Распространение коротких акустических импульсов в средах с экспоненциальной и резонансной релаксацией

Содержание
Содержание
Введение
Глава 1 Аналитическое описание динамики короткого импульса распространяющегося в среде с произвольным СВР
1.1 Термодинамический подход Мандельштама и Леонтовича к описанию дисперсионно-диссипативных свойств сред в близи состояния термодинамического равновесия.
1.2 Связь динамики короткого импульса с параметрами релаксационной среды
1.3 Аппроксимирующее аналитическое выражение, описывающее динамику короткого импульса, распространяющегося в релаксационной среде с произвольным СВР
1.4 Примеры численных расчетов динамики импульса
Заключение к главе 1
Глава 2 Распространение акустического импульса в среде с двумя релаксационными процессами
2.1 Функция Грина задачи о распространении импульса в среде с двумя релаксационными процессами
2.2 Аналитическое выражение для функции Грина среды с двумя релаксационными процессами
2.3 Альтернативное представление функции Грина среды с двумя релаксационными процессами
Заключение к главе 2
Глава 3 Распространение импульсов в неоднородных релаксационных средах
3.1 Функции Грина линейного и точечного источников в экспоненциально неоднородной релаксационной среде
3.2 Распространение плоского импульса в неоднородной вдоль направления распространения релаксационной среде
Заключение к главе 3
Глава 4 Обобщенное локальное уравнение состояния среды с резонансной релаксацией
4.1 Обобщение термодинамического подхода на случай среды с резонансной релаксацией
4.2 Дисперсия фазовой скорости и частотная зависимость коэффициента поглощения в среде с резонансной релаксацией
4.3 Механическая интерпретация обобщенной функции отклика сред с резонансной релаксацией
Заключение к главе 4 108
Глава 5 Распространение коротких импульсов в среде с единственным ^
процессом резонансной релаксации
5.1 Аналитическое пространственно- временное представление
функции Грина задачи о распространении плоского импульса в 110
среде с одним обобщенным процессом резонансной релаксации
5.2 Асимптотический анализ интегралов 116
5.2.1 Прифронтовые асимптотики 117
5.2.2 Асимптотики больших расстояний. Случай А > 0 119
5.2.3 Асимптотики больших расстояний. Случай А < 0 129
5.3 Основные типы распространения импульса в среде с одним ^ обобщенным процессом резонансной релаксации
Заключение к главе 5 156
Заключение 157
Литература 158
3
Введение
Диссертация посвящена проблеме распространения акустических импульсов малой амплитуды в средах, обладающих частотно-зависимым поглощением и дисперсией фазовой скорости. Поскольку поглощение и связанная с ним частотная дисперсия проявляется в той или иной мере практически во всех реальных средах, то это явление играет значительную роль для различных научных и технических приложений, так или иначе связанных с использованием как акустических, так и электромагнитных импульсов. В частности, проявлением дисперсионно-диссипативных свойств является то, что форма и амплитуда импульсов изменяется по мере их распространения, что позволяет использовать это обстоятельство как для диагностики свойств среды, так и для правильной интерпретации передаваемого сигнала.
Таким образом, в рассматриваемой проблеме можно выделить прямую и обратную задачу. Прямая задача состоит в описании распространения импульсов в средах с известными параметрами поглощения и дисперсии, а обратная - в восстановлении дисперсионно-диссипативных свойств среды по динамике формы распространяющегося импульса.
Актуальность прямой задачи связана прежде всего с приложениями, в которых для изучения какого-либо объекта используется излученное им самим или отраженное от него волновое поле. В качестве примеров таких приложений можно назвать локационное зондирование различных объектов в океане, дефектоскопию и интроскопию различных материалов, акустический каротаж, ультразвуковую медицинскую диагностику и др. Отметим, что разрешающая способность методов импульсного локационного зондирования тем выше, чем меньше длительность импульса, однако именно короткие импульсы подвергаются наиболее сильному искажению вследствие дисперсии. Поэтому важно отделить структуру волнового поля связанную с исследуемым объектом от особенностей, связанных с дисперсионнодиссипативными свойствами среды.
Прямая задача имеет важное значение также и для передачи информации. В этой связи переход от способа передачи информации, основанного на амплитудно-частотной модуляции квазимонохроматических волн, к использованию последовательностей коротких импульсов с широким спектром и высокой скважностью, в принципе позволяет существенно увеличить скорость передачи информации. Однако поглощение и дисперсия, оказывающие наиболее сильное влияние на распространение коротких импульсов создают определенные трудности на этом пути.
