Оглавление
‘ Введение 5
1 Поперечная неустойчивость, спонтанное образование нелинейных когерентных структур и коллапс 12
1.1 Поперечная неустойчивость в квадратичных оптических средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости................12
1.2 Гексагональные световые структуры в фоторефрактивных кристаллах с зеркалом обратной связи................................. 18
1.2.1 Основные уравнения ......................................21
1.2.2 Линейная теория неустойчивости...........................26
1.2.3 Трехволновос взаимодействие боковых волн.................32
1.2.4 Четырехволновое взаимодействие боковых волн..............33
1.2.5 Динамика формирования гсксагоиов и их устойчивость . . 37
1.2.6 Численный эксперимент.................................. 38
1.3 Спонтанное формирование гексагональных световых структур в фоторефрактивном кристалле при отсутствии встречной волны накачки............................................................44
1.4 Коллапс в нелинейном уравнении Шредингера с внешней силой 50
1.5 Коллапс в конденсате Бозе-Эйиштсйиа с диполь-дипольным взаимодействием ......................................................58
2 Неустойчивость, диффузия и коллапс частично иекогерентного лазерного пучка в высокотемпературной плазме 66
2.1 Распространение лазерного пучка в высокотемпературной плазме в пренебрежении тепловыми эффектами.............................66
2.1.1 Основные уравнения ......................................67
2.1.2 Вероятность возникновения коллапсов......................70
2.1.3 Коллективная неустойчивость..............................71
2.1.4 Нелинейная диффузия лазерного пучка......................74
2.2 Распространение лазерного пучка в высокотемпературной плазме с учетом флуктуаций электронной температуры ....................80
2
Нелинейные когерентные структуры и оптических коммуникациях 91
3.1 Нелинейные оптические линии......................................91
3.2 Солитон с управляемой дисперсией ................................93
3.2.1 Ширина и амплитуда салотопа с управляемой дисперсией 93
3.2.2 Осциллирующие хвосты солитона с управляемой дисперсией 98
3.2.3 Граница области существования солитона при отрицательной средней дисперсии .........................................103
3.3 Параллельный алгоритм для моделирования многоканальных оптических линий .............................................106
3.4 Точечная компенсация нелинейности в оптических волоконных линиях ........................................................112
3.5 Бисолитоиы в системе с управляемой дисперсией ..................118
3.6 Влияние случайных флуктуаций параметров системы с управляемой диспе1>сией на распространение оптических импульсов . . . 121
3.6.1 Случайная дисперсия......................................121
3.6.2 Диффузия оптического импульса при наличии случайной анизотропии и дисперсии в дисперсионно-смещенном оптическом волокне...............................................126
Динамика сингулярностей и регулярность уравнений гидродинамики жидкости со свободной поверхностью и границы раздела жидкостей 133
4.1 Точно интегрируемая динамика границы раздела между тяжелой идеальной жидкостью и легкой сильно вязкой жидкостью .... 133
4.2 Оптимальные канонические переменные для динамики идеальной жидкости со свободной поверхностью.............................142
4.2.1 Основные уравнения и гамильтонов формализм...............143
4.2.2 Приближение слабой нелинейности..........................145
4.2.3 Анализ коротковолновой устойчивости в гамильтониане чет-вергого порядка................................................147
4.2.4 Некорректность гамильтониана четвертого порядка .... 148
4.2.5 Каноническое преобразование..............................150
4.2.6 От комплексного к действительному уравнению Хопфа . . 152
4.2.7 Устранение неустойчивости из членов четвертого порядка . 152
Макроскопическая динамика и коллапс бактериальных колоний и биологических клеток 165
5.1 Коллапс бактериальных колоний...................................165
5.2 Макроскопические уравнения для движения бактерий за счет случайных флуктуаций их формы.....................................177
5.3 Макроскопическое описание динамики клеток с учетом контактных взалмодейстзий.............................................182
3
Заключение
Публикации по теме диссертации Литература
Введение
Нелинейные когерентные структуры - это структуры, в которых когерентность, к примеру, согласованность фаз волновых процессов, обусловлена нелинейными взаимодействиями в системе. Нелинейные когерентные структуры имеют большое значение практически во всех областях физики. Их исследования в настоящее время активно развиваются [1-5]. В то же время, при всем разнообразии физических систем и эффектов, лежащих в основе образования нелинейных когерентных структур, они имеют много сходных свойств, позволяющих рассматривать нелинейные когерентные структуры с единых позиций нелинейной физики. Нелинейные когерентные структуры могут возникать на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости или вследствие наличия внешнего воздействия на систему. К примеру, развитие модуляционной неустойчивости в нелинейной оптической среде или пшродина.мпческая неустойчивость могут приводить к образованию уединенных волн - солитоиов. Примером образования солитонов за счет внешнего воздействия является их формирование в нелинейной оптической среде под воздействием лазерной накачки с формой импульсов, близкой к солитоипой, что является распространенным экспериментальным приемом в нелинейной волоконной оптике. Если образовавшиеся когерентные структуры устойчивы, то они зачастую определяют динамику системы на больших временах. Однако, нелинейные когерентные структуры могут и не существовать или быть неустойчивыми. В этом случае возможно образование сингулярности за конечное время, называемое коллапсом.
