Электронные и структурные свойства сильно неупорядоченных материалов

Оглавление
1 Общее введение 7
2 Приближенные симметрии для перколяции в сложных системах 11
2.1 Введение.................................................. 11
2.2 Локальные симметрии в стандартных задачах перколяции: обзор 14
2.2.1 Задачи перколяции на регулярных решетках ............... 14
2.2.2 Задачи перколяции на случайных узлах.................... 15
2.2.3 Случайно упакованные сферы: бинарные смеси.............. 17
2.2.4 Почему топологически неупорядоченные задачи узлов
обладают симметрией, характерной для задач связей на регулярных решетках?.................................... 17
2.3 Локальная симметрия для многоцветных систем............... 18
2.3.1 Матрица связывания...................................... 19
2.3.2 Построение инварианта................................... 20
2.3.3 Порог перколяции........................................ 22
2.3.4 Парциальные вероятности перколяции вблизи порога:
критические моды........................................ 23
2.3.5 Простые примеры моделей цветной перколяции.............. 24
2.4 Глобальная симметрия...................................... 26
2.4.1 Глобальная симметрия для цветных моделей................ 28
3 Перколяционные свойства полидисперсных композитных материалов 32
3.1 Введение.................................................. 32
3.2 Применение идеи глобальной симметрии для описания свойств
полидисперсного композита ..................................... 34
3.2.1 Модель композитного материала........................... 35
3.2.2 Статистика координации в случайной упаковке............. 36
2
3.2.3 Перколяционные свойства металлической подсистемы . . 38
3.3 Заключение..................................................... 43
4 Использование приближенных симметрий перколяционных моделей в задачах прыжковой проводимости 44
4.1 Введение....................................................... 44
4.2 Прыжковая проводимость в произвольном магнитном поле ... 45
4.2.1 Вычисление подбарьерного действия........................ 46
4.2.2 Магнитосопротивление..................................... 49
4.3 Прыжковая проводимость при произвольной температуре .... 53
4.3.1 Общий подход, основанный на приближенной локальной
симметрии................................................ 53
4.3.2 Высокие температуры, закон Аррениуса и поправки к нему 55
4.3.3 Низкие температуры, закон Мотта.......................... 56
4.4 Прыжковая проводимость с несколькими сортами примесей ... 59
5 Прыжковая проводимость в магнитно неупорядоченных системах 62
5.1 Флуктуациоиный механизм прыжковой проводимости в
разбавленных полу магнитных проводниках........................ 63
5.1.1 Связанные магнитные поляроны в полумагнитных полупроводниках................................................ 63
5.1.2 Прыжковая проводимость: фононные и флуктуационные
прыжки................................................... 64
5.1.3 Высокие температуры...................................... 66
5.1.4 Низкие температуры: роль неоднородных флуктуаций . . 67
5.1.5 Эффект магнитного поля................................... 68
5.2 Связанные магнитные поляроны в спиновых стеклах и проблема
жесткой магнитной щели в прыжковой проводимости................ 70
5.2.1 Введение................................................. 70
5.2.2 Стандартное объяснение возврата простой активации
за счет жесткой магнитной щели и его внутренняя противоречивость......................................... 72
5.2.3 Связанные магнитные поляроны в спиновых стеклах:
уникальная возможность классического описания при низких температу рах..................................... 74
5.2.4 Полуфеноменологическая теория............................ 76
3
5.2.5 Применение к полумагнитному полупроводнику Сс1о.91Мпо.о9Те:1п.............................................. 79
5.2.6 Вблизи перехода металл-диэлектрик....................... 81
5.2.7 Другие системы.......................................... 84
6 Прыжковое магнитосопротивление в полупроводниках со сложной магнитной структурой 86
6.1 Введение....................................................... 86
6.2 Магнитная структура Ьа2Си(>4 во внешнем поле........... 91
6.3 Примесные состояния, вибронные эффекты и молекулярные поля 96
6.3.1 Гамильтониан дырок и классификация акцепторных конфигураций.................................................... 97
