Термодинамические и транспортные свойства горячей и плотной ядерной материи в моделях среднего поля

Оглавление
1 Введение 5
2 Полурелятивистская двухфазная модель 10
2.1 Адронная фаза. Модель Зимами....................................12
2.2 Модель „НТЬ-мешков“ и полурелятивистская двухфазная модель. 17
2.3 Сравнение с решеточными данными.................................21
2.4 Выводы..........................................................30
3 Модель релятивистского среднего поля со скейлингом адронных
масс и констант связи 31
3.1 Лагранжиан .....................................................37
3.2 Давление при конечных плотности и температуре...................42
3.2.1 Барионные слагаемые.......................................45
3.2.2 Вклад средних полей.......................................40
3.2.3 Бозонные возбуждения......................................47
3.3 Выбор параметров и функций скейлинга.............................51
3.3.1 Параметры модели релятивистского среднего поля...........«51
3.3.2 Скейлииговыс функции.....................................«53
3.3.3 Константы связи барионов..................................54
3.3.4 Каоны.....................................................55
3.3.5 77-мезон..................................................57
3.4 Уравнение состояния: пертурбативный случай......................58
3.4.1 Уравнение состояния при Т = 0..........................«58
2
3.4.2 Уравнение состояния при Т ^ 0.............................G4
3.4.3 Применение модели к столкновениям тяжелых ионов ... 76
3.5 Уравнение состояния доя полного варианта модели.................85
3.5.1 Сравнение с пертурбативным вариантом при Т ф 0............85
3.5.2 Изоэнтропические траектории...............................87
3.G Учет ненулевой ширины резонансов................................90
3.7 Другие подходы к вычислению эффективных масс возбуждений
средних полей..................................................103
3.7.1 Трактовка <т-поля как независимой переменной.............103
3.7.2 Учет барионных петель....................................106
3.8 Выводы.........................................................109
Объемная и сдвиговая вязкость в адронной и кварковой фазахШ
4.1 Скорость звука в адронных моделях .............................114
4.2 Модель тяжелых кварковых „мешков“ (HQB)........................116
4.3 Двухфазная модель и ее уравнение состояния.....................116
4.4 Сдвиговая и объемная вязкости в адронной фазе..................123
4.4.1 Столкновительная вязкость в модели SHMC. Вывод уравнений123
4.4.2 Столкновительная вязкость в адронной материи при цн = 9128
4.4.3 Столкновительная вязкость при цц ^ 0.....................134
4.4.4 Столкновительная вязкость в столкновениях тяжелых ионов 141
4.5 Сдвиговая и объемная вязкости в кварковой фазе ................145
4.5.1 Оценки времени релаксации................................145
4.5.2 Столкновительная вязкость в кварк-глюон ной фазе .... 147
4.5.3 Об „экспериментальных“ данных по сдвиговой вязкости. . . 151
4.G Выводы.........................................................153
Сдвиговая и объемная вязкости для глюо-матсрии 155
5.1 Уравнение состояния............................................15G
5.2 Вычисление коэффициентов вязкости..............................160
5.3 Результаты для коэффициентов вязкости .........................1G1
5.4 Вы йоды
167
6 Приложение. Термодинамика идеального однокомпонентного газа. 169
6.1 Функция распределения и ее свойства........................170
6.2 Определения функций идеального газа........................171
6.3 Фермионы при Т = 0.........................................172
7 Заключение 173
4
Глава 1
Введение
Квантовая хромодинамика (КХД) при конечных температурах Т и/или барион-ных химических потенциалах цв имеет фундаментальное значение, так как описывает свойства вещества в ранней вселенной, в нейтронных звездах и в столкновениях тяжелых ионов. Фазовая диаграмма сильновзанмодсйствующей материи в широком интервале температур и барионных плотностей исследовалась и исследуется в настоящее время с помощью экспериментов по столкновениям тяжелых ионов на ускорителях AGS (Брукхэйвен), SPS (CERN), RIIIC (Rcla-tivistic Heavy Ion Collider, Брукхэйвен) и LHC (Large Hadron Collider, CERN). Исследования термодинамических свойств и фазовой структуры КXД-материи при высоких барионных плотностях и температурах привлекают особое внимание в последние годы в связи с планами построения новых ускорительных установок FAIR (GSI, Дармштадт) и NICA (Nuclotron-based Ion Collider fAcility, Дубна), которые покроют область энергий тяжелых ИОНОВ Elab = 5 — 35Л ГэВ И ^/SjVJY =
4 — 11 ГэВ, соответственно. Увеличение интереса к этой области энергий вызвано также низкоэнергетическим проектом на R.IIIC, целью которого является идентификация критической точки и фазовых границ, и идущими в настоящее время дискуссиями о поиске возможной кварк-глюонной смешанной фазы на планируемом коллайдере NICA.