В диссертации анализируется широкий класс систем, где нелинейные когерентные структуры играют важную роль. Нелинейная оптика представляет собой широчайшую область изучения поведения нелинейных когерентных структур. Так, в квадратичных нелинейных средах большую актуальность в последние годы приобрело изучение свойств сред с искусственно наведенной периодической модуляцией коэффициента нелинейности на длине, близкой к четверти длнигл волны первой световой 1армо1шки [б, 7|, что позволяет добиться условия фазового синхронизма между первой и второй гармониками света при их распространении навстречу друг к другу. Важное значение в этом случае приобретает изучение абсолютной неустойчивости по отношению к излучению волн под малыми углами - т.е. поперечной неустойчивости, что рассмотрено в диссертации. В то же время абсолютная неустойчивость для встречного распространения волн в средах с кубической нелинейностью не требует модуляции
коэффициента нелинейности и поэтому была исследована намного раньше (8, 9). Другим классом материалов, где поперечные неустойчивости между встречными волнами играют важную роль, являются фоторефрактипшле среды [10, 11]. В данном случае нелинейность в первом порядке малости приводит к ускорению развития линейной неустойчивости - взрывной неустойчивости, характеризуемой образованном сингулярностей за конечное время, что является одним из основных явлений в нелинейной физике. Стабилизация взрывной неустойчивости происходит за счет следующих порядков нелинейности II приводит к формированию нелинейных когерентных структур гексагонального типа [12]. Активные исследования посвящены образованию сингулярности за счет волновых коллапсов, т.е. обращения амплитуды волны в бесконечность за конечное время, сопровождаемое драматическим уменьшением ширины волнового пакета. Термин "волновой коллапс "был введен В.Е.Захаровым в 1972 г. [13]. В диссертации изучается возникновение волнового коллапса в нелинейных резонаторах с накачкой |Н| и в конденсате Бозе-Эйшитейна с диполь-дииольными взаимодействиями [15-17].
Коллапсы играют большую роль и в задаче по достижению управляемого термоядерного синтеза за счет инерционного сжатия мишени с помощью лазерного излучения [18, 19]. Распространение света в плазме, окружающей термоядерную мишень, сопровождается столь сильным нелинейным оптическим взаимодействием, что может приводить к .множественному образованию коллапсов. В настоящее время в США в Национальной Лаборатории Лоуренс Ливермор ведется строительство National Ignition Facility (NIF) - крупнейшей в мире установки но лазерному термоядерному синтезу с пиковой мощностью лазеров в •100 тсранатт [19], что означает возможность одновременного ([нормирования более 105 коллапсов. Коллапс в данном случае является крайне нежелательным эффектом, поскольку он приводит к потере контроля над лазерными пучками и их рассеянию. В результате может упасть сюиспь обжатия мишени и не произойти зажигания самоноддсржнвающейся термоядерной реакции. Поэтому, существенные усилия предпринимаются для подавления коллапсов путем обеспечения частичной покогсрептиости лазерных пучков. Актуальным вопрсь сом является определение максимально допустимой интенсивности лазерного пучка, позволяющей сохранить контроль над его распространением при увеличении частичной некогерснтиости. В этом случае возможна как медленная диффузия угловой ширины пучка, так и возникновение неустойчивости за счет вынужденного рассеяния Манделынтама-Бриллюэна (ВРМБ) вперед, приводящей к коллапсу, а также могущей вызвать существенное рассеяние лазерного пучка в обратном направлении.
