СОДЕРЖАНИЕ
Введение..................................................................11
Глава 1. Исследование пространственно-временного хаоса в дискретнонелинейных системах.......................................................21
1.1. Построение и анализ БД и расчет показателя Ляпунова на примере импульсного стабилизатора напряжения повышающего типа....................21
/. 1. I. Хаос в импульсной силовой электронике........................... 21
1.1.2. Математическая модель повышающего импульсного стабилизатора напряжения в режиме управления по току....................................23
1.1.3. Основные принципы построения бифуркационных диаграмм применительно к дискретно-нелинейным системам.............................25
1.1.4. Вычисление показателя Ляпунова для математических моделей.........27
1.1.5. Анализ бифуркационных диаграмм и краткое теоретическое обоснование полученных результатов....................................................29
1.1.6. Перемежаемость первого рода........................................31
1.1.7. Кризисы [2]........................................................33
1.1.8. Влияние внешнего шума на внешний вид БД........................... 35
1.1.9. Основные итоги применения локальных хаотических мер к ИСН-2....... 35
1.2. Экспериментальное исследование хаотических явлений в импульсном стабилизаторе напряжении повышающего типа................................36
1.2.1. Динамический хаос в реальных нелинейных устройствах............... 36
1.2.2. Описание экспериментальной установки повышающего ИСН в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению.........37
1.2.3. Исследование устойчивой работы стабилизатора.......................38
1.2.4. Исследование хаотического режима работы стабилизатора..............42
1.2.5. Результаты эксперимента............................................43
1.3. Детерминированный хаос в импульсном стабилизаторе напряжения повышающего типа в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению.....................................................46
2
1.3.1. Хаос и информационная безопасность..................................46
1.3.2. Математическая модель повышающего ИСН в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению...............................46
1.3.3. Хаос в ИСН. Влияние дополнительной обратной связи по напряжению на устойчивость системы...................................................... 50
1.3.4. «Ползучий» хаос. Временные бифуркационные диаграммы................ 52
1.3.5. Влияние напряжения компенсации на работу ИСН....................... 55
1.4. Влияние учета активных потерь на детерминированный хаос в импульсном стабилизаторе напряжения инвертирующего типа................... 58
1.4.1 Особенности моделирования импульсных стабилизаторов напряжения 58
1.4.2 Вывод уравнений состояния импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа с учетом активных потерь.............................. 59
1.4.3. Построение математической модели работы ИСН-3 в режиме управления по току дросселя..............................................................62
1.4.4. Получение бифуркационных диаграмм ИСН-3.............................65
1.4.5. Результаты построения бифуркационных диаграмм ИСН-3.................70
1.5. Исследование стохастической работы ИСН понижающего тина при учете потерь на элементах силовой части при помощи фрактальных мер...............72
1.5.1. Исходные задачи исследования бифуркационных диаграмм ИС11-1.........72
1.5.2. Общее понятие фрактальной размерности [13]..........................72
1.5.3. Основные обобщенные фрактальные размерности Dq и спектр Реньи [15].... 76
1.5.4. Основные свойства размерностей D{) и Z), [3]........................78
1.5.5. Корреляционная размерность D2 и метод Грассбергера-Прокаччиа........ 79
1.5.6. Метод восстановления фазового пространства и вычисление корреляционной размерности. Теорема Такенса.............................................. 80
1.5.7. Математическая модель ИСИ-1 с учетом различных потерь...............83
1.5.8. Построение модели ИСН-1............................................. 86
1.5.9. Построение БД для ИСН-1 с учетом активных потерь....................90
3
1.5.10. Сравнение бифуркационных диаграмм повышающего и инвертирующего ИСН 90
1.6. Применение фрактальных мер к анализу стохастической работы ИСН повышающего типа при учете потерь в элементах силовой части................93
1.6.1. Исходные задачи исследования бифуркационных диаграмм ИСН-2..........93
1.6.2. Математическая модель ИСН-2 с учетом различных потерь...............93
1.6.3. Построение математической модели ИСН-2 с учетом различных потерь....96
1.6.4. Построение БД для ИСН-2 с учетом активных потерь....................99
1.7. Влинние параметров составного стабилизатора, состоящего из двух понижающих конверторов, связанных по схеме ведущий-ведомый, на его стохастическую работу.....................................................101
1.7.1. Особенности составных стабилизаторов...............................101
1.7.2. Математическая модель связанных ИСН-1 с учетом различных потерь... 101
1.7.3. Построение БД для связанных ИСН-1 с учетом различных потерь........107
1.7.4. Внеиший вид странных аттракторов связанных ИСН и их фрактальные размерности.............................................................. 107
1.7.5. Результаты фрактального анализа стохастичной работы связанных ИСН
при различных значения основных параметров............................... 110
1.8. Выводы по главе 1....................................................110
Глава 2. Исследование скейлинга и мультифрактальных свойств дискретнонелинейных систем на примере ИСН-3........................................115
2.1. Математическая модель ИСН-3 и ее фрактальные свойства................115
2.1.1. Бифуркационные диаграммы ИСН-3 с учетом активных потерь............115
2.1.2. Спектр фрактальных размерностей Репьи для ИСН-3 с учетом активных потерь....................................................................117
2.1.3. Эволюция странного аттрактора ИСН-3 с точки зрения размерностей
Реньи.................................................................... 122
2.2. Показатель массы и мультифрактальный скейлинг-спектр.................124
2.2.1 Введение в мультифрактальные меры [5]...............................124
4
2.2.2. Последовательность показателей массы т(а) [5].......................125
2.2.3. Показатель массы для аттрактора ИСН-3.............................. 129
2.2.4. Функция мультифрактального спектра /(а) [15]........................131
2.2.5. Геометрические свойства /{а) [15]...................................134
2.2.6. Мультифрактальный сингулярный скейлинг-спектр и показатель Липшица-Гёльдера для странных аттракторов ИСН-3................................... 137
2.3. Канторовское множество и чёртова
лестница...................................................................140
2.3.1. «Чёртова лестница» [5]............................................. 140
2.3.2. «Чёртова лестница» мультипликативного процесса [3]..................141
2.3.3. Чёртова лестница странного аттрактора ИСН-3.........................143
2.3.4. Основные результаты применения мультифрактальных мер к импульсным стабилизаторам напряжения..................................................145
2.4. Фрактальность геометрической структуры аттракторов импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа...............................145
2.4.1. Диссипативные системы и скейлинг....................................145
2.4.2. Параметры модели импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа для синтеза аттракторов с геометрическим самоподобием...............................................................148
2.4.3. Геометрическое самоподобие поверхности сечения......................148
2.4.4. Вертикальный скейлинг отображения Пуанкаре для выходного напряжения инвертирующего импульсного стабилизатора...................................149
2.4.5. Масштабная инвариантность отображения Пуанкаре для тока дросселя инвертирующего импульсного стабилизатора...................................149
2.4.6. Геометрическая фрактальность структуры аттракторов ИСН-3............152
2.5. Выводы по главе 2.....................................................
