Содержание
Введение.................................................................... 3
Список публикаций по теме диссертации................................... 14
Основные ингредиенты метода 5-оде вэ ни я............................... 1G
Применение метода 5-одевания к уравнению Нижппка-Веселова-Новикова и двумерным интегрируемым обобщениям уравнений Кнупа-Купсршмидта и Сава ды-Котера............................................................ 21
Глава 1. Решения с функциональными параметрами уравнения Нижника-Веселова-Новикова....................................................... 35
1.1. Удовлетворение условия потенциальности............................. 35
1.2. Точные решения с функциональными параметрами уравнения HBH-I . ... 36
1.3. Точные решения с функциональными параметрами уравнения НВН-И ... 39
Глава 2. Многосолитонные решения и нелинейные суперпозиции простых периодических решений уравнения Нижника-Веселова-Повикова .... 42
2.1. Общие формулы...................................................... 42
2.2. Точные многосолитонные решения уравнения HBH-I .................... 48
2.3. Точные многосолитонные решения уравнения HBH-II.................... 63
2.4. Нелинейные суперпозиции простых периодических решений уравнения НВН 80
Глава 3. Построение точных потенциалов и соответствующих волновых функций двухмерного стационарного уравнения Шредингера методом 5-одевания ...........................................................107
3.1. Многосолитонные потенциалы и соответствующие волновые функции 2D стационарного уравнения Шредингера......................................110
3.2. Физические свойства стационарных состояний квантовой частицы в поле многосолитонных потенциалов ............................................113
Глава 4. Решения с функциональными параметрами двумерных обобщений уравнений Савады-Котера и Каупа-Купершмидта.........................122
4.1. Решения с функциональными параметрами уравнения 2DKK...............122
4.2. Решения с функциональными параметрами уравнения 2DCK...............133
1
4.3. Простые периодические решения уравнений 20КК и 20СК................140
Заключение ................................................................145
Список литературы .........................................................140
2
Введение
Актуальность работы
Физические законы выражаются, как правило, в форме дифференциальных уравнений. Известна исключительная роль линейных дифференциальных уравнений. Но многие физические явления нелинейны и требуют для своего описания нелинейных уравнений. Нелинейные дифференциальные уравнения встречаются во всех фундаментальных физических теориях: теории тяготения, квантовой теории поля, гидродинамики, теории упругости и т.д. Развитие аналитических методов построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений представляет собой весьма актуальную задачу современной математической и теоретической физики. Весьма актуальным является также использование точных решений нелинейных уравнений для анализа конкретных физических ситуаций.
В 1967 году в работе американских ученых Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (ГГКМ) |1] был открыт новый метод точного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений - метод обратной задачи рассеяния (МОЗР). Авторы указанной работы применили МОЗР к решению задачи Коши для известного нелинейного эволюционного дифференциального уравнения Кортевсга-де Фриза (КдФ):
Щ + ьлхх -1- блид. = 0, и{1 = 0, х) = «о(ж)| (0.1)
где но(.с) достаточно быстро спадает при |т| —+ оо.
Ключевая идея МОЗР состоит в сопоставлении нелинейному эволюционному уравнению нескольких линейных вспомогательных задач, условием совместности которых является данное нелинейное уравнение. Все этапы МОЗР сводятся к решению линейных задач: на первом этапе решается прямая спектральная задача для первой вспомогательной задачи, на втором этапе интегрируются уравнения линейного закона эволюции для данных обратной задачи и на третьем этапе решаются линейные интегральные уравнения обратной спектральной задачи, например, уравнение Гсльфанда-Лсвитана-Марченко (ГЛМ). Подробное описание МОЗР можно найти в книгах [2—9). Важный шаг в развитии метода был сделан в работе Лакса (10), где основные результаты, полученные ГГКМ. были переформулированы в операторной форме. Работа содержала новые, фундаментальные идеи, которые способствовали дальнейшему развитию и обобщению МОЗР.
