ОГЛАВЛЕНИЕ
ш
ВВЕДЕНИЕ .............................................
§ I. Модель диссипативного оператора с одномерным
дефектом несамосопряженности ...................
§2. Спектральный анализ унитарных возмущений
сжатий..........................................
§ 3. Асимптотика функции Грина задачи Неймана
вблизи точки границы.................................
§ 4. О рассеянии на.полом резонаторе о малым
I '
отверстием ....................................
§ 5. Модель свободных электронов и задача
рассеяния ......................................
§ 6. Построение самосопряженной дилатации
для задачи с импедансным граничным условием ЛИТЕРАТУРА ...........................................
- З -
ВВЕДЕНІ
ш;іи
Давно было замечено, что спектральные характеристики (мат-рвда рассеяния, раооеянные волны, спектральная плотность, резольвента и т.д.) многих самосопряженных операторов, встречающихся в акуотике и квантовой механике, допускают аналитическое продолжение за разрез, отвечающий непрерывному спектру, на второй - так называемый "нефизический" - лиот спектрального параметра. Полюса матрицы рассеяния, лежащие на втором листе, обычно называют резонансами, а соответствующие им решения однородных уравнений - резонансными состояниями. Это название связано с следующим обстоятельством. Если записать решение соответствующей временной задачи в виде интеграла по непрерывному спектру (плюс сумма по собственным числам), то, пользуясь возможностью аналитического продолжения спектральных характеристик цри финитных начальных данных, можно деформировать контур интегрирования, опуская его на нефизический лиот и ввделяя вычеты в полюсах аналитического продолжения. Главные части подынтегрального выражения в этих полюсах предотавляют собой комбинацию экспонент вида едср(4кН) или ехр(-(к51)
и растущих решений ср3 однородного уравнения, например,
(к-к5)^&хр(-4к5Ъ <Ь(х)$<Гв(¥>а(&>^ •
Таким образом, указанным полюсам соответствуют убывающие (Ум К. < 0) по времени моды
и
^ Н С{5(х) 5 И'(д) <4 •
- 4 -
Наличие этих мод в решении интерпретируется обычно как распад соответствующих "резонансных" состояний (р о периодом полураспада ] Уж- К 3 ^ , который иногда называют "временем
жизни" резонансного состояния.
Следовательно, аналитическое продолжение опектральных характеристик на не^изический лист порождает, вообще говоря, некоторый комплексный спектр. В цростейших случаях этот спектр был изучен. Так,Редже [I] иооледовал расположение резонаноов, отвечающих одномерному оператору Шредингера. В этом случае соответствующие растущие решения однородного уравнения Шредингера удовлетворяют импедансным граничным условиям
- ([" +£]^ = кг<р, (|>(0)=0> ^'-ікср =0, к= К5 •
В следующей работе Редже [2] утверждается, что эта система решений полна в » если длина промежутка а не
превосходит удвоенной верхней грани носителя потенциала*^.
Основная трудность в спектральном анализе резонаноов вызвана тем, что соответствующая задача не допускает тривиальной операторной трактовки. В одномерном случае это находит отражение в тем, что опектральный параметр К содержится в граничном условии.
' В оригинальном доказательстве Редже имеется ошибка. В дальнейшем результат Редже был уточнен и обобщен рядил математиков (Коган [3] , Кравицкий [4] , Павлов [5] , Зак [б] ).
- 5 -
Начало математического изучения акустических задач резонансного рассеяния заложено работами американских математиков Лакса и Филлипса. Предложенная ими схема теории расоеяния основывается на том, что в ряде случаев дейотвущая в гильбертовом пространстве Н унитарная груша операторов эволюции
» *
{ \^} динамической системы ^ II = А I) обладает геометрически выделенными ортогональными уходящими и приходящими каналами Ю± , Д)+ 1 Ю_ , 1)^ Ю± с Ю+ , > 0 ,
и±1Ю± —►О > t —>+оо. Подпространства Ю± носят
названия "уходящих" (+) и "приходящих" (-) соответственно. На их ортогональном дополнении К= И 0 (Ю+ © Ю.) - так
называемом трансляционно-инвариантнсн подпространстве - срезка эволюции
НГ-РД К, ы
представляет собой сильно непрерывную сжимающую полугруппу
этом оказывается, что резонансы, отвечающие самосопряженному оператору А , совпадают с дискретным спектром диссипативного оператора В , а резонансные состояния совпадают о его собственными функциями.
Лаке и Филлипс исследовали лишь случай, когда спектр оператора В чисто дискретный, т.е. когда 1)+^ Ю- —> Н * —»•ад . Их важнейшие результаты [7] относятся к задаче оценки скорости убывания нормы II 2 ^ | || при —* оо для
еоср (4В£) с дисоипативным генератором В . При
- 6 -
задачи рассеяния акустических волн на звездном црепятотвии в трехмерном пространстве.
Советские математики Адамян и Аров [8] обнаружили фундаментальный факт, устанавливающий связь между теорией резонансного рассеяния Лакса-Филлипса и развитой Надем и Фойашем [9] примерно в то же время (1962-1966г.г.) теорией абстрактных диссипативных операторов. Этот факт состоит в совпадении характеристической функции диссипативного оператора с матрицей рассеяния самосопряженной задачи и означает, что в абстрактной части обе указанные теории изоморфны.