Другая группа приложений связана с обратной задачей. Поскольку частотная дисперсия в среде определяется релаксационными процессами, происходящими на молекулярном или микроструктурном уровне, решение обратной задачи может быть использовано для определения параметров, характеризующих молекулярные или микрострукгурные свойства сред, а также кинетику соответствующих релаксационных процессов. Такими величинами могут быть, например, параметры спектра времен релаксации ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964;Новик, Берри 1975;Кельберт, Чабан 1986;Кельберт, Сазонов 1987;Максимов 1996]). Таким образом, импульсная диагностика ([Кельберт, Сазонов 1987;Нигул 1981;Нигул 1984;Максимов 1996]), основанная на решении обратной задачи может служить инструментом молекулярной акустики и дополнением к традиционной акустической спектроскопии.
4
Заметим, что в англоязычной литературе использование закономерностей динамики формы импульса для определения каких-либо дисперсионных характеристик среды часто называют спектроскопией во временной области (time domain spectroscopy) (см. например [Roberts, Pctropoulos 1996]).
Хотя в обычных условиях импульсная диагностика по-видимому может служить лишь дополнением к традиционным спектроскопическим методам, существуют задачи, в которых у импульсных методов есть значительные преимущества ([Кельберт, Сазонов 1987;Максимов 1996;Roberts, Pctropoulos 1996]). Для традиционной спектроскопии обычно требуется сложный комплекс измерений в широком частотном диапазоне. Причем в процессе измерений необходимо поддерживать стационарные условия в течение относительно длительного времени. Это обстоятельство осложняет применение спектроскопии для диагностики быстропротекающих процессов и неустойчивых сред или сред, находящихся под воздействием быстроменяющихся внешних условий. В таких случаях импульсные методы могут иметь существенные преимущества.
Примерами задач, в которых целесообразно использовать импульсные методы диагностики могут служить задачи мсзомасштабнон диагностики атмосферы ([Иванченко, Николаев 2000]) и океана ([Кельберт, Сазонов 1987]). В этих задачах при проведении спектроскопических измерений возникает весь отмеченный выше комплекс сложностей, в тоже время импульсные измерения могут быть проведены сравнительно просто.
Следует отметить особую роль коротких импульсов в задачах импульсной диагностики. В таких задачах, так же как и в задачах локационного зондирования, важно отделить особенности динамики импульса, определяемые средой, от особенностей определяемых его начальным профилем. В работе [Максимов 1996] показано, что в случае когда длительность импульса много меньше чем характерные времена происходящих в среде релаксационных процессов, его динамика определяется главным образом дисперсионными свойствами среды и практически не зависит от его первоначальной формы. Это обстоятельство делает короткие импульсы удобным диагностическим инструментом.
Заметим также, что корректная постановка и решение обратной задачи - задачи импульсной диагностики - в значительной мере определяется возможностью нахождения решения прямой задачи, явно зависящего от параметров, характеризующих дисперсионно-диссипативные свойства среды. В этом случае обратная задача может быть поставлена как задача отыскания таких значений параметров, при которых решение прямой задачи было наиболее близко к профилю импульса, полученному экспериментально. Общность такой постановки определяется возможностью достаточно общего описания дисперсионно-диссипативных свойств реальных сред.
Таким образом, с точки зрения диагностики, важно получить такое описание дисперсионных свойств, которое, с одной стороны, может быть охарактеризовано макроскопическими параметрами, применимыми к широкому классу сред, а с другой -важно чтобы эти параметры допускали физически понятную молекулярную или микроструктурную интерпретацию.
Способы описания дисперсионных свойств сред
Реальные среды обладают широким разнообразием дисперсионно-диссипативных свойств и существует разнообразные подходы к их описанию в рамках различных
5
моделей. При этом описание дисперсионно-диссипативных свойств среды, проявляющихся в особенностях распространения коротких импульсов, также оказывается модельно зависимым.
Остановимся на основных подходах, используемых для описания дисперсионнодиссипативных свойств сред ([Коган 1963]).
Эмпирическое описание
Наиболее простым способом такого описания является прямое использование экспериментальных кривых частотной зависимости коэффициента поглощения и фазовой скорости, полученных в результате прямых спектроскопических измерений в определенной ограниченной области частот. Эти данные в дальнейшем могут быть экстраполированы на всю оставшуюся область частот в рамках той или иной модели, удовлетворяющей принципу причинности, что обычно достигается учетом дисперсионных соотношений Крамерса - Кронинга (см. например [Ландау, Лифшиц T.VIII 1992]). Такой способ не требует информации о физической природе механизмов, ответственных за дисперсионно-диссипативные свойства- Однако свойства среды, выявленные таким способом, являются чисто эмпирическими, и, не могут быть использованы для другой среды, или той же среды, но находящейся в других условиях.
