы рассеяния. Вероятность “переворота”.....................60
1.3. Метод разделения потоков............................................71
1.4. Уравнение для восходящего излучения. Полная функция отражения и
парциальные функции отражения.......................................75
Основные результаты главы 1.........................................80
Глава 2. Метод функций Грина в альбедных задачах
2.1. Связь пространственно - угловой функцией Грина с Г1ПФО..............81
2.2. Дважды угловые функции Г рина уравнения Амбарцумяна.................86
2.3. Связь между пространственно-угловыми и дважды угловой функциями
Грина. Соотношения симметрии........................................90
Основные результаты главы 2.........................................92
Глава 3. Вычисление ППФО для сред с различными индикатрисами с
помощью пространственно - угловой функции Грина уравнения переноса.
3.1. Вычисление углового спектра отраженного излучения и коэффициента отражения при изотропном рассеянии.................................93
3.2. Вычисления углового спектра отраженного излучения и коэффициента отражения в случае линейной индикатрисы...........................100
3.3. Вычисления углового спектра отраженного излучения в случае
трехчленной индикатрисы............................................129
Основные результаты главы 3........................................147
Глава 4. Использование принципа инвариантности для расчета ламбертовской части спектра отраженного излучения.
4.1. Уравнение для ламбертовской добавки................................148
4.2. Вычисление ламбертовской добавки в случае изотропного рассеяния.... 152
4.3. Разложение ламбертовской части отраженного излучения по парциальным
компонентам ......................................................163
Основные результаты главы 4........................................169
»аключение
Титература
4
ВВЕДЕНИЕ
Множество сред как естественного, так и искусственного происхождения содержат беспорядочно распределенные неоднородности различной формы и размера, которые рассеивают проходящее через среду электромагнитное излучение. Прошедшее через среду и отраженное от нее световое излучение содержит важную информацию о свойствах среды. В связи с этим постоянно увеличивается число экспериментальных и теоретических работ связанных с анализом процесса распространения светового излучения в случайно неоднородных средах. Электромагнитное излучение оптического диапазона широко используется в исследованиях физики Мирового океана [1-6], атмосферы Земли [7-12] и планет солнечной системы [13-15], при разработке систем подводного оптического наблюдения [6] а также для контроля и диагностики биологических тканей человека и животных [16-19]. Важным свойством оптических методов является то, что они не разрушают объект исследования.
Для нахождения поля излучения как в самой рассеивающей среде, так и поле вышедшего из среды излучения, необходимо решить транспортное уравнение Больцмана (уравнение переноса) для интенсивности излучения /(р;С1), дополненное соответствующими граничными условиями. (О -единичный вектор скорости фотона).
В отличие от строгой теории, исходящей из уравнений Максвелла для света [20-24], или уравнения Шредингера для заряженных частиц [25,26], линейная теория переноса светового излучения [1,3,10,27-29] оперирует только с переносом энергии в среде, не учитывая когерентные эффекты, связанные с интерференцией и дифракцией электромагнитных волн. Когерентными эффектами можно пренебречь при соблюдении следующих условий [1]: во-первых, рассеивающие центры должны быть расположены хаотично, во-вторых, расстояние между ними должно быть значительно больше длины волны. При соблюдении этих условий рассеяние на углы большие некоторого критического значения у0 «1 будет некогерентно. Оценка величины у0
5
приведена в монографии [1]. Отметим, что полная когерентность при рассеянии вперед несущественна, так как энергетический вклад области углов рассеяния, для которых имеет место этот эффект, оказывается мал [24]. Эффекты дифракции и интерференции учитываются только при описании характеристик рассеяния и поглощения отдельными рассеивающими центрами. В настоящей работе мы не будем специально интересоваться поляризационными эффектами, то есть будем рассматривать распространение скалярного светового излучения. В этом случае оптические свойства среды определяются следующими величинами: коэффициентом поглощения к, показателем рассеяния а и законом однократного рассеяния (индикатрисой рассеяния) х(С05У) = а(у)/а> у - угол однократного рассеяния, а(у) - показатель рассеяния в данном направлении.
