СОДЕРЖАНИЕ
I Введение 4
II Отклик гамильтоновых систем на внешнее поле 14
1 Глава 1. Отклик одномерных нелинейных осцилляторов на внешнее однородное гармоническое поле: резонансный и хаотический случаи 14
1.1 Введение..................................... 14
1.2 Модель....................................... 18
1.3 Резонансный случай . ........................21
1.3.1 Аналитическое решение...................21
1.3.2 Численный эксперимент...................24
1.3.3 Высшие резонансы........................25
1.4 Хаотический случай...........................2(5
1.5 Обсуждение результатов........................30
1.6 Дополнение....................................31
2 Глава 2. Квадратичный отклик зеркально-симметричных систем на нерезонансное поле и принцип соответствия 33
/
III Распад нелинейных консервативных систем 38
3 Глава 3. Биллиард Бора: распад системы с дополнительным интегралом движения 38
1
3.1 Введение........................................38
3.2 Модель..........................................43
3.3 Связанные состояния.............................45
3.4 Распадные состояния.............................51
3.5 Численный эксперимент...........................57
3.6 Ансамбль рассеяния..............................60
3.7 Обсуждение результатов..........................65
4 Глава 4. Распадающиеся и нераспадающиеся состояния классических нелинейных двумерных осцилляторов 69
4.1 Введение........................................69
4.2 Модель и начальный ансамбль ....................74
4.3 Маятниковая модель и нераспадающаяся часть ансамбля Е............................................76
4.4 Сепаратрисное отображение и скорость распада . . 81
4.5 Обсуждение результатов..........................87
IV Заключение 89
V Таблицы, рисунки и подписи к ним 92
А Приложение А: Свойства осциллятора Дюффинга в отсутствие внешнего поля 113
В Приложение В: Однорезонансная маятниковая модель 116
С Приложение С: Свойства маятника
119
В Приложение И: Сепаратрисное отображение 121
Литература 123
3
Часть I
Введение
Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию динамики классических гамильтоновых систем. Предметом исследования являются два фундаментальных физических процесса - отклик па внешнее периодическое возмущение (часть II) и распад (часть III). Результаты, полученные в данной работе, могут быть применены для исследования поведения микрочастиц (атомов, молекул, кластеров, кластерных ионов), находящихся в высоковозбужденных состояниях. Роль внешнего возмущения при этом может выполнять электромагнитное поле, например, излучение лазера.
Понятие ’’отклик” в физике имеет очень широкое толкование. В самом общем виде, отклик - это любое изменение эволюции системы, вызванное внешним воздействием. Выбор конкретной физической величины, по изменению эволюции которой можно судить об отклике, зависит от объектов и целей исследования. В случае взаимодействия электромагнитных волн с веществом обычно рассматриваются наведенная поляризация или вызванный внешним нолем ток [1, 2, 3], или просто средние значения координат и скоростей частиц, через которые можно выразить все остальные величины. В данной работе под откликом всегда понимается изменение зависимости от времени среднего (по ансамблю, по состоянию) значения координаты системы, вдоль которой направлено внешнее поле. В этом случае отклик оказывается связанным с интенсивностью излучения, которая может быть измерена в эксперименте.
Обычно внешнее поле называют слабым, если его воздействие
Л
на систему может быть описано в рамках теории возмущений, и сильным - в противном случае. В данной работе мы будем использовать более подробную классификацию. Пусть движение невозмущенной системы является регулярным. Мы будем называть поле "умеренно сильным”, или просто ’’умеренным”, если возмущенное движение регулярно, но не может быть описано в рамках теории возмущений. Внешнее поле, приводящее к возникновению хаотического режима движения, мы будем называть ’’очень сильным”, или просто ”сильным”. Поля с одной и той же амплитудой могут в зависимости от частоты оказываться как слабыми, так и умеренными и сильными.