Вскоре после открытия метода Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой, в работе Захарова и Шабата [11] с помошыо МОЗР было проинтегрировано второе нелинейное
3
уравнение, нелинейное уравнение Шредипгера (НУІ1І). важное для физических приложе-ний Примечательным моментом этой статьи явилось введение в МОЗР локальной проблемы Римана-Гильберта для волновой функции \ вспомогательных задач, что привело к открытию мощных обобщений МОЗР. использующих различные подходы из теории функций комплексного переменного. В данный момент МОЗР, основанный на использовании локальной проблемы Римана-Гильборта, является основным способом интегрирования (1 + 1)-мсрных (одна пространственная и одна временная координата) нелинейных дифференциальных уравнений [3. 7, 12)
Вслед за работой (И), последовали множество других работ, в которых МОЗР был применен к интегрированию других важных (1 + 1)-мерных нелинейных уравнений, таких как модифицированное уравнение Кортсвсга - де Фриза (мКдФ) (13). уравнение Бусси-иеска 11-і). система уравнений, описывающих резонансное взаимодействие трех волновых пакетов в нелинейных средах (15). уравнение синус-Гордон [16) и т д Полученные результаты продемонстрировали эффективность применения МОЗР дня точного интегрирования имеющих большое физическое значение нелинейных уравнений и необходимость его дальнейшего развития
Особое место в ряду аналитических методов интегрирования нелинейных уравнений занимают так называемые методы одевания, позволяющие как конструировать новые интегрируемые нелинейные уравнения вместе с соответствующими вспомогательными задачами, так и вычислять широкие классы точных решений построенных уравнений, а также волновые функции и переменные коэффициенты вспомогательных задач. Основная идея методов одевания заключается в том, что, стартуя с найденного решения более простой (неодетой) задачи, можно получить решение более сложной (одетой) задачи. В фундаментальной работе Захарова и Шабата |17| был сформулирован метод одевания, основанный на факторизации интегрального оператора на прямой в произведение двух операторов Вольтерра (метод одевания Захарова-Шабата) Метод оказался применим как для (1 + 1)-мериых, так н для (2 4- 1)-мсриых (две пространственные и одна временная координата) нелинейных уравнений (7) Другой вариант метода одевания, с использованием локальной проблемы Римана-Гильберта, был разработан в важной для развития МОЗР работе Захарова и Шабата [18).
Успешное применение МОЗР к интегрированию одномерных нелинейных уравнений способствовало развитию и обобщению метода на случай многомерных уравнений. Это
4
привело к открытию целого ряда интересных (2 + 1)- и (3 + 0)-мерных нелинейных уравнений. интегрируемых различными подходами МОЗР. Отметим среди них следующие: двумерное обобщение уравнения КдФ - уравнение Кадомцева-Пствнашвили (КП) [17. 19. 20]; модифицированное уравнение КП (мКП) [21-23]; уравнение Дэви-Стюардсопа (ДС) (обобщение НУШ) [24]; уравнение Ишимори [25] для спинового поля (двумерное обобщение уравнения ферромагнетика Гейзенберга) и т.д. Важное наблюдение Мапакова |26|, относительно испольювания условия совместности линейных вспомогательных задач в более слабой форме (коммутативность операторов вспомогательных задач на пространстве решений этих задач), привело к открытию новых многомерных интегрируемых нелинейных уравнений, таких как уравнение Нижпика-Веселова-Новикова (еще одно двумерное обобщение КдФ) |27, 28], двумерное обобщение уравнения синус-Гордон [29. 30| и других. Некоторые из открытых уравнений нашли физические применения.
Псрзым обобщением МОЗР. позволяющим строить классы точных решений двумерных уравнений. был уже упомянутый метод одевания Захарова и Шабата |17|. С помощью этого метода, в работе [17| (см. также книгу [7]), для уравнения КП были впервые получены решения с функциональными параметрами. Такие решения, представляют собой большой интерес в математических и физических приложениях, так как они содержат функциональный произвол в виде некоторых произвольных функций (функциональных параметров), удовлетворяющих определенным линейным дифференциальным уравнениям.