Транспортное уравнение является линейным интегро-дифференциальным
уравнением, ядром которого является индикатриса рассеяния х(^' —>£5).
Величина х(^ > &) определяет вероятность перехода фотона из состояния £2'
в состояние £2 при одном акте рассеяния. Поэтому, величина %(&'—> С1) нормирована условием:
Основные трудности аналитического изучения процессов переноса скалярного светового излучения в основном определяются следующими факторами:
1. Ограниченными возможностями нахождения общего аналитического решения уравнения переноса при произвольной индикатрисе рассеяния.
2. Выделение из общего решения только того, которое удовлетворяет граничным условиям конкретной задачи.
3. Размерностью среды.
4. Геометрией рассеивающей среды.
(В.1)
6
Встречающиеся в природе индикатрисы имеют весьма сложный вид [1,8], в частности, из-за того, что рассеивающие центры имеют несферическую форму, сложную внутреннюю структуру и неодинаковые размеры. Строгой теории рассеяния на таких частицах нет. Поэтому в большинстве случаев приходится заменять реальную среду более простой модельной средой. Одна из самых распространенных моделей - модель монодисперсной среды. В этой модели все рассеиватели считаются одинаковыми, однородными сферами радиуса а.
При рассеянии на сферических частицах индикатрису рассеяния можно разложить в ряд по полиномам Лежандра:
x(cosy)=X2^+Ix,/;(cosy), где X, =2Ti)sinyx(cosy)f;(cosy>/y, (В.2а) /и) 471 о
здесь у- угол однократного рассеяния:cosy = (0'П). Из условия нормировки
(В.1) следует, что Величина Xi“(cosy) ** средний косинус угла
однократного рассеяния.
Задача о рассеянии плоской монохроматической электромагнитной волны на однородном шаре радиуса а при заданных диэлектрической и магнитной проницаемостях точно решена Г. Ми (1908) и А. Лявом (1899). В литературе утвердились термины: теория Ми, рассеяние Ми. Анализ формул Ми [7,30,31] показывает, что если дифракционный параметр Р = д / X ~ 1 (X - длина световой волны), то рассеяние практически изотропно. Такая ситуация имеет место, например, при рассеянии видимого света на суспензии оксида титана ТО2 (д = 220и/и (cosy) = 0.476) [32], при рассеянии излучения инфракрасного диапазона на частицах пыли в космических туманностях [33]. В важном для оптики атмосферы случае рассеяния света на флуктуациях плотности (т.н.
3
молекулярное рассеяние) индикатриса имеет вид: x(c°sy) = (l + cos2y)-
167с
индикатриса Рэлея [13]. В другом предельном случае р » 1 эффективный угол однократного рассеяния рассеяние носит резко выраженный анизотропный характер: 1 - (cosy)« 1). Именно такая ситуация имеет место в большинстве
7
естественных и искусственных сред: туман, дым, аэрозоль в атмосфере, различные взвеси в воде и т.д. Так, для капель в облаках Земли а « 10 мкм и (3 « 100 в видимой части спектра. Как было показано Релеем, в разложении индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра (В.1) существенно учитывать конечное число членов: АГ — 1.5р [13]:
"£)?/ +1
Х(С0Б7)* -Х,РАсеку) (В.2Ь)
1=0 4к
Волны с / > N имеют малые амплитуды и ими можно пренебречь. Расчеты рассеянных полей по точным формулам Ми достаточно сложны, т.к. при больших значениях р »1 необходимо учитывать много почти равнозначных парциальных рассеянных волн, причем каждую с высокой точностью [1]. Например, для типичной биологической частицы в воде а«10 мкм при X « 0.546 мкм. (р«115)в сумме (В.2Ь) нужно удержать 140 членов ряда!
