Стоячая световая волна - универсальный метод исследования рассеяния и захвата атомов в пространственные структуры : Локальные эффекты в них и бинарных смесях

ОГЛАВЛЕНИЕ
стр...
ПРЕДИСЛОВИЕ.........................................................
ЧАСТЬ 1.
Двухуровневый атом в резонансном поле. Захват и охлаждение атомов
силами резонансного светового давления......................
Г лава 1. Когерентное взаимодействие атомов с полем...................... 1%
§1.Введение..............................................................
§2.Гамильтониан взаимодействия двухуровневого атома с полем........ / 6
§3. Силы светового давления.................................................. 19
3.1. Приближение заданного движения
3.2. Адиабатические состояния. Нерезонансный потенциал...................
3.3. Диабатическис состояния. Резонансный потенциал......................
§4. Переходы Ландау-Зинера. 2.6
4.1. Область вблизи точки перехода ЛЗ....................
4.2. Динамика переходов ЛЗ......................................
4.3. Асимптотика решений.................................................
4.4.Вре.чя жизни атома в связанном состоянии.......................
Выводы главы 1................................
Глава 2. Рассеяние атомов полем стоячей световой волны....................... 39
§5. Классическая картина рассеяния........................................... 39
5.1. Случай малых Qт.....................................................
5.2. Эффект насыщения в рассеянии........................................
5.3.Импульсный и стационарный режимы рассеяния. Теория и эксперимент Выводы §5.
§6. Лазер, основанный на эффекте отдачи $$
г
Выводы
§7. Дисперсия атома в поле стоячей волны...............................
Выводы. §7.
§8. Квантовая картина рассеяния. Дифракция атомов.
8.1. Дифракция «когерентного» атомного пучка.............................
8.2.. Сравнение теории с экспериментом в стационарном режиме.
8.3 Брэгговское рассеяние.нри больших временах взаимодействия.....
8.4. Бипотенциалыюе рассеяние............................................
Выводы §8.
Выводы главы 2.
Глава 3. Влияние спонтанного излучения на флуктуации светового давления.
Силы Казанцева...........................................................
§9. Основные уравнения и силы светового давления. Силы Казанцева.........
9.1. Квазиклассическое приближение...................................
9.2. Приближение заданной скорости...................................
9.3. Сила светового давления и явление гистерезиса. Силы Казанцева...
9.4. Сила светового давления в стоячей волне.........................
9.5. Случай больших отстроек от резонанса............................
9.6. Физическая интерпретация градиентной силы.......................
9.7. Сильное поле. Квазистационарное приближение...................
9.8. Переходы ЛЗ в квазиклассическом приближении.....................
§10. Охлаждение и группировка атомов по скоростям в световом поле....
10.1. Охлаждение полями слабой и сильной стоячих волн................
10.2. Группировка атомов в пространстве скоростей....................
10.3. Быстрая группировка............................................
10.4. Медленная группировка
Выводы §10........................................
Глава 4. Кинетика атомов в световых полях...................................... Х1&
//9
§11. Кинетическое уравнение Фоккера-Планка....................... ■* *
11.1. Бегущая волна..............................................
11.2. Влияние светового давления на нелинейную восприимчивость атомов.
11.3. Экспериментальная реализация
11.4. Кинетическое уравнение для медленных атомов в поле стоячей волны.....
11.5. Вывод кинетического уравнения..............................
Выводы §11.
§12. Охлаждение и локализация атомов в сильной стоячей световой волне..
12.1. Одномерная решетка охлажденных атомов и эффект каналирования..
12.2. Эксперименты в режимах рассеяния силой Казанцева и режиме каналирования.......................................................
12.3. Трехмерная решетка охлажденных атомов.........................
12.4. Вязкий конфайнмент в насыщенном поле.......................
Выводы §12.
§ 13. Дифракция, диффузия и потенциальное рассеяние атомов стоячей световой волной X$$
13.1. Исходные уравнения............................................
13.2. Пространственная корреляция спонтанных и вынужденных переходов.......
13.3. Дифракционное рассеяние....................................
13.4. Нскогсрентиос рассеяние.......................................
Выводы §13.
§ 14. Самолокализация холодных атомов в световом поле............................... X 61
Выводы § 14.
Выводы главы 4.
Глава 5. Пространственные структуры холодных атомов в магнито-оптических
♦
Л
ловушках............................................................ У Л*
§ 15. Первые эксперименты и модель коллективного поведения................ ^^
15.1.Одноатомная модель координатно-зависимых вращающих сил (КЗВС) и новые пространственные структуры холодных атомов.
15.2. Геометрия лазерных пучков.
15.3. Основные уравнения.
15.4. О возможности создания атомного коллайдера в обычной шестилучевой геометрии МОЛ.
15.5. Динамика и переходные режимы между пространственными структурами...
15.6. Модель КЭВС с учетом насыщения...
Выводы §15................................
§ 16. Фазовая диаграмма для стабильных пространственных структур У 87
охлажденных атомов в МОЛ...
16.1 .Двухцентровая ловушка....................................
16.2. Другие пространственные структуры холодных атомов.............