Распадом системы, состоящей из нескольких взаимодействующих частей, называется такая ее эволюция, при которой взаимодействие частей становится со временем несущественным для описания динамики каждой из них. Количественный критерий, разделяющий системы на уже распавшиеся и еще не распавшиеся, выбирается в каждом конкретном случае по-разному в зависимости от решаемых задач и используемых моделей. Распад микрочастиц обычно связан с вылетом электрона (ионизация) или тяжелой частицы или группы частиц (диссоциация, дефрагментация) [4, 5].
Цель работы состояла в исследовании:
1. линейного отклика ансамбля одномерных нелинейных осцилляторов на умеренное и сильное внешнее поле;
2. квадратичного отклика нестационарных состояний зеркально-симметричных гамильтоновых систем на слабое внешнее поле;
3. динамики распада ансамбля классических гамильтоновых систем, с учетом наличия у каждой из них дополнительного интеграла движения - полного момента импульса;
4. распадающихся и нераспадающихся состояний в ансамбле двумерных нелинейных осцилляторов, полная энергия которых допускает распад.
Актуальность исследования классических моделей (на фоне достаточно хорошо развитых кванотовомеханических подходов) обусловлена следующими факторами. С одной стороны, это фундаментальный научный и методологический интерес к проблеме соответствия классического и квантового способов описания действительности ("принцип соответствия”). С другой стороны, это чисто практические выгоды, которые дает классический способ описания по сравнению с квантовым. Хотя квантовая механика, будучи более ’’богатой" теорией (в ней на одну фундаментальную константу больше), позволяет объяснять целый ряд эффектов, не находящих объяснения в рамках классического формализма, ее использование не всегда более предпочтительно. В частности, классические аналоги квантовомеханических выражений часто оказываются намного более удобными для численных расчетов применительно к той или иной конкретной системе. Принимая во внимание сложности, связанные с вычислением классических пределов квантовомеханических формул, удобнее не вычислять их вовсе, а решать сразу классическую задачу. Конечно, такой ход имеет смысл только тогда, когда исследуются квазикласси-ческие состояния.
Актуальность исследования отклика нестационарных состояний (задача 2) связана с тем, что они часто возникают в экспериментальных ситуациях. Простейшим примером такого состояния является частица, в начальный момент времени локализованная в одной из двух ям зеркально-симметричного дву X я м но го потенциала. Исследование квадратичного (а не линейного) от-
(>
клика такого начального состояния особенно показательно, так как квадратичный отклик является чувствительным к нарушениям симметрии системы.
Выбор классических гамильтоновых моделей для описания динамики микрочастиц в задачах 1, 3 и 4 обосновывается следующими численными оценками. В атомной системе единиц, основанной на фундаментальных константах
с « 5 • 10 СГС — заряд электрона, (1)
те « 9 * 10-28г — масса электрона, (2)
h « 1 • 10 эрг • сек — постоянная Планка, (3)
естественными масштабами энергии, длины и частоты являются величины
7П.
Ry = - 2 ~ 13.6эВ « 2 • 10 '11 эрг — Ридберг, (4)
и II
ti2
аut — ö ~ Ö.5 • 10 см — боровский радиус, (5)
теег
Wat = ~ 5 ' Ю16СеК-1. (6)
Если частица массы М локализована в потенциале, который имеет конечную глубину U и ширину а, то борцовский параметр
2 MU а2
определяет число связанных состояний такой системы: Ni ~ \/В. Для атомных масштабов Bat = 2meRya\t/h2 « 1. Для тяжелых частиц (атомов с N нуклонами в ядре) борцовский параметр равен
в=(s>
ß = -Т2— (7)
где безразмерный параметр £ равен отношению масс электрона и протона,
с = — « 5 • 1(П4. (9)
тр
Для типичных микрочастиц (например, кластеров благородных газов или металлов) Лг ~ КТ-ИО2, V/Лу ~ 10“14-10“2, а/ао ~ Ю1, что дает для числа уровней оценку N/ ~ 102 -г 103 >> 1. Если Ну, а<и и те выбраны равными единице, то постоянная Планка Н = \/'2/1\Г1 ~ 1(Г2 <<1, что и оправдывает применение классической механики для описания микрочастиц в высоковозбужденных состояниях.