Но даже и в тех случаях, когда с приемлемой правдоподобностью рассеиватели можно считать сферическими, ситуация резко осложняется тем обстоятельством, что их размеры оказываются самыми различными, т.е. есть существенной особенностью реальных мутных сред является их полидисперсность. Имеется значительный разброс геометрических размеров отдельных рассеивателей в достаточно широких пределах от а <% до а»Х. Например, в чисто молекулярной атмосфере Земли дальность видимости предметов около поверхности составила бы 300 км, в то время, как в реальной атмосфере наблюдаемая дальность видимости составляет около 30 км [13].
Если при Р < 1 рассеяние является почти изотропным, то при Р»1, индикатрисы рассеяния на отдельных рассеивающих центрах имеют целый ряд максимумов и минимумов, так наз. радуги и глории [1,10]. В полидисперсных средах из-за разбросов по размерам происходит сглаживание интерференционных лепестков индикатрисы рассеяния. За счет этого реально наблюдаемые индикатрисы рассеяния становятся гладкими функциями угла у. Чем рассеивающие частицы меньше и оптически мягче -1«1), пп>1-
8
относительный показатель прелохмления, тем более плавными оказываются усредненные индикатрисы рассеяния.
Для учета распределения частиц по размерам проводится усреднение индикатрисы рассеяния:
Конкретный вид усредненной индикатрисы рассеяния х(С087) конечно зависит от выбора функции распределения частиц по размерам. Выбор функции /({3) диктуется свойствами конкретной среды. Трудность состоит в том, что формирование свойств аэрозоля в атмосфере Земли, различных взвесей и планктона в морской воде и т.д., подчинено влиянию множества факторов, учесть которые при попытке теоретического анализа весьма трудно. Из-за недостаточной информации о распределении по размерам рассеивателей, возникает большая степень произвола при выборе конкретного вида закона рассеяния элементарным физическим объемом среды. Поэтому используются эмпирические аппроксимации на основе ряда типичных аналитических представлений: нормальное распределение, распределение Кэптейна, степенное распределение, распределение Юнге и т.д. Результаты расчета усредненных индикатрис рассеяния представлены в подробных таблицах [34]. Например, в оптике полидисперсных систем большое распространение получили обобщенное и простое Гамма - распределение.
Простое Г-распределение имеет вид (ртт = 0;(Зтдх = со) [7,13]:
Здесь р- среднее значение дифракционного параметра; Р^- мода Г-распределения, т.е. точка его максимума. Таким образом, простое Л* распределение имеет два свободных параметра Р и я . Важная особенность Г-
(В.З)
определяющий концентрацию аномально больших частиц. Такая форма распределения гораздо лучше соответствует фактическим данным, чем симметричное гауссово распределение. Уже в 1930 г. И. Рокар [1] использовал Г - распределение с параметром 5=2 при расчете атмосферных индикатрис. Начиная с пятидесятых годов, обобщенное и простое Г - распределение широко используются для расчета оптических характеристик полидисперсных систем, как в атмосферной оптике, так и в оптике Океана [1,10].
Поскольку индикатриса является ядром уравнения переноса, то сложность решения этого уравнения определяется в первую очередь (если отвлечься от проблемы граничных условий) именно видом индикатрисы. Самым простым является изотропный закон рассеяния, при котором вероятность однократного рассеяния в любом направлении одинакова:
В этом случае удается найти точное аналитическое решение уравнения переноса в полубесконечной среде, без каких либо ограничений на угол падения излучения и на угол рассеяния. Эта задача решена в работах Фока, Амбарцумяна и Чандрасекара [35-38]. Сравнительно недавно удалось получить точное аналитическое решение для линейной индикатрисы рассеяния [39]:
При этом приходится определить три вспомогательные функции из соответствующих нелинейных интегральных уравнений.