Примеры теоретического обоснования и использования этого подхода можно найти в работах [Дерягин 1931; Гинзбург 1955; Горшков 1957; Азими и др. 1968; Губкин 1984; Lamb 1962].
Механические модели
Другой подход к описанию дисперсионно-диссипативных свойств основан на моделировании реологии среды, т.е. ее механического поведения под влиянием внешнего воздействия. Несмотря на то что, ни закон Гука, ни закон вязкого течения Ньютона в отдельности в точности не описывают механическое поведение значительной части реальных сред даже в линейном приближении, качественное, а иногда и количественное согласие с экспериментами часто удается получить в предположении, что процессы упругого и вязкого деформирования протекают в среде одновременно. Механическое поведение материала при таком подходе может быть смоделировано совокупностью последовательно и параллельно соединенных упругих элементов (пружинки), подчиняющихся закону Гука и вязких элементов (демпферы, поршни), подчиняющихся закону вязкого течения Ньютона ([Работнов 1977; Новик, Берри 1975; Лскадский 1973]), а также сосредоточенных масс в качестве инерционных элементов ([Achenbach, Chao 1962; Новик, Берри 1975; Николаевский 1985]), если реакция материала имеет также и инерционные свойства.
Наиболее простые модели такого типа это совокупность упругого и вязкого элементов, соединенных последовательно (модель Максвелла) или параллельно (модель Кельвина-Фойгта), а также их обобщение - трехэлементная модель стандартного неупругого тела ([Новик, Берри 1975; Аскадский 1973]), представляющая собой модель Кельвина-Фойгта последовательно соединенную с пружиной. Эти модели как правило лишь качественно описывают поведение неупругих сред. Однако более сложными моделями такого типа, состоящими из большего числа элементов можно эффективно описать поведение целого ряда материалов ([Николаевский и др. 1970; Аскадский 1973; Новик, Берри 1975; Работнов 1977]).
6
Все возможные механические модели можно рассматривать как частные случаи общего подхода, положенного в основу наследственной теории упругости. Этот подход был предложен Больцманом ([Аскадский 2001]), который исходил из того, что если тело ранее испытывало деформацию, то повторная деформация до той же величины потребует меньшего напряжения, причем это уменьшение напряжения тем больше, чем больше длилась первичная деформация. Далее предполагается, что описанный выше эффект суммируется при многократном воздействии. Таким образом, состояние среды в текущий момент времени оказывается зависимым от суммы возмущений во все предшествующие моменты. Это наиболее общее предположение о локальной реакции линейной среды на возмущение, может быть выражено в виде интегрального уравнения наследственного типа (уравнения Вольтерра) [Работнов 1979; Ландау, Лифшиц Т.VIII 1992] с релаксационными ядрами, описывающими дисперсионные свойства среды.
Вид релаксационных ядер в рамках наследственной теории упругости подбирается, как правило, из эвристических соображений. Такие ядра обычно должны быть положительными, монотонно убывать с ростом времени, удовлетворять критерию «затухающей памяти» [Работнов 1979; Локпшн, Суворова 1982], а также аппроксимировать по возможности большее количество экспериментальных зависимостей и быть удобными для интегрирования. В литературе рассматривается ряд модельных релаксационных ядер: экспоненциальное, ядро Абеля, дробно-
экспоненциальное ядро Работнова и др. (см. например [Коган 1966; Работнов 1979; Локшин, Суворова 1982, 1983]). Параметры таких ядер обычно не поддаются
явной физической интерпретации. Хотя следует отметить, что определенные соображения в пользу выбора той или иной формы ядра в некоторых случаях могут быть приведены. Механические модели, таким образом, можно рассматривать как метод получения экспоненциальных релаксационных ядер.
Как отмечено в работе [Работнов 1979], способ построения релаксационных ядер, основанный на построении механических реологических моделей, обладает тем преимуществом, что релаксационные ядра построенные на его основе не противоречат законам термодинамики, хотя, по мнению автора [Работнов 1979], «было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы».
Однако, при всех своих достоинствах подход, основанный на наследственной теории упругости, также является в определенной мере феноменологическим, опосредованным образом учитывающим реальные процессы происходящие в среде при деформировании на молекулярном или микроструктурном уровне. В рамках такого подхода априори трудно определить могут ли свойства конкретной среды быть описаны данным релаксационным ядром. И хотя параметры релаксационных ядер представляют собой некоторые характеристики среды, прямая связь этих параметров с ее микроструктурными характеристиками, как правило затруднена.