6.3.2 Вибронные эффекты...................................... 100
6.3.3 Взаимодействие с антиферромагнитным окружением: молекулярные поля.............................................. 101
6.4 Сетка сопротивлений Миллера-Абрахамса......................... 104
6.4.1 Туннельные интегралы перекрытия........................ 105
6.4.2 Поляронные прыжки...................................... 106
6.4.3 Переходы с переворотом и без переворота спина 106
6.4.4 Антиферромагнитное окружение: теория среднего поля . 107
6.4.5 Сопротивления переходов для различных магнитных фаз
и типов упорядочения примесей........................... 108
6.5 Обобщенная задача протекания............................................ 110
6.6 Обсуждение и сравнение с экспериментом........................ 115
6.6.1 Магнитное поле Н[|Ь.................................... 115
6.6.2 Магнитное поле Н ± Ь................................... 116
6.6.3 Эффекты многодоменности ............................... 118
6.6.4 Эффекты магнитных флуктуаций........................... 120
6.6.5 О возможности определения молекулярных полей в оптических экспериментах....................................... 121
6.7 Заключение.................................................... 121
7 Перколяционные модели пористых металлов 123
7.1 Введение...................................................... 123
7.2 Модель с самозалечивающимся связями........................... 125
7.2.1 Постановка задачи...................................... 125
4
7.2.2 Топологический фазовый переход: сетевидная и
древовидная фазы................................... 126
7.2.3 Блочная структура и критическое поведение вблизи перехода.................................................. 129
7.2.4 Фрактальные свойства древовидной фазы.............. 132
7.3 Заключение............................................... 136
8 Эффекты беспорядка в хорошо проводящих гранулированных металлах 140
8.1 Введение................................................. 140
8.2 Регулярные решетки: нетривиальный пример................. 143
8.3 Кластеризация и перколяционный характер перехода металл-
диэлектрик в неупорядоченной системе..................... 144
8.4 Слабые неоднородные флуктуации кондактансов.............. 146
8.4.1 Теория возмущений: квадратная решетка.............. 148
8.4.2 Пространственные корреляции перенормированных кондактансов................................................ 150
8.4.3 Пространственные флуктуации локальной плотности
состояний.......................................... 151
8.5 Умеренно сильные неоднородные флуктуации кондактансов . . . 153
8.5.1 Приближение эффективной среды: общая формулировка 154
8.5.2 Применение к узким распределениям................ 155
8.5.3 Применение к "симметричным" распределениям
произвольной ширины ........................................ 156
8.6 Очень сильные неоднородные флуктуации кондактансов....... 159
8.7 Заключение............................................... 161
9 Прыжковая проводимость гранулированных металлов 164
9.1 Введение ! 164
9.2 Котуннелирование через одну гранулу: обзор............... 167
9.3 Котуннелирование через цепочку гранул.................... 168
9.3.1 Теория возмущений: общий подход.................. 169
9.3.2 Модель с короткодействующим кулоиовским отталкиванием 176
9.3.3 Эффективная задача перколяции и вывод закона Мотта
для случая короткодействующего взаимодействия .... 179
9.4 Магиитосопротивление..................................... 182
5
9.5 Заключение
184
10 Общее заключение 186
Приложения 193
А Точное решение уравнений ренормгруппы для решетки с двумя
кондактансами на связи....................................... 193
Б Вычисление геометрической константы С2 для двух простых
моделей...................................................... 194
Б.1 Двумерная идеальная плотно упакованная решетка ... 194
Б.2 Двумерный поликристалл ................................. 195
В О короткодействующем характере эффективного взаимодействия 197
Г Вычисление константы &2......................................... 198
Г.1 Двумерный случай ....................................... 199
Г.2 Трехмерный случай....................................... 202
Литература 206
С
1 Общее введение
Каждая глава этой диссертации имеет свое собственное введение, в котором подробно описан соответствующий круг проблем. Поэтому в настоящем "Общем введении" мы остановимся только на самых общих вопросах, затронутых в ней.
