Распределенные системы как решеточные модели : Анализ пространственно-временного поведения и элементы управления динамикой

Оглавление
1 Введение
2 Основные результаты теории динамических систем
2.1 Динамика сосредоточенных систем.....................
2.1.1 Переход к хаосу через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода ....
2.1.2 Переход к хаотическому поведению через перемежаемость ...........................................
2.1.3 Переход к хаосу через разрушение инвариантного тора................................................
2.1.4 Основные характеристики хаотического поведения ................................................
2.2 Методы управления динамикой нелинейных систем . . .
2.3 Описание распределенных систем в рамках дискретных моделей..................................................
3 Одномерные отображения с периодическим возмущением по параметру. Стабилизация неустойчивых орбит
3.1 Общие результаты [149]..............................
3.2 Возмущенное квадратичное отображение................
3.3 Подавление хаоса в унимодальных отображениях ....
3.3.1 Численное моделирование ..........................
4 Динамика неоднородных цепочек связанных квадратичных отображений
3
8
8
9
10
12
13
20
22
45
45
52
69
78
88
1
4.1 Локальный критерий динамики связанных отображений 90
4.2 Примеры однородных систем............................. 92
4.2.1 Потоковая модель................................ 93
4.2.2 Кольцевая цепочка квадратичных отображений . 101
4.3 Анализ неоднородных цепочек связанных одномерных отображений.............................................. 108
Заключение 120
2
Глава 1
Введение
В начале XX века появилось огромное количество нелинейных задач, решение которых натолкнулось на непреодолимые трудности. Если прежде эти задачи были связаны лишь с традиционной нелинейной механикой (задача трех тел, описание волн на поверхности жидкости и т.п.), то в 10-30-е годы нелинейные задачи превратились в первоочередные в таких областях как акустика, физика твердого тела, статистическая физика и т.п. Кроме того, принципиально нелинейные задачи возникли в зарождающейся радиотехнике (детектирование и генерация колебаний), а также в других прикладных отраслях.
Исследования последних лег показали, что типичным свойством многих нелинейных систем, порождающим в них сложное поведение, является чувствительность к начальным условиям. С точки зрения систематики почти во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше двух (особенно во многих биологических, метеорологических и экологических моделях) можно обнаружить хаос. Это означает, что на достаточно больших временах их поведение непредсказуемо. Таким образом, явление хаотичности в той или иной системе не связано с действием каких-либо априори случайных сил, а кроется в свойстве приобретать при определенных значениях параметров экспоненциально сильную неустойчивость траекторий.
Открытие большого числа нелинейных систем со сложным непредсказуемым поведением стимулировало развитие новых разделов математики. К ним относятся качественная теория дифференциальных
3
уравнений, эргодическая теория, дифференциальная динамика и др. Еще в конце прошлого века А. Пуанкаре показал, что в некоторых системах в окрестности неустойчивых неподвижных точек может наблюдаться очень сложное движение. Впоследствии Д. Биркгоф обнаружил, что при рациональном отношении частот (резонанс) всегда существуют устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы более высокого порядка последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепи островов в фазовом пространстве. В классических работах А.Н.Колмогорова и Я.Г.Синая [1, 2, 3] был разработан вероятностный подход к исследованию динамических систем с сильной зависимостью от начальных условий. Была введена энтропия динамической системы (впоследствии названная КС-эитропией) как мера стохастичности.
Многие процессы в физике, химии, биологии и социальных науках обладают существенно неустранимой дискретностью. Поэтому данные явления достаточно хорошо описываются дискретными динамическими системами с малым числом степеней свобода, т.е. отображениями [4). Это привело к созданию глубокой математической теории таких отображений. В частности, было показано, что одномерные немонотонные отображения интервала числовой оси могут обладать хаотическим поведением [5, б, 7].
Развитие теории динамических систем и многочисленные исследования нелинейных процессов показали, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять самые разнообразные нелинейные системы. В связи с этим появилась проблема предсказуемости поведения таких систем. Предсказание поведения сложных нелинейных процессов тесно связано с проблемой управления их динамикой. Исследования в этом направлении показали, что многие хаотические системы поддаются управлению посредством малых внешних возмущений. Управление хаотической системой понимается как возможность вывода ее на требуемый
4
регулярный режим. Позже стало ясно, что на этом пути можно найти неожиданные подходы к решению давно известных проблем, таких как инженерия динамических систем, дефибрилляция, обработка информации и т. п. (см. [8, 9, 10, 11]). Сейчас имеется большое число работ, посвященных исследованию движения систем с внешними воздействиями (см. , например, [12, 13, 14, 15, 16]).