Глава 3. Разработка фрактального метода выявления временного лага и фазового сдвига для дискретно-нелинейных систем по фрактальным временным рядам............................................................153
5
3.1. Анализ существующих методов выбора временной задержки т применительно к дискретно-нелинейным системам................................154
3.1.1. Метод автокорреляционной функции [3]..................................157
3.1.2. Метод взаимной информации [3].........................................157
3.1.3. Модифицированный метод взаимной информации [3]........................158
3.1.4. Метод основанный на вычислении спектра мощности...................... 158
3.1.5. Метод среднего отклонения [3].........................................160
3.2. Предварительный фрактальный анализ хаотических сигналов в импульсных стабилизаторах напряжения.........................................162
3.2.1. Применение метода нормированного размаха Хёрста к расчету временной выборки инвертирующего ИСН...................................................162
3.2.2. Метод восстановления фазового пространства и теорема Такенса..........162
3.2.3. Метод Грассбергера-Прокаччиа для вычисления корреляционного интеграла... 164
3.2.4. Некоторые практические аспекты и оценка Зкмана-Рюэля..................165
3.2.5. Вычисление корреляционной размерности Dc и размерности пространства вложения тс для ИСН..........................................................166
3.2.6. Метод ложных ближайших соседей [3]....................................168
3.3. Разработка фрактальных методов выявления временного лага дискретнонелинейных систем............................................................170
3.3.1. Применение показателя Хёрста к выявлению временного лага г дискретнонелинейных систем........................................................... 170
3.3.2. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа к выявлению временного лага т дискретно-нелинейных систем..................................................173
3.3.3. Применение метода ближайших ложных соседей к выявлению временного
лага г дискретно-нелинейных систем...........................................185
3.4. Применение фрактальных методов к выявлению «фазового сдвига» дискретно-нелинейных систем..................................................187
3.4.1. Применение методов Грассбергера-Прокаччиа и показателя Хёрста к выявлению «фазового сдвига» дискретно-нелинейных систем......................187
6
3.4.2. Алгоритм нахождения величины временной задержки т для хаотических сигналов порожденных дискретно-нелинейными системами.........................195
3.5. Выводы но главе 3.......................................................197
Глава 4. Разработка полного алгоритма построения модели неравновесной системы предсказывающей ее поведение по ее временному ряду на основе нейронной сети...............................................................198
4.1. Теоретические основы построения математической модели неравновесной системы на основе нейронных сетей............................................200
4.1.1. Теорема Колмогорова-Арнольда [83].....................................200
4.1.2. Работа Хехт-Нильсена [83].............................................200
4.1.3. Следствия из теоремы Колмогорова-Арнольда-Хехт-Нильсена [83]..........201
4.2. Построение предсказывающих нейронных сетей динамической системы на основе ее предварительного фрактального анализа..............................203
4.2.1. Выбор структуры предсказывающей НС....................................204
4.2.2. Выбор функций активации нейронов ПНС и предварительная обработка данных.......................................................................207
4.2.3. Выбор количественных характеристик И НС...............................208
4.2.4. Обучение полученных сетей.............................................209
4.2.5. Восстановление аттракторов............................................212
4.2.6. Полный алгоритм предварительного фрактального анализа временных рядов. .214
4.3. Метод вычисления спектра ЛХП и горизонта прогнозирования................217
4.3.1. Алгоритмы вычисления спектра ляпуновских характеристических показателей [27].............................................................218
4.3.2. Энтропия Колмогорова. Метод определения К-системы [8].................222
4.3.3. Среднее время предсказуемости хаотической системы [8].................223
4.3.4. Алгоритм вычисления спектра Ляпунова нейросетевьш методом [86]........224
4.3.5. Результаты применения метода вычисления спектра ЛХП и горизонта прогнозирования к дискретно-нелинейным системам..............................228
4.4. Выводы по главе 4.......................................................231
7
Глава 5. Разработка и применение методов фрактального анализа к различным хаотическим сигналам к различным экономическим системам 232
5.1. Анализ корреляции между фрактальными мерами ежедневных и ежеминутных значений отношения Euro/USD с помощью фрактальных мер 232
5.1.1. Исследуемые отношения Euro/USD.........................................232
5.1.2. Сравнение количественных характеристик отношений Euro/USD..............233
5.1.3. Качественный анализ различия ежеминутных и ежедневных значений отношения Euro/USD............................................................236
5.1.4. Применение метода БЛС для анализа отношения Euro/USD...................236
5.1.5. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа для анализа отношения Euro/USD......................................................................236
5.1.6. Итоги применения фрактальных мер к отношению Euro/USD..................237
5.2. Применение фрактальных методов к выявлению глобальных экономических кризисов........................................................241
5.2.1. Временные экономические зависимости, позволяющие выявить глобальный кризис........................................................................241
5.2.2 Применение метода нормированного размах к анализу возникновения кризиса. ..243
5.2.3. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа для анализа кризиса...........244
5.2.4. Оценка точности результатов, полученных методом Грассбергера-Прокаччиа и оценка Экмана-Рюэля...............................................247
5.2.5. Применение метода ЛЕС к ценам на нефть-сырец...........................248
5.2.6. Модификация метода ЛЕС применительно к анализу цен на энергоносители... 250
5.2.7. Основные итоги применения фрактальных методов к выявлению глобапьных экономических кризисов........................................................252
5.3. Фрактальный анализ динамики цен на драгоценные металлы и авторский метод выявления глобальных экономических кризисов.............................253
5.3.1. Особенности рассматриваемых в параграфе временных рядов................253
5.3.2. Особенности авторского метода анализа для выявления глобальных экономических кризисов........................................................253
8
5.3.3. Результаты применения метода........................................254
5.3.4. Выводы о применении авторского метода к анализу цен на драгоценные металлы.....................................................................259
5.4. Выводы по главе 5.....................................................260