16.3. Решающий эксперимент для проверки адекватности одночастичной модели.......
Выводы §16.
Выводы главы 5.................................................................
Г лава 6. Теория супермолассиса для двухуровневых атомов с учетом их вращения... //У
§17. Модель супермолассиса, приводящая к вращению атомов..................
17.1. Модель случайной разъюстировки................................
17.2. Радиальный и азимутальный коэффициенты трения.................
17.3. Эффективный радиальный потенциал и аналогия с маятником Капицы .в вязкой среде.......................................................
17.4. Предварительные выводы........................................
17.5. Нечувствительность супермолассиса к дисбалансу интенсивностей
встречных волн...................................................
17.6.Уравнение движения атомов супермолассиса в комплексной плоскости и подъемная
сила вращающегося цилиндра...........................................
Заключение и Выводы главы 6.
ЧАСТЬ 2. ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЛ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУРАХ ОХЛАЖДЕННЫХ АТОМОВ И КОМПОЗИТНЫХ СРЕДАХ
Глава 7. Дискретность оптических сред, радиационное затухание и восприимчивость
J?/
охлажденного в магнито-оптических ловушках газа.
§18.0бщий метод интегральных уравнений (МИУ) и учет дискретности слабо разреженных сред.................................................
18.1. МИУ для двумерных сред................................
18.2. Приложения к композитным и анизотропным средам.............
18.3. Нелинейная восприимчивость композита.....................
18.4. Случай слабо разреженной дискретной среды. МИУ обобщенный
с учетом конечности расстояний между излучателями................
18.5. Диэлектрические проницаемости сред различной плотности...
Выводы §18.............................
§19. Восприимчивость охлажденного резонансного газа с силами отталкивания между
л
атомами................
19.1. Эффект «усиления» при прохождении через разреженную среду Дискуссия между Мандельштамом и Планком. Мандсльшгамовская компенсация...............
Выводы §19...
Выводы главы 7.
Глава 8. Феноменологические модели композитных сред и анизотропные покрытия. 250 §20. Макроскопические и микроскопические аспекты теории композитных сред..
20.1. Соотношение между различными феноменологическими моделями.........
20.2. Микроскопический подход (ОМИУ) к бинарным композитным средам..
20.3. Модель Лорентц-Лоренца бинарной смеси вакуум-диэлкетрик...
20.4. Сферические кластеры в изотропной дискретной среде. Учет дискретности обеих компонент.
20.5. Антикластерный эффект.....
Выводы. §20.
§21. Анизотропные слоистые покрытия и их применения....................
21.1.Три простых метода определения поверхностной анизотропии образца...
21.2. Комбинированная, при скользящих углах и нормальном падении, рефлектометрия поглощающих сред........................................
21.3. Метод теневого угла для анизотропных и слабо поглощающих пленок...
21.4. Анизотропные покрытия для брюстеровских окон..................
21.5. Брюстеровское окно, прозрачное для обеих поляризаций..........
21.6. Двухчастотные просветляющие покрытия
21.7 Двухслойное, просветляющее одновременно на фундаментальной частоте и частоте второй гармоники, покрытие.
Выводы главы 8.
Литература...................................................
ПРЕДИСЛОВИЕ
Возникшая на основе астрономических наблюдений гипотеза о существовании светового давления получила строгое теоретическое обоснование в теории Максвелла [ 1 ] и экспериментальное подтверждение в экспериментах Лебедева [2]. На языке квантов пондермоторнос действие света как результат процесса обмена энергией и импульсом между нолем и атомами было описано Эйнштейном [3]. В диссертации рассмотрены вопросы теории рассеяния, захвата, охлаждения и удержания двухуровневых атомов силами светового давления. Для объяснения формирования и расчета оптических характеристик пространственных структур охлажденных атомов#с учетом их дискретности и эффектов локального поля в магнито-оптических ловушках, был развит аппарат обобщенного метода интегральных уравнений (ОМИУ), примененный для нахождения диэлектрической проницаемости композитных сред и расчета специальных типов анизотропных покрытий.
В первой части «Двухуровневый атом в резонансном поле. Захват и охлаждение атомов силами резонансного светового давления» дан обзор периода создания А.Г1.Казанцевым в начале 70-х годов фундаментальной теории резонансного светового давления с учетом взаимного влияния поступательных и внутренних степеней свободы частиц, а также первых экспериментов по предложенному автором совместно с Казанцевым [28] эффекту рассеяния атомов полем стоячей световой волны в ФИАН/ИОФАНе (группа Рябенко [34-38]) и самых первых экспериментов по охлаждению, замедлению ( коллимации) атомных пучков в ИСАНе (группа Балыкина [11,160,161]) и группе Филипса [166], вплоть до развертывания экспериментов с оптическим молассисом [93,95,164,165] и магнитооптическими ловушками. В первой и второй главах рассмотрены эффекты светового давления в условиях когерентного (без учета спонтанного излучения) взаимодействия атомов с квазирезонансным полем. Рассматривая стоячую световую волну как фазовую дифракционную решетку для атомов, удалось рассчитать рассеяние частиц как в сильном
8
(классическом) поле, так и в слабом поле в квантовом (брэгговском) пределе. Особо изучено влияние переходов Ландау-Зинера между адиабатическими состояниями атома на диаграмму рассеяния. В третьей главе изучено влияние спонтанного излучения на флуктуации светового давления и дана физическая интерпретация сил Казанцева (в процессе их изучения сменивших несколько названий - от сил смешанного типа, запаздывающих градиентных и зависящих от скорости (velocity dependent) сил трения и сил связанных с «сизифовой работой»). Кинетика атомов в неоднородных световых полях рассмотрена в четвертой главе. Далее в рамках модели макроскопически неоднородных вращающих сил объяснены и предсказаны различные пространственные структуры (ядра, кольца, кольца с ядрами, двойные кольца, двойные ядра и т.п.) охлажденных атомов, наблюдавшиеся в магннто-оптических ловушках и развита аналогия смены наблюдавшихся атомных структур с теорией фазовых переходов.
