Оглавление
ВВЕДЕНИЕ........................................................................4
В. 1. Краткий обзор шумовых явлений в хаотических и нелинейных системах,
БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ БИФУРКАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ...................................4
В. 2. Краткое изложение содержания...........................................12
ЧАСТЬ Г. ПРЕДБИФУРКАЦИОННОЕ УСИЛЕНИЕ ШУМА В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ.......................................................................21
1. 11РЕДБИФУРКАЦИОННОЕ УСИЛЕНИЕ ШУМА В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ ПРИ БИФУРКАЦИИ
УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА.............................................................21
1.1. Общая характеристика явления предбифуркационного усиления шума.......21
1.2. Предбифуркационное усиление шума в системах, описываемых нелинейными отображениями........................................................22
1.3. Линейная теория предбифуркационного усиления шума при бифуркациях удвоения периода..............................................................23
1.4. Интенсивность флуктуаций вблизи порога бифуркации удвоения периода 25
1.5. Флуктуации после прохождения точки бифуркации........................27
1.6. Оценки времени установления флуктуаций...............................29
1.7. Численное моделирование явления предбифуркационного усиления шума....30
1.8. О возможности измерения слабых шумов в нелинейной системе путем измерения фактора предбифуркационного усиления шума............................33
1.9. Выводы...............................................................34
2. Предбифуркационное усиление шума в нелинейном осцилляторе при БИФУРКАЦИИ УДВОЕНИЯ ЧИСЛА УСТОЙЧИВЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ..................39
2.1. Динамическая модель осциллятора, испытывающего бифуркации удвоения числа устойчивых состояний равновесия......................................39
2.2. Оценки флуктуаций при медленном изменении параметров системы: приближение В КБ.....................................................42
2.3. Оценки интенсивности флуктуаций в окрестности точки бифуркации с учетом нелинейных эффектов..................................................44
2.4. Флуктуации при быстром изменении параметров осциллятора..............46
2.5. Численное моделирование флуктуаций в нелинейном осцилляторе..........46
2.6. Шумозависимый гистерезис в окрестности точки бифуркации..............48
2
2.7. Нарушение вероятностной симметрии числа устойчивых состояний в нелинейном осцилляторе.........................................................50
2.8. Заключение............................................................51
ЧАСТЬ II. ФОРМИРОВАНИЕ БАССЕЙНОВ ПРИТЯЖЕНИЯ КОНЕЧНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ В ПРИСУТСТВИЕ ШУМОВ................................60
3. Бассейны притяжения конечных состояний в связанных системах с
ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.......................................................60
3. 1. Общая характеристика формирования бассейнов притяжения конечных состояний при бифуркации удвоения периода...........................60
3.2. Описание связанной системы с переменными параметрами..................61
3.3. Эволюция бассейнов притяжения при изменении коэффициентов связи в связанной системе в отсутствие шумов..........................................64
3.4. Влияние скорости изменения управляющего параметра на формирование картины бассейнов притяжения конечных состояний.............................66
3.5. Воздействие шума на формирование бассейнов притяжения.................69
3.6. Выводы к главе 3......................................................69
4. Бассейны притяжения и нарушение вероятностной симметрии периодических
РЕЖИМОВ ПРИ быстром прохождении через хаос в окно прозрачности................80
4.1. Постановка задачи.....................................................80
4.2. Бассейны притяжения периодических режимов в отсутствие шума...........83
4.3. Влияние шума на структуру бассейнов притяжения периодических реж имов.84
4.4. Интерпретация результатов на основе линейной теории возмущений........85
4.5. Заключение............................................................88
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................................96
ЛИТЕРАТУРА....................................................................99
3
Введение
В. 1. Краткий обзор шумовых явлений в хаотических и нелинейных системах, быстрые и медленные бифуркационные переходы
Изучение поведения нелинейных систем с бифуркациями под действием шумов представляет значительный интерес, как для радиофизики, так и для физики в целом. Эта интереснейшая проблема всегда была в центре внимания теории нелинейных систем. В последнее время интерес к исследованиям бифуркации в присутствии шумов сместился в сторону нестационарных систем, о чем свидетельствуют материалы международных конференций и недавние журнальные публикации.