Глава 6. Разработка и применение методов фрактального анализа к различным хаотическим сигналам к различным биологическим системам...........261
6.1. Фрактальный анализ электрогастроэнтерографнческого сигнала............ 261
6.1.1. Применение метода нормированного размаха Хёрста к расчету временной выборки электрогастроэнтерографического сигнала.............................264
6.1.2. Анапиз спектра мощности электрогастроэнтерографического сигнала.....265
6.1.3. Нахождения временного лага электрогастроэнтерографического сигнала с помощью метода автокорреляционной функции...................................266
6.1.4. Метод взаимной информации и его применение для нахождения временного
лага электрогастроэнтерографического сигнала...............................266
6.1.5. Применение метода ложных ближайших соседей к анализу ЭГЭГ сигнала...266
6.1.6. Применение метода Грассбергера-Ирокаччиа и оценки Экмана-Рюэля к ЭГЭГ сигналу.....................................................................268
6.1.7. Результаты применения фрактального анализа к ЭГЭГ сигналу...........269
6.2. Применение фрактальных анализа к электрогастроэнтерографическим сигналам с целью диагностирования проблем ЖКТ..............................270
6.2.1. Современная проблематика диагностирования функциональности ЖКТ 270
6.2.2. Радиотехнический комплекс для регистрации биопотенциалов ЖКТ.........272
6.2.3. Результаты клинических испытаний.....................................274
6.2.4. Результаты использования авторского алгоритма фрактального анализа для диагностирования расстройств органов ЖКТ....................................275
6.3. Разработка алгоритма фрактального анализа применительно электроэнцефалограммам при полисомнографии.................................276
6.3.1. Введение в проблематику современной сомнологии.......................277
6.3.2. Некоторые сведения из клинической электроэнцефалографии [158]........278
9
6.3.3. Постановка задачи разработки метода автоматизированного распознания стадий сна..................................................................279
6.3.4. Аппроксимационная энтропия для коротких временных рядов..............280
6.3.5. Результаты применения фрактальных методов к анализу ЭЭГ сигналов 280
6.3.6 Заключение по результатам применения фрактапьных методов к анализу ЭЭГ сигналов............................................................... 284
6.4. Выводы по главе 6......................................................284
Литература.................................................................284
10
Введение
Актуальность темы исследования.
Построение прогнозирующих моделей, для предсказывания дальнейшего поведения наблюдаемой величины является крайне актуальной задачей. При этом наблюдаемая величина будет являться результатом работы какой-либо самоорганизованной системы. По для построения адекватной модели, предсказывающей дальнейшее изменение какой-либо величины, необходимо знать принципы работы системы. Однако в природе мы часто сталкиваемся с самоорганизованными системами, принцип работы которых очень сложен и на момент исследования в принципе не известен. Примеров таких самоорганизованных систем можно привести целое множество, однако следует ограничиться теми, которые рассмотрены в данной диссертационной работе. В частности, рынки энергоносителей и драгоценных металлов являются самоорганизованными системами (принцип формирования мирового рынка предполагает его самоорганизацию). Однако, даже математически описав все законы функционирования данных рынков, придется столкнуться со множеством неизвестных величин, без учета которых модель будет не полная и достоверного прогноза не даст. Следующими примерами хаотических систем являются рассмотренные в данной работе такие биологические системы, как желудочно-кишечный тракт человека и человеческий мозг. Эти системы также, безусловно, являются самоорганизованными, поскольку сам человеческий организм самоорганизуется из хромосомного набора еще в утробе матери и в этом процессе участие предыдущего поколения, кроме энергетического обеспечения, крайне минимально. Все эти системы чрезвычайно сложны, и полные модели этих систем построить практически невозможно. Однако, на практике чаще всего приходится сталкиваться с еще более сложной задачей. И самой сложной и интересной из них, по мнению автора диссертации, является построение прогностической модели самоорганизованной системы на основании одного лишь наблюдения за изменением поведения во времени одной лишь выходной величины системы. Это так называемая задача построения модели «черного ящика», внутри которого заключена неравновесная нелинейная самоорганизованная система. Причем основной информацией об этой системе является только временной ряд, представляющий собой зависимость выходной величины системы от времени. Для рассмотренных систем такие величины следующие: для рынка фьючерсов - цены на основные энергоносители, для рынка мировых товаров - цены на основные драгоценные металлы, для валютных рынков - соотношение евро к доллару (ежедневные значения для продолжительных торгов и ежеминутные значения для
11
внутридневного трейдинга), для желудочно-кишечного тракта человека электроэнтерографический (ЭГЭГ) сигнал, для человеческого мозга - электроэнцефалограмма (ЭЭГ).
Кроме вышеперечисленных, в работе уделено внимание таким техническим системам, как различные разновидности импульсных стабилизаторов напряжения. Это во многом уникальные системы. Во-первых, они являются реально существующими системами, которые обладают натурной моделью, и при учете достаточного количества параметров их математические модели могут с высокой степенью точности описать (или предсказать) их работу. Причем ни один из параметров не является математической абстракцией и абсолютно реален. Во-вторых, эти системы, несмотря на то, что описываются относительно небольшим числом уравнений, демонстрируют весьма сложные нелинейные эффекты. Это похоже на то, как простое популяционное логистическое уравнение даст сложнейшую нелинейную динамику и при изменении одного лишь его коэф-та (бифуркационного параметра), что, в свою очередь, позволяет построить бифуркационную диаграмму, в которой присутствует большинство бифуркационных явлений, отождествляемых с катастрофами.
Построение предсказывающих моделей и методов для рассмотренных выше систем является крайне актуальной задачей. Необходимо разработать или преобразовать алгоритм, позволяющий анализировать сигнал или временной ряд, поступающий от неравновесной нелинейной системы, и построить по результатам этого анализа прогностическучо модель, дающую прогноз дальнейшего поведения этой системы. Соответственно, данный алгоритм также необходимо адаптировать к каждой конкретной области с учетом ее особенностей.
Один из основных этапов данного алгоритма, требующий наиболее пристального внимания - метол выявления временного лага. Эта задача особенно актуальна при анализе временных выборок, представленных достаточно большим количеством отсчетов, к коим, например, относится рассматриваемый в работе элсктрогастроэнтерографический сигнал. Как будет показано в работе, существующие на данный момент методы определения временного лага не дают вразумительных результатов даже для аналитических моделей дискретно-нелинейных систем. Поэтому одной из главных целей данной диссертационной работы будет являться разработка фрактального метода выявления временного лага.