Неупорядоченные материалы - самые широко распространенные в природе системы, поэтому необходимость их изучения никогда не вызывала сомнений. Долгое время, однако, исследование неупорядоченных систем происходило по двум, очень мало пересекающимся, линиям. Физики, в особенности теоретики, старались исследовать как можно более простые системы (такие, как модель Андерсона, стандартные перколяционные модели и т.п.) и интересовались в основном общими, универсальными их свойствами. Инженеры подробно изучали важные для приложений сложные системы на чисто эмпирическом уровне, так что накопленные в их исследованиях конкретные результаты физику даже довольно трудно "переварить"и использывать. Только в последнее время появилась тенденция проникновения серьезной "физической культуры" в науку о реальных сложных неупорядоченных материалах.
Одной из задач данной диссертации является разработка приближенных полуфеиоменологических методов, которые, будучи, с одной стороны, физически прозрачными и убедительными, позволяли бы, с другой стороны, опираясь на эмпирические данные, описывать сложные реальные системы и предсказывать их свойства. Приближенность этих методов искупается сложностью доступных для них задач, которая не дают даже возможности надеяться на применение каких-либо точных схем.
Большой интерес представляют искусственные неупорядоченные материалы с заданными свойствами, создаваемые в сильно неравновесных технологических процессах. Стандартные простые модели часто оказываются не в состоянии адекватно описать такие вещества. Это, в частности, относится к пористым материалам, которые обычно описывают с помощью перколяциониых моделей, не учитывающими важных топологических
7
ограничений, накладываемых условиями механической устойчивости материала. В диссертации мы рассматриваем модели, в которых этот недостаток устранен и обсуждаем важные физические последствия, к которым приводят топологические ограничения.
Чрезвычайно важны и интересны квантовые эффекты в неупорядоченных системах, проявляющиеся, как правило, при низких температурах. Сюда относятся, в первую очередь, транспортные явления, прыжковая проводимость. Эти явления очень много исследовались, начиная с пионерских работ Мотта, Андерсона, Шкловского и Эфроса 60-х и 70-х годов прошлого века. Тем не менее, многие аспекты прыжковой проводимости, особенно в сложных системах, оставались непонятыми. Некоторые их таких проблем, связанные с присутствием в системе дополнительных степеней свободы (магнитных, решеточных и других) решены в этой диссертации. Для исследования возникающих в процессе решения этих физических задач нестандартных перколяциониых моделей оказываются полезными приближенные методы, о которых говорилось выше.
В последние годы возникло понимание важности квантовых эффектов и эффектов электрон-электронного взаимодействия для описания
низкотемпературных свойств гранулированных металлов. В диссертации мы исследуем специфику этих эффектов, связанную с беспорядком. Беспорядок оказывается очень важным не только потому, что гранулированные материалы, как правило, изначально являются существенно неупорядоченными.
Оказывается, что эффекты беспорядка имеют тенденцию усиливаться при приближении к переходу металл-диэлектрик, даже если изначальная степень беспорядка была небольшой.
План диссертации следующий:
• В главе 2 предложен приближенный общий метод решения "цветных” задач перколяции, применимый ко многим практически важным системам. Он основан на приближенной "симметрии" классов перколяциониых моделей, позволяющей находить решение для всех моделей класса, если оно известно хотя бы для одного его представителя.
• В главе 3 этот метод последовательно применяется для исследования перколяциониых свойств смеси металлических и диэлектрических гранул со случайными размерами (полидисперсный композит). Изучается
8
влияние дисперсии размеров гранул на порог перколяции.
• В главе 4 приближенные симметрии перколяционных моделей используются для решения некоторых важных задач прыжковой проводимости: в магнитном поле, в режиме кроссовера между простой активацией и законом Мотта, а также при наличии в системе нескольких сортов существенно различающихся примесей.
• В главе 5 исследуется прыжковая проводимость в магнитнонеупорядоченной среде: парамагнетике или спиновом стекле. Конкретные вычисления делаются для случая полумагнитных полупроводников. Дается объяснение известному явлению возврата от закона Мотта (или Эфроса-Шкловского) к простой активации при самых низких температурах в этих системах.
• В главе б предлагается микроскопический механизм прыжкового магиитосопротивления в полупроводнике со сложной магнитной структурой, таком, как слабо легированный Ьа^СиО* Этот механизм объясняет скачки и изломы в зависимости сопротивления от магнитного поля, экспериментально наблюдаемые в точках магнитных фазовых переходах. Сравнение с экспериментом позволяет выделить наиболее подходящую структуру примесного состояния из множества вариантов, допускаемых симметрией.