В шестой главе предложено объяснение некоторых загадочных черт поведения (аномально большого времени удержания, периферийного увеличения плотности захваченных частиц, нечувствительность к дисбалансу интенсивностей встречных лучей) оптического супермолассиса (optical supermolasses) в рамках классической двухуровневой модели атомов. Для такого объяснения были привлечены понятия эффективного потенциала Капицы, замедляющего радиальную диффузию атомов, и введенного в работе [130] «скоростного потенциала». Экспериментально зарегистрированный пороговый характер нечувствительности к дисбалансу интенсивностей встречных лучей времени удержания атомов в области супермолассиса, находит простое объяснение в терминах эффективной «гидродинамической» силы, приводящей только к некоторому эффективному смещению центра супермолассиса в перпендикулярном к этим лучам направлению. Растущий интерес к получению пучков и стационарных упорядоченных структур холодных и ультрахолодных атомов связан с уже достигнутыми результатами их
применения в оптических стандартах частоты и времени [171,17
Во второй части «Локальные поля в пространственных структурах холодных атомов и композитных средах» с помощью обобщенного метода интегральных уравнений (ОМИУ) рассмотрен принципиально важный для всех композитных сред вопрос об адекватном учете эффектов локального поля на диэлектрическую проницаемость среды. Привычный метод интегральных уравнений в молекулярной оптике основан на представлении среды в виде дискретных излучателей и дает замкнутое описание электромагнитных явлений в среде без использования специальной процедуры усреднения при переходе от микроскопических к макроскопическим полям, как это имеет место в обычном подходе с использованием уравнений Максвелла. Высказанная А.В.Гайнером в середине 70-х годов идея о том, что существует определенная комбинация микроскопических (локальных) полей, вектора поляризации, квадрупольных, магнито-днпольных плотностей и их градиентов, которая должна удовлетворять как интегральным, так и волновым уравнениям, дала возможность развить этот подход и обобщить его на дискретные и композитные среды.
В связи со своеобразием (малой плотностью) среды захваченных в магнито-оптические
ловушки атомов возникает принципиальный вопрос о правильном учете структурной
/ Р1ССТ0*НМСЗ
дискретности этих сред, в которых сронее/между частицами из-за малой плотности охлажденных пространственных структур сравнимо или больше длины волны света, так что понятие диэлектрической проницаемости к такой среде теряет обычный смысл.. Известно также, что в композитных мккроструктурно-неоднородных средах принципиальную трудность представляет вопрос о корректном учете эффектов локального поля, поскольку, как это сразу видно на примере простой кубической решетки с внедренными в ее узлы примесями, уже в двухкомпонентной среде сразу возникает не два, а множество локальных полей, зависящих от конкретного окружения данного узла решетки.
/О
Развитый ОМИУ позволил связать макроскопические оптические свойства произвольной нелинейной и анизотропной плотной среды с ее микроструктурой, т.е.взаимным расположением элементарных излучателей и расстоянием Ъ между ними. Согласно классической формуле Лорентц-Лоренца (ЛЛ) оптические свойства изотропной среды зависят только от произведения плотности N излучателей на поляризуемость изолированного излучателя. Формула ЛЛ справедлива тотжо для плотной среды, когда в объеме длины волны содержится много излучателей. Хотя именно дискретность среды как таковая «внедряет» эффекты локального ноля в формулу ЛЛ, «величина Ь » этой дискретности никак в формулу не входит. ОМИУ позволил впервые учесть поправки кЬ, где к волновой вектор света, в выражения для оптической восприимчивости разреженной среды. С другой стороны, в неоднородной среде эффективная диэлектрическая проницаемость зависит не только от микроскопичиских поляризуемостей компонент, но и от степени мезоскопической агрегации (кластирования). В модели сферических кластеров этот результат является обобщением известной модели Максвелла Гарнетта с учетом дискретной природы обеих компонент. Получено обобщение ЛЛ формулы на двумерный случай. Особое значение правильный расчет локальных факторов поля приобретает в случае тонких пленок и для нелинейных эффектов. Предложен общий подход создания анизотропных мелкослоистых пленок с заданной анизотропией с использованием специально подобранной диады изотропных материалов. Наконец, в качестве возможного использования слоистых анизотропных пленок предложены анизотропные защитные покрытия, прозрачные для обеих (я и р) поляризаций и брюстеровскис окна на специально выбранной подложке, прозрачные для основной и второй гармоники генерации лазера.