Другой нелинейной оптической системой, в которой нелинейные когерентные структуры играют важную роль, являются оптические волокна. Нелинейное распространение света в оптических волокнах описывается нелинейным уравнением Шрсднигсра (НУШ) с периодической пространственной вариацией дисперсии групповой скорости вдоль волокна [7]. Роль времени в этом случае
С
играет дистанция вдоль волокна, а время, наоборот, играет роль пространственной координаты. Динамика уединенных импульсов, каждый из которых песет один бит информации, на коротких расстояниях (порядка нескольких десятков километров) практически линейна и сводится к периодической вариации амплитуды и ширины импульсов. На больших расстояниях учет нелинейности необходим. Для типичных трансоксапнчсскнх расстояний в несколько тысяч километров нелинейность является основным ограничивающим фактором скорости передачи информации по оптическим кабелям. В этом случае возможны две стратегии для увеличения пропускной способности оптических волокон. Первая стратегия заключается в максимальном подавлении нелинейных эффектов. Однако, эта стратегия практически достигла своих пределов, поскольку, в силу квантовых шумов в оптических усилителях, мощность оптических импульсов должна оставаться достаточно большой для поддержания ошибок от шумов на приемлемом уровне. Вторая стратегия заключаемся в том, чтобы не пытаться бороться с нелинейностью, а использовать нелинейные когерентные структуры как носитель информации для увеличения пропускной способности оптических волокон. В качестве носителя информации может выступать как солитон с управляемой дисперсией (dispersion-managed soliton), так и его различные обобщения. В последние годы эта вторая стратегия привлекает большое внимание. В компании Люсент была достигну]а рекордная скорость передачи информации на основе этой стратегии [20].
В гидродинамике жидкости со свободной поверхностью исследования неустойчивостей и нелинейных когерентных структур имеют большую историю [1, 21, 22] и остаются областью активных исследований [23-25]. Существенным вызовом для теории и численного моделирования служит формирование особенностей на поверхности жидкости. Одним из важных и активно развиваемых теоретических подходов является описание этого процесса через движение сингулярностей в щюстранстве вне жидкости (2G-28). Образование особенности на поверхности жидкости соответствует моменту времени, когда сингулярность касается поверхности жидкости. Численное моделирование динамики свободной поверхности представляет большие трудности. Актуальной задачей является вывод редуцированных уравнений, более удобных для численного моделирования. Недостатком существующих редуцированных моделей является их некорректность - они имеют неустойчивость на малых масштабах иследствии нарушения условия применимости теории возмущений, используемых для вывода этих редуцированных моделей. Поэтому задача построения корректных моделей является чрезвычайно актуальной.
Биофизические исследования динамики бактерий и биологических клеток привлекают в настоящее время огромный интерес [29-33] и имеют большое прикладное значение для биологии и медицины. Нелинейные когерентные структуры возникают в этом случае при усредненном макроскопическом описании, когда динамика бактериальных колоний или клеток моделируется через распределение плотности клеток в пространстве и времени. Одним из наиболее распро-
7
странснных механизмов взаимодействия бактерий является хемотаксис, когда каждая бактерия реагирует на присутствие градиента химического вещества. Это вещество называется хемоаттрактаитом (хеморспеллеитом) - если бактерия стрем1гтся двигаться в направлении градиента (против градиента). Бактерии выделяют это химическое вещество в окружающее пространство, где оно испытывает диффузию, что обеспечивает нелокальное взаимодействие меж;^' бактериями. Малая концентрация бактерий часто приводит к образованию нелинейных когерентных структур в виде спиралей и их медленной ЭВОЛЮЦИИ, в то время, как большая концентрация приводит к быстрой агрегации бактерий. В рамках макроскопического описания агрегация соответствует коллапсу плотности бактерий. Асимптотическое поведение решений вблизи коллапса имеет общие черты с коллапсом в нелинейном уравнении Шрсдингера, хотя уравнения являются исгамильтоиовыми. Большой интерес представляет задача о выводе макроскопических уравнений, учитывающих размеры и форму клеток, и регуляризации коллапса за счет контактных взаимодействий между бактериями или клетками.