В применении к столкновениям тяжелых ионов знание уравнения состояния (в дальнейшем, для краткости, УС) необходимо для понимания фазового состо-
яния вещества и его гидродинамического моделирования. На сегодняшний день все предсказания о наличии кварк-глюонной плазмы в столкновениях тяжелых ионов связаны с УС. Наличие фазового перехода в УС ядерного вещества способно значительно влиять на эволюцию образующегося файербола, в частности, оно приводит к эффекту „точки наибольшей мягкости“ — локальному минимуму в отношении Р/е и скорости звука с^, что, очевидно, может привести к замедлению эволюции системы в этой точке. Также знание УС важно для изучения электромагнитных сигналов, практически без потерь несущих информацию о распределении температур и барионных плотностей из всего объема файербола.
В последние годы был достигнут очень значительный прогресс в понимании фазовой диаграммы КХД в рамках калибровочной теории на решетке (КТР). Большой вклад в развитие решеточной КХД висели, в том числе, российские авторы (см. |7| и ссылки оттуда). Однако из-за использования нефизических масс кварков вплоть до последнего времени КТР не могла предоставить надежные результаты по свойствам адронной материи в фазе конфайнмепта. КТР также на данный момент существенно ограничена умеренными значениями барионного химического потенциала Дд, такими что цн < Т. При этом — как при нулевом химическом потенциале, так и при его малых ненулевых значениях — оказалась очень успешной интерпретация решеточных результатов в рамках феноменологических квазичастичных моделей, т.е. в терминах эффективно массивных кварков и глюонов с простым взаимодействием. Такие модели позволяют при помощи нескольких феноменологических параметров разумно воспроизвести все решеточные'гермодинамические величины. По этой причине необходимость в различных феноменологических моделях для описания термодинамических свойств КХД-материи при больших барионных плотностях не уменьшается.
Другими вопросом, тесно связанным с предыдущим, к которому также наблюдается большой интерес, является описание свойств адронов в сильновзаимо-действующей материи. Он обусловлен тем фактом, что различные эксперименты указывают на изменение адронных масс и/или ширин в среде (см., например, обзор [8|). Как ожидалось, эти изменения должны быть связаны с частичным
б
восстановлением киралыюй симметрии в горячей и/или плотной ядерной материи [9]. Позднее оказалось, что связь между киральным конденсатом КХД, являющимся параметром порядка для карального фазового перехода, и адронными спектральными функциями не такая прямая, как это первоначально предполагалось. Тем не менее, изучение изменения свойств адронов в среде является важнейшим пунктом научных программ FAIR, NIC А и низкоэнергетических исследований на RHIC.
Теоретические предсказания для критической барионной плотности и температуры кварк-адрон ного фазового перехода (ФП) сильно зависят от УС адронной и кварк-глюонной материи при высоких плотностях и температурах. Существуют определенные ограничения на выбор моделей, так как УС должно быть способным воспроизвести глобальное поведение и свойства ядерной материи вблизи основного состояния. Так, любое УС адронной материи должно описывать экспериментальные данные для глобальных характеристик атомных ядер, таких как плотность ядерного насыщения, энергия связи на нуклон, коэффициент сжимаемости, энергия асимметрии и некоторые другие. Определенные ограничения на модели адронного УС следуют из анализа прямого и эллиптического потоков частиц, результат которого задает допустимые теоретические значения давления в некотором конечном интервале барионных плотностей пц при Т —
О [10, 11|, и анализа данных по К+ в столкновениях тяжелых ионов. В дополнение к этим ограничениям, следует учитывать астро-физнческие границы на поведение ^-равновесной нейтронной материи (нейтронные/компактные звезды, 7’ = 0, см. |12|) при высоких плотностях, полученные в работе [13|. Также к существенным ограничениям на свойства моделей приводят результаты решеточных вычислений.