Как и в (1 + 1)-мерном случае, интегрируемые (2 + 1)-мерные нелинейные уравнения представляются в виде условия совместности некоторых линейных вспомогательных .задач, в которые тем или иным способом вводится спектральный параметр. Введение комплексного спектрального параметра позволяет поставить, исследовать и использовать для нахождения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений некоторую проблему теории функций комплексного переменного. Если для (1 + 1)-мсрных интегрируемых нелинейных уравнений соответствующей проблемой теории функций комплексного переменного оказалась классическая локальная проблема Римапа-Гильберта, то в случае (2 + 1)-мсрных интегрируемых нелинейных уравнений потребовались другие средства. Так. например, для интегрирования уравнения КП-1 (КП с <т2 = -1). в важной работе Манакова [31], впервые была использована нелокальная проблема Рпмаиа-Гильберта дня волновой функции у вспомогательных задач. Эта проблема, как оказалось впоследствии.
5
возникает при интегрировании целого ряда (2 + 1)-мерных нелинейных уравнений таких как. уравнение ДС-И, уравнение НВН-И н т.д. С помощью нелокальной проблемы Ри-мапа-Гильберта, по заданному нелокальному выражению для скачка волновой функции па некотором контуре комплексной плоскости, определяется волновая функция Л': аналитическая внутри и снаружи контура. Переменные коэффициенты линейных вспомогательных задач и точные решения нелинейных уравнений выражаются затем по формулам реконструкции через найденную волновую функцию.
Но этот вариант МОЗР не покрывает все (2 4- 1)-мсрныс уравнения. Так уже. например, для уравнения КП-Н (КЛ с о1 = 1) оказывается, что волновая функция вспомогательных задач х иеаналитична всюду в комплексной плоскости. В этом случае, как было показано в работе Абловица, Бари Яакова и Фокаса [32]. следует использовать так называемую, локальную «9-проблему для волновой функции С помощью ^-проблемы задастся характер отклонения этой функции от аналитичности. Впервые «9-проблема, как обобщение локальной проблемы Римана-Гильберта, была использована в работе Билса и Койфмана [33] при изучении (1 + 1)-мсрных нелинейных уравнений. Кроме уравнения КП-П локальная 0-проблема возникает при решении еще ряда (2+ 1)-мерных нелинейных интегрируемых уравнений, таких как уравнение ДС-1. уравнение НВН-1 т.д.
Более общим случаем О-проблемы является нелокальная 0-проблема, предложенная Захаровым и Ман&ковым [34). Эта проблема была положена в основу разработанного ими нового метода <9-одсвапия (34-36) (см. также книги [37, 38)), который позволяет конструировать новые интегрируемые нелинейные уравнения вместе с соответствующими линейными вспомогательными задачами, вычислять их волновые функции и потенциалы, а также находить широкие классы точных решений нелинейных уравнений. Метод «9-одевания Захарова-Манакова. является вершиной в развитии всех подходов МОЗР и в настоящее время успешно применяется для получения точных решений интегрируемых многомерных нелинейных уравнений. Подчеркнем, что метод д-одевания, по сути своей, позволяет находить волновые функции и классы точных потенциалов, переменных коэффициентов линейных вспомогательных задач. Таким образом, этот метод применим и к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных с переменными коэффициентами.
Развитию метода д-одсваиия для построения интегрируемых уравнений и вычислению их точных решений со специальными свойствами посвящены работы [39—41). Также
6
следует упомянуть работу [42], в которой был предложен так называемый квазиклассиче-ский метод д-одсваиия. представляющий собой общий и эффективный метод построения бездиспорсиониых пределов некоторых 2 + 1-интегрируемых нелинейных уравнений и вычисления их ючпых решений. Интересный вариант метода ^-одевания, основанный на введении в одевающий оператор произвольной функции был рассмотрен для некоторых (1+ 1)-мсрных интегрируемых нелинейных уравнений в работах [43, 44]. В работах (38, 45) было предложено обобщение метода d-одевания. одевание на ([юно, позволяющие строить новые решения интегрируемых нелинейных уравнений на фоне известных решений.