Актуальность темы определяется важной ролыо флуктуационных процессов в бифуркационных системах, поскольку небольшие флуктуации вблизи точки бифуркации могут вызвать серьезные изменения в макроскопическом поведении нелинейных систем и в выборе конечного состояния системы после бифуркационного перехода [1, 2, 3]. В частности, действие шумов при бифуркационных переходах и приводит к явлению спонтанного нарушения симметрии, которое играет важную роль в теории фазовых переходов (ферромагнетизм, сверхпроводимость, сверхтекучесть [4, 5]), в теории взаимодействий элементарных частиц [6], в теории физического вакуума [7], в теории эволюции Вселенной в рамках “горячей модели” [8] и др. Не исключено, что проблема происхождения жизни тоже связана с воздействием флуктуаций на бифуркационную систему. Как было отмечено работе [9], вблизи точек бифуркации сильно неравновесные системы как бы «колеблются» перед выбором одного из нескольких путей эволюции, небольшие флуктуации могут послужить началом эволюции в новом направлении и тем самым резко изменить поведение макроскопической системы. В работе [9] подчеркивается, что усиление микроскопической флуктуации, происшедшей в «нужный момент», может привести к преимущественному выбору лишь одного из путей эволюции из ряда априори одинаково возможных. Следовательно, при определенных условиях роль того или иного индивидуального режима становится решающей. В работе [9] делается вывод, что поведение «в среднем» не может доминировать
4
над составляющими его элементарными процессами. В близи точек бифуркаций основную роль играют флуктуации, тогда как в интервалах между бифуркациями доминируют детерминистические закономерности.
Изучение флуктуационных процессов в линейных и нелинейных системах и устройствах представляет собой центральную задачу статистической радиофизики. Усиление флуктуаций в окрестности критических точек и влияние шума на формирование бассейнов притяжения в нелинейных цепях являются составной частью этой задачи. Изучение этих явлений на модельных системах, описывающих реальные нелинейные цепи [12, 13, 14, 34] путем численного моделирования, необходимо для установления качественных и количественных свойств величин, которые определяют состояние радиофизической системы. Закономерности, полученные при изучении флуктуационных процессов, могут быть использованы для решения практических задач радиофизики, в частности для решения проблемы измерения шума в нелинейных цепях [11].
Таким образом, изучение влияния шума на нелинейные системы с бифуркациями, представляя значительный интерес, как для статистической радиофизики, так и для других нелинейных дисциплин, так что результаты, полученные в данной работе для радиофизических моделей, могут оказаться полезными для понимания природы бифуркационных закономерностей в других областях естествознания.
Изучение поведения бифуркационных систем иод действием шумов представляет значительный интерес как для радиофизики, так и для физики в целом. Из разнообразных проблем статистической радиофизики, обсуждаемых в литературе и еще не нашедших адекватного разрешения, значительный интерес представляют флуктуационные процессы в бифуркационных системах с переменными параметрами (в этом случае говорят о динамических бифуркациях). В первую очередь речь идет о явлении предбифуркационного усиления шума и о формировании бассейнов притяжения конечных состояний нелинейной системы. Эти два явления и составляют предмет исследования данной диссертации.
5
Исследования флуктуационных проблем проводились с помощью методов численного моделирования на примере ряда дискретных и непрерывных модельных систем, которые хорошо описывают поведение реальных нелинейных цепей. В качестве объектов исследования использовались: квадратичное отображение, которое служит моделью для описания бифуркационных явлений в неавтономном диссипативном осцилляторе [12, 13] и автогенератора с запаздывающей обратной связью [13]; система связанных отображений, которая может служить адекватной моделью двух резисторно связанных ЯЬ-диод цепей [13, 14], синфазно возбуждаемых гармонической внешней силой; модель нелинейного осциллятора, демонстрирующего бифуркацию удвоения числа устойчивых состояний равновесия (бифуркацию спонтанного нарушения симметрии).