Заметим также, что в электродинамике общая линейная связь между напряженностью и электрической индукцией или поляризацией (см. например [Ландау, Лифшиц, Т.VIII 1992; Гинзбург, 1967; Виноградова и др. 1990; Ермаченко 1998] и др.) также описывается уравнением наследственного типа (уравнением Вольтерра). Таким образом, математически задача о распространении электромагнитного импульса в линейной среде, дисперсия в которой определяется уравнением состояния наследственного типа, также оказывается эквивалентной задаче о распространении акустического импульса в среде с уравнением состояния, описываемым в рамках
7
наследственной теории упругости. ([Кельберт, Салонов 1987; Виноградова и др. 1990] и Др.)
Микроскопические модели релаксационных механизмов
Качественно иной подход к описанию дисперсионных свойств среды основан на моделировании процессов, происходящих в среде на молекулярном или микроструктурном уровне под влиянием макроскопического внешнего воздействия.
В рамках этого подхода моделируются элементарные процессы, происходящие с микроструктурным элементом среды при макроскопическом воздействии, после чего результат тем или иным образом усредняется по объему среды.
Дисперсионно-диссипативные свойства многих сред были эффективно описаны в рамках этого подхода. В многоатомных газах дисперсия, как показано Кнсзсром [Kneser 1913] и др., определяются релаксационными процессами передачи энергии между внешними (поступательными) и внутренними (вращательными и колебательными) степенями свободы молекулы. Такие процессы обычно называют кнезеровскими (см. например [Красильников, Крылов 1984]). В газе возможны и другие релаксационные процессы ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Красильников, Крылов 1984; Мезон 1969]), в частности, процессы установления химического равновесия и др. Разнообразные релаксационные процессы возможны в жидкостях и в твердых телах ([Красильников, Крылов 1984; Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Кельберт, Сазонов 1991; Новик, Берри 1975]). В частности в жидкостях также возможны кнезсровскис релаксационные процессы, различного рода химическая релаксация (например процессы диссоциации молекул электролита), структурная релаксация, связанная с изменением ближнего порядка в расположении молекул, релаксация пузырьков в жидкостях с пузырьками газа, а также другие релаксационные процессы, причем многие из них часто происходят одновременно. Различные релаксационные процессы как на молекулярном, так и на микроструктурном уровне возможны в жидких кристаллах [Капустин, Капустина 1986], стеклах и полимерах [Михайлов, Соловьев, Сырников 1964]. В твердых кристаллических телах ([Новик, Берри 1975; Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Кожевников 1997; Мамин 2001; Ерофеев, Ромашов 2002]) возможны релаксационные процессы, связанные с дислокациями в кристаллах, фазовыми переходами и др.
Однако, если для многоатомных газов как правило удается построить простые и достаточно адекватные микроскопические модели релаксационных процессов, то для жидкостей и твердых тел микроскопическое описание процессов релаксации часто представляет собой очень сложную задачу. ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Красильников, Крылов 1984] и др.)
При этом важно также отметить, что во многих жидких и твердых средах (например в полимерах, вязких жидкостях, жидких кристаллах и др.) одновременно может протекать большое количество как различных так и однотипных релаксационных процессов с широким спектром времен релаксации. ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Красильников, Крылов 1984; Исакович, Чабан 1988]).
Отметим также, что частотная дисперсия фазовой скорости электромагнитных волн в различных средах может быть интерпретирована в рамках микромоделей релаксационных процессов на молекулярном уровне. Наиболее известными в электродинамике моделями являются модель Дебая полярных диэлектриков [Debye 1929], и модель Лоренца неполярных диэлектриков (Lorentz, 1952].
8
Модель Лоренца описывает релаксации поляризации молекул неполярного диэлектрика на основе уравнений динамики отдельных связанных электронов [Lorentz, 1952; Гинзбург 1967; Ермаченко 1998]. В этой модели предполагается, что движение электрона может быть описано уравнением гармонического осциллятора с затуханием.
Такое же уравнение описывает релаксацию в жидкости с пузырьками газа или в кристаллах с дислокациями ([Новик, Берри 1975; Накоряков, Покусаев, Шрейбер 1983; Красильников, Крылов 1984; Буланов 2001]).