Целью диссертации является исследование образования нелинейных когерентных структур на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости, анализ устойчивости нелинейных когерентных структур, их динамики на больших временах, а также их разрушения с образованием сингулярностей и коллапсов в применении к ряду нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем.
Псе результаты, выносимые па защиту, являются оригинальными. Достоверность полученных результатов обосновывается надежностью использованных аналитических и численных методов. Результаты диссертации согласуются с данными экспериментов и численного моделирования, полученных другими авторами.
Результаты диссертации могут применяться в целом ряде оптических устройств, включая генерацию сверхкоротких импульсов за счет коллапсов в нелинейных оптических резонаторах, увеличение пропускной способности оптических систем путем использования предложенного устройства для компенсации нелинейности, использования бисолптонов, а также путем периодической компенсации случайной компоненты дисперсии в оптических волокнах.
Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют большое практическое значение для NIF. Предсказано, что дальнейшее уменьшение времени корреляции лазерных пучков NIF (что является дорогой и технически сложной задачей) не является целесообразным, поскольку не сможет увеличить максимально допустимую интенсивность лазерных пучков. Это предсказание было подтверждено экспериментально. Результаты диссертации по максимальной допустимой интенсивности лазерного излучения в условиях плазмы инерционного лазерного термоядерного синтеза в настоящее время включены в программное обеспечение, используемое в Национальной Лаборатории JIoc-Лламоса (США)
8
для расчета и дизайна NIF. Предсказано, что изменение максимально допустимой интенсивности может быть достигнуто путем изменения композиции плазмы, что также позволит контролировать ВРМБ назад, являющейся серьезной проблемой для NIF.
Подходы, развитые в диссертации, могут и уже активно применяются для анализа нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем. Общие принципы формирования гексагональных структур в фоторефрактив-ных кристаллах позволяют объяснить существующие и предсказать новые эксперименты. Доказательство возможности образования коллапса в конденсате Бозе-Эйшшейна за счет одних диполь-дипольных взаимодействий предлагает возможность формирования коллапса в других системах с нелокальной нелинейностью и сингулярным взаимодействием на коротких расстояниях. Исследование коллективных неустойчивостей в плазме при наличии частичной пекогс-рентности лазерного излучения открывает возможности новых направлений исследования коллективных неустойчивостей. В гидродинамике со свободной поверхностью анализ движения сингулярностей предлагает путь к поиску новых точных решении и точно интегрируемых моделей, включая динамику сверхтекучих жидкостей. В биофизике предложенный подход предлагает возможность вывода макроскопических моделей динамики клеток, исходя из микроскопической динамики отдельных клеток.
Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют важное значение для численного моделирования. Так, предложенный алгоритм эффективного распараллеливания для многоканальных оптических систем, позволяет осуществлять суперкомпьютерное моделирование оптических линий на траисокеаничсских расстояниях. Предложенный переход к оптимальным каноническим переменным для гидродинамики жидкости со свободной поверхностью позволяет избавиться от численных неустойчивостей, вызванных некорректностью стандартных переменных, а также осуществлять моделирование при большем уровне нелинейности (угле наклона поверхности) поверхностных волн. Выведенная система макроскопических уравнений для динамики бактерий и клеток, с учетом контактных взаимодействий между ними, позволяет выполнять численное моделирование больших колоний ~ 10е — 107 клеток, что является чрезвычайно трудной задачей при моделировании на уровне микроскопического описания динамики флуктуаций формы каждой клетки.