Явление предгенерационного (или преосцилляционного) усиления шума, наблюдаемое как в радиофизических, так и в оптических системах [2, 10, 15-20], является частным случаем более общего явления, которое можно назвать предбифуркационным усилением шума. Как было показано в работах [21-23], при приближении к критическим значениям бифуркационного параметра может происходить усиление слабых сигналов, обусловленное уменьшением (вплоть до обращения в нуль в критической точке) декремента затухания. Явление предбифуркационного усиления слабых сигналов сопровождается усилением слабых шумов, как это было подробно проанализировано в рамках линейного приближения в работе [24], посвященной анализу «шумовых предвестников» нелинейных неустойчивостей. Разумеется, линейная теория полностью игнорирует нелинейные эффекты и потому предсказывает неограниченный рост флуктуаций при приближении к точке бифуркации.
В данной работе впервые проведен нелинейный анализ предбифуркационною усиления шума для двух систем: для дискретной нелинейной системы, описываемой квадратичным отображением [25, 26, 27] и
6
для нелинейного осциллятора, описываемого дифференциальным уравнением [28]. Важным новым результатом явились оценки дисперсии флуктуаций в нелинейном режиме (вблизи порога бифуркации). Кроме того, в работе впервые указана возможность измерения слабых шумов в нелинейных физических системах на основе данных о коэффициенте предбифуркационного усиления шума.
Вторым направлением исследований флуктуационных процессов в данной диссертации явился анализ бассейнов притяжения конечных состояний в бифуркационных системах с меняющимися во времени параметрами [29]. Впервые анализ такого рода был предпринят в работе [30] для случая бифуркации удвоения периода. В работе [30] было обнаружено, что на плоскости «начальное значение - скорость перехода» зоны притяжения двух возможных конечных состояний чередуются друг с другом, и что с уменьшением скорости перехода происходит дробление областей притяжения.
Данная работа продолжает исследования бассейнов притяжения, начатые в [30, 311, но применительно к более сложным нелинейным колебательным объектам: система двух связанных квадратичных отображений с переменными параметрами и дискретная нелинейная система, переходящая через каскад бифуркаций удвоения периода и через зону хаоса в зону периодических режимов (в так называемое окно прозрачности [1, 32]).
Бифуркации в первой из указанных систем ранее рассматривалась только в квазистагическом режиме, в котором выбор конечного состояния происходит по закону случая [20, 33, 34]. В данной диссертации поставлена задача: провести комплексный анализ структуры бассейнов притяжения конечных состояний в зависимости от соотношения между коэффициентами связи, скоростью изменения управляющего параметра и уровнем шумового воздействия [35, 36].
Что касается второй из упоминаемых систем (прохождение через хаос в зону прозрачности), то, прежде всего, необходимо указать на работы [29, 37], в которых впервые показана принципиальная возможность предсказания
7
конечного состояния системы после прохождения через зону хаоса в зону периодичности. Численный и аналитический анализ позволил также выявить структуру областей притяжения конечных состояний и обнаружить новые сверхчувствительные к шуму зоны, в которых весьма малые изменения начальных значений приводят к существенному изменению конечного состояния.
Зависимость вероятности попадания в конкретное конечное состояние от соотношения флуктуационных и динамических факторов - еще один важный и недостаточно исследованный аспект проблемы динамических бифуркаций, особенно если речь идет о динамических системах, которые могут находиться в одном из двух вырожденных энергетически равноправных устойчивых состояний [2, 47, 29, 38 - 41]. Особенностью бифуркационных переходов в таких системах является вероятностная симметрия конечных состояний, которая характерна для бифуркаций спонтанного нарушения симметрии [42] и бифуркации удвоения периода [1], для вырожденных параметрических [43] и поляризационно-вырожденных лазерных систем [44], а также для изомерных химических систем [45,46]. Равновероятность непосредственно связана с воздействием шумов на систему в момент бифуркационного перехода.
Экспериментально наблюдаемой равновероятности энергетически равноправных режимов противостоит известное свойство из теории динамических систем: в согласии с теоремой Коши траектория системы однозначно определяется начальными условиями [20, 39, 47 - 50]. Противоречие между наблюдаемой равновероятностью и динамической однозначностью конечных состояний получило название “бифуркационного парадокса” [51, 53]. Разрешение бифуркационного парадокса для частного случая бифуркации удвоения периода в одномерном отображении было дано в работах [30, 54], в которых было показано, что, меняя соотношение между уровнем шумов в системе а2п и скоростью 5=с1гШ изменения бифуркационного параметра г, можно проследить непрерывный переход от случая вероятностной симметрии,
8
- Київ+380960830922