Оглавление
Введение 3
1 О различии между вакуумными (54-1)- и (4+1)-мерными Бьянки-1 моделями в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне 11
1.1 Введение................................................. 11
1.2 Уравнения движения....................................... 12
1.3 Численное моделирование.................................. 14
1.4 Заключение............................................... 21
2 О различии между (54-1)- и (44-1)-мерными Бьянки-1 моделями с материей в форме идеальной жидкости в Гаусс-Бонне гравитации 23
2.1 Введение................................................. 23
2.2 Уравнения движения....................................... 24
2.3 Численное моделирование.................................. 26
2.4 Заключение............................................... 30
3 О различиях в динамике плоских анизотропных моделей в гравитации Лавлока с четным и нечетным числом измерений 31
3.1 Введение................................................. 31
3.2 Лагранжиан и уравнения движения.......................... 32
3.3 Различие между случаями с четным и нечетным числом пространственных измерений........................................ 34
3.4 Степенные решения........................................ 36
3.5 Влияние материи.......................................... 30
3.6 Построение общего решения
3.7 Обсуждение результатов . .
41
42
4 Структура траекторий в (4+1)-мерной вакуумной Бьянки-1
модели 46
4.1 Введение......................................................... 46
4.2 Уравнения движения............................................... 47
4.3 Специальные решения.............................................. 47
4.4 Результаты численного моделирования ............................. 49
4.4.1 Результаты для случая >0.......................... 51
/ 4.4.2 Результаты для случая На^ <0.............................. 51
4.5 Обсуждение результатов........................................... 54
5 Структура траекторий в (4+ 1)-мерной Бьянки-1 модели с материей в форме идеальной жидкости 57
5.1 Введение......................................................... 57
5.2 Положительные и отрицательные тройки параметров Хаббла 58
5.3 Стационарный режим............................................... 58
5.4 Режимы в присутствии материи..................................... 60
5.4.1 14-........................................................ 60
5.4.2 I-.......................................................... 60
5.4.3 11+......................................................... 62
5.4.4 И-.......................................................... 63
5.4.5 1У+ ........................................................ 68
5.4.6 IV- ........................................................ 68
5.4.7 У1+ ........................................................ 68
5.4.8 VI- ........................................................ 71
5.5 Заключение....................................................... 71
Заключение 74
2
1
I
Введение
Общая характеристика работы
Идея о том, что окружающее нас пространство имеет больше трех измерений, уходит своими корнями в работы начала 20 века. Именно тогда предпринимались первые попытки объединить различные силы в природе. В 1914 году Нордстром [1] предложил 5-мерную векторную теорию, описывающую одновременно электромагнетизм и скалярную версию гравитации. Однако эта теория была основана на собственной теории гравитации Нордстрома, поэтому после открытия Эйнштейном Теории Относительности (перевод на русский [2]), статья Нордстрома оказалась забыта. Статья, но не идея - в 1919 году Калуца построил аналогичную теорию, объединяющую линеаризованную версию Общей Теории Относительности (ОТО) с электромагнетизмом. За работой Калуцы, опубликованной в 1921 году [3], последовали две статьи Клейна [4, 5]. Результатом этих работ стало интересное открытие - пятимерную эйнштейновскую гравитацию можно рассматривать как четырехмерную плюс электромагнетизм на компактифицированном в окружность пятом измерении. Несмотря на то, что теория Калуцы-Клейна - а именно такое название и закрепилось за получившейся теорией - полна проблем и не способна описать природу, это было первым достижением в области дополнительных измерений.
На то время гравитация и электромагнетизм были единственными известными взаимодействиями. С открытием новых взаимодействий предпринимались новые попытки описать их в рамках некой обобщенной теории. Так, после открытия слабого взаимодействия в 1950е годы (Янг и Ли, Нобелевская премия но физике 1957 года) Глэшоу, Вайнберг и Салам в конце 19б0х объединили его с электромагнитным в электрослабос (Нобелевская премия по физике 1979 года). С открытием в 1973 году сильного взаимодействия и формулировкой квантовой хромодинамики закончилось описание взаимодействий, входящих в Стандартную модель (три взаимодействия без гравитации). Аналогично тому, как в теории Калуцы-Клейна
3
объединение гравитации и электромагнетизма удалось описать в рамках пятимерной гравитации, предполагается, что объдинеиие гравитации с другими взаимодействиями можно описать в рамках, некоторой обобщенной . теории в высшем числе измерений. Одним из наиболее перспективных и известных кандидатов на роль такой теории является теория струн.