Часть 1. Двухуровневый атом в резонансном поле. Захват и охлаждение атомов силами резонансного светового давления.
Глава 1. Когерентное взаимодействие атомов с полем [66,29,30,61,62].
§1. Введение
Действие света на резонансные частицы (атомы, молекулы) с учетом импульса отдачи при излучении и поглощении фотона приводит ашмшшнш не только к изменению внутреннего состояния атомов, но и их поступательною движения. Поэтому самосогласованная теория резонансного светового давления должна учитывать оба эти явления одновременно.
Такая теория должна описывать как оптические характеристики атомов в резонансном поле, так и взаимное влияние механического движения атомов и переходов между его внутренними степенями свободы. Теория должна основываться на квантовых уравнениях Шредингера, учитывающих внутренние степени свободы частицы и ее поступательное движение, причем эти уравнения должны включать квантовый оператор кинетической энергии.
С формальной точки зрения сложность анализа обусловлена, в первую очередь, большим количеством параметров, входящих в задачу. Действительно, имеются следующие параметры размерности частоты и энергии, существенно влияющие на процесс взаимодействия и конечный результат:
Д, Ь, у, 1/г, Е(р) = р2/(2т), £, = (Л*)2/(2т), К = <?£/А (1.1),
где А есть отстройка от резонанса; Ь> - доплеровская частота; у - скорость затухания верхнего рабочего уровня, нижний уровень предполагается основным; г - характерное время взаимодействия атомов с полем; £(/>) - кинетическая энергия частицы; сг-энергия отдачи; V- частота Раби.
Как мы далее увидим, могут возникать также различные комбинации этих
параметров, например, Д0 =(Ь>У)2 - характерная частота в теории переходов Ландау
ставший камнем преткновения для некоторых исследований по нахождению скоростной зависимости коэффициента трения в поле стоячей волны.
На Рис.1 показана схема экспериментов по рассеянию атомного пучка нолем стоячей световой волны, в течение десятилетия (80ые годы) бывших, фактически, единственным инструментом исследования резонансного взаимодействия атомов с полем. Варьированием поперечных размеров стоячей волны, интенсивности и поляризации поля, степени его монохроматичности, а также угловой расходимости и утла наклона атомного пучка можно было получать весь возможный набор вышеупомянутых параметров и их комбинаций.
На Рис.1 в логарифмической шкале показаны характерные энергетические величины для энергии отдачи £г и ширины линии Ну (для сильного перехода) и эффект перехода от ситуации когерентного взаимодействия атома с полем при малых временах взаимодействия (когда параметр уг<\) к случаю их некогерентного взаимодействия при уг>1. Параллельно на нижней шкале схематически показан переход от адиабатического нерезонансного потенциала при больших отстройках Д от резонанса к резонансному потенциалу при малых расстройках. Граничной (переходной) энергией
в этом случае является характерная энергия М0 = П(куУ)2 переходов Ландау-Зинера.
Подчеркнем, что роль характерных энергий и скоростей атома в рассматриваемой геометрии эксперимента играют поперечные атомному пучку энергия и скорость атома вдоль направления стоячей световой волны, т.с. вдоль оси х. В зависимости от угла наклона и расходимости атомного пучка поперечная энергия меняется в очень широких пределах.
- Зипсра, параметр
параметр «эффективной расстройки» л/Д2 + Г2,
Эксперимент по рассеянию атомного пучка стоячей волной
7-источник атомов; 2-лазерный пучок; 3-детектор; 4-зеркало;
8а=(йк)2/2т
Йу
*
нерезонансныи
потенциал
резонансный потенциал /
Энергия (К )
Д=СО-СОо расстройка от резонанса
єк=(йк)2/2т 'хАо=[Пк»х\/{х)]ш V(*)=dE(x)
1/2
полная энергия 8(р)=ру2/2ш=
йки
атома
поперечная энергия £ (р)=єл(р) ~ Є(р)(А0)«Є(р) атома
А
/9
Очень важно, что из семи этих параметров два - энергия отдачи ег и ширина линии ^являются фиксированными (выбором атома) в данном эксперименте. Кроме того, время взаимодействия г также фактически фиксируется выбором геометрии эксперимента (толщиной светового луча, продольной скоростью атомов или длительностью светового импульса) и отстройка от резонанса Д легко регулируется. Из остающихся трех параметров - энергии взаимодействия (рабневской частоты), доплеровской частоты Ь> и энергии атома £(/>) - последние два параметра не
, 2 4егЕ(р)
являются независимыми: XV = —--------.
к
Изо всех возможных комбинационных пар параметров наибольшую значимость имеет, пожалуй, комбинация ут, дающая при умеренном насыщении оценку для числа спонтанно излученных за время взаимодействия атома с полем фотонов. Меняя время взаимодействия можно, при фиксированных остальных параметрах, переходить от режима когерентного взаимодействия (уг<1) к некогерентным режимам (ут>1) и обратно. С другой стороны, варьируя одну только расстройку, можно охватить области резонансного и нерезонансных потенциалов.