Дисперсия в полярных диэлектриках была описана Дебаем ([Debye 1929]), как релаксационный процесс теплового разупорядочивания ориентации дипольных молекул, упорядоченных электромагнитным импульсом. В этой модели считается, что тепловая релаксация поляризации происходит по экспоненциальному закону ([Виноградова и др. 1990]), аналогично средам с релаксацией кнезеровского типа. В результате частотные зависимости фазовой скорости и коэффициента поглощения в модели Дебая имеют вид аналогичный тем, что возникают в многоатомных газах вследствие кнезеровских релаксационных процессов.
Иногда модель Дебая используют как феноменологическую модель, аналогично механическим моделям, рассмотренным выше. Так, например, для аппроксимации экспериментальных данных по диэлектрической проницаемости мускульной ткани использовалась модель Дебая с двумя и пятью эмпирически подобранными временами релаксации. [Hurt 1985].
Адекватные микроскопические модели по-видимому наиболее полно описывают дисперсионные свойства соответствующих сред. В тоже время, как оказалось, разные микроскопические модели приводят в линейном приближении к математически эквивалентным уравнениям, описывающим процессы релаксации (например, отмеченные выше различные по своей природе релаксационные процессы-кнезеровского типа и др.). Более того, характеристики релаксационных процессов в линейном приближении как правило не зависят от деталей той или иной модели, а определяются такими комбинациями их микроскопических параметров, которые могут быть интерпретированы, например, как характерные времена соответствующих релаксационных процессов.
Термодинамический подход
Определенной альтернативой микроскопическим моделям является подход, предложенный Мандельштамом и Леонтовичем [Мандельштам, Леонтович 1937]. Он с одной стороны учитывает реальные релаксационные процессы происходящие в среде при возмущении, а с другой позволяет не вникать в микроскопические механизмы этих процессов.
Этот подход основан на описании отклика среды на возмущение в линейном приближении квазиравновесной термодинамики. В этом случае предполагается что состояние термодинамического равновесия среды полностью определяется ее основными термодинамическими переменными (например давлением, плотностью и температурой). Внешнее возмущение (распространяющийся импульс) выводит среду из состояния термодинамического равновесия. При этом релаксация внутренних параметров происходит значительно медленнее чем изменение основных термодинамических переменных и можно считать, что среда в каждый момент времени находится в состоянии неполного равновесия, характеризуемого помимо основных термодинамических переменных, еще и текущими значениями внутренних параметров.
9
г
Примерами таких внутренних параметров могут быть степень диссоциации молекул, распределение энергии между внутренними и внешними степенями свободы молекул многоатомного газа, концентрация дислокаций и др.
Релаксация среды в целом описывается как совокупность различных релаксационных процессов, каждый из которых, независимо от его физического механизма, характеризуется двумя параметрами: временем релаксации и мощностью, выражаемыми через термодинамические характеристики среды. В этом случае уравнение состояния является уравнением наследственного типа с релаксационных* ядром в виде суммы затухающих экспонент, каждая из которых описывает отдельный релаксационный процесс. Это ядро аналитически эквивалентно тому, которое получается из механических моделей, обобщающих стандартное неупругое тело, а также из многих микроскопических моделей. В частности, релаксационное ядро такого типа возникает в модели Кнезера релаксационных процессов в многоатомных газах, поэтому все релаксационные процессы, описываемые экспоненциальными ядрами часто называют кнсзеровскими ([Кельберт, Сазонов 1987]).
Термодинамический поход Леонтовича и Мандельштама в настоящее время является общепринятым при описании множества релаксационных процессов в различных средах. Изложению этого подхода и его применению для описания свойств многих сред уделено значительное место в ряде фундаментальных монографий. В частности, в работе [Михайлов, Соловьев, Сырников 1964] проведено описание на основе термодинамического подхода Мандельштама и Леонтовича основных типов молекулярных и микроструктурных релаксационных процессов возможных в жидкостях и газах, а в монографии [Новик, Берри 1975] приведена термодинамическая интерпретация разнообразных релаксаций в кристаллических твердых телах.
Таким образом, в рамках термодинамического подхода Мандельштама и Леонтовича удается описать дисперсионные свойства различных сред в терминах релаксационных процессов, эффективно на макроскопическом уровне учитывающих проявление микроструктуры среды, не углубляясь при этом в микроскопические механизмы этих процессов.
В фундаментальных монографиях [Михайлов, Соловьев, Сырников 1964;Новик, Берри 1975] даже утверждается, основываясь на известных в то время экспериментальных работах, что в рамках подхода Леонтовича Мандельштама могут быть по-видимому описаны практически все релаксационные процессы по крайней мере в газах и жидкостях. Исключение, по мнению этих авторов, составляли только релаксационные механизмы, связанные с дислокациями в кристаллах.