Во многих случаях приходится сталкиваться с распространением широких, стационарных потоков светового излучения в однородных рассеивающих средах с плоскими границами, когда реализуются условия так называемой плоской геометрии. В этом случае уравнение переноса имеет вид:
X
(Мг) _
(В.5а)
4л
Х(,,яг)(с05у)= (I + Зх, собу)
4л
(В.5Ь)
О -I
10
Особое значение для приложений имеют задачи об определении различных характеристик отраженного излучения. Изучение угловых спектров обратно рассеянного излучения является самостоятельным разделом общей линейной теории переноса - не только света, но и заряженных частиц или ионов. Особая важность этой проблемы связана с тем, что во многих случаях, практически единственно доступным способом получать информацию о среде, является измерение параметров только отраженного от неё излучения. Наглядным примером может служить изучение свойств мирового океана и других водных бассейнов с помощью оптических приборов, установленных на различных летающих объектах - самолетах или ИСЗ, особенно в связи с мониторингом экологического состояния среды. То же можно сказать и о разнообразных исследованиях атмосферы Земли с помощью оптических лидаров в различных частях спектра. Сказанное относится, конечно, и к дистанционному исследованию атмосфер планет Солнечной системы. Поэтому, в силу особой значимости такого круга задач, их обычно выделяют в отдельный раздел под названием алъбедные задачи теории переноса. Одной из важнейших альбедных задач, является проблема определения углового спектра излучения, отраженного от полубесконечной среды. На этом важном случае мы и остановимся ниже.
При распространении фотонов в полубесконечном слое вещества, какая-то часть светового излучения выходит обратно через верхнюю границу 2 = 0 и образует поле отраженного излучения. Спектр отраженного излучения полностью определяется функцией отражения (ФО):
5(| р |;ср) =| р | /т (2 = 0;р = -1 р |;<р), (р = сояб) (В.7а)
Здесь /т (^ = 0; 7г /2 < 0 < я;(р) - интенсивность выходящего из среды излучения.
0,Ф - полярный и азимутальный углы вылета фотонов. Ось 2 направлена по нормали к поверхности вглубь среды. Поэтому, для отраженного излучения р = — |р|<0. Величина 5(|р|;ф)с/[р|сйр представляет собой среднюю энергию светового излучения, выходящего в единицу времени через единичную
11
площадку поверхности среды (г = 0) в интервале значений | р | -г | р. | +с! | р |, Ф -г- (р + <2ф. Её размерность - [5 ]=Вт/м2.
Полный коэффициент отражения (КО) \нп( определяются обычным образом:
Л(2 ..9К 1 ■ рФр|ц|50ц|;Ф) (В.7Ь)
Jo Л ° °
jQ=ji(z = 0)- количество лучистой энергии, входящей внутрь вещества в единицу времени через единицу поверхности; (г = 0) - количество световой энергии, выходящей из вещества в единицу времени через единицу поверхности:
Л = рФ рф/Дг = 0;ц,<р); (В.8)
о о
2я 1
У,(Г = 0) = - |<Лр || ц\<11 ц|/,.0 = 0;ц = -1 ц |,ф) (В.9)
о о
Формулы (В.6), (В.7) справедливы при любом угловом распределении 10(о) падающего излучения.
Особое значение имеет случай мононаправленного облучения вещества: /;(2 = О;0,ф) = /о6(со5 0-со8ео)5(ф-фо); у0 =/0 соб0о =/0р0 (В. 10)
В этом случае:
5(|р|;ф-ф0;р0)=|1А|/т(^=:();р = -|р|;ф-ф0;р0) (В.И)
^Д^«)= рФр1и1<У(И;<р-Фо;к) (в-12)
■‘оМ'О 0 0
Поскольку уравнение переноса является линейным, то полная ФО при произвольном законе облучения поверхности /0(й)=/;(г = 0;р>0,ф), может быть записана в виде:
5(| ц|;ф)= рФ’рц'/Дг = 0;ц>'Щ| И |;ц',Ф - ф') (В. 13)
п о
Здесь ЛТ(|р|;р0,ф-ф0) - функция Грина альбедной задачи теории переноса для полубесконечной среды:
Л:(|ц|,ц0,Ф-Ф0) = —50ц|;ф-фо;|цо) (В. 14)
/о
12
В отличие от ФО величина /С(| р |;|х0,ф — ф0) является безразмерной.