Диссертация состоит из Введения, пяти Глав, Заключения и Списка литературы. В Главе 1 исследована взаимосвязь между поперечной неустойчивостью, образованием нелинейных когерентных структур и коллапсом. В Разделе 1.1 рассмотрена поперечная неустойчивость при распространении навстречу друг к другу первой и второй гармоник в квадратичных средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости. В Разделе 1.2 рассмотрена нелинейная стадия развития поперечной абсолютной неустойчивости в фото-рсфрактнвных материалах. В Разделе 1.3 рассмотрено спонтанное формирование гексагональных поперечных структур в фоторсфрактнвиом кристалле
9
при отсутствии встречной волны накачки. В Разделе 1.4 исследуется коллапс в 11УШ с внешней возбуждающей силой. В Разделе 1.5 изучается коллапс в НУШ с нелокальной нелинейностью (также называемое зависящим от времени уравнением Гросса-Питаевского), описывающего конденсат Бозе-Эйнштейна с днполь-дшюльным взаимодействием. В Главе 2 исследованы неустойчивость, диффузия и коллапс лазерного пучка при нелинейном распространении в плазме лазерного пучка с частичной не когерентностью в условиях высокотемпературной плазмы для экспериментов по лазерному термоядерному синтезу. В Разделе 2.1 предполагается, что электронная температура достаточно высока, так что можно учитывать только пондеромоторные эффекты. В Разделе 2.2 учитываются эффекты флуктуации электронной температуры помимо пондс-ромоторпых эффектов. В Главе 3 рассматривается применение когерентных структур для передачи информации в оптических коммуникациях. В Разделе 3.1 вводятся базовые понятия нелинейных оптических линий. В Разделе 3.2 рассматриваются свойства солитона с управляемой диспсдоией (СУП). В Разделе 3.4 предложен новый оптический прибор - иитсрфсрометрнческнй компенсатор нелинейного сдвига фазы. Этот прибор, являясь нелинейным аналогом интерферометра Маха-Зендера, позволяет получать отрицательный нелинейный сдвиг фазы (дефокусирующую нелинейность) и обеспечивать точечную компенсацию нелинейности н оптическом волокне. В Разделе 3.5 найдено новое бнсолптошюс решение в системе с управляемой дисперсией. В Разделе 3.6 рассматривается влияние случайной анизотропии и дисперсии вдоль оптического волокна на нелинейное распространение оптических импульсов. В Главе <1 рассматривается динамика жидкости со свободной поверхностью и границы раздела двух жидкостей. В Разделе 4.1 изучается динамика границы раздела между идеальной жидкостью и легкой сильно вязкой жидкостью. Найден новый интегрируемый случай, соответствующий двумерному течению границы раздела. Получены решения в виде движения конечного и бесконечного числа комплексных полюсов. В Разделе 4.2 рассматриваются редуцированные уравнения, описывающие трехмерные течения идеальной жидкости со свободной поверхностью. Показано, что стандартные редуцированные уравнения являются некорректными в силу наличия коротковолновой неустойчивости. Построена производящая функция, позволяющая совершит], переход к новым каноническим переменным, в которых редуцированные уравнения являются корректными. Предложен выбор оптимальных канонических переменных, при которых уравнения являются корректными при максимально большом уровне нелинейности. В Главе 5 рассматривается динамика бактерий и биологических клеток л выводятся макроскопические уравнения для динамики плотности бактерий (клеток). В Разделе 5.1 изучается коллапс бактериальных колоний в пренебрежении размерами бактерий. Исследованы коллапсирующие решения уравнения Коллера-Согола для макроскопически усредненной динамики бактерий и биологических клеток. Автомодельное решение вблизи коллапса имеет вид стационарного решения с зависящим от времени масштабом. В Разделе 5.2 привс-
10
ден вывод уравнения Келлера-Сегела из микроскопической модели движения бактерий и клеток эукариотов на основе случайных флуктуаций формы клеток. В Разделе 5.3 получено макроскопическое уравнение для плотности клеток при учете контактных взаимодействий между клетками и эффекта исключенного объема. Показано, что наличие контактных взаимодействий предотвращает коллапс. В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
11
Глава 1
Поперечная неустойчивость, спонтанное образование нелинейных когерентных структур и коллапс
1.1 Поперечная неустойчивость в квадратичных оптических средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости
Поперечные неустойчивости возникают в случае, когда нелинейное одномерное распространение воли неустойчиво относительно возникновения модуляций в поперечном направлении по отношению к направлению распространения волн [31]. В результате происходит излучение воли под различными углами и образование поперечных структур. Если основная волна (или несколько волн) распространяются в одном направлении, то поперечная неустойчивость имеет конвективный характер и возмущения растут экспоненциально в пространстве вдоль направления распространения основных волн [35]. В случае распространения волн навстречу друг другу может возникать абсолютная поперечная неустойчивость, при которой поперечные модуляции экспоненциально растут во времени в каждой пространственной точке. Райсс было показано, что встречное распространение лазерных пучков в средах с кубической нелинейностью Керра может приводить к абсолютной неустойчивости [8, 9, 36] и образованию поперечных световых структур [37]. Впервые такая неустойчивость наблюдалась при нелинейном распространении света в парах натрия [38], а также п оптическом резонаторе с пассивным нелинейным оптическим элементом [39-41].