Проблема единого описания релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического подхода
Однако, при всей общности подхода Лсонтовича-Манделыптама, существуют среды релаксация которых не описывается суперпозицией экспоненциальных релаксационных процессов. Это, во-первых, микронеоднородные среды, в которых дисперсия является не только частотной, но и пространственной [Исакович 1979; Кельберт, Чабан 1986], а также среды с резонансной релаксацией. В качестве примера можно привести жидкости с пузырьками газа [Накоряков, Покусасв, Шрейбер 1983; Красильников, Крылов 1984; Бескаравайный, Ковалев, Поздеев 1983, Буланов 2001], кристаллы с дислокациями [Новик, Берри 1975, Михайлов, Соловьев, Сырников 1964, Ерофеев, Ромашов 2002], твердые стекла при низкой температуре, системы связанных
10
частиц со спином, помещенных в магнитное поле и др. [Исакович, Чабан 1988], а также, неполярные диэлектрики [ЬогеШг, 1952] (для электромагнитных волн).
Обычно среды с резонансной релаксацией рассматриваются отдельно от общего термодинамического подхода Мандсльштама-Леонтовича. Например, в работе [Кельберт, Чабан 1986] предложено независимо рассматривать три типа релаксации кнезеровскую, резонансную и релаксацию диффузного обмена.
Если ограничиться только средами с локальным откликом на внешнее возмущение (т.е. средами без пространственной дисперсии), то все линейные среды можно разбить на два класса: среды с экспоненциальной релаксацией, свойства которых описывается в рамках подхода Леонтовича-Манделыгггама и среды с резонансной релаксацией. К последним относится, в частности, модель Лоренца [ЬогеШг, 1952], которая по существу является одним из примеров микромоделей, не сводящихся к термодинамическому описанию.
Однако из общих соображений неясно, почему релаксация в резонансных средах не может в линейном приближении быть описана в рамках квазиравновссной термодинамики.
Таким образом, обобщение термодинамического подхода на случай резонансной релаксации является актуальной задачей, поскольку такое обобщение открывает путь к построению единой теории релаксации произвольных линейных сред с локальным откликом на возмущение.
Наличие же достаточно общего описания дисперсионно-диссипативных свойств сред, в свою очередь, позволяет в общем виде поставить как прямую задачу - задачу об определении закономерностей распространения импульсов в произвольной линейной среде, так и обратную - задачу об определении параметров такой среды по динамике формы распространяющегося импульса, т.е. задачу импульсной диагностики сред.
Распространение импульсов в диспергирующих средах
Для решения как прямой, так и обратной задачи важно иметь аналитические соотношения, описывающие динамику профиля импульса в пространственно-временной области. Несмотря на то, что в рамках линейной теории импульс во временной области дается интегралом Фурье от его спектральных компонент, выражения для которых сравнительно нетрудно получить аналитически, соотношения между параметрами среды, координатой и временем в пространственно-временном представлении, описывающим динамику импульса, оказываются нетривиальными и представляют основной интерес при решении как прямой, так и обратной задачи.
Для квазимонохроматических импульсов (импульсов огибающей), такие выражения могут быть получены в рамках классической теории дисперсии (см. например [Вайнштейн 1976; Виноградова, и др. 1990] др.). Однако дисперсия
квазимонохроматических импульсов определяется главным образом, частотной зависимостью фазовой скорости и коэффициента поглощения лишь вблизи несущей частоты. Короткие же импульсы содержат широкий спектр частот и соответствующая теория для них оказывается неприменимой.
Когда же длительность импульса оказывается сравнимой по величине с характерными временами релаксационных процессов получение явно зависящих от времени аналитических выражений для профиля импульса, вообще говоря, представляет собой весьма сложную задачу. Дтя решения этой задачи используются как точные, так и различные приближенные методы.