Полный КО при мононаправленном законе облучения поверхности связан с величинами £(|р|;ф-ф0;:р0) иЛГ(|р|;р0,ф-ф0) соотношениями:
1п,:Д^о)=,1 /^р^и1|^(1й1;ф-ф0;К)= 1 рФр1ц1^(|ц1;ц<.»Ф-Фо) (В-15)
•*oPû 0 Ро й 0
Полный КО w при произвольном законе облучения поверхности
определяется общим выражением (В.7). С учетом (В. 13) и (В. 15) получаем:
>% = 1 'рф'|ц'ФЧ,(ц')/,(г = 0;д',(р') (В. 16)
Л о О
Формулы (В. 13) и (В.16) позволяют рассчитать ФО и полный КО при произвольном законе облучения поверхности вещества, если известно их значение при мононаправленном падающем потоке. Таким образом, для вычисления ФО по формулам (В.7а) и (В. 11) нужно вычислить величину /г(2 = 0;ц = -||д.|;ф), т.е. необходимо решить транспортное уравнение Больцмана с соответствующими граничными условиями.
Однако, как показал В.А. Амбарцумян [40,41], ФО можно найти и не решая задачу в полном объеме. Сформулированный им принцип инвариантности позволил написать нелинейное интегральное уравнение непосредственно для ФО, которое в случае мононаправленного облучения световым потоком единичной интенсивности, имеет вид:
-- + • ~)л:(| ц |,ц0, Ф) = А%п (ц0 -1 ц I, Ф) +
Л J«*p')d I ц' k„(-1 ц' Н -1и IV - Ф) “(| {,у.°’ф ) +
0 0 IP I
A fdp'Jf^'XuCn, -> ц>')МнЦф'_-1.(Р) + (В. 17)
0 0 Р
л^ф" )d/\d^ ^ | и-1 <?) х
0 0 0 0 Ц
13
Известно сравнительно мало случаев, когда удается получить аналитическое выражение для ФО. Важнейшим является случай изотропно рассеивающей среды. Как уже отмечалось выше, в этом случае удается получить точное аналитическое выражение для ФО, без каких - либо ограничений на углы вылета и влета фотонов. ФО и КО при облучении полу бесконечной, изотропно рассеивающей среды определяются выражениями:
5(л'%|;ц0) = / Л И-^-Я(|ц|)Я(^); < = 1-Я(ц„;Л)ч1-Л (В.18) 4тс | ц I
Здесь #(р;Л)- функция Чандрасекара, которая удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению:
Я(ц;Л) = 1 + \я(ц;Л)[ Я(ц';Л), (В.19)
2 + ц
Решение уравнения (В.19) в явном виде было найдено В.А. Фоком [38]:
<в-20)
При изотропном законе однократного рассеяния ФО не зависит от азимута.
На этом развитие теории не закончилось. В.А. Амбрацумян показал [36], что для случая (N + 1)- членной индикатрисы рассеяния (В.2Ь), т- я азимутальная гармоника ФО представляется в виде билинейной комбинации [Ы -т + \) вспомогательных функций ф”(р;Л) и для этих функций получил нелинейные интегральные уравнения. Линейные уравнения для этих функций выведены В.В. Соболевым [42]. Впоследствии С. Чандрасекар [37] для частных случаев индикатрис, а В.В. Соболев [15] для общего случая показали, что все (Я - т + 1) вспомогательные функции ф"(р;А) для произвольной гармоники т выражаются через набор (Л/Ч1) функций Ню :(т = 0,1,2...Я). Для функций Нт получены определяющие их уравнения. (ф°(ц;А) = Я(ц; А)).
Существенное обстоятельство, затрудняющее применение точных методов в реальных средах состоит в том, что большое числе членов в разложении (В.2Ь) приводит к необходимости проведения чрезвычайно громоздких расчетов. При этом не удастся найти точное аналитическое
14
решение уравнения переноса, поэтому используются самые различные приближенные методы.