Когерентное взаимодействие
С физической точки зрения сложность теории связана с тем, что она должна описывать конкуренцию процессов, имеющих различную природу. Прежде всего, следует выделить когерентные процессы, в которых можно пренебречь спонтанной релаксацией, и длительные процессы, в которых роль спонтанной релаксации велика.
Если мы пренебрегаем спонтанным излучением и полагаем у = 0, то будем иметь дело с чисто когерентным взаимодействием атомов с полем. Наиболее примечательная особенность такого взаимодействия - явление интерференции внутренних состояний атома при его поступательном движении. Очевидно, что спонтанная релаксация, будучи стохастическим процессом, всегда стремится разрушить интерференцию
состояний. Только одновременное рассмотрение этих процессов позволяет проследить как именно протекает конкуренция между ними.
Чтобы упростить наше рассмотрение, целесообразно разграничить два характерных предельных случая - малых и больших времен т взаимодействия с полем.
Мы можем пренебречь спонтанной релаксацией при малых г, когда спонтанные переходы не успевают произойти. Для этого должно выполнятся неравенство
ум£1, (1.2)
где н> - вероятность заселения верхнего уровня.
Появление множителя »V в (1.2) связано с тем, что спонтанное излучение «включается» только при достаточно большей заселенности верхпего уровня атома. Влияние спонтанного излучения при ут> 1 обсуждается в главе 3. Для атомов с сильными резонансными переходами (например, для Иа) условие (1.2) выполняется либо при слабом насыщении ( уу «1) и довольно произвольных значениях параметра уг£1/уг* либо для малого времени взаимодействия (уг<1) и произвольном
насыщении (для Иа это означает г<10'8с). Для атомов со слабыми переходами условие (1.2) выполняется вплоть до г^Ю^с. Как мы увидим, нарушение условия (1.2) при большом времени взаимодействия не означает, что исчезают эффекты когерентного взаимодействия. Условие (1.2) является достаточным для наблюдения интерференционных эффектов, но оно не является необходимым. Так, например, интерференционные эффекты из-за переходов Ландау - Зинера сохраняются в условиях при у <Ь> и произвольных г. Однако здесь мы будем считать выполненным условие (1.2) и полностью пренебрежем спонтанным излучением, что позволит сравнительно просто описать характерные особенности когерентного резонансного светового давления.
§2. Гамильтониан взаимодействия двухуровневого атома с полем
. Если частота классического электромагнитного поля близка к частоте перехода со0, то для описания внутреннего состояния атома достаточно использовать двухуровневую модель среды, т.е. учесть только два атомных состояния - основное | а) и возбужденное
|б). Волновая функция атома имеет вид суперпозиции
где 1/а и цгь - амплитуды вероятностей заполнения состояний |«) и |&). Электромагнитное иоле можно представить в форме Е(П) = Е0{П)е~и* + *.с.,
где Е0(гЧ) - медленно изменяющаяся амплитуда световой волны (с!Е01(к « со0Е0); к.с. - комплексно-сопряженный член. В резонансном приближении гамильтониан двухуровневого атома есть
Уравнение (2.1) соответствует дипольному взаимодействию атомов и поля; 3 -матричный элемент дипольного момента перехода; V - частота Раби. Отметим, что двухуровневое приближение не учитывает вырождение атомных состояний и приводит к скалярной модели взаимодействия. Такая модель является строгой в наиболее «задействованном» случае уровней с моментами 0 и 1 и определенной поляризацией поля- линейной или круговой. Таким образом, в принципе, скалярная модель достаточна для описания основных особенностей резонансного светового
Г/Г'п\а) + Чгье*п\Ь)ч
(2.1)
Здесь <7, (і = 1,2,3) - матрицы Паули,
/7
давлення не только для двухуровневого атома, но и во многих случаях при $ - р переходах..