• В главе 7 предложена и исследована модель процесса образования пористого металла. На простой модели показано, что запрет на образование отдельных кластеров, не связанных с основным массивом (в реальности такие кластеры, очевидно, должны снова прилипать к массиву, так что связность восстановится) приводит к необычным свойствам системы. При увеличении пористости в ней может происходить фазовый переход в ,'квазидревесиоеи состояние, в котором проводимость и упругость системы обращаются в ноль.
• В главе 8 исследовано влияние замороженных флуктуаций межгранульных кондактансов на проводимость и туннельную плотность состояний граиулированого металла (в случае, когда эти кондактансы велики). Показано, что роль этих флуктуаций возрастает с понижением температуры, так что переход металл-диэлектрик всегда происходит в
9
существенно неоднородном режиме. Исследованы как ситуация, когда исходный (определенный при высокой температуре) уровень беспорядка мал, так и обратная, когда он экспоненциально велик.
• В главе 9 построена теория прыжковой проводимости в гранулированном металле с малыми межгранульными кондактансами. Показано, что перенос осуществляется путем множественного последовательного котуннелирования электронов по цепочкам гранул, а проводимость описывается модифицированным законом Эфроса-Шкловского (с дополнительной логарифмической зависимостью от температуры). Рассмотрен вопрос о магнитосопротивлении такой системы, связанном с интерференцией вкладов различных цепочек.
• В Заключении приведены основные результаты диссертации.
• В Приложение вынесены громоздкие технические вычисления и некоторые "вставные сюжеты", использованные для доказательства приведенных в основном тексте утверждений.
10
2 Приближенные симметрии для перколяции в сложных системах
2.1 Введение
Задачи перколяции, помимо чисто теоретического интереса (как пример универсального класса геометрических фазовых переходов) представляет и большой практический интерес для моделирования самых разных природных и технологических процессов, происходящих в неупорядоченной среде (см., например, сборник обзоров [1)). В частности, перколяционные модели применяются для описания производимых с помощью порошковых технологий металл-диэлектрических и металл-суперионных композитных материалов, используемых в промышленности для производства суперконденсаторов и оксидных топливных элементов. В первом приближении эти композиты могут рассмативаться, как случайно упакованные смеси сферических гранул (см. [2]). Другим примером являются многие сложные ситуации в прыжковой проводимости неупорядоченных материалов (в магнитном поле, при наличии анизотропии, многодолинности, или в области кроссовера между различными предельными температурными режимами, см. книгу (31|). Во всех этих случаях характеристики системы зависят одновременно от многих параметров, так что задача принципиально не может быть сведена к универсальной - ни от чего не зависящей - модели, и требуег, вообще говоря, громоздкого исследования ab initio.
Сколько-нибудь адекватное описание любой практически интересной системы с неизбежностью приводит к моделям, значительно более сложным, чем простые стандартные модели перколяции. Исследование реалистических моделей возможно, как правило, лишь численными методами, которые зачастую бывают не в состоянии выявить качественный смысл наблюдаемых зависимостей с построить адекватную картину происходящих физических явлений. Поэтому большой интерес представляет построение приближенной
11
аналитической теории, позволяющей - пусть неточно, но зато ясно и достаточно просто - описать свойства сложных перколяционных систем. Разумеется, такая теория должна быть полуфеноменологической, т.е., опираться на некоторые экспериментально известные данные и закономерности в качестве основы для дальнейших логических построений. В настоящей главе диссертации, в качестве такой основы мы выберем приближенную внутреннюю симметрию (или инвариантность, в другой терминологии) перколяционных моделей, позволяющую выражать характеристики сложных систем через характеристики похожих на них простых.