И
Асимптотические методы
Традиционным способом получения пространственно-временного представления импульса является применение асимптотических методов, в частности, метода перевала. По-видимому, впервые для анализа распространения синусоидальной волны с передним фронтом по среде, описываемой моделью Лоренца, этот метод был применен Зоммерфельдом [Sommerfeld 1914] и Бриллюеном [Brillouin 1914]. Последовательное изложение этого ставшего теперь классическим анализа имеется в монографии Бриллюена [Brillouin 1960], где воспроизведены также и оригинальные статьи. Важные уточнения в методику Зоммерфельда и Бриллюена были внесены Бирвалдом [Bearwald 1930]. Методика теоретического исследования импульсов в диспергирующих средах предложенная в этих работах активно развивается и в настоящее время. [Oughstun, Sherman 1988; Oughstun, Sherman 1989; Shen, Oughstun 1989; Oughstun, Sherman 1990; Oughstun, Laurens 1991; Oughstun, Sherman 1994; Oughstun 1995; Oughstun, Balictsis 1996; Oughstun, Balictsis 1997; Xiao, Oughstun 1998, Barakat, Baumann 1969; Кельберт, Чабан 1986; Кельберт, Сазонов 1988; Кельберт, Сазонов 1991]
Современная техника использования метода перевала для асимптотического анализа динамики импульса в среде Лоренца развита в серии работ Остена, Шермана и их коллег: [Oughstun, Sherman 1988; Oughstun, Sherman 1989; Shen, Oughstun 1989; Oughstun, Sherman 1990; Oughstun, Laurens 1991; Oughstun, Sherman 1994; Oughstun 1995; Oughstun, Balictsis 1996; Oughstun, Balictsis 1997; Xiao, Oughstun 1998]. По сравнению с классическими работами Зоммерфельда и Бриллюена в этих работах основное внимание уделяется более точной аппроксимации зависимости перевальной точки как от пространственной и временной переменных, так и от параметров среды. Кроме того для получения равномерной асимптотики во всей области параметров используется прифронтовое разложение. В целом авторам указанных работ удается получить более точное воспроизведение динамики импульса в области его диспергирования.
В работах [Barakat, Baumann 1969; Кельберт, Чабан 1986; Кельберт, Сазонов 1988; Кельберт, Сазонов 1991] метод перевала использовался для асимптотического анализа распространения импульсов различной начальной формы в среде с одним кнезеровским релаксационным процессом.
Несколько иная идея вычисления обратных преобразований Лапласа или Фурье заключается в разложении подынтегральной функции тем или иным образом в асимптотический ряд с дальнейшим интегрированием нескольких первых членов этого ряда. Этот подход в том или ином виде использовался в работах [Trizna, Weber 1982; Varoquaux, Williams, Avenel 1986; Wyns, Foty, Oughstun 1989; He, Storm 1996; Karlsson, Rikte 1998; Xiao, Oughstun 1998]. Как правило разложение проводилось при частоте стремящейся к бесконечности, и, таким образом, первые проинтегрированные члены ряда описывали прифронтовую часть импульса, определяемую высокочастотными компонентами спектра. Этим обстоятельством ограничивается применимость такого подхода. В работе [Karlsson, Rikte 1998] помимо этого использовалось еще и низкочастотное разложение, что позволило правильно описать относительно низкочастотную часть импульса (предвестник Бриллюена).
Еще один асимптотический подход заключается в замене на больших расстояниях от источника исходного интегро-дифференциального уравнения уравнением более простого диффузионного типа [Roberts, Pctropoulos 1996; Roberts, Petropoulos 1999]. Функция Грина для такого уравнения также может быть получена в явном виде и
12
использована на больших расстояниях от источника. Результаты полученные в этом подходе согласуются с результатами, полученными методом перевала. [Roberts, Pctropoulos 1999]
Все упомянутые выше работы посвящены распространению импульса в средах с одним или, в некоторых случаях, двумя релаксационными процессами ([Xiao, Oughstun 1998]). Однако, как уже отмечалось, в реальных средах может одновременно протекать множество релаксационных процессов с широким спектром времен релаксации (СВР). Таким образом, для описания распространения импульсов в реальных средах необходимо разработка подходов, учитывающих наличие широких и даже непрерывных СВР.
Ввиду отсутствия до последнего времени общего подхода к проблеме описания распространения импульса в среде с произвольным СВР в ряде работ предпринимались попытки получить описание динамики различных частей импульса в различных асимптотических пределах. Так в работах [Blake 1974; Leander 1991] и [Leander 1993] для среды Максвелла с произвольным СВР получены прифронтовые асимптотики. Асимптотики больших времен и расстояний для импульсов в среде с произвольным СВР рассматривались в работах [Blake 1974; Дунин, Максимов МТТ 1988].
Однако отдельные асимптотики не позволяют описать эволюцию импульса в целом для среды с произвольным СВР, особенно в области его диспергирования. А такая постановка вопроса является весьма актуальной для задач импульсной акустодиагностики релаксационных сред.