В (2.1) предполагается большая кинетическая энергия частицы, так что ее движение происходит с постоянной скоростью г(/) = V/. Для учета модификации поступательного движения частицы в процессе взаимодействия с полем из-за квантовых процессов спонтанного излучения и вынужденных переходов нужно (оставаясь в рамках резонансного приближения) ввести в уравнение Шредингера
л
для двухуровневого атома оператор кинетической энергии Т :
ідіу/Зі = (Т + Й)у, Й=-<т'У(Г,1)-оУ\гЛ Т = -~, (2.2)
2/л \¥Лг*ч)
Теперь уравнение (2.2) описывает как поступательное движение частиц, так и их внутреннее состояние. Если поле считать классическим, то в этом случае вся квантовая сторона задачи будет связана с внутренними степенями свободы атома. Однако возникающая при таком подходе малость отношения импульса фотона к импульсу атома будет иметь место только для не слишком малых кинетических энергий атома. В такой «дистанционности» (по величине) классического и квантового импульсов и состоит специфика двухуровневой модели атома. В многоуровневых моделях, особенно при больших орбитальных моментах, возникает дополнительная возможность «запутывания» квантовых и классических эффектов [144]. Другой причиной «сближения» по величине классического импульса атома и квантового импульса фотона может быть сильное внешнее поле стоячей волны ( см. главу 4). Невозможность разделения механических и оптических характеристик атома формально обусловлена нскоммутативностыо операторов кинетической энергии и взаимодействия [?,/?]*0. Для монохроматического поля вида У(Н) = У(Г)е~,&/ с малой отстройкой от резонанса А (А <<со0) во вращающейся системе координат получаем уравнение Шредингера
/Э^/Э/ = Й^, Й = Т + Й, П =-ст^/2-су'У(Г)-оУ\П (2.3)
Что касается пространственной зависимости поля, то наиболее характерными и важными для приложений являются случаи бегущей и стоячей воли (вдоль оси х):
У(х) = У0е1кх, У{х) = У0ьткх. (2.4)
В зависимости от конкретной постановке^ задачи амплитуда У0 считается либо постоянной величиной, как это имеет место при импульсном режиме рассеяния, либо плавной функцией поперечных координат и времени при рассеянии в стационарном режиме, что позволяет учесть пространственное распределение поля в сечении светового луча, а также процесс включения и выключения взаимодействия.
В случае стоячей волны запишем еще другое представление, эквивалентное (2.3). При У{х) вещественном, переходя к волновым функциям д>± - {Ц/а ±у/ь)!^2, получаем
й=?+#, а = -ст3у(х)+о-1^, (2-5)
В дальнейшем будут использованы обе эти формы (2.3) и (2.5).
§3. Силы светового давления.
Общее выражение для силы светового давления, действующей на резонансный атом, проще получить в представлении Гейзенберга. Для этого напишем уравнение движения Пыотона для центра тяжести атома в операторной форме Гейзенберга
ф(% = '[Й,Р(01 = /(0 (3.1)
Вводя положительно-частотную часть оператора дипольного момента £? = (1сг, с помощью гамильтониана (2.3) находим оператор силы--------—-------------------
/(О=(г,о+а; «те, о-,«» <?л)
С
Операторная природа атомных переменных означает учет всех флуктуаций в процессе взаимодействия атома с полем. Поскольку [*?(/),/?]*(), то дипольный момент не
У/
сохраняется во времени. Флуктуации â(t) и, соответственно, флуктуации /(г) приводят к флуктуациям координаты частицы. Из общих соображений следует, что относительная значимость флуктуаций, имеющих по импульсу характерный размер Нк , возрастает по мере понижения температуры захваченных в ловушку атомов. Еще дополнительная возможность их превалирования возникает в неоднородном поле, в точках его минимума. Самый известный из таких примеров - переходы Ландау-Зинера вблизи узлов стоячей волны. Этот пример будет рассмотрен особенно подробно.
3.1. Приближение заданного движения. Упростим, исходя из аналогии с теорией молекулярных колебаний, где используется малость отношения массы электрона и ядер, общее выражение для силы (3.2), отбрасывая флуктуации атомных величин. Пусть атом движется с постоянной скоростью по некоторой классической траектории r(î). Найдем средний (индуцированный) днпольный момент атома d(t), где
m={<?(»))=sP(p(t)â), sPp=1 (з.з).
с помощью матрицы плотности атома во внешнем поле Р,} (0 = Ф) (00, (0, p'j = Pj,, i, j — a,bt которая подчиняется оптическому уравнению Блоха (без учета релаксации)
ip = [tf(0,p], Я(0 = -<73У2-oV*{t)-cr'Vif),
vit) my
Таким образом, согласно работам [26,8] среднее от оператора силы / = (fit)) имеет вид
/ = ZK(0VE;+<(0 VE,} (3.5)
4
Это есть квантово-механическое определение силы светового давления.
С другой стороны, движение атома определяется классическим уравнением движения Ньютона
Тем самым задача о нахождении траектории адиабатического (по отношению к внутренним степеням свободы атома) движения атома в неоднородном силовом поле приближенно (с учетом большой массы атома) свелась к решению системы уравнений
(3.4)-(3.6).Вводя блоховские переменные й- Р^- Ры, -разность заселенностей состояний аиЬ,а также «когерентность» этих состояний, уравнение (3.4) можно
записать в виде
/^ + Ар = У(/)(2
1 . (3.7), (3.8).
1(2 =-2<У(ф -к.с.
С учетом (3.7), (3.8) формула для силы светового давления принимает вид
/
/=£>УУ‘+к.с. (3.9)
Итак, задача о нахождении действующей на атом силы светового давления свелась к вычислению среднего (индуцированного) дипольного момента (I (^) = (1£0 (Г)
3.2. Адиабатические состояния. Нсрезонансный потенциал
Рассмотрим адиабатическое приближение (и условие его применимости) более подробно, так как оно становится особенно востребованным именно при низких температурах немедленных атомов, когда неоднородное световое изменяет поступательное движение атомов наиболее эффективно. Картина взаимодействия для таких атомов существенно упрощается.