Наличие приближенных внутренних симметрий характерно для многих перколяционных моделей. В своей простейшей форме (которую ниже мы будем называть "локальной симметрией") они были обнаружены уже в ранних работах по перколяции (в 1960-е годы). Смысл локальной симметрии сводится к следующему:
Имеются различные классы перколяционных моделей. Модели внутри данного класса характеризуются набором параметров {д}, причем должна существовать функция /{д} этих параметров (называемая инвариантом), принимающая в точках перколяционных переходов одно и то же значение 1er для всех моделей этого класса. Само по себе наличие такой функции тривиально, оно означает лишь наличие гиперповерхности фазовых переходов в пространстве параметров {д}. Нетривиальным является тот факт, что функция 7{д} оказывается сильно зависящей только от нескольких существенных параметров из всего набора, от остальных же - несущественных - параметров инвариант зависит очень слабо (приближенно не зависит). К примеру, в перколяционной задаче связей на регулярной решетке инвариант / зависит от вероятности образования связи р, от координационного числа решетки Z и от размерности пространства d, но приближенно не зависит от типа решетки. Итак, локальная симметрия - не что иное, как независимость функции I от некоторых характеристик системы. В типичных случаях точность этой симметрии составляет несколько процентов.
Болес внимательный анализ показывает, однако, что описанная выше локальная симметрия может быть расширена. Численные данные свидетельствуют о том, что не только значение /{д} на перколяционном пороге является инвариантным, но и плотность перколяционного кластера Р принимает приближенно одно и то же значение для всех моделей
12
данного класса, если они характеризуются одним значением I. Иными словами, каждый класс характеризуется инвариантной функцией Р(1). Таким образом, согласно гипотезе глобальной симметрии, плотность бесконечного кластера Р является функцией одной переменной - инварианта /, причем это утверждение справедливо не только в непосредственной близости от порога перколяции, но во всей области параметров. Глобальная симметрия выполняется приблизительно с той же точностью, что и локальная, так что представляется неразумным ограничиваться локальным вариантом, не используя дополнительных возможностей, открывающихся при использовании более широкой глобальной симметрии.
Обобщение симметрии на случай "цветных111 моделей, в которых каждому узлу решетки (или неупорядоченной сетки, если исходная система топологически неупорядочена, как это часто бывает в важных для приложений случаях) случайным образом приписывается некоторый "цвет", характеризующий его свойства (например, способность образовывать связи с другими узлами) представляет собой нетривиальную задачу. Эта задача была решена в наших работах [19) (для случая локальной симметрии) и [20] (обобщение на случай глобальной симметрии). До этого один частный случай локальной симметрии для цветной системы был рассмотрен в работах [21, 22]. Использование глобальной симметрии в задаче о цветной перколяции дает возможность не только определить порог протекания, но и найти плотность бесконечного кластера (т.е., вероятность протекания на бесонечность из случайного узла) выше порога, а также найти относительную долю узлов разных цветов в перколяционном кластере, что бывает важно для приложений. Заметим, что все эти характеристики допускают сравнение с результатами экспериментов и численных симуляций.
Необходимо подчеркнуть, что приближенная теория, использующая глобальную симметрию задач перколяции, не приспособлена для выяснения тонкостей универсального (шли неуниверсалыюго) поведения систем вблизи перколяциониого перехода - критических экспонент, и т.п. Сильной стороной этой теории является способность описать довольно широкий класс сложных систем, характеризуемых множеством параметров, в рамках единых довольно простых (хотя и приближенных) представлений и вывести универсальные приближенные формулы, описывающие поведение этих систем в широком интервале параметров.
13
Материал, включенный в эту главу, организован следующим образом:
В разделе 2.2 мы даем обзор известных локальных симметрий в стандартных перколяционных моделях; особое внимание при этом уделяется топологически неупорядоченным системам, важным для дальнейших приложений.
В разделе 2.3 мы вводим цветные модели перколяции, формулируем для них понятие локальной симметрии и выводим приближенный критерий перколяции, основанный на этой симметрии.
В разделе 2.4 мы последовательно вводим понятие глобальной симметрии и демонстрируем ее существование во всех тех случаях, когда существует локальная симметрия. Снова наиболее подробно обсуждаются цветные модели. Мы выводим приближенное "уравнение состояния" для парциальных вероятностей перколяции (т.е для вероятностей того, что узел данного цвета будет принадлежать к перколяциоиному кластеру) и описываем общие свойства его решений.