В настоящее время существуют два качественно различных подхода к решению проблемы управления поведением хаотических систем. В основе первого лежит учет положения системы в текущий момент, т. е. использование обратной связи. Введение обратной связи является определенным преимуществом, поскольку в большинстве случаев такой способ управления приводит к желаемому результату: выбранная заранее неустойчивая траектория, будь то неподвижная точка или предельный цикл, стабилизируется и, таким образом, исследуемая система выводится на требуемый режим движения. Следует отметить, что данный метод эффективен, если система находится в непосредственной близости к выбранной траектории; в противном случае либо система выйдет на другой режим движения, либо требуемое возмущение будет достаточно большим, что крайне нежелательно для реальных задач управления.
Второй подход к управлению поведением дипамических систем не требует знания текущего положения хаотической системы. Стабилизация хаотических колебаний осуществляется при помощи прямых воздействий. Поэтому данный метод без обратной связи менее подвержен влиянию шумов, что сильно упрощает его использование в приложениях [17]. Для данного метода существенным является разработка такого параметрического воздействия на исходную систему, чтобы оно приводило к стабилизации нужного предельного цикла. Эта проблема частично решена в диссертационной работе для семейств одномерных отображений (см. Гл. 3).
Как уже говорилось, способность нелинейных систем проявлять сложное хаотическое поведение является достаточно общей. Наряду
5
с нелинейными системами с малым числом степеней свободы, подобное поведение было обнаружено во многих распределенных системах в физике, химии, биологии, медицине и др. науках. Распределенные нелинейные системы, динамика которых описываегся системой дифференциальных уравнений в частных производных, проявляют гораздо большее разнообразие в поведении. При анализе этих систем были обнаружены такие явления, как синхронизация, образование сложных пространственных структур, рождение солитонов, пространственно-временной хаос и др. Аналитическое рассмотрение пространственно распределенных систем в основном не представляется возможным. Поэтому приходится прибегать к упрощающим методам. Одним из эффективных методов исследования подобных систем является дискретизация по пространству и/или времени. В этом случае говорят об анализе ’’сеточной“, или ’’решеточной”модели. Отметим, что к таким моделям непосредственно приводят рад задач турбулентности, теории синхронизации радиосистем, биологии, медицины, а также изучение поведения клеточных автоматов и нейронных сетей [18, 19, 20, 21, 22]. Более того, всякий численный эксперимент подразумевает подобную дискретизацию как по пространству, так и по времени.
Для многих практически важных распределенных систем актуальной является проблема синхронизации динамики. Явление синхронизации чрезвычайно распространено в природе и технике. Обычно под синхронизацией понимают приобретение объектами различной природы единого ритма работы. 11о-видимому, стремление к достижению упорядоченности и согласованности в поведении систем, характерное для синхронизации, в той или иной степени отражает существующую в природе общую тенденцию к самоорганизации [23]. В Главе 4 данной работы будет рассмотрена эта проблема для одномерных решеток диффузионно сцепленных одномерных отображений. Для исследования таких систем разработан принципиально новый метод анализа пространственно-временного поведения. Более того, проведено исследование влияния неоднородностей пространства на динамику всей ре-
6
шстки, причем рассмотрены различные тины неоднородности. Данная постановка задачи физически оправдана, т. к. однородность по пространству является идеализацией.
Целями диссертационной работы являются:
1. Развитие оригинальной техники, позволяющей найти аналитический подход к проблеме подавления хаоса и управлению поведением сложных динамических систем при помощи внешних возмущений.
2. Обнаружение возможности подавления хаоса и стабилизации заданных циклов в семействах квадратичных отображений путем мультипликативных периодических возмущений.
3. Разработка нового метода локального анализа динамики решеток связанных отображений, позволяющего наглядно исследовать эволюцию областей синхронизации и хаоса в распределенной среде. Анализ его эффективности на примерах кольцевой и потоковой моделей диффузионно связанных квадратичных отображений.
4. Исследование неоднородных решеток сцепленных отображений, т.е. решеток с дефектами в пространстве. Изучение динамики таких систем при различных видах пространственных неоднородностей: от дефекта в одном элементе решетки до периодически чередуемых элементов с двумя типами динамики.