Вплоть до появления работ с участим автора данной диссертационной работы не поднималась задача об установлении начального отсчета исходного временного ряда для выборки с известным временным лагом. Данный номер первого отсчета при восстановлении пссвдофазового пространства можно рассматривать как аналогию с фазовым сдвигом для гармонических сигналов. Эго наиболее актуально для рассматриваемых в работе дискретно-нелинейных систем, у которых моменты переключения внутреннего тактового генератора
12
наиболее полно отражают динамику их работы. Таким образом, актуальной является задача разработки метода выявления так называемого фазового сдвига применительно к дискретно-нелинейным системам.
Построение прогностических моделей для экономических систем было и будет являться крайне актуальной задачей. На данный момент существует множество методов для примерного предсказания поведения каких-либо экономических рядов. Современная тенденция такова, что наиболее хороню применительно к некоторым сегментам рынка работают модели, учитывающие максимально возможное число параметров. В частности, модели, построенные на нейронных сетях, должны, согласно современным требованиям учитывать даже природные факторы, такие как погода и время года (не говоря уже о сезонных распродажах) [1]. Возможно, такой переизбыток информации и полезен для рынка продаж бытовых товаров и товаров повседневного спроса. Однако, данные модели разрабатываются целыми закрытыми институтами и являются крайне дорогостоящими продуктами, ориентированными на ограниченное число заказчиков. Соответственно, для нашей страны получение таких моделей также не является возможным из-за коммерческой тайны.
В данной диссертационной работе предложен совершенно иной подход. Он предлагает произвести анализ сложности динамики какого-либо экономического процесса на основании одного лишь временного ряда. Цель такого анализа - выявление момента качественного изменения поведения исследуемой экономической системы (т.е. кризиса в терминологии теории катастроф). С помощью фрактальных методов анализа и предложенной автором их модификации возможно определить моменты качественного изменения в поведении системы и, соответственно, предсказать их дальнейшее поведение в относительно долгосрочной перспективе. В рамках данного подхода самой актуальной задачей, решаемой разрабатываемыми методами, является выявление момента наступления крупных экономических кризисов (таких, например, как в 2008г.), то есть их предсказания в краткосрочной перспективе для конкретных рынков энергоносителей и драгоценных металлов.
Однако, для некоторых практических задач и систем, рассмотренных в данной диссертационной работе, построение прогностической модели не является главной целью. В частности, для биологических систем наиболее актуально дифференцировать ЭГ'ЭГ сигналы, поступающие от нормально и не нормально функционирующих систем, а для ЭЭГ сигналов классифицировать их отдельные участки для выявления функционального состояния мозга в диагностических целях.
Поскольку в работе рассматриваются самоорганизованные системы, разрабатываемые методы их анализа должны быть фрактальными, что наиболее хорошо согласуется с их природой.
13
Таким образом, решение вышеперечисленных проблем является крайне актуальной задачей.
Цели и задачи исследовании.
Основные цели и задачи можно свести к следующим пунктам:
- построение математических моделей импульсных стабилизаторов напряжения для имитации их работы в неравновесном состоянии с учетом различных активных потерь;
- проведение разностороннего анализа пространственно-временного хаоса в дискретнонелинейных системах с помощью фрактальных мер детерминированного хаоса и исследование их фрактальных и мультифрактальных свойств);
- разработка метода выявления временного лага для неравновесных нелинейных систем и его апробирование на примере дискретно-нелинейных систем;
-разработка метода предсказания качественной смены поведения системы применительно к рынкам драгоценных металлов и энергоносителей;
- применение разработанных методов фрактального анализа к выявлению нарушений в работе ЖКТ путем анализа биопотенциальных сигналов;
- разработка метода анализа биопотенциалов головного мозга с целью выявления фазы сна и построения гипнограммы.
Объект исследования. Первоначальными объектами исследования явились дискретно-нелинейные системы, которые были представлены импульсными стабилизаторам напряжения различных типов и структур, а также с различным видами обратных связей. Следующими объектами исследования явились системы мирового ценообразования на основные энергоносители. В частности, исследовались рынки фьючерсов на нефть-сырец и отопительную нефть. Также исследовались рынки ценных металлов, таких как платина, золото и палладий. Кроме того, исследовались такие экономические системы, как мировые валютные рынки. В частности, рассматривались ежедневные и ежеминутные курсы соотношения единой европейской валюты (Euro) к американскому доллару (USD). Также в рамках диссертационной работы исследовались биологические системы. Были рассмотрены последовательности биоэлектрических потенциалов в виде эквидистантных временных рядов, поступающих от желудочно-кишечного тракта человека. Также были рассмотрены биоэлектрические потенциалы человеческого мозга в различных стадиях его функционирования. Таким образом, было проведено исследование нелинейной динамики, пространственно-временного хаоса и явления самоорганизации в неравновесных физических, биологических и экономических системах.
14
Предмет исследования. Предметом исследования в дискретно нелинейных системах явились их выходные сигналы, представленные в виде эквидистантных временных рядов. Поскольку в качестве дискретно-нелинейных систем выступали импульсные стабилизаторы напряжения, то рассматривалось их выходное напряжение. Основное внимание уделено исследованию данных систем в неравновесном состоянии, когда их фазовое пространство демонстрировало проявление пространственно-временного хаоса, на фоне которого явственно прослеживалось явление самоорганизации, выраженное во фрактальных и мультифрактальных свойствах сигналов, поступающих от исследуемых систем.
Для данных систем решалась задача выявления временного лага и фазового сдвига для корректного вычисления фрактальных характеристик. Затем данные характеристики использовались для построения нейронных сетей, предсказывающих дальнейшее поведение данных систем. Показано на конкретном примере каким образом можно использовать данные прогнозирующие системы для вычисления спектра ляпуновских характеристических показателей и определения горизонта прогнозирования с помощью энтропии Колмогорова.
Для экономических систем были исследованы временные ряды фьючерсных цен на такие энергоносители, как нефть-сырец и отопительная нефть, и решалась задача разработки фрактального метода предсказания приближающейся смены тенденции. Та же самая задача решалась и применительно к ценовым рядам стоимости таких драгоценных металлов, как платина, золото и палладий. Также было проведено исследование ежедневных и ежеминутных соотношений Euro/USD с целью выявления корреляции между их фрактальными свойствами.