Полученные в этой главе общие результаты и методы применяются к конкретным физическим системам в последующих главах.
2.2 Локальные симметрии в стандартных задачах перколяции: обзор
Концепция "локальной симметрии" далеко не нова, и мы начнем с обзора известных типов этой симметрии, наблюдавшихся в различных системах.
2.2.1 Задачи перколяции на регулярных решетках
Идея того, что мы называем локальной симметрией, была впервые введена Домом и Сайксом |23| (см. также [24, 25]), которые заметили, что для всех перколяционных "задач связей" (т.е., таких задач, в которых различные связи разрываются с некоторой фиксированной вероятностью независимо друг от друга) на решетках с фиксировваниой пространственной размерностью d порог перколяции рсг приближенно обратно пропорционален координационному числу Z. Другими словами, среднее число В = Zp связей, соединяющих данный узел с соседями является инвариантом, т.е. принимает в точке перколяциониого перехода приближенно одно и то же значение для всех решеток фиксированной пространственной размерности d. Более того, из
14
анализа данных для <1 = 1,2,3, они заключили, что Вст(д) «<2/(^ — 1).
Позднее Шер и Заллен [26] предложили другой инвариант - "объемную долю" д - для задачи узлов (в которой случайно выбранные "черные" узлы с вероятностью 1 — х перекрашиваются в белый цвет и отсоединяются сразу ото всех своих соседей). Этот инвариант определяется следующим образом: нарисуем сферы с центрами в каждом узле решетки и с радиусами, равными половине расстояния между ближайшими узлами (так что соседние сферы касаются). Теперь сосчитаем плотность упаковки рр - отношение суммарного объема всех сфер к полному объему решетки. Инвариант выберем в виде "д = рр - х, где х - доля оставшихся в системе черных узлов. Иными словами, # имеет смысл средней плотности упаковки черных узлов. Величина $Сг (значение д в точке протекания) также оказывается одинаковой для различных решеток одной и той же размерности.
Приближенная инвариантность и Вст иллюстрируется рисунком Рис.2.1.
Подробное обсуждение перколяционных моделей на регулярных решетках можно найти в класическом обзоре Шанте и Киркпатрика [27].
2.2.2 Задачи перколяции на случайных узлах
Скал и Шкловский [28] и, независимо, Пайк и Сигер [29] предложили инвариант для модели перколяции на случайных узлах (известной также, как "модель швейцарского сыра", см. книгу [30]). В этой модели рассматривается сплошная среда со случайно расположенными одинаковыми кавернами (случайными узлами) обычно (но не обязательно) имеющими сферическую форму. Перколяция возникает, когда образуется бесконечная система перекрывающихся каверн, так что возникает возможность путешествовать по бесконечному лабиринту связанных между собой пещер, пронизывающему все пространство. Эта модель играет важную роль в теории прыжковой проводимости неупорядоченных полупроводников, см. [31]. Интересно, что физический смысл инварианта В = пУ^у ( где п - концентрация узлов, а Усау ~ объем одной каверны) для класса задач перколяции на случайных узлах оказывается в точности таким же, как и для класса задач связей на регулярной решетке: это среднее число каверн, перекрывающихся с любой выделенной каверной. Свойство локальной симметрии для это случая заключается в приближенной независимости величины Дг(^) от формы каверн. Заметим, однако, что величины В^ = 2) « 4 и Ду(<* = 3) » 2.7 для случайных
15
0.50
0.45
040
0-35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
il 2.0 1.0 10 <0* 1.7 1.0 1.5 U
square и —, 1 triangular Г——1 г-— (a)
и "kagome honeycomb
diamond sc bcc ■ • hep •
■ их
2 4 8 0 z 10 12
square • triangular (b)
• honeycomb
diamond bco
sc - f—
1 —1 . 1 . fee • 1— ;
12
Рис. 2.1: Иллюстрация локальной симметрии для лерколяционных моделей на различных двумерных (21)) и трехмерных (3£>) решетках (по данным из обзора |27|). (а) - значения $сг для задачи узлов, (Ь) - значения Бсг = яре г ДДЯ задачи связей
16
узлов заметно отличаются от соответствующих величин Всг(д = 2) « 2 и Всг((1 = 3)«1.5 для задачи связей на регулярной решетке.