В последующие годы были исследованы поперечные неустойчивости и образование поперечных световых структур в средах с квадратичной нелинейностью [-12-45]. В частности, экспериментально наблюдалась конвективная неустой-
12
Рис. 1.1: Взаимодействие распространяющихся навстречу друг другу первой Ei и второй Е2 гармоник в среде с модуляцией х(2) пространственном периоде Лт = 2п/кт. Боковые пучки с амплитудами f±,b± генерируются внутри среды.
чнвость при расиростраиешш воли в одном направлении |46). Однако, для существования абсолютной неустойчивости необходимо обеспечить нелинейное взаимодействие между гармониками света, распространяющимися в противоположных направлениях. Еіце в GO-e годы было предложено сделать это в х(2) материалах [47|, однако существующие материалы не имеют достаточно сильного двулучепрсломлсния, чтобы обеспечить фазовый синхронизм между основной гармоникой Еі с частотой и распространяющейся в противоположном направлении второй гармоникой Е2 с частотой и2 = 2од.
В диссертации рассматривается нелинейная оптическая среда с продольной длиной L (см. Рис. 1.1), в которой нелинейная восприимчивость xf2) периодически промодулнрована в пространстве: х(2) = 2(0dm cos kmz, где бо - диэлектрическая проницаемость вакуума, dm - амплитуда вариации нелинейной восприимчивости с волновым вектором кт, соответствующим пространственному периоду' порядка Л/4, где Л = 27r/A*i - длина волны основной гармоники. В этом случае достигается фазовый синхронизм для встречного распространения первой и второй гармоник при условии кт ~ к2 4- 2к\ (quasi-phase-matched interaction [G]), где ki = w,n,-/c, П{ - индекс рефракции гармоники Еі, с - скорость света в вакууме. Предполагается, что первая гармоника распространяется вдоль оси 2 : E\ = (£i/2)exp[i(fciz—од£)]+с.с. (с.с. обозначает комплексно сопряженные члены), а вторая гармоника распространяется в противоположном направлении: Е2 = (£2/2)exp[i(—b^z - 2u>it)} 4- с.с. Малость расстройки (Лк = 2к\ 4- к2 — ктп) по сравнению с к\ обеспечивает применимость уравнений для амплитуд гармо-
13
ник:
(75 + !-^)£' ■ ‘5гТ‘"“,£'-£- (11>
(?1-Е-Ау’)£, - <12>
где У^ - Лапласиан в поперечных координатах г = (х, у). Удобно представит ь эти уравнения в безразмерной форме:
(ьз)
(1-4)
где £\ = (2сп1/и^1п1)Аи Е2 — -г{2сп\/ш1(1П1Ь)А2 ехр (г'ДАы), £ —> (п^/с)*, 2 —» 1/2, Г —> у/Ь/2к\Т, 0 = Д££ и П2 ~ 711.
Уравнения (1.3),(1.4) имеют плоские стационарные решения
Л1 = охр [га22],
Л2 = т2ехр[2т22], (1.5)
с действительными амплитудами а\ ,а2, а] > 0. Решения (1.5) накладывают
условие на расстройку: 0 = — ^2а2 + .
Рассмотрим модуляционную неустойчивость, представив амплитуды гармоник в следующем виде:
Л, = Л, (1 + /+(г)е,к± г + /-(г)е~'к± г) е"4,
А2 = Л2 (1 + Ь+(г)е|1и'г + 6_(2)е~‘|'1-'г) е1",
где ±кх - поперечный волновой вектор боковых волн в безразмерном виде. Линеаризация уравнений (1.3),(1.4) относительно амплитуд боковых волн /±, Ь± приводит к системе
+ ^ + ад/+ = га2(-/++/- + М>
= -м/+ -/:+**-),
(^-"-фЬ+ = -4(2/+-6+). (1-6)
(А_,+фЬ1 = 4(2/:-ы),
где А^ = А;^. Уравнения (1.6) вместе с граничными условиями
/±(0) = Ы1) = 0 (Ь7)
14
О 2 4 6 8 10
kd
Рис. 1.2: Амплитуда волны накачки а2 и сдвиг час готы Іт(г') на пороге поперечной неустойчивости. Пунктирная линия соответствует а2, найденному из уравнения (1.8), а сплошная и точечная линии соответствуют значениям а2 и Іт(і/), найденным из численного решения уравнений (1.0),(1.7).