Широкий круг альбедных задач решен в диффузионном приближении в пространстве углов (приближение Фоккера - Планка). В этом приближении интеграл столкновений заменяется дифференциальным оператором второго порядка, а уравнение переноса (В.6) принимает вид:
1 д sin0 \./y
sinO 50 1 aoj sin 0 9ф‘ J
, /<'(В.21)
dl(r-r) n
р - =-кГ ] + D
dz
Здесь D- ст(1 - cos у)/2 = o(l - x,)/2- коэффициент угловой диффузии.
Таким образом, для всех сред, в которых средний косинус угла однократного рассеяния одинаков, приближение Фоккера - Планка дает одинаковый угловой спектр рассеянного излучения, хотя распространение света в таких средах происходит по-разному. Область применимости диффузионного приближения ограничена условием на вид индикатрисы: с ростом угла однократного рассеяния она должна убывать быстрее, чем индикатриса резерфордовского вида ~1/у4.
В рамках приближения Фоккера - Планка решена задача о малоугловом отражении света, когда излучение падает на поверхность среды под скользящими углами (0О ~тг/2, т.е. £0 = 7t/2 — 0О «1) и, поэтому, несмотря на малость угла рассеяния, может иметь место весьма сильное отражение. При скользящих углах падения при резко анизотропном однократном рассеянии
((у2}«1), возникает ситуация, когда оказываются малыми как угол
скольжения С, = тг/2 - 0 (т.е. угол между вектором Q и поверхностью вещества), так и азимутальный угол (р: угол рассеяния из состояния (С,;ф,) в состояние
(С2;Фг) ^ (С2 “Cl)2+(фг _Ф|)2 <<: ^- Поскольку |1 = COS0 = sin £ « £ , ТО
уравнение переноса (В.21) существенно упрощается:
. 5.W*») (В.22)
dz
дС дф2
/(г = 0;С>0,ф) = /Ж-С„)6(ф); /(г=->оо;С = -К|<0,ф) = 0 (В.23)
15
Как обычно, при малоугловом рассеянии формально считается, что угловые переменные £ и (р изменяются в бесконечных пределах: - оо < (р < оо. Отраженному излучению соответствуют отрицательные значения угла скольжения: С, = -1 С, |. Столь радикальное упрощение транспортного уравнения позволяет, используя метод разделения переменных, найти его общее решение в виде разложения по собственным угловым функциям данной задачи Ф[/ _/,)(Сф)- Вся сложность состоит в том, чтобы из общего решения уравнения переноса отобрать только то, которое удовлетворяет граничным условиям (В.23).
Так как при малоугловом отражении скользящего светового потока |ц|»|£|, то для ФО и полного КО имеем:
5(| с |,ф| 0=1 С |/,(* = 0;С = -1С N Со); \ ]<*рр | с 150 С 1;ф) (в.24)
•* О^эО _со 0
Наиболее просто определяется ФО от консервативной среды (к = 0), заинтегрированная по азимуту:
ЗГ'Ч С 1;С0)= кГ'1 С 1.ф!С.Уф (в.25)
—00
В этом случае получается следующее уравнение для ФО:
]а\иК;''^\Омщ\)=1ЛМ-К>) ; (о<х<со) (в.2б)
о
Здесь Ф{‘~п(0 = А1(кО - функция Эйри. Уравнение (В.26) впервые было получено О.Б. Фирсовым в 1966 г. [43]. Таким образом, даже в приближении Фоккера-Планка, когда уравнение переноса является дифференциальным, уравнение (В.26) для ФО оказывается интегральным. Уравнение (В.26) решается аналитически с помощью преобразования Меллина [43]:
(В,27)
Здесь приведенный полярный угол вылета фотонов. Угловой
спектр отраженного излучения имеет явно выраженный максимум при угле
- Київ+380960830922