2.2.3 Случайно упакованные сферы: бинарные смеси
Рассмотрим смесь шариков двух сортов: т (металлических) - с радиусами Ят, и і (диэлектрических) - с радиусами Я*. Поскольку все металлические шарики в этой системе идентичны, к ней также могут быть применены идеи локальной симметрии. Согласно наблюдениям и аргументам, представленимым в работах [4, 32, 33, 15, 18), эта система принадлежит к классу В-инвариантных, так что среднее число Втт связей, соединяющих данный металлическй шарик с другими металлическими шариками, должно быть инвариантом. Убедительное подтверждение такому предположению было получено в очень важной численной работе Бувара и Ланге [10], где было показано, что перколяция в системе возникает приближенно при одном и том же значении Втт = Всг « 2 для различных значений параметра асимметрии р = Яш/Я; в интервале 1/3 < р < 3. Вне этого интервала (т.е., при сильной асимметрии) точность локальной симметрии становится низкой. Итак, бинарные смеси из шариков с не очень сильно различающимися размерами обладают приближенной локальной симметрией с инвариантом Втт.
2.2.4 Почему топологически неупорядоченные задачи узлов обладают симметрией, характерной для задач связей на регулярных решетках?
Все топологически неупорядоченные модели - как перколяция на случайных узлах, так и перколяция на случайных упаковках - рассмотренные в предыдущих подразделах, демонстрируют симметрию, описываемую инвариантом В-типа. Почему эти системы, на первый взгляд явно принадлежащие к классу моделей узлов, обладают симметрией, характерной для задач связей на регулярных решетках? Следующее качественное объяснение этого факта было предложено Киркпатриком [34].
Сосредоточимся только на проводящих гранулах и рассмотрим все связи между ними. Из-за случайного окружения, обусловленного топологическим беспорядком, можно приближенно считать, что все эти связи устанавливаются или разрываются независимо друг от друга. Это обстоятельство отличает
17
задачи узлов на топологичесски неупорядоченных сетках от стандартных задач узлов на регулярных решетках (где различные связи одного и того же узла сильно скоррелированы) и делает их похожими скорее па задачи связей (где такая корреляция отсутствует по определению).
2.3 Локальная симметрия для многоцветных систем
Задача построения инварианта значительно усложняется в случае так называемой цветной системы (см., например, обзор [35]), т.е., такой, в которой каждый узел характеризуется случайным параметром (или набором параметров) а, с априорными вероятностями па (естественно, номированиыми, так ЧТО £аП0 = !)• Вероятность связывания РааГ -
вероятность установления связи между двумя соседним узлами, один из которых имеет цвет а, а другой - а', является, вообще говоря, произвольной функцией параметров а, а'. Как и в стандартной "задаче узлов и связей" (см., например [30]), в обобщенной многоцветной задаче протекания имеется два сорта беспорядка: узлы могут случайным образом приобретать тот или иной цвет, а связи между узлами тоже устанавливаются случайным образом. Существенным усложнением по сравнению со стандартной задачей узлов и связей является, однако, нетривиальный характер матрицы раа>: связи могут, вообще говоря, устанавливаться и между узлами различного цвета. В топологически неупорядоченных системах ситуация дополнительно усложняется из-за флуктуаций локальной координации.
Класс многоцветных задач перколяции чрезвычайно широк, достаточно сказать, что он включает в себя в качестве подклассов как задачу связей, так и задачу узлов. Следовательно, обобщенный инвариант I для многоцветной перколяции (если только он существует), должен в предельных случаях сводиться, соответственно, к В и к д. Характер локальных корреляций в этих двух предельных случаях, однако, чрезвычайно различен, поэтому придумать разумную интерполяцию между В и д очень трудно: насколько нам известно, никто до сих пор этого не сделал. Как и в работах [19, 20], мы ограничимся рассмотрением множества "связе-подобных" моделей, в которых возникает инвариант В-типа. Вопрос о том, является ли данный подкласс моделей цветной перколяции связе-подобным, строго говоря, можно выяснить
18
только a posteriori, путем сравнения результатов теории с данными численного эксперимента. Однако, принимая во внимание аргументы, приведенные в конце предыдущего раздела, можно надеяться, что топологически неупорядоченные цветные модели (которые мы собираемся применять для описания конкретных физических систем) как раз являются связе-подобными.