образуют краевую задачу на собственные значения vy определяющую инкремент неустойчивости боковых волн. Условия совместности для задачи (1.0),(1.7) при условии Re(*/) = 0 позволяет найти уравнения для порога неустойчивости. В общем случае, получающееся уравнение оказывается слишком громоздким, чтобы выписывал» его здесь. Однако, оно значительно упрощается при дополнительном условии равенства абсолютных значений амплитуд «i = ±û2 и предположения отсутствия сдвига частоты (Irn(^) = 0), что даст
2(2«2 - ta) cos wp cos wm +
12«2 - 4a\kd + а2к\ -\- k2d .
- — sin Wp sin Wm ~b (1.8)
XUpWm
- 3Ga\kd 4- Ga2A'2 + 9k3d
8a'i
-0,
где
Wp,m
— I2a\ 4- 12a2ta + 5kd ± w 8
ю = ^\ЛАа\ - г-2а%кл - 40а^ + ‘Ма2к3л + 9к$.
Пунктирная линия на Рис. 1.2 показывает зависимость а2 От найденную из решения уравнения (1.8) для ветви решения с самым низким порогом неустойчивости. Минимальное значение порога неустойчивости а2 ~ 1.91 достигается для ^ 2.79. Имеются также другие ветви решения уравнения (1.8) с большим порогом, которые, однако, не показаны на Рис. 1.2. При отрицательных значениях а2 уравнение (1.8) не имеет решений. Заметим, что в
15
пределе больших Р (так называемый каскадный предел), уравнение (1.4) сводится к Л2 = —(г/0)А\, что позволяет переписать уравнения (1.3), (1.4) в виде одного уравнения для имеющего эффективную кубическую нелинейность —{г/Р)\А\\7Л\. Эта нелинейность является фокусирующей при положительной а2 и дефокусирующей при а2 < 0. Можем заключить, что модуляционная неустойчивость при нулевом сдвиге частоты возникает только в условиях фокусирующей нелинейности.
Возникает вопрос, имеет ли вышеприведенное аналитическое решение с Im(i/) = 0 минимальное значение порога неустойчивости. С этой цслыо уравнения (1.6),(1.7) решались численно при а2 = =bai и произвольных комплексных значениях v. Получено, что при а2 > 0 и к* < 4.61 решения, полученные из уравнения (1.8), дают самый низкий порог неустойчивости. При а2 ~ 3.2G, ка — 4.61 происходит бифуркация и для больших значений ка наиболее низкий порог неустойчивости возникает при наличии расстройки частоты (lm(i/) ^ 0), как показано на сплошной и точечной кривых на Рис. 1.2.
При 02 < 0 решения (1.6),(1.7) находились численно, причем они соответствуют сдвигу частоты, как показано на Рис. 1.2. Самый низкий порог соответствует а2 ~ -1.68 и ка ^ 2.28. Остальные ветви решения с более высоким порогом не показаны на Рис. 1.2, хотя они пересекают показанную ветвь решения несколько раз при ка ~ 0.7. Заметим также, что при любом знаке а2 имеются две идентичные ветви решения, соответствующие противоположным знакам
Ниже приводятся оценки необходимой оптической мощности для экспериментального наблюдения поперечной неустойчивости. В единицах Вт/см2 интенсивность лазерного излучения / = (2c0c3ni/o;2dJl/>2)a2. Характерный пространственный масштаб неустойчивости в поперечной плоскости А = 27Ty/L/2kika- Предполагая, что пучок накачки является гауссовым, и, определяя отношение диаметра гауссова пучка dg к пространственному масштабу А как т — ila/Ay получаем необходимую мощность пучка Р = (x^rrPcL/АпхШука) I. Заметим, что т не может быть слишком малым, поскольку это означало бы, что возбуждаемые боковые пучки не пересекались с пучками накачки на длине кристалла L. Поэтому, геометрические требования пересечения пучков накладывают условие m > (2/тг)ка. Хотя минимальный порог неустойчивости, показанный на Рис. 1.2, возникает при |г*2| — 1-7, этот порог сопровождается сдвигом частоты, что может усложнить экспериментальное наблюдение неустойчивости. Поэтому, приведенная ниже оценка основана на несколько болсс высоком пороге ка cz 2.7, а\ = а2~ 1.9. Полагая т = 5, длину волны накачки 1.06 мкм, длину кристалла 1 см, 7ii = 2.2, и dm ~ 30 пм/В, что соответствует кристаллу LiNbG3, получаем I ~ 6.4 МВт/см2, А ^ 75 дм, Р ~ 3.5 кВт. Этот уровень мощности накачки легко доступен для ианосскундного импульсного Nd:YAG лазера. Заметим, что в рассмотренной здесь схеме эксперимента, мощности накачки должны быть равными для первой и второй временных гармоник.