Адекватность выбора гамильтоновых моделей обосновывается малостью затухания в рассматриваемых системах. Уменьшение энергии системы Е происходит в основном за счет диполь-ного излучения. Его интенсивность Е для частицы массы М, движущейся в потенциале глубины V и ширины а по порядку величины равна Е ~ (е2/с3) а2П4, где П - частота классического движения частицы, по порядку величины равная частоте переходов между стационарными состояниями о>п+1,п> которая, в свою очередь, может быть оценена как ит1+1>п ~ О/НЕ[. Таким образом, константа радиационного затухания уг = Е/Е но порядку величины равна
(£)■'■(&) о»)
для тяжелых частиц и
для электрона. Постоянная тонкой структуры
откуда получаем уг/0. ~ 10 13 для тяжелых частиц и 7г/0 ~ 10 8
для электрона.
При значениях энергии, приближающихся к нулю (точнее -к порогу несвязанных состояний, если он отличен от нуля) все большую роль начинают играть процессы подбарьерного туннелирования, накладывающие дополнительные ограничения на область применимости классической механики, особенно при изучении распада. Характерную скорость туннелирования 7* (имеющую размерность [сек-1]) для состояния с энергией, меньшей порога несвязанных состояний на величину Е, можно оценить (аппроксимируя потенциал в подбарьерной области параболой,
Из этой формулы видно, что при распаде системы на тяжелые части роль туннелирования существенна только тогда, когда распадающаяся система находится в "последних” связанных состояниях (Е ^ и/N1): 7/./П ~ ехр(-тг>/2) ~ 10-2. Для более низко-лежащих состояний (Е ~ и) вклад туннелирования оказывается ничтожным: 7*/П ~ ехр (—я-у/2В) ~ 10-11) 4- 10-и)и.
Если вылетающей частицей является электрон, то вклад туннельных процессов в распад существенен всегда. В этом случае борцовский параметр В ~ 1, и так как Е/1У < 1, то 7*/£2 > К)“2. Применение классической механики для описания таких процессов бессмысленно.
Для модели водородоподобного атома {V (г) = — ^е2/г, Е > 0) число связанных состояний бесконечно. Уровни энергии и часто-
V {х) ~ - (I//а2) (х2/2)) как
-2~ Ыж ехр
(13)
9
ты переходов равны
тее4£2 гаее4.£2 2п ф 1 тсе42'2
= 'ТтА^“’ Шп+''п = ' 2Я3 пМп+1)4 Ю ( }
В системе единиц измерения, в которой масса частицы те = 1, радиус боровской орбиты п- го состояния гп = п2Ьг/МеАг2 = 1 и энергия п-го состояния равна = 1/2, постоянная Планка равна 1г = г/пу что оправдывает применение классической механики для описания высоковозбужденных состояний водородоподобных атомов. Для скорости радиационного затухания имеем оценку 7, /П ~ а3/п3 <<1, что оправдывает применение гамильтонова формализма.
Практическая ценность данной работы состоит в том, что в ней выявлен ряд общих свойств отклика и распада нелинейных систем. Кроме того, результаты, полученные в данной работе, могут послужить теоретической основой для планирования экспериментальных исследований в следующих областях:
1. генерация первой и высших гармоник в сильных и сверхсилъ-ных полях;
2. рассеяние пучков высоковозбужденных частиц на мишенях;
3. создание высоковозбужденных устойчивых состояний.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. описан отклик микроканонического ансамбля одномерных нелинейных осцилляторов на умеренное и сильное внешнее поле; для этого введена новая физическая величина - гармоническая восприимчивость (ГВ), - являющаяся обобщением линейной восприимчивости на случаи, когда внешнее возмущение не может считаться малым, и в отличии от нее не привязанная к какому-либо определенному способу описания возмущенного движения;
10
- Київ+380960830922