В работе [Дунин, Максимов 1988] предложен подход к аналитической аппроксимации профиля короткого импульса в среде с произвольным набором релаксационных процессов, пригодный для всей области распространения. Он основан на построении выражения, переходящего в соответствующих пределах в высокочастотную (прифронтовую) асимптотику и в низкочастотную асимптотику, соответствующую большим расстояниям от источника и от фронта импульса в среде с произвольным набором релаксационных процессов. Коэффициенты этой аналитической аппроксимации выражены через три первых момента СВР <г* >,к =0,1,2,3.
Однако в работе [Максимов 1996] показано, что информация о параметрах спектра времен релаксации среды (о пяти моментах СВР < г* >>к = -2,-1,0,1, 2) содержится в особенностях профиля импульса как вблизи фронта, исчезающих на больших расстояниях, так и вдали от него. Поэтому важно иметь равномерное описание полного профиля импульса во всей области его диспергирования в терминах указанных параметров СВР. Использование такой аппроксимации позволяет в практической плоскости ставить задачу определения моментов СВР по экспериментально измеренной динамике профиля импульса.
Точные решения
Преимущество точных аналитических решений для импульса в пространственно-временной области в задачах диагностики по сравнению с асимптотическими представлениями связано прежде всего с тем, что такие выражения описывают все особенности распространения импульса на всех этапах распространения и в любой части профиля, причем с явной зависимостью от параметров среды. Особый интерес представляют функции Грина задачи, поскольку динамика коротких импульсов прямо описывается их функцией Грина.
13
Однако до настоящего времени удалось получить только два точных решения для функции Грина короткого импульса для среды с одним экспоненциальным релаксационным процессом (модель стандартного неупругого тела) (см. например [Morrison 1956; Вайнштейн 1976; Дунин 1986], предельными случаями которого являются среды Кельвина-Фойгта [Зверев 1950; Carpenter 1967] и Максвелла [Berry 1958], а также для среды СВР вида 1/г [Дунин, Максимов 1990], выраженную через гипергеометрическую функцию в случае малой дисперсии фазовой скорости. Отметим также, что функции Грина для сред с Е и Ei памятью, полученные в [Нигул 1983], оказываются эквивалентными двум предыдущим случаям. На этом список известных автору точных решений исчерпывается.
Вместе с тем значительный интерес представляла бы функция Грина для среды с двумя релаксационными процессами. Помимо теоретической важности этой задачи для понимания динамики импульса в средах с распределенным СВР, простейшим примером которых является такая среда, эта задача имеет и практическое значение, в частности, для акустики океана, так как в морской воде дисперсия и поглощение, связаны главным, образом с двумя релаксационными процессами при диссоциации солей MgSC>4 и В(ОН)3. (см. например [Житковский 1995])
Столь же важным является и поиск функции Грииа для среды Лоренца с резонансной релаксацией, что позволило бы снять вопрос о равномерном описании динамики короткого импульса в такой среде, возникающий в различных асимптотических подходах [Oughstun, Sherman 1994].
Таким образом, для понимания закономерностей распространения коротких импульсов в релаксационных средах важным является поиск новых аналитических фундаментальных решений в пространственно-временной области.
Распространение импульсов в неоднородных средах
Следует заметить, что на практике создавать одномерные импульсы часто бывает достаточно сложно, и соответствующее описание оказывается приближенным. В тоже время, довольно обычными являются источники, излучающие сферические и цилиндрические волны. Закономерности распространения сферических и цилиндрических импульсов в однородной релаксационной среде рассматривались в работах [Кукуджанов 1963; Blake 1974; Кельберт, Сазонов 1987; Дунин, Максимов МТТ 1988; Кельберт, Сазонов 1991; Рохлин 1995], однако, даже в этом более простом случае найдены лишь асимптотики отдельных частей профиля импульса, а точных решений до последнего времени получено не было.
В силу этого представляет определенный интерес выяснить, как сказывается неодномерность геометрии излучения на динамике изменения профиля импульса, распространяющегося в неоднородной релаксационной среде.
Все упомянутые выше работы, посвященные распространению импульсов, касались только однородных сред. В неоднородных средах помимо частотной дисперсии, связанной с микроструктурой среды, возникает также и пространственная дисперсия, определяемая неоднородностью. Таким образом, как для прямой задачи так и для задачи импульсной акустической диагностики среды на практике важно уметь описывать совместное влияние на форму распространяющегося импульса диспергирующих свойств среды, связанных с релаксацией и с пространственной неоднородностью. Такая задача может быть актуальна, например, в случае температурно-неоднородной среды, или при моделировании динамики импульсов,
14