Построение УС с ФП тесно связано с нерешенной проблемой деконфайнмента. Несмотря на большой прогресс решеточных вычислений, они все еще не позволяют напрямую построить УС, описывающее ядерную материю в столкновениях тяжелых ионов и нейтронных звездах.
Простейшим способом включить в УС фазовый переход деконфайнмеита
является построение двухфазной модели, которая предполагает, что исследуемая система способна находится в одном из трех состояний: адронной фазе, фазе кварк-глюонной плазмы (КГП) или смешанной фазе Гиббса. Двухфазная модель по построению реализует скачкообразное изменение термодинамических величин в точке ФП, т.е. ФИ всегда первого рода. Следствием такой конструкции является то, что в двухфазных моделях полностью пренсбрегается взаимодействием меж,чу кварками, глюонами и адронами в области сосуществования (смешанной фазе). Феноменологические УС как адронной фазы, так и фазы КГП, также должны в дополнение к перечисленным выше ограничениям быть термодинамически согласованными [14].
В диссертации рассматривается только один вид УС сильповзаимодействую-щей материи, позволяющим простейшим образом учесть ФГ1 деконфайнмента,
— двухфазные УС с ФП деконфайнмента первого рода. Такие УС строятся на основе условий Гиббса теплового, химического и механического равновесия фаз (подробнее см. следующую главу) и, очевидно, содержат фазовый переход первого рода по построению. Для построения такой двухфазной модели нужны только соответствующие независимые модели адронной (низкотемпературной) и кварк-глюонной (высокотемпературной) фаз, что обеспечивает простоту подхода. Несмотря па то, что такое УС не содержит критической точки, о наличии которой говорит КТР, многие свойства УС КХД-материи можно понять на основании такой модели.
Целыо данной диссертации является построение и исследование свойств феноменологического УС горячей и плотной ядерной материи с ФП деконфайнмента, включающего как адронные, так и кварк-глюонные степени свободы. Построенное УС должно разумно воспроизводить решеточные результаты в высокотемпературной фазе, а также удовлетворять основным известным ограничениям при Т = 0 в адронной фазе.
Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и приложения. В начале каждой главы формулируется рассматриваемая в ней проблематика, в конце — приводятся основные результаты.
Во второй главе мы рассмотрим полурелятивнстскую двухфазную модель. В третьей главе будет развита модель адронной фазы на основе релятивистского среднего поля со скейлингом адронных масс и констант связи. В четвертой главе эта модель будет использована для построения релятивистской двухфазной модели и исследования кинетических свойств ядерной материи. Наконец, в пятой, заключительной главе будет коротко рассмотрен вопрос об УС и кинетических свойствах чистой глюо-матсрии, в которой фазовый переход деконфайн-мепта является точно переходом I рода. В заключении перечислены основные результаты диссертации, выносимые на защиту. В приложение вынесены часто используемые при описании квазичастичных моделей определения термодинамических функций однокомпонентиого идеального газа с произвольной статистикой, а также некоторые свойства производных функции распределения.
Глава 2
Полурелятивистская двухфазная модель
Относительно недавно стали доступны первые решеточные вычисления для ненулевых значений цв при Т Ф 0 для систем с Л'/ = 2 [15, 1б| и IV/ =
2 + 1 (17, 18| ароматами. Примерно в эго же время были сделаны попытки описать КХД-решеточную термодинамику как выше, так и ниже Тс в рамках теоретико-полевой модели, включающей свойства как деконфайнмента, так и восстановления киральной симметрии |19], а также в рамках некоторых феноменологических моделей, основанных на решеточных результатах для кварк-глюон-ной статистической суммы [20|. Некоторые уникальные параметризации КХД УС ниже н выше Тс были также представлены в работе (211.