Во второй половине 80х - 90х годов помимо дополнительных измерений на планковских масштабах, начали рассматривать дополнительные измерения, размер которых многократно превышает планковский. Например, Хорава и Виттен [б, 7] обнаружили, что в М-теории дополнительные, измерения могут “уравнять” струнный масштаб с масштабом Большого Объединения и, таким образом, объединить гравитацию со всеми остальными • силами в природе на этом масштабе. Полчинский в 1995 году [8] обнаружил, что О-браны в струнной теории позволяют естественным образом описать, различные поля, существующие в разном числе измерений. Например, поля Стандартной Модели могут быть представлены открытыми струнами, находящимися на Б-бранах низких размерностей, в. то же время как гра- ; витоны описываются замкнутыми струнами, которые распостраняются во всех измерениях. Особую популярность большие [по сравнению в планков-ским масштабом] дополнительные измерения' приобрели после того, как в 1998 году Арканп-Хамед, Димополус и Д вал и попытались с помощью дополнительных измерений решить проблему иерархии [9, 10, 11]. Однако, во всех указанных выше многомерных моделях дополнительные измерения все же значительно меньше наблюдаемых трех (см., например, [12, 13, 14| в качестве обзора по дополнительным измерениям).' .
Тем не менее, “равноправные” в смысле размеров дополнительные из-.-мерения также заслуживают рассмотрения - они представляют собой наиболее общий вид многомерных моделей, поэтому, хотя бы с точки зрения полноты, их рассмотреть стоит. Именно о таких моделях и пойдет речь в диссертации.- •• • •'
Помимо дополнительных пространственных измерений, теория струн привнесла еще один элемент, кардинально изменивший, космологическую динамику, - высшие по кривизне поправки в лагранжиан. В 1974 году Шерк и Шварц [15], рассматривая модель Вирасоро-Шапиро [16, 17], показали потенциальное присутствие членов Я2 и Я(1:/Яр1/ в лагранжиане рассматриваемой теории, а позднее Капделас с соавторами указали [18] на необходимость члена ЯриХрЯрихр в низкоэнергетическом пределе гетероти-ческой Е§ х Е$ теории [19]. Позднее Цвейбах [20] и Зумипо [21] показали, что указанные выше поправки должны входить в лагранжиан в виде ком-
бинации, известной как “член Гаусса-Боине”
Ьсв = ПГ^И^хр - 4+ В2.
Эта комбинация является полным эйлеровским инвариантом в (3+1), но начиная с (4+1) и в высших измерениях дает ненулевой вклад в уравнения движения. Впервые эта комбинация была получена Ланшосем [22, 23], и поэтому нередко называется его именем. В 1971 году Лавлок [24] получил выражения для эПлеровских топологических инвариантов любых порядков, а также рассмотрел некоторые особенности моделей с такими членами в лагранжиане.
Используя поправки Лавлока, можно, по аналогии с тензором Эйнштейна, построить тензор Лавлока. Тензор Эйнштейна является, как известно [25, 26, 27], в любом числе измерений единственным симметричным и сохраняющимся тензором, зависящим только от метрики и ее первых и вторых производных, причем от вторых только линейно. Если отбросить требование линейности, то мы придем как раз к тензору Лавлока. Определяется он совершенно аналогично тензору Эйнштейна - варьированием лагранжиана по метрике:
г - 5С Кг - 6дг 29,ш
Цвейбах [20] предположил, что в окончательной формулировке обобщенная теория должна включать в себя не только теорию струи, дающую квадратичную поправку по кривизне, но все возможные для рассматриваемого числа пространственных измерений ненулевые топологические инварианты. Тогда рассматриваемый лагранжиан Лавлока можно считать естественным обобщением лагранжиана Эйнштейна-Гильберта, а получающийся тензор Лавлока - обобщением тензора Эйнштейна. Необходимо заметить, что совпадение лавлоковских поправок со струнными ограничивается лишь вторым порядком - кубические струнные поправки по кривизне не совпадают с кубическим лавлоковским вкладом.
В своей работе мы используем в качестве основы плоскую анизотропную метрику. Причин для такого выбора несколько - во-первых, она является самой простой анизотропной метрикой и позволяет отрабатывать методы исследования анизотропных моделей. Во-вторых, согласно устоявшейся точке зрения, Вселенная является пространственно-плоской, таким образом, рассматриваемая модель является самым общим представителем
- Київ+380960830922