Действительно, изменение внутреннего состояния атома в сильном поле, когда спонтанным излучением можно пренебречь, происходит, за время порядка периода рабиевских колебаний 1 /У0. Если атом медленный и смещается за это время на расстояние у/К0, малое по сравнению с длиной волны поля, т. е.
2/
то внутреннее состояние должно в основном адиабатически следить за положением центра инерции атома. Однако в стоячей волне такая оценка верна только для «средних» точек волны. Хотя рабиевская частота зависит от координаты нахождения атома, для таких срединных атомов годится оценка периода рабисвских осцилляций в виде 1 / У0 • Другим независимым критерием адиабатичности является требование малости изменения самой рабиевскон частоты за время пролета данной области поля. Если вблизи узла поля линеаризовать потенциал взаимодействия как у (*) = у0кх * а расстояние, как мы сейчас увидим, между «одетыми» термами атома в поле равно примерно А, то в области $ х _ д / к V0 << 1 / к расстояние между термами измениться примерно вдвое. Если обратное время пролета через эту область сравнимо с расстоянием между термами, т.е. у / 6 х ~ Д , то предположение об адиабатичности процессов нарушается. Отсюда находится характерная частота Д0,
расстройки при которой происходит это нарушение:
Здесь мы будем считать оба эти критерия адиабатичпости (3.11) выполненными.
Тогда, считая атом неподвижным, мы можем найти собственные функции и собственные энергии Л(Г) гамильтониана внутреннего состояния Н(?):
Решение этой задачи известно: мы имеем два ортогональных состояния - и, и м2, где
(3.11)
Й(7)и=Л(7)и, Й(7) = -агМ2-а'У(7)-оУ\7) .
(3.12)
ЩГ) = £(Г) А/2. £(?) = ,/і+|2К(/-)/Л|\
(3.13)
В исходном базисе |а) и |/>) состояниям м12 соответствуют суперпозиции
|«|) = [«(Г )ехр(/одг / 2)] а) + /ДГ)ехр(-г'аг /2)| £)]ехр(-Цг), (3.14)
|и2) = [-^(г)ехр(/л»/2)|а) + а(^)схр(-1й>г/2)|^}]ехр(-1Д2;).
Схематически энергии уровней состояний | м,},| и2) показаны на рис.2.
п>
іі>
Рис.2. Схема уровней «голого» (|п) и|&)) и «одетого» |і^ и|2фатомов в
V
резонансном поле.
При медленном включении поля первоначально невозбужденный атом переходит в суперпозицию и,), а возбужденный - в суперпозицию |м2). Состояния и, и и2 (или
(и,) и |и2}) будем называть адиабатическим, состоянием,) - собственным («нормальным»), а состояние|м2) - несобственным («аномальным»). В собственном состоянии атом имеет потенциал ЩТ), а в «аномальным» состоянии его потенциал есть -
-и(г).
г
Таким образом, при медленном включении поля невозбужденный атом имеет одну , траекторию движения, которая определяется потенциалом I){7) .При резком включении поля атом оказывается в суперпозиции состояний (3.14) и картина движения частицы существенно меняется. Если первоначально атом можно было
о
представить в виде движущегося волнового пакета, то после включения поля этот пакет расщепляется на два пакета, центры которых движутся как классические частицы в полях и(?) и - (/(Г). В этом случае можно говорить о бипотенциальном движении частицы, что представляет собой оптический аналог эффекта Штерна -Герлаха [8,9,66].
Однако при большой отстройке от резонанса трудно реализовать условие быстрого включения поля Д< 1, поэтому более реалистичной является модель медленного включения.
3.3. Диабатические состояния. Резонансный потенциал
В случае малых отстроек от резонанса более удобно для исследования поведения атома в стоячей волне использовать представление (2.5). В стационарном случае имеем следующее уравнение Шредингера:
При точном резонансе (Д = 0) оно строго распадается на два независимых уравнения Шредингера, которые описывают движение частиц в потенциалах ± У(х):
Потенциалы ±У(х) естественно назвать резонансными потенциалами атома в поле стоячей световой волны. Состояния
обычно называют диабатическими состояниями. В этих состояниях дипольный момент атома (в представлении (3.16) ему отвечает оператор с! = <1сту) имеет определенные
= 0>(Р)ехр(-/Ег),
(3.15)
(316)
(3.17)
значения ±(і. В этом смысле можно сказать, что дипольний момент состояния «не следит» за локальным значением поля.
Сила, действующая на атом в диабатичсских состояниях, есть /(х) = ±сіУ(х)/(Іх (3.18)
В квазиклассическом приближении, т.е. при рх »к или У0 »ку при Е ~ У0, волновые функции имеют вид
<Р±(х) = ІРЛх) (*)<£*}, р±=[2т(Е±У(х)))и2. (3.19)
При включении поля атом, находящийся в определенном диабатическом состоянии, оказывается в суперпозиции основного | а) и возбужденного |&) состояний. При этом веса этих состояний одинаковы. Напротив, атом, который первоначально находится в основном состоянии | а), после включения поля оказывается в суперпозиции состояний (рх и (рг. В этом случае атомный волновой пакет расщепляется на два пакета, которые движутся в поле резонансных потенциалов ±У(х), и мы опять имеем дело с оптическим аналогом эффекта Штерна - Герлаха. Отличие от адиабатического случая состоит в том, что при точном резонансе для возникновения бипотепциального движения атома включение поля не обязательно должно быть резким, а может быть достаточно произвольным.