Как отмечалось во Введении, феноменологическое УС должно быть как термодинамически согласованным 114], так и воспроизводить глобальное поведение ядерной материи вблизи основного состояния и его основные свойства, а также удовлетворять некоторым экспериментальным ограничениям и ограничениям на свойства модели, следующим из недавних КТР-результатов.
В данной главе будет построено такое УС сильновзамодсйствующей КХД-материи с ФГ1 деконфайнмента, которое удовлетворяет всем упомянутым адронным ограничениям, а также позволяет учесть нефизическую массу пиона при сравнении с решеточными КХД-рсзультатами, полученными для системы с 2+1
10
ароматом при конечных Т и ненулевых барионных химических потенциалах.
Решеточные результаты показывают, что даже при температуре Т много большей, чем температура деконфайнментаТс, термодинамические наблюдаемые, такие как давление, энтропия, бариоииое число (заряд) и плотность энергии, все еще на > 20% отличаются от их асимптотических значений, характерных для идеального газа. Такие отличия, наблюдаемые при Т > 2ТС, как было показано, хорошо объясняются систематическим вкладом взаимодействий в самосогласованную реализацию масс квазичастиц в HTL-ириближении (HTL — Hard Thermal Loop) пертурбативной КХД [22|. С другой стороны, КТР-термодинамика ниже Тс хорошо воспроизводится моделью адронного резонансного газа |23, 24]. Для описания же термодинамики в точке Т = Тс или вблизи фазового перехода, требуются дополнительные модельные предположения [25, 2G, 27, 28].
Из сказанного выше ясно, что модель для УС КХД простейшим образом может быть построена соединением невзаимодействующего резонасного газа в низкотемпературной фазе с идеальной кварк-глюонной плазмой в некоторой нопертурбативной яме (мешке) для фазы деконфайнмента |29|. Эти фазы пересекаются на границах фазового перехода посредством условий фазового равновесия Гиббса. Такая модель |30] является до настоящего времени простейшим методом учесть явление конфайнмента в УС, хотя имеет несколько серьезных недостатков.
Более сложный метод для моделирования УС КХД основан на использовании эффективного гамильтониана, который включает взаимодействие составляющих. В квазичастичном приближении такой гамильтониан может быть построен с помощью взаимодействия через некоторое среднее поле, зависящее от плотности [14, 31,32]:
Ж= £ Y1 (<1г г. <0 [\/-V2 + m) + Uj(p)\ ^(r, s) - С(р) V, (2.1)
где j нумерует различные сорта квазичастиц (адронов и/или несвязанных кварков и глюонов), а через s обозначены внутренние степени свободы. Здесь Uj(p) — зависящее от плотности среднее ноле, действующее на квазичастицу j, описываемую полевым оператором fy, с массой rrij. Гамильтониан (2.1) является полуре-
лятивастскпм, поскольку энергия свободных квазичастиц задана в релятивистской форме, а их взаимодействие со средой описывается с помощью нерелятивистского среднего ПОЛЯ.
Подставляя зависящий от плотности гамильтониан (2.1) в статистическую сумму, надо учитывать некоторые дополнительные ограничения, которые нужны для выполнения термодинамической согласованности |33| :
где (Л) обозначает среднее значение оператора А по статистическому ансамблю. Для гамильтониана (2.1) условия (2.2) могут быть записаны как |33]
Можно показать [14, 31, 32|, что условия (2.3) удовлетворяются только в том случае, если среднее поле из(р) и корректирующая функция С(р) не зависят от температуры. Эго легко видеть, если продифференцировать первое выражение по Т, а второе по гц и вычесть их друг из друга.
Воспользуемся эффективным гамильтонианом (2.1) для моделирования УС адронной фазы и фазы кварк-глюоиной плазмы.
2.1 Адронная фаза. Модель Зимани.