Одним из предметов исследования биологических систем явился низкочастотный сигнал, поступающий от ЖКТ человеческого организма. Задачей исследования ставилось выявление различий во фрактальных свойствах сигналов здоровых людей и пациентов с жалобами на работу ЖКТ. Для решения данной задачи был применен метод, разработанный на основе фрактального анализа дискретно-нелинейных систем. Другим предметом исследования биологических систем была электроэнцефало!рамма человеческого головного мозга, находящегося в различных стадиях бодрствования и сна. Задачей исследования данного предмета была разработка фрактального метода выявления стадии сна на основании одного лишь биоэлектрического сигнала, снятого с кожного покрова головы. На основании полученных результатов строится гипнограмма, позволяющая специалисту диагностировать различные расстройства здоровья, связанные со сном.
15
Методологическая и теоретическая основа исследования.
Методы исследования. Бенуа Мандельброт - математик, впервые предложивший термин «фрактал» применительно к самоподобным структурам, является одним из основателей фрактальной методологии. Используемый в работе метод нормированного размаха Хёрста (К/Б анализ) впервые был применен к фрактальным одномерным рядам именно Мандельбротом. Фрактальность многих биологических и экономических систем создается за счет явления самоорганизации. Наиболее основательно теорию самоорганизации впервые рассмотрел Герман Хакен, развив целую отрасль науки, названную им впоследствии «синергетика». В рамках синергетики, Хакен выявил и исследовал используемый в данной диссертационной работе принцип подчинения, позволяющий сложнейшие хаотические процессы описать относительно небольшим числом независимых переменных. Извлечение максимальной информации о фрактальных свойствах систем на основании только лишь одномерного ряда на их выходе стало возможным благодаря теореме Такенса и его методу восстановления аттрактора в пссвдофазовом пространстве. Впоследствии к этому аттрактору становятся применимы такие методы, как метод Грассбергера-Прокаччиа для вычисления корреляционной размерности, метод ложных ближайших соседей, метод аппроксимационной энтропии и различные методы определения спектра фрактальных размерностей Реньи с помощью различных методов покрытия фазового пространства. Определение странности аттрактора производится с использованием определения устойчивостей по Ляпунову и Пуассону. Определение спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) производилось по модифицированному алгоритму Бенетгина с использованием стандартного метода ортогонализации Грама-Шмидта. Для рассматриваемых временных рядов это стало возможным благодаря предложенному В.А. Головко методу вычисления спектра ЛХП с использованием нейросетевого моделирования. Построение нейронных сетей производилось на теоретических базах теоремы Колмогорова-Арнольда и работы Хехт-Нильссна. Предлагаемые в работе прогнозирующие нейронные сети полностью отвечают требованиям объединенной теоремы Колмогорова-Арнольда-Хехт-Нильсена, вытекающим из ее следствий. Для обучения нейронных сетей применялись такие методы, как стандартный метод обратного распространения ошибки и градиентный метод Левенберга-Марквардта. Определение горизонта прогнозирования производилось с помощью вычисления энтропии Колмогорова через положительные члены спектра ЛХП.
Применение результатов фрактального анализа к экономическим системам производилось на основании предложенной Петерсом теории фрактального рынка. Некоторые практические
16
аспекты конкретных реализаций многих вышеперечисленных методов можно найти в работах Анищенко.
Информационная база исследования. В качестве основной методологической и информационной базы исследования использовались методы и данные из научных книг и статей, а также иностранных научных статей по исследуемой тематике на языке оригинала. Также в работе использовались данные, взятые из докладов на различных международных конференциях. Основой диссертационной работы являются данные, взятые автором из материалов собственных расчетов и исследований, основные результаты которых опубликованы в виде монографий и статей, а также доложены на различных всероссийских и международных конференциях. Исследуемые в рамках диссертационной работы финансовые временные ряды брались из открытых бесплатных источников сети Интернет. Рассматриваемые в работе биоэлектрические сигналы мозга и желудочно-кишечного тракта были получены в результате их клинического съема с пациентов-добровольцев, проводившегося на базе кафедры неврологии при СОКБ им. Калинина и в городской больнице №8 г. Самары соответственно.
Научная новизна работы состоит в разработке теоретических положений, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в теории анализа самоорганизованных неравновесных технических, экономических и биологических систем, а именно:
- впервые введено понятие «фазового сдвига» применительно к эквидистантным временным рядам различного происхождения и предложен фрактальный метод его выявления
- предложена модификация метода БЛС применительно к финансовым временным рядам, которая впервые применена в качестве индикатора, предсказывающего качественное изменение в поведении исследуемой экономической системы;
- впервые применен разработанный алгоритм фрактального анализа к электрогастроэнтсрографическому сигналу с целью выявлению нарушений в работе ЖКТ;
- впервые применен фрактальный метод нормированного размаха к выявлению стадий сна при полисомнографии;
- впервые проведен мультифрактальный анализ дискретно-нелинейных систем;
- впервые проведено обобщение для неравновесных технических, экономических и биологических систем с точки зрения теории самоорганизации (синергетики) для определения сложности происходящих в них динамических процессов.
17
Практическая значимость работы.
Разработанные в диссертационной работе фрактальные методы выявления временного лага и фазового сдвига могут найти широкое применение в прикладных и теоретических областях науки, связанных с анализом хаотических временных рядов. Это области исследования нелинейной динамики, прикладной физики, синергетики фрактального анализа. Разработанные методы для экономических систем могут быть применены в экономических областях связанных со стратегическим планированием торгово-экономической политики. Разработанные методы анализа электрогастроэнтерограмм совместно с прикладным оборудованием могут быть применены не только в стационарах, где находятся послеоперационные пациенты, но и во всех широкопрофильных поликлиниках. Разработанный метод анализа электроэнцефалограмм может быть использован в любых медицинских учреждениях, связанных с неврологией. На базе методологии могут быть разработаны малогабаритные или мобильные приборы регистрации ЭЭГ с автоматизированным построением гипнограмм для широкого спектра задач.
Апробация результатов исследования.
Результаты диссертационной работы апробировались на IX Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2002 г.), X Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2003 г.), IX Международной НТК «Радиолокация, навигация и связь» (г. Воронеж, 2003 г.), II Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2003 г.), XI Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2004 г.), III Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Волгоград, 2004 г.), IV Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 2005 г.), XII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2005 г.), V Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2006 г.), VI международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 2007 г.), VII Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2008 г.), XVI Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2009 г.), X Международной научно-технической конференции «Проблемы техники и
18
технологии телекоммуникации» (г. Самара, 2009 г.), XVII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2010 г.), LX Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Челябинск, 2010 г.), XVIII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2011 г.).