Для нахождепия поляризуемости атома вблизи точного резонанса рассмотрим случай индуцированного эффекта отдачи, т. е. изменения энергии частицы в неоднородном поле, когда Л - куу = 0. Для этого рассмотрим моноэнергетичсский
атомный поток, однородный вдоль оси у и натекающий со скоростью у0 на световой луч, который распространяется вдоль оси у[66]. Плотности атомов п±(х) в состояниях «+» и «-» могут быть найдены из уравнений непрерывности: л±С*К(д:) = 1/2л0У0х,
где л0 - плотность атомов в основном состоянии в натекающем потоке, а у±(х) определяется уравнением
т^1, / 2 ± V, (лг) = / 2
Тогда средний (по состоянию атомов) индуцированный дипольный момент < Л > можно определить из уравнения п0 <(1 >= (1(п+ -П_) или
<с1 >=<1{[1-2У0(х)(Е(рх)\-и2 -[1 + 2У0(х)1Е(Рх))-',2)/2. (3.20)
При больших энергиях (Е(рх) » У0 )отсюда для поляризуемости атома Кс% находим ЪсХ = с121Ъ(рх) (3.21)
Таким образом, в условиях точного резонанса роль эффективной расстройки играет кинетическая энергия частицы вдоль градиента поля.
§4. Переходы Ландау-Зинера (ЛЗ) [66].
Случай Д = 0 является единственной ситуацией, когда происходит точное разделение внутренних и поступательных степеней свободы. .Формально это выражается в том, что двухкомпонентное уравнение Шредингера (3.15) расщепляется на два скалярных уравнения (3.16 ). При конечных Д такое расщепление возможно только приближенно.
Следует подчеркнуть некоторые качественные отличия адиабатического и диабатнческого состояний (базисов). Ранее уже отмечалось различное поведение индуцированного диполыюго момента в этих состояниях. Кроме того, отличаются также и эффективные потенциалы атома в стоячей волне;
Глубина модуляции резонансного потенциала с5У = 2У0 более чем в 2 раза превышает
глубину модуляции нерезонансного потенциала 5и = + У02 -|Д|/2. Мы видим, что
нерсзонансный (адиабатический) потенциал и(х) при А 0 не совпадает с
резонансным (диабетическим) потенциалом У(л), а переходит в \У(х)\. Отсутствие
предельного перехода связано с нарушением адиабатического приближения при малых А. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Будем исходить из стационарного уравнения Шредингера в форме ( 3.15 )
(4.1)
{-■“7Т+Н)р = Е0>, Н = А0г ^(дг)сг3 2т ах 2
Два независимых адиабатических решения в этом представлении имеют вид
(т)
{а(х)У “2 {-0(х))'
*
Н(д:)м = Ли, м, =
л.г =+£/«,
«(х)=[і(1+У(х)/У(*))]1'2. (4.2)
Л*) = [1(1 -У(х)/иШ'г.
аг+02 = 1.
В этом представлении собственное квазиэнергстичсское состояние описывается функцией м,(дг). Отметим, что через половину периода поля лік функции а(х) и /?(х) переходят друг в друга.
Сделаем теперь локальное преобразование
0 = .ї2Г, * =
' а(х) 0(х)' ,-/?(*) а(х))
А+А |
, * 5 = 1,
которое диагонализует гамильтониан (4.1):
ГШ = Ч/(х)<т3, и(х) = —[1 + (2Р(*)/А)2] .
£
(4.3)
Тогда уравнение (4.1) для функции х ~
2т ах
'Хг' <Хі)
принимает вид
(4.4)
Х7
где к = к + - оператор неадиабатичности,
(4.5)
А Л
Оператор Я, недиагональный и по порядку величины есть Я, ~ Ь\ а ~ є,. Если в
силу условия (3.10) этими членами пренебречь, то уравнение (4.4) распадается на два независимых скалярных уравнения Шредингера:
Используя для этих уравнений квазиклассическое приближение, с учётом (4.2) получаем четыре линейно-независимых решения исходного уравнения (4.1):
Волновые функции (рх и (р\ отвечают движению атома, находящегося в собственном состоянии, в положительном или отрицательном направлении оси х. Соответственно функции (рг и (р2 описывают атом в «аномальном» состоянии.
Квазиклассические решения справедливы при достаточно больших импульсах частицы: рх2(х)»к. Если умножить это неравенство на скорость частицы, то для энергии частицы Е(рх) ~ У0 приходим к критерию квазиклассичности в формс(З.Ю). Очевидно, что квазиклассика нарушается в окрестностях точек поворота, где
В этих точках происходит перемешивание либо <рх и <рх , если атом находится в собственном состоянии и колеблется в потенциальной яме потенциала и(х), либо (р2
(4.6)
(4.7)
рх (х) = 0 либо р2(х) - 0.
(4.8а)