Однако в части спектрального анализа конкретных диссипативных операторов, возникающих в задачах резонансного рассеяния, продвижения до сих пор незначительны. Так, о спектре резонансов акустической задачи лишь известно, что при звездном препятствии каждая полоса в нижней полуплоскости, параллельная вещественной оси, содержит лишь конечное число резонансов, и по крайней мере на отрицательной мнимой оои они имеются в счетном числе. Имеются лишь гипотезы, касающиеся области, где расположены резонансы:
Уигк < С,к|/3
(В.М.Бабич, В.С.Буслаев). Нет никакой информации об оценке роста кратности акустических резонансов, не доказаны соответствующие теоремы разложения и не изучена полнота.
Одной из самых интересных задач является исследование акустических резонаноов для области типа ловушки. Арсеньев [ю]
- 7 -
доказал, что при замыкании ловушки происходит "спектральная" концентрация разложения единицы в окрестности собственных чисел предельной "внутренней" задачи. Это означает, что некоторые резонансы приближаются при замыкании ловушки к собственным числам внутренней задачи. В таком виде этот факт был доказан Петрасом [II] . Однако ему не удалось дать эффективных количественных оценок времени жизни резонансов и отклонения резонансных состояний от собственных функций. По-видимому, в общем случае эти задачи очень трудны.
В целом трудность рассмотренных к настоящему моменту трехмерных задач резонансного рассеяния столь значительна, что ни в одной из них не удалось выполнить полного спектрального анализа. Хорошо изучены лишь одномерные задачи (ом., например, Павлов [і2] ). Поэтому большой интерес представляют различные модельные задачи резонансного рассеяния, в которых возможен детальный спектральный анализ. В первую очередь, это те задачи, в которых возможно вычисление в явном вцце матрицы рассеяния -характеристической функции диссипативного оператора, опиоываю-щего состояние "внутренней" чаоти рассматриваемой динамической системы.
В предлагаемой работе методом теории расширений построены несколько моделей резонансного рассеяния: абстрактная модель, допускающая наличие как дискретного, так и непрерывного спектра резонансов (§2); модель резонатора о малым отверстием (§ 4); модель молекулы, являпцаяоя модификацией, с целью учета эффектов рассеяния, некогда популярной модели свободных электронов (§ 5). В каждой из этих моделей удается явно вычислить
- 8 -
соответствующую матрицу рассеяния и проследить за движением ее корней (резонансов) при изменении параметров модели. Удается также оценить времена жизни резонансов и скорость приближения резонансных состояний к собственным функциям внутренней задачи. Наконец, в последнем параграфе (§ 6) проанализирована задача с импедансным граничным условием в ограниченной области и показано, что она также допускает трактовку в терминах резонансного рассеяния.
Диссертация состоит из шести параграфов.
В первом параграфе, носящем вспомогательный характер, описывается функциональная модель диооипативного оператора, который лишь одномерным отличается от самосопряженного. Здесь, опираясь на известные результаты Адамяна-Арова [в] (Теорема 1.1) и теорему разложения для диссипативных операторов Павлова [13] (Теорема 1.3) мы готовим базу для осуществления опектрального анализа конкретных дифференциальных операторов, изучаемых в основном тексте работы. Главным вспомогательным результате»!, который будет использоваться в дальнейшем, является несложная (в нашем случае) Теорема 1.4, сводящая разыскание характеристических функций рассматриваемых в §§ 3, 4, 5 операторов к вычислению асимптотики на бесконечности во "внешний" пространстве так называемых расоеянных волн - собственных функций абсолютно непрерывного спектра соответствующих самосопряженных
операторов. Эта теорема, в сущности, сводит спектральный ана-*
лиз диссипативного оператора к построению решений соответствующей самосопряженной задачи рассеяния. Затем уже, на основании Теоремы 1.3, могут быть построены собственные функции абсолют-
9
но непрерывного спектра соответствующего диссипативного оператора.
Второй параграф посвящен описанию общей абстрактной схемы построений моделей. Вое рассматриваемые в дальнейшем модели отроятся единообразно в соответствии о этой схемой: "внешняя" и "внутренняя" системы соединяются с помощью приемов теории расширений. Именно, в § 2 методами теории расширений для данного унитарного оператора II с простым спектром отроятся всевозможные сжатия Ту , отличающиеся от него на одномерный, и производится сравнительный спектральный анализ операторов и . т„ на основании рассмотрения унитарной дилатации II сжатия Ту . Добавив к ооновному гильбертову пространству Н вспомогательное пространство Н 0 = 1_,1 С) , в
!у
котором действует оператор сдвига и о * можно совместно с оператором и © и0 рассмотреть в Н © И0 унитарную
л/ «■>»
дилатацию 1) оператора Ту . Операторы I) и I) © 1)0 являются унитарными расширениями одного и того же изометрического оператора 1і00 , действующего в Н © Н0 , индексы
дефекта которого в нашем случае равны ('!,'() , и матрица рас-
л/
сеяния 3 для пары {11 > и © 1)(,} является скалярной функцией. Построена полная система ортогональных и нормированных на & -функцию "уходящих" и "приходящих" в смысле Лакса-Фшшшса
Л/
собственных функций оператора II . Далее, на основании того, что матрица рассеяния 3 является характеристической функцией сжатия Ту , исследуетоя спектр сжатия Ту . Справедлива ТЕОРЕМА 2.4. Спектр сжатия Ту состоит из не более чем
- Київ+380960830922