Основные материалы диссертационной работы опубликованы в следующих научных журналах, рекомендованных ВАК :
Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2003. - Т. 6. - № 3.
Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2004. - Т. 7. - № 3. Электромагнитные волны и электронные системы. - Москва, 2005. - Т. 10. - № 9 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2006. - Т. 9. - № 4 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2006. - Т. 9. - № 4 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2007. - Т. 10. - № 4 Нелинейный мир. - Москва, - 2008. - Т. 6. - № 7
Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2008. - Т. 11. - № 3 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2009. - Т. 12. - .4® 3 Известия ВУЗов. 11рикладная нелинейная динамика. - 2010. - Т. 18 - № 1 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2010. - Т. 13. - № 2 Экономические науки - 2010, Май, №5(66)
Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2010. - Т. 13. - № 3 Биомедицинская радиоэлектроника. - 2010. -№10.
Физика волновых процессов и радиотехнические процессы, - 2010. - Т. 13 - № 4
ДАН, 2011.-Том 436.-№ 1
ISSN 1028-3358 Doklady Physics, 2011, Vol. 56, №1,
Инфокоммуникационные технологии. - 2011. - №1 (9)
Физика волновых процессов и радиотехнические процессы, - 2011. - Т. 14 - № 1 Физика волновых процессов и радиотехнические процессы, - 2011. - Т. 14 - № 2
Также материалы диссертации составили основу для написании монографий:
1. Антипов О.И., Неганов В.А., Потапов A.A. Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах. - М.: Радиотехника, 2009. - 235 с.
2. Антипов О.И., Неганов В.А. Анализ и прогнозирование поведения временных рядов: бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети. - М.: Радиотехника, 2011.-350 с.
19
Основные положении, выносимые на защиту:
1. Фрактальный и мультифрактальный анализ дискретно-нелинейных систем.
2. Фрактальный метод выявления временного лага и фазового сдвига хаотических временных рядов.
3. Алгоритм построения прогнозирующих нейронных сетей по результатам фрактального анализа временных рядов.
4. Фрактальный метод прогнозирования экономических кризисов по финансовым временным рядам.
5. Алгоритм фрактального анализа электрогастроэнтеро! рафического сигнала.
6. Фрактальный метод определения фазы сна но электроэнцефал ©графическому сигналу.
Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждается:
- использованием обоснованных физических моделей и строгих (или с известными оценками сходимости) математических методов решения поставленных задач;
-сравнением отдельных полученных результатов с расчетными данными, приведенными в научной литературе;
- сравнением некоторых результатов математического моделирования с результатами исследования построенного макета.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 183 наименований, и содержит 300 страниц текста, в том числе 182 рисунков.
Публикации
По материалам диссертации опубликована 61 работа, в том числе 20 статей в журналах, включенных в перечень ВАК и монографии «Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах» и «Анализ и прогнозирование поведения временных рядов: бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети». Автор имеет 9 единоличных публикаций, в том числе статью в журнале ВАК.
20
Глава 1. Исследование пространственно-временного хаоса в дискретнонелинейных системах
В данной главе подробно рассмотрены математические модели дискретно-нелинейных систем, в роли которых выступают импульсные стабилизаторы напряжения различных типов и структур с различными видами обратных связей работающие в неравновесном состоянии. Показаны различные проявления хаотических явлений и доказывается их фрактальная природа, что позволяет утверждать о том, что хаотические проявления являются самоорганизованными. Это дает теоретическое право применять к дальнейшему анализу дискретно-нелинейных систем синергетические принципы подхода. В главе постепенно вводятся такие базовые понятия фрактального анализа детерминированного хаоса как бифуркация, показатель Ляпунова, бифуркационная диаграмма, кризис, перемежаемость, фрактальная размерность, спектр размерностей и «ползучий» хаос т.д. Непосредственно перед их использованием даны их кратчайшие теоретические основы из работ отечественных и зарубежных авторов. Автор диссертации считает, что в некоторых случаях это необходимо сделать, поскольку даже общеизвестные методы, определения и понятия даны в переводной литературе на русском языке в своей массе в неполном либо искаженном виде, а качественные работы отечественных авторов мало растиражированы.
1.1. Построение и анализ БД и расчет показателя Ляпунова на примере импульсного стабилизатора напряжения повышающего типа
1.1.1. Хаос в импульсной силовой электронике. Исследование хаотических процессов в детерминированных нелинейных системах в настоящее время является одной из фундаментальных проблем современного естествознания [2]. Причина генерирования хаотических колебательных процессов в таких системах кроется не в большом числе степеней свободы, и не в наличии флуктуаций, а в экспоненциальной неустойчивости режимов. Возможность подобных явлений понимал и предвидел А. Пуанкаре. В неустойчивых системах "совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. ...Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное" - так писал он еще в 1908 г. в книге "Наука и метод". Развитие идей Пуанкаре привело к созданию хаотической динамики детерминированных систем. Как оказалось, необходимым условием возникновения хаоса в динамической системе является зависимость ее состояния не менее чем от трех независимых
21
переменных. Б системах с двумя переменными состояния, фазовым пространством которых служит двумерная плоскость, возможные динамические режимы исчерпываются положениями равновесия и периодическими колебаниями (предельными циклами). Благодаря исследованиям сложных систем с применением быстродействующих компьютеров было установлено, что высокая чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени - типичное свойство нелинейных систем. С точки зрения математики, во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше 2 (особенно во многих биологических, метеорологических и экономических структурах) можно обнаружить хаос и, следовательно, на достаточно больших интервалах времени их поведение становится непредсказуемым. «Детерминированный хаос» сегодня - весьма активная область исследований, в которой получено множество новых результатов. В частности, разработана классификация различных типов хаоса и обнаружено, что при изменении внешнего управляющего параметра многие системы демонстрируют близкие переходы от порядка к хаосу, что открывает новые перспективы в изучении детерминированного хаоса. Возникли новые методы регистрации хаотических колебаний в физических системах с помощью таких новых мер, как фрактальная размерность и показатели Ляпунова.