Помимо метода обратной задачи рассеяния, для изучения и построения решений нелинейных уравнений применяются и прямые методы, такие как метод Хироты, преобразования Бсклуида, Дарбу, Моттарда и тд. Указанные методы не предназначены для решения задачи Коши и приводят, в отличие от МОЗР. к бол«; узким классам решений. Прямые методы позволяют получать нетривиальные классы решений и изучать их свойства в тех случаях, когда полный анализ, основанный на подходах МОЗР. весьма затруднен или вообще отсутствует. Метод Хироты [46. 47) является эффективным средством построения точных решений, с использованием обрывающихся рядов теории возмущений. I^образования Бсклуида, действующие на пространстве решений нелинейного уравнения, преобразования Дарбу и Моттарда, действующие па пространстве решений и потенциалов вспомогательных задач, по существу, являются методами одевания, так как позволяют из бо'юс простых, тривиальных решений путем чисто алгебраических конструкций строить иерархии решений нелинейного уравнения. Изучению и применению указанных преобразований к нелинейным интегрируемым уравнениям посвящены монографии [48-51].
Начиная е работы С.П. Новикова [52|, в рамках МОЗР интенсивно разрабатываются методы конструирования точных решений нелинейных уравнений с привлечением методов алгебраической геометрии. В результате, был открыт новый класс решений - ко-печнозонные потенциалы |53). В работе |54] схема коиечиозоппого интегрирования была распространена на (2 4- 1)-мсрныс уравнения, в частности, были построены точные конечнозонные решения уравнения КП. Следует отметить также, что для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений используется симметрийлый анализ этих уравнений на основе теории алгебр и групп Ли [55. 56].
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является применение метода d-одевания Захарова-
7
Маиакова к построению классов точных решений с функциональными параметрами некоторых (2 4- 1)-мерных нелинейных интегрируемых уравнений. Более конкретно, в диссертации ставятся и решаются следующие задачи.
1. Построение с: помощью метода д-одевания класса новых точных решений с функциональными параметрами с ненулевым асимптотическим значением — € на бесконечности для (2 + 1)-мерного интегрируемого нелинейного эволюционного уравнения Нижиика-Вссолова-Новикова (НВН).
2. Исследование частного случая класса точных решений с функциональными параметрами, а именно, подкласса многосолитопных решений уравнения НВН.
3. Физическая интерпретация стационарных состояний микрочастицы в потенциальных полях солитонного типа в соответствии с построенными с помощью метода У-одсвания точными волновыми функциями для двумерного стационарного уравнения Шредингера (первой вспомогательной задачи эллиптической версии уравнения НВН).
4. Построение с помощью метода с^-одевания класса новых точных решений с функциональными параметрами двумерных интегрируемых обобщений уравнений Савады-Котера (2НСК) и Каупа-Купершмидта (2НКК).
5. Построение для уравнения НВН нелинейных суперпозиций простых плосковолиовых периодических решений (ниже, для краткости - простых периодических решений); построение дня уравнений 2Е)СК и 20КК простых периодических решений.
6. Построение специальных "линейных" суперпозиций простых (односолитоиных или простых периодических) решений уравнения НВН таких, что сумма некоторого числа простых решений со специально подобранными параметрами также является решением.
Научная новизна и практическая значимость
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.
• Методом д-одевания построены новые классы точных решений с функциональными параметрами известных интегрируемых нелинейных уравнений НВН. 2БСК и 2БКК.
• Построены новые специальные многосолитоиные решения с ненулевым асимптотическим значением -€ па бесконечности нестационарного и стационарного уравнений НВН. представляющиеся с точностью до константы, кратной f. суммой соответствующих ОД1ЮСОЛИТОШ1ЫХ рСШСНИЙ.