Постулат о связе-подобности системы сам по себе еще не фиксирует структуру инварианта. Для того, чтобы однозначно определить эту структуру, необходимо привлечь дополнительные физические соображения.
2.3.1 Матрица связывания
Рассмотрим среднее число связей Ваа>, соединяющих данный узел цвета а с другими узлами цвета а'. Это число, очевидно, может быть записано в виде
Baa' ~ baa'fta't (^*1)
где величина b^ называется матрицей связывания. В случае, когда цветная перколяция разворачивается на фоне обычной регулярной решетки с фиксированным координационным числом Z, матрица связывания Ь не зависит от функции распределения п; она выражается через вероятность связывания с ПОМОЩЬЮ простого соотношения baa' = Zpaa'-
Поскольку наибольший интерес для нас представляют топологически неупорядоченные системы, в которых сама величина Z флуктуирует от узла к узлу, кажется разумным использовать именно величину fw -учитывающую одновременно и флуктуации связей, и флуктуации локальной координации, как первичную характеристику системы. Этот шаг, является, однако, далеко не тривиальным. Дело в том, что локальная координация в неупорядоченной сетке может зависеть от "раскраски" окружения. В частности, это очевидно в случае полидисперсного композита, где "цвет" узла - это не что иное, как размер соответствующей гранулы, а большие гранулы, естественно, имеют тенденцию к большей координации. В результате матрица
а
связывания b сама окажется функционалом функции распределения п. Такой эффект корреляции между матрицей связывания и функцией распределения действительно важен для задачи о случайно упакованных сферах, для которой, в частности, и разрабатывается настоящий формализм. К счастью, однако, для случая не слишком широкого распределения гранул по размерам (когда существенные радиусы гранул различаются не более чем на фактор ~ 3),
19
эта корреляция может быть учтена в достаточно простой форме: функция распределения входит в матрицу связывания Ь только через средний квадрат размера гранул < В,2 > (см. раздел 3.2.2 следующей главы). Для более широкого распределения корреляции становятся нетривиальными и теория, по-видимому, должна быть существенно модифицирована для того, чтобы правильно описывать и этот случай. Заметим, однако, что для сфер с сильно различающимися радиусами экспериментально наблюдаются существенные отклонения от локальной симметрии (см. [10]), поэтому и вся основанная на ней теория неприменима для этого случая.
Итак, понятие матрицы связывания Ь оказывается осмысленным и полезным для некоторых (не для всех) моделей цветной перколяции. Общий формализм, развиваемый ниже, эффективен только применительно к таким моделям (мы будем называть их моделями матрицы связывания), дія других же он не
А
имеет большого смысла, так как Ь оказывается зависящим от п некоторым неизвестным образом.
2.3.2 Построение инварианта
Полное среднее число связей для узла цвета а есть
Поскольку Ьаа' ~ матрица, нужно еще придумать способ, каким следует образовать из этой матрицы инвариант, который, естественно, должен быть скаляром. Эта задача нетривиальна. На первый наивный взгляд кажется, что просто нужно взять величину Ва и усреднить ее по цветам а с некоторыми разумно выбранными весами. Однако никакой сколько-нибудь обоснованной процедуры выбора этих весов придумать не удается.
Было предложено несколько ad hoc рецептов (см., например, [31]), но они, во-первых, сомнительны с логической точки зрения, и, во-вторых - довольно плохо работают (т.е., не дают удовлетворительного согласия с известными предельными случаями и с численными данными (см подробнее раздел 4.3.3 ниже). В чем причина неудачи этих попыток? На наш взгляд, она заключается в следующем: поскольку в цветной системе различные узлы неравноправны, все связи данного узла с соседями следует складывать не с равными весами (как в формуле (2.2)) а с весами, отражающими эффективную способность данного
(2.2)
20