Наиболее распространенным способом получения хаоса в нелинейной детерминированной системе является переход от периодического движения к хаотическим колебаниям через изменение ее параметров [2]. Классический пример. Пусть в начальном состоянии система совершает периодическое движение с частотой /0, затем, по мере изменения какого-либо параметра (назовем его первичным параметром бифуркации) в эксперименте происходит бифуркация удвоения периода и движение системы скачком изменяется на периодическое с частотой /0/2. С дальнейшим изменением первичного параметра система подвергается
последовательным бифуркациям, при каждой из которых период удваивается. Это явление наблюдалось в ряде физических систем, а также при численном моделировании.
В данной главе, в том числе, рассматривается нелинейная система - повышающий импульсный стабилизатор напряжения в режиме управления по току дросселя, который появился в силовой электронике в 1978 г. [3]. По сравнению с преобладающим до этого режимом управления по напряжению, режим управления по току обладает рядом неоспоримых преимуществ, вследствие чего за последнее десятилетие контроллеры, работающие в режиме управления по току, практически полностью вытеснили устройства с управлением по напряжению. Однако в отечественной литературе новый режим управления слабо освещен. Это не справедливо по отношении к микросхемам, созданным на базе токовых режимов. Кроме того, в последнее время нашли широкое применение зарубежные микросхемы-контроллеры, работающие в режиме управления по току, и позволяющие подключать встроенные
22
дополнительные цепи но контролю входного и выходного напряжении, а также в случае необходимости перейти на режим управления по напряжению. К ним относятся микросхемы UC1825, UC2825, UC3825, UC1823, UC2823, UC3823 фирмы Unitrode, AN1542 фирмы Motorola, LT1640 фирмы Linear Technology, МАХ732, МАХ733, МАХ752, МАХ632, МАХ633, МЛХ642, МАХ643 фирмы MAXIM, SGI524 фирмы Silicon General, и т.д., и их отечественные аналоги КР1156ЕУ2 и КР1156ЕУЗ НТЦ СИТ. К последнему поколению микросхем следует отнести микросхемы UC3823 и UC3825 и недавно разработанные отечественные микросхемы КР1033ЕУ15 и КР1033ЕУ16, работающие в режиме управления по току.
В случае импульсных стабилизаторов напряжения в качестве первичного параметра бифуркации могут выступать такие величины, как величина опорного напряжения UKi, значение опорного тока /гсГ, коэффициент усиления усилителя обратной связи к. Далее будет произведено построение и анализ бифуркационных диаграмм - зависимостей состояния импульсного стабилизатора напряжения повышающего типа от изменения бифуркационных параметров. Ниже также приводится качественный анализ возникновения хаоса в импульсном стабилизаторе напряжения повышающего типа в режиме управления по току.
1.1.2. Математическая модель повышающего импульсного стабилизатора напряжения в режиме управления по току. Данная математическая модель является простой, поскольку не производится учет различных потерь. Потери будут учитываться чуть позднее, здесь же упрощенная модель позволит акцентировать внимание на особенностях построения бифуркационных диаграмм (БД). На рис. 1.1 представлена простейшая функциональная схема повышающего стабилизатора, работающего в режиме управления по току. Принцип работы заключается в следующем. На вход компаратора подаются два сигнала: первый - напряжение, пропорциональное току дросселя или ключа /(/) (чаще всего это напряжение датчика тока или
трансформатора тока), и второй - напряжение, пропорциональное току ограничения Irt( источника опорного тока. Компаратор срабатывает, когда ток дросселя или ключа /(/) достигает величины равной или чуть большей, чем ток опорного источника /геГ. Работа стабилизатора синхронизируется напряжением Us задающего генератора, вырабатывающего прямоугольные управляющие импульсы частотой /. При появлении на входе S управляющего сигнала силовой ключ VT замыкается, а размыкается при срабатывании компаратора. Однако во многих современных контроллерах стоит защита по максимальному коэффициенту заполнения DmiX (£>max *0.85^0.95). Поэтому, при численном анализе стабилизатора также использовалось ограничение по максимальному коэффициенту заполнения Д1ИД=0.9. Хотя,
23
следует отметить, что в некоторых новых микросхемах, например КР1033ЕУ15, такое ограничение снято.
Математическая модель для построения бифуркационных диаграмм основана на решении систем дифференциальных уравнений, описывающих работу функциональной схемы импульсного стабилизатора напряжения (рис. 1.1) повышающего типа в замкнутом и разомкнутом положении ключа. Такой импульсный стабилизатор напряжения получил название в научной литературе как импульсный стабилизатор напряжения повышающего типа (ИСН-2).
Решая уравнения состояния ИСН-2 (см., например, [4]), находим выражения для тока дросселя /,(/) и напряжения конденсатора н,(/) при замкнутом силовом ключе:
/,(0 = |м + См, «,(/) = (1.1.1)
где и - значение входного напряжения, Я - сопротивление нагрузки, С - емкость конденсатора, £, - индуктивность дросселя (рис. 1.1), а произвольные постоянные Си и С]2 находятся из начальных условий в момент переключения силового ключа /0 из разомкнутого состояния в замкнутое:
Сп =*С12 =1п(мо(/о)) + ^/0- О-1-2)
Для разомкнутого силового ключа уравнения состояния имеют другой вид:
«о(0 = «"(Со, СО5(/?0 + С02 8Ш(/№)) + и ,
1.(0 = «"((^ с0, + срст) С05(/») + с02 - срст) 81п(/?0) л-^и, (1'1 '3)
где а- —, /? = ,/—-----------------. Произвольные постоянные См и Сю находятся из
2ИС к 4Л С У 01 02
начальных условий в момент переключения силового ключа /, из замкнутого состояния в разомкнутое:
С - + ^02^06 _ ^03^04 * *.,*« /1 I АХ
01 “ V V _1_ к' V ’ 02 ” V к' ' V VV1 ■1
02 М 01 05 02 04 01 05
где
^01 =^ш,(СДсо5(Д/1)+-!-5т(Д/1)),
2 а 2а
*0. = '.(0-^ «*0»,).*.» =«“' 5>п(А) . =«,(«,)-£/ ■
А
Самое важное при построении математической модели ИСН-2 - нахождение постоянных коэффициентов С,,, С,2, С0, и С02 в (1.1.1) и (1.1.3) при каждом переключении стабилизатора
24
из одного состояния в другое. Момент переключения из разомкнутого состояния в замкнутое определяется периодом Т и значением номера периода п: /0 = пГ; момент переключения из замкнутого состояния в разомкнутое /,, зависит от величины коэффициента заполнения с1п: t^ = (с!п + п)Т, определяемого на каждом периоде отдельно.