• Построены новые классы простых периодических решений с тригонометрическими функциями sill (J,t) = sill +bky+Ckt.) ИСО&*>*(т. y,t) = COMpb (ftfcT+ЬкУ+Ск t)
интегрируемых нелинейных уравнений IIBH, 2DCK и 2DKK. Для нестационарного и стационарного уравнений НВН построены также специальные нелинейные суперпозиции простых периодических решений, представляющиеся с точностью до константы. кратной с. суммой соответствующих простых периодических решений.
• Построены примеры специальных линейных суперпозиций односолитониых и простых периодических решений нестационарного и стационарного уравнений НВН.
• Для построенных методом 5-одевания прозрачных одно- и двухсолитопных потении-алов и волновых функций двумерного стационарного уравнения Шрсдингсра дана физическая интерпретация соответствующих стационарных состояний микрочастицы.
Работа носит теоретический характер. Результаты, представленные в диссертации, являются актуальными и новыми на момент их публикации. Полученные результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в их публикациях. Все публикации по теме диссертации приведены отдельным библиографическим списком во Введении. Научная и практическая ценность диссертации обусловлены возможностью применения полученных в ней результатов в дальнейших исследованиях по теории интегрируемых нелинейных уравнений и их приложений.
На защиту выносятся следующие основные результаты.
1. Класс точных решений с функциональными параметрами с ненулевым асимптотическим значением -е на бесконечности уравнения НВН (А1, А2|.
2. Специальные классы многосолитонных решений нестационарного и стационарного уравнений НВН, как частные случаи класса решений с функ-
9
циональными параметрами |А2, АЗ).
3. Физическая интерпретация стационарных состояний микрочастицы в поле построенных с помощью метода 5-одевания одно- и двухсолитонных потенциалов |А2, АЗ, А4, А5].
4. Класс точных решений с функциональными параметрами с нулевым асимп тотическим значением на бесконечности уравнений 2DCK и 2DKK |А2, А6).
5. Нелинейные суперпозиции простых периодических решений с тригонометрическими функциями siny?fc(:r. y,t) = sin ip *(едг 4- fefc«/ + Cjfct) и cosp*(ar, y,t) = = cos*pii(akV+bky+Ck1) Для уравнения HBH; простые периодические решения указанного выше типа для уравнений 2DCK и 2DKK [А2, АЗ, АО).
6. Специальные линейные суперпозиции произвольного числа односолигон-ных решений с нулевыми асимптотическими значениями на бесконечности и, аналогично, специальные линейные суперпозиции произвольного числа простых периодических решений уравнения НВН |А2, АЗ].
Апробация работы
Результаты, полученные в диссертации, были доложены на международных конференциях "Nonlinear physics: theory and experiment VI" (23 июня - 3 июля 2010, Галлиполи, Италия) и "Мезоскопические структуры в фундаментальных и прикладных исследованиях" (20-26 июня, 2010 года. Эрлагол. Горный Алтай). Основные результаты диссертации докладывались также на теоретических семинарах в НГТУ. ТГУ. ТГПУ и ИМ СОРАН. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 155 страниц и включает 18 рисунков и библиографию из 93 наименований на 9 страницах.
Содержание работы
Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту положения, описана
10
структура работы по главам. Здесь же приведен краткий обзор основных моментов развития теории классических интегрируемых систем, изложены ингредиенты метода ^-одевания и сформулированы известные схемы метода 5-одевания для уравнений НВН, 20КК и 20СК.
В первой главе диссертации изучается симметричное двумерное обобщение уравнения Кортсвсга - до Фриза (КдФ) - (2 4- 1)-мсриос интегрируемое нелинейное уравнение Н и ж и и к а- Веселова- Новикова (НВН):
здесь £) - скалярная функция и «і. - некоторые константы; £ = х+ауу ?/ = х—ау
и о2 = ±1. Случаю (у = 1 и вещественных констант к? соответствует гиперболическая версия уравнения НВН или уравнение НВН-И, а случаю а = і (£ = г} = г = х 4- іу). л*1 — «2 = к - эллиптическая версия уравнения НВН или уравнение НВН-І (известное также как уравнение Веселова-Новикова (ВН)).