Таким образом, п Разделе 1.1 продемонстрировано наличие поперечной абсо-
1G
лютной неустойчивости для распространяющихся навстречу друг другу световых пучков в квадратичной среде \^ без резонатора. По аналогии с неустойчивостью в среде с кубической нелинейностью ожидаем, что неустойчивость приводит к формированию поперечных пространственных структур. Численные оценки свидетельствуют, что эта неустойчивость может наблюдаться в доступных в настоящее время кристаллах с периодической вариацией х(2)-
17
1.2 Гексагональные световые структуры в фото-рефрактивных кристаллах с зеркалом обратной связи
Распространение неч речных световых пучков в нелинейных средах часто приводит к появлению поперечной неустойчивости относительно возбуждения воли под малыми углами и формированию поперечных световых структур, имеющих гексагональную форму [48-51].Эта неустойчивость носит абсолютный характер и обусловлена положительной обратной связью между встречными пучками. Большой интерес вызывают явления в фоторефрактивиых кристаллах [52-55],что обусловлено чрезвычайным удобством наблюдения процессов развития поперечной неустойчивости и образования регулярных структур. Характерные времена формирования таких структур лежат в пределах от десятых долей секунды до десятков секунд. Типичные нелинейные длины кристаллов, па которых существенно меняются амплитуды световых пучков, составляют несколько миллиметров, необходимые интенсивности пучков накачки лежат в диапазоне непрерывных лазеров [11, 56).
До сих пор теоретические исследования поперечной неустойчивости главным образом сводились к отысканию пороговых условий генерации поперечных световых структур. Первоначально пороги неустойчивости были найдены в керровских средах [8, 9], а затем, применительно к фоторсфрактшшым кристаллам К N Юз и ВаТЮз, в схеме с зеркалом обратной связи [52] н к фоторсфрактив-ным кристаллам ЬйУЬОз, ЫТаОз, в схеме со встречными пучками накачки без зеркала обратной связи [57]. Экспериментально лучше всего исследованы кристаллы КN103 и ВаП03, где в схеме с зеркалом обратной связи образуются стоячие гексагональные структуры и порог неустойчивости достаточно хорошо согласуется с теоретическими предсказаниями [12, 52, 54]. В работе [12] порог найден в предположении, что неустойчивость является апериодической, т.с. мнимая часть инкремента неустойчивости равна нулю в пороговой точке неустойчивости (в противном случае наблюдались бы бегущие световые структуры, чего на эксперименте можно добиться только небольшим рассогласованием направлений встречных пучков). Другими словами, можно сказать, что частотная расстройка между волнами накачки и боковыми волнами равна пулю на пороге неустойчивости.
Выше порога неустойчивость приводит к генерации слабых световых пучков под малыми углами 0 = к пучкам накачки, где А*о - волновой вектор пучков накачки, - поперечная составляющая волнового вектора возбуждаемого пучка. При малых падкритичиостях генерируются только пучки в узком слое вблизи |к_!_| ~ А*о1, где инкремент неустойчивости максимален, А'ол - значение поперечного волнового вектора, соответствующее максимуму инкремента. Таким образом, на начальном этапе развития неустойчивости образуются кольцевые (в плоскости, поперечной к пучкам накачки) структуры с экспоненциально рас-
18
- Київ+380960830922