Для построения бифуркационных диаграмм, целесообразно находить величину (1п исходя из следующих соображений. Пусть, например, в момент времени /. линейно нарастающий ток дросселя /,(г) равен величине опорного тока /геГ:
-с,,).
Тогда считая момент переключения силового ключа /0 началом периода, с учетом выражения для постоянной Сп получаем, что
=^(Л,г-'о(п7')) + «7\
где п -номер периода. Поскольку коэффициент заполнения с!п определяется на п периоде из л '1
соотношения а„ = — - п, то
п ^
Ц1геГ-фТ))
ит
Для случая переходного процесса, когда /0(пТ)>1кП следует ввести ограничение: если с!п< 0 то <1п = 0. Если момент времени /, находится за границами рассматриваемого периода и ^л>Отах, где /9тах- максимальный коэффициент заполнения (£)гоах=0.9), то очевидно
4, = ■
1.1.3. Основные принципы построения бифуркационных диаграмм применительно к дискретно-нелинейным системам. Механизм построения бифуркационных диаграмм, а также их основные свойства описаны в книге [5], в которой говорится, что динамику поведения систем лучше всего проследить с помощью компьютера. Численный эксперимент состоит в изучении итераций, значений решений уравнений состояния системы, полученных путем математического моделирования для последовательных значений основного бифуркационного параметра.
25
УО
Рис. 1.1 - Функциональная схема повышающего стабилизатора напряжения =ъъв режиме
управления по току (ИСН-2)
Рис. 1.2 - Графическая интерпретация численного метода нахождения показателя Ляпунова
26
Диаграмма получается следующим образом: при каждом значении основного
бифуркационного параметра итерации решений проводятся до тех пор, пока не исчезнут все «переходные состояния» и траектория не займет свое «асимптотическое положение» (т. е. 2-цикл, 4-цикл, 2"-цикл, ... ,6- или 3-цикл, апериодический аттрактор и т.д.). При этом имеют место следующие общие закономерности для всех бифуркационных диаграмм:
1. Размеры областей последовательных бифуркаций 2" (п = 1,2,... )-циклов в пространстве основного бифуркационного параметра М (например /геГ) с увеличением номера цикла п уменьшаются.
2. Хаотические полосы появляются при значениях бифуркационного параметра М больше критических.
3. Нечетные циклы (например, 3-циклы) возникают в хаотическом режиме. С нечетными периодами связано возникновение хаоса у отображений, что согласуется с утверждением Ли-Йорка «период три означает хаос» [6].
4. Для М > А/,, где - максимальное значение основного бифуркационного параметра,
при котором возникает нечетный цикл, система имеет полностью «однородное» хаотическое поведение.
Для построения бифуркационных диаграмм фиксировались значения тока дросселя /(иГ) в установившемся режиме, в начале каждого из 256 периодов установившегося режима, которые откладывались по оси ординат при соответствующем значении опорного тока 1тс(. Чтобы не принять переходные колебания иеустановившегося режима за хаотическое поведение, было установлено, что импульсный стабилизатор напряжения повышающего типа полностью переходит в установившееся состояние за 200-300 периодов. Для надежности, фиксация значений тока дросселя /(яТ) в моменты поступления синхроимпульса на вход триггера для построения бифуркационных диаграмм начиналась с 3000 периода. Таким образом, например, для получения 1000 отсчетов по оси абсцисс необходимо 1000 раз промоделировать систему на протяжении времени примерно соответствующему 3256 периодам управляющего сигнала. Однако для того, чтобы определить действительно ли система находится в хаотичном режиме работы, одного визуального контроля за состоянием бифуркационной диаграммы недостаточно. Для ответа на этот вопрос можно использовать критерии локального и глобального хаоса [5].
1.1.4. Вычисление показателя Ляпунова для математических моделей. Важная особенность хаотического движения - чрезвычайная чувствительность к малым изменениям
27
начальных условий. В случае хаотического движения близко расположенные траектории движения системы в фазовом пространстве расходятся во времени экспоненциально, в отличие от траекторий для систем без хаоса, которые расходятся линейно. Однако такое “разбегаиие” траекторий во времени не может, продолжаться в ограниченном фазовом пространстве бесконечно. Если взять набор начальных условий, заполняющий в фазовом пространстве сферу радиуса е, то траектории хаотического движения, начинающиеся в этой сфере, во времени / будут отображаться на эллипсоид, большая полуось которого растет как (1~еех', где постоянная Я известна как показатель Ляпунова (ПЛ). Очевидно, что для регулярных движений Я^О, а в хаотических режимах Я > 0. Таким образом, знак Я является критерием хаоса, а сам ПЛ служит мерой средней скорости экспоненциального разбегания соседних траекторий [5]. Алгоритм применения ПЛ для анализа динамических систем изложен в [7].
В [8] описан метод вычисления ПЛ (предложенный Экманом и Рюэлем), основанный на оценивании изменения расстояния между соседними траекториями в фазовом пространстве системы. Ниже рассмотрим метод предложенный Вольфом, Свифтом, Свинни и Вастано [9] и улучшенный Ландой и Четвериковым [10]. В соответствии с этим методом произвольная точка траектории х(/0)в момент времени /0 принимается за начальную и ищется соседняя ближайшая к ней точка .у0(/0). Далее определяется расстояние £0(/0) между этими двумя точками, и оценивается его динамика во времени (рис. 1.2). Если при t^>tQ £0(г,) > £0(г0), то точка траектории >’0(/,) отбрасывается, и ищется другая точка у{ (/,) (лежащая по возможности в том же направлении, что и >><,(/,)), для которой расстояние !,(/,) между точками *(/,) и у,(/,) будет меньше расстояния /,0(/,): /,,(;,)<£,>(/,). Такая процедура последовательно проделывается для дискретного набора значений Г( (г = 0,«) времени (рис. 1.2).
Так как значения £,(/,) должны описывать поведение малых возмущений, то они должны быть но возможности малыми, чтобы линеаризованная вдоль траектории система хорошо описывала эволюцию. С другой стороны значения £,(/,) не должны быть настолько малыми,
чтобы стать сравнимыми с уровнем шумов. Кроме этого, очевидно, что точки х(/0) и у(г0) должны принадлежать разным траекториям. Если вышеуказанные условия выполняются, то показатель Ляпунова Я определяется из выражения [7]:
(1.1.5)
где {М -1) - число смен соседних траекторий.
28
- Київ+380960830922