Адронная фаза рассматривается как газ адронов и резонансов в термодинамическом равновесии. В общем случае плотность адронов сорта j находится из
где (I] — фактор вырождения, учитывающий спин и изоспин, а функция пи! есть не что иное, как число частиц сорта і в идеальном газе для заданных температуры и химического потенциала (см. определение (6.13)). Химический потенциал Цу связан с барионным цв и странным химическими потенциалами соотношением
(2.2)
Щ = пДЗ\р, - и,) = ц} - иу,т,,<і,)
(2.4)
I
где и — барионный за])яд и странность частицы j. Адронный потенциал из = £/Уг) берется, следуя нелинейной модели среднего поля [34], в виде
и]Н) = дг.> ч>\(х) + да,3 4>2{у), (2.6)
где дг<3 > 0 и да,3 < 0 — константы связи отталкивательного и притягательного взаимодействий, соответственно. Соответственно, к ваз и частичная энергия ,;-го адрона
и^к) = у/к2 + т? + С/]А). (2.7)
Взаимодействие дает вклад также в зависящее от плотности дополнительное слагаемое С(р), входящее в выражения для давления и плотности энергии. Если взаимодействие частиц берется в виде (2.1), то требование термодинамической согласованности (2.3) приводит к тому, что функции <р\{х) и <^>2(1/) могут зависеть только от плотностей частиц. В работе |34] эти функции были выбраны так, что
Ьцр1 = X, -61(^2 + Ь2<р\) = у, (2.8)
где
X = У ] 9г,{ У — У 9а,{ Щ »
»€{/»} *€{/»}
а 61, Ь2 — свободные параметры. Член вводится для того, чтобы притяжение росло с плотностью при высоком сжатии медленнее, чем линейно, как это происходит в релятивистских моделях среднего поля. Помня о том, что адронное УС будет пересекаться с кварк-глюонным УС, удобно переписать (2.8) в терминах числа конституентиых кварков и антикварков ц :
Рз ” Щ — пз{Т)Ц) — из) . (2-9)
В оригинале |34| адронная фаза моделировалась как смесь нуклонов и Д-резонаисов (т.е. ] = .У, Д). Следуя |14|, мы обобщаем этот подход, включая все адроны и резонансы с массами до 1.6 ГэВ и предполагая, что все константы связи зависят только от числа составляющих адроны кварков, т.е. дТуз/ц — 9г =
13
4 L М.лиЛл .л - . «і it її і ли .am л її я 2 z.uiji. .їв л imai
const, yaj/vj s gu =const :
Ulh) = 4 {[?i(p(ft)r + ^2(p(fc))} , (2.10)
pW =* "22 ps = ^2 Vj rij , (2.11)
І€{л} >€{*}
где и ^2 удовлетворяют уравнению (2.8) в следующей форме
с\Фі = Р[и\ -С2Ф2 - с3$2 - Р(Н)- (2.12)
По сравнению с (2.6), (2.8) в (2.10), (2.12) введен дополнительный свободный параметр а. Этот параметр используется для контроля силы оттал к и нательного взаимодействия при высоких плотностях [31, 32]. Новые параметры в (2.12) выражаются через предыдущие как
61 61
с» = 7 = 7----------------7—сі —
(9rj/Vj)2' (9aj/Vj)2* ' (9aj/Vj)4 '
Решая кубическое уравнение (2.12), находим потенциал взаимодействия
1/<л) = vj {X [р^]а - , (2.13)
где функция F имеет вид
12 V3 2Ь
ДО = 4-4-^, (2Л4)
и Tj
і/з
п= ( т+ \/fr, + “2 1 ■ (2Л5)
a V п-
Здесь параметры а, 6 и X введены для сокращения записи:
V' 1 с’3 / с‘2
Л = —, а = —, о =
d5 9 * 12^ •
В таком представлении адронные давление и плотность энергии будут иметь
14
I
ы,. .111 uiiu.ilшищ ■!ап ■ ■■■§■■■> и
вид
Р"(Т,„В,ИЗ) = ]Г Р'“(Т'Ъ - и?\т^) +
>€{Л)
р(л>
г /«.\4rt-4-l /1,\ . /ь\.