Для обеих версий уравнения НВН методом 5-одевапия построены классы новых точных решений г функциональными параметрами с постоянным асимптотическим значением —е на бесконечности; т.с.
где й(£.1}Л) 0 при 4- г/2 —> оо. Уравнение НВН является симметричным двумерным
обобщением уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ). В дифференциальной геометрии это уравнение и так называемое модифицированное уравнение НВН (мНВН) применяются для описания интегрируемых деформаций специального класса поверхностей [57|. Бсздис-персионный предел уравнения НВН описывает, в пределе геометрической оптики, распространение света в некотором классе нелинейных сред (58, 59]. Результаты, представленные в первой главе диссертации, опубликованы в работах (А1. А2].
В качестве частных случаев решений с функциональными параметрами уравнения НВН во второй главе диссертации подробно рассмотрены подклассы миогосолитонных решений, а также нелинейных суперпозиций простых периодических решений (с тригонометрическими функциями sin у Л) = sin<pjt(a*:c + bky 4- ckt) и со spk(x,y,t) =
= cos+ + Cfct))> Bee построенные простые периодические решения и их суперпо-
зиции являются сингулярными решениями.
«I 4- «1 Щк 4- K2v,m + ZKi{vdv 4- 3к->{ид^ = 0.
(0.2)
Піf) = «К. Ф 0 + «*> = й(£, *7. 0 -
(0.3)
11
Построены явные примеры односолитонных и простых периодических решений уравнения НВН. Построены специальные нелинейные суперпозиции двух простых (односолитонных или простых периодических) решений вида
и(£,т/, Ь) = -е 4 7/,/) = 5 4- н{1)(£,у/. О 4 (0-4)
где г/, £) = — с 4 77 = 2 односолитониые или простые периодические
решения. Для всех построенных решений вычислены волновые функции линейных вспомогательных задач.
Помимо суперпозиций типа (0.4) построены также и специальные нелинейные суперпозиции большего числа простых решений п = 1 N > 2 (односолитонных или
простых периодических решений), удовлетворяющие уравнению НВН. Такие решения имеют вид
.V
и($.7]Л) = -с 4 п(1>(£./?,/) 4 (0.5)
»<»2
и состоят из одною нестационарного = -с4?1(1)(£, 77, £) и -'V — ] стационарных (с
независящими от времени фазами) простых решений = —6 4 м*п>(£,т/). Показано
также, что любая сумма -6 4^ 1 ^ ? < ] < А;, образованная из слагаемых решений
л а»
(0.5). является также решением уравнения НВН, а суммы -с 4 1 < г < у ^ N.
п—г
являются также точными решениями стационарного уравнения НВН.
Показано, что в подходящим образом определенном пределе — с —* 0 (д-одевание с нулевым асимптотическим значением) построенные нелинейные суперпозиции двух (0.4) или более (0.5) простых решений (односолитонных или простых периодических) превращаются в специальные линейные суперпозиции произвольного числа соответствующих простых решений. Таким образом, построен новый класс точных решений нестационарного н стационарного уравнений НВН в форме линейных суперпозиций произвольного числа простых решений и^п\ п = 1,.... N так, что суммы и = ц^‘^4.. .4т/*”*\ 1 < А‘1 < /г2 < ... < кт ^ N произвольного числа решений из указанного множества также являются решениями. Результаты, представленные во второй главе, опубликованы в работах |А1, А2. АЗ).
Первая вспомогательная задача уравнения НВН, при ненулевом значении потенциала на бесконечности (0.3), имеет вид
Ь\Ф = {$„ 4 й)ф = ечу. (0.6)
В случае эллиптической версии уравнения (уравнение НВН-1). т.е. для комплексных £ и //,
12
- Київ+380960830922