7
Глава 2
Основные результаты теории динамических систем
2.1 Динамика сосредоточенных систем
Всякая реальная система обладает рядом внешних управляющих параметров. При изменении этих параметров система может переходить из одного состояния в качественно другое состояние. В теории дина-мических систем такие переходы называются бифуркациями. Установление в динамической системе хаотического поведения происходит в результате той или иной последовательности бифуркаций, называемой сценарием или картиной развития хаоса.
Обнаружить хаотическое поведение в той или иной нелинейной динамической системе далеко непросто. На данный момент существует множество критериев хаотичности как в теории, так и в физических экспериментах. Понятие хаотичности во многом зависит от подхода к анализу конкретной нелинейной системы. В топологической теории динамических систем критерием сложности является, например, наличие топологического перемешивания или топологической транзитивности. В метрической теории, целью которой является исследование статистических свойств системы, критериями хаотичности являются такие свойства (в порядке возрастания статистической сложности), как эргодичность, перемешивание, положительность энтропии Колмогорова-Синая, К-свойство. На практике при исследовании конкретных физических систем или при численном анализе моделей, описывающих
8
реальные процессы, часто прибегают к вычислению таких характеристик, как показатели Ляпунова, Фурье-спектр, обобщенная энтропия и др. В данном параграфе описаны основные картины развития хаоса и некоторые характеристики хаотического поведения.
2.1.1 Переход к хаосу через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода
В общем виде динамическая система записывается либо в виде системы дифференциальных уравнений, либо в виде гс-мерного отображения. В первом случае она имеет вид
х = у(х,а), (2.1)
где х € М С К71, М - гладкое многообразие. Эти уравнения необходимо дополнить начальными условиями х(£о) = хо. В этом случае система (2.1) имеет единственное решение х(£,а), которое и определяет ее эволюцию. В простейшем случае такое решение - просто положение равновесия хо- Если х0 устойчива, то при некотором значении а0 эта точка может потерять устойчивость, и в системе в результате бифуркации Андронова-Хопфа [24, 25, 26, 27, 28] при а > ао может родиться устойчивый цикл 7(а).
Рассмотрим двумерную поверхность в фазовом пространстве системы (2.1), трансверсально пересекающую цикл 7(а). Если взять начальную точку на этой плоскости вблизи цикла, то в процессе одного оборота вокруг цикла она вновь пересечет выбранную поверхность. Тем самым эволюция траекторий системы (2.1) задает динамику двумерного отображения Т. Если собственные значения Дх, д2 матрицы первых производных ОТ в неподвижной точке находятся внутри единичного круга на комплексной плоскости, то неподвижная точка (и тем самым 7(а)) устойчива.
При увеличении параметра а системы может случиться, что один из мультипликаторов достигнет значения, равного —1. В этом случае при дальнейшем увеличении параметра а, неподвижная точка поте-
9
ряет свою устойчивость, и родится устойчивый цикл периода 2. Такая качественная перестройка в системе называется бифуркацией удвоения периода. При дальнейшем росте параметра подобная ситуация может повториться бесконечное число раз на конечном интервале изменения параметра. Такой каскад бифуркаций имеет место в типичном семействе и может привести систему от устойчивого периодического движения к хаотическому. Универсальность перехода к хаосу через удвоение периода была открыта Фейгенбаумом, Тома и Гроссманом при анализе бифуркаций удвоения периода для одномерных квадратичных отображений [29, 4].
Универсальность Фейгенбаума имеет очень широкую область применения. Она выполняется для однопараметрических семейств многомерных отображений и для семейств векторных полей. Кроме того, имеется много конкретных физических экспериментов, где в результате измерений получаются данные, находящиеся в прекрасном согласии с универсальностью Фейгенбаума.
2.1.2 Переход к хаотическому поведению через перемежаемость
Переход к хаосу через перемежаемость был описан Маневилем и Помо [30,31], но обнаружен впервые в работе [32]. Перемежаемость означает, что сигнал, развивающийся во времени регулярно, прерывается статистически распределенными промежутками нерегулярного движения (перемежающимися всплесками). При изменении внешнего управляющего параметра среднее число этих всплесков нарастает до тех пор, пока движение не становится полностью хаотическим. Этот переход обладает универсальными свойствами и является механизмом генерации фликкер-шума в нелинейных системах. Существуют три основных вида перемежаемости. Они получили названия перемежаемости первого, второго и третьего рода. Все три типа обнаружены в экспериментах и имеют обоснование в рамках ренормгруппового подхода.
Перемежаемость первого рода является следствием обратной каса-
10