+
а +1 1' ■* ’ " '
о
еи(Т,цв,цз) = £ еы(Т,ц - и)к\т^^) +
>е{Л}
/,<'0
р 1-/
Гр('»г+' _ ^>5-(р(*)) + [ р(1) М, (2.16)
а + 1 J
+ ^ТТ [^'Т- /^(‘)Л. (2.17)
О
где функции идеального газа р,н, £ы определены и Приложении (см. (6.11), (6.12)). Следуя Ур. (2.4), полная барионная плотность и плотность странности и адронной фазе могут быть выражены как
п" = ^6,^(Т,Л-С/<',)), (2-18)
п” = 53 у пЛТ> /у ~ 6ГГ)) • с?-19)
^€Л
Суммирование проводится но всем адронам (включая античастицы).
Параметры модели адронной фазы фиксируются требованием, чтобы воспро-
—3\
изводились свойства основного состояния (Г — 0 и пд = По « 0.15 фм >
ядерной материи: давление равно нулю, энергия связи на нуклон — —16 МэВ
и коэффициент сжимаемости К0 = 210 МэВ. Зная выражения для термодииаМИ' ческих характеристик, можно выписать их явно:
£^_т„ = !ЖЫ+* [ р(1п„)М-т„ = Е!, (2.20)
п о но щ а +1 у
л
Р" = р$(кР) + -^-(Згго)“+1 + по [ Р(1п0) М - ЗгюГ(Зпо) = 0, (2-21)
а -г 1 ]
дп2
Т—0, пп=по
= 3 [Й + 9«х„;> - 0паР(щ) ер
= К». (2.22)
15
Дополнительный параметр а подбирается из сравнения двухфазной модели, которая будет описана ниже, с решеточными данными. В результате были получены следующие значения:
а = 2.1, а = 26.0977, Ъ = 100.643, X = 0.446908. (2.23)
Рис. 2.1: Давление как функция бар нон ной плотности при Т = 0. Сплошная кривая результат модифицированной модели Зиманн, штриховая — УС идеального і'аза, соответственно. Закрашенная область соответствует ограничениям Дани леви ча [10).
В работе Данилевича с соавторами |10| на основе анализа экспериментально наблюдаемых значений »уклонного потока в столкновениях тяжелых ионов для области энергий < 10Д ГэВбыли получены ограничения на давление адронного УС при Т = 0. Как показано на Рис. 2.1, приведенное выше адронное УС с параметрами (2.23) удовлетворяет этим ограничениям. Верхняя граница закрашенной области на рисунке согласуется с ограничениями, следующими из анализа свойств нейтронных звезд 113). В высокотемпературном режиме существует также удовлетворительное согласие нашей модели с термодинамикой модели взаимодействующего пион ного газа [35|, как это видно из Рис. 2.2.
16
0.0
0.2
60 80 100 120 140 160 180 Т, МеУ
60 80 100 120 140 160 180 Т, МеУ
Рис. 2.2: Температурная зависимость давления и плотности энергии в единицах Т4 для взаимодействующего пионного газа (система тг+р). Сплошная линия показывает наш результат, штрих-пунктирная и штриховая линии — взаимодействующий [35| и идеальный пнониый газ, соответственно.
2.2 Модель „НТЬ-мешков“ и полурелятиізистская двухфазная модель.
В моделях типа модели „мешков“ МТИ (МТИ — Массачусетский Технологический институт), ФГІ деконфайнмента получается посредством пересечения УС идеального газа невзаимодействующих адронов и резонансов с идеальным газом кварков и глюонов. Ниже мы рассмотрим двухфазную модель, которая включает взаимодействия в адронной фазе и фазе КГП независимо друг от друга. В предыдущей секции была описана адронная фаза в рамках феноменологической модели среднего поля. Далее нам нужна модель для высокотемпературной фазы.
Вообще говоря, в квазичастичном приближении фаза КГП описывается как газ партонов (невзаимодействующих точечных кварков, антикварков и глюонов) замкнутых в некоторый „мешок“. Непертурбативиые эффекты, связанные с копфайнментом, учитываются константой энергии вакуума В. Недавние решеточные результаты показывают, что такой подход неадекватен, так как УС отличается от асимптотических значений идеального газа даже при температурах
17