Корпускулярная оптика статических ионно-оптических систем со средней плоскостью

<6
СОДЕРЖАНИЕ
КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ............................................ 5
%
ВВЕДЕНИЕ ..................................................... 8
1 ГЛАВА. Общие корпускулярно-оптические свойства систем со средней плоскостью ................................. 17
1.1. Точные уравнения траектории заряженной частицы
в криволинейных координатах ...............................17
1.2. Некоторые свойства траекторий в нолях, задаваемых
потенциалами, являющимися однородными функциями
координат ..............■..................................23
1.3. Аберрационная теория корпускулярно-оптических
систем со средней плоскостью ..............................25
1.4. Некоторые диспергирующие свойства
корпускулярно-оптических систем
со средней плоскостью .....................................37
1.5. Некоторые фокусирующие свойства
корпускулярно-оптических систем
со средней плоскостью ................................... 39
2 ГЛАВА. Методы расчета двумерных, конических и квазикопических отклоняющих полей .......................... 44
2.1. О возможности единого описания полей
конических отклоняющих систем..............................45
2.2. Расчет поля конусовидных отклоняющих систем методом
Фурье и улучшение сходимости рядов Фурье...................59
2.3. Расчет поля квазиконических отклоняющих систем............64
2.4. Расчет поля конических отклоняющих систем с учетом
конечной ширины зазоров между электродами ................ 68
2.5. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в случае
многосвязной области с точечной симметрией Спу ........... 77
2.6. Расчет поля мультипольных систем с пластинчатыми
электродами с симметрией Спх) ............................ 82
2.7. Расчет поля трехэлектродной цилиндрической линзы
с пластинчатыми электродами............................... 98
2.8. Токопроводящие системы, создающие
магнитное поле типа г-1 .............................. 105
* 4
3 ГЛАВА. Общие свойства полей конических отклоняющих систем .......................................... 110
3.1. Фокусирующие и диспергирующие свойства
полей конических отклоняющих систем .................... 110
3.2. О некоторых особенностях движения заряженных частиц
в электростатических конических отклоняющих полях ....... 116
3.3. Аналитические связи между аберранионными коэффициентами конических отклоняющих систем ................ 121
3.4. Использование конформно-инвариантных уравнений
для расчета траекторий заряженных частиц
в конических отклоняющих системах ...................... 130
4 ГЛАВА. Приближенный и точный расчет корпускулярно-оптических свойств
систем со средней плоскостью ................................ 135
4.1. Диспергирующие и фокусирующие свойства секторных
неоднородные магнитных полей типа Т~п......................135
4.2. Приближенный расчет диспергирующих свойств
конических отклоняющих систем..............................144
4.3. Приближенный и точный расчет
корпускулярно-оптических свойств
конусовидной ахроматичной призмы ......................... 150
4.4. Корпускулярно-оптические свойства
конусовидной ахроматичной призмы
с двумя дополнительными электродами....................... 157
5 ГЛАВА. Спектрометрические приборы
на основе конических отклоняющих систем ....................... 173
5.1. Призменный масс-спектрометр на основе
конусовидной ахроматичной призмы .......................... 174
5.2. Без линзовый масс-спектрометр на основе
конусовидной ахроматичной призмы .......................... 180
5.3. Некоторые схемы масс-спектрометров с
коническими и квазиконичсскими полями ..................... 190
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................... 199
ПРИЛОЖЕНИЕ .................................... 204
А.............................................. 204
В ............................................. 207
С................................................214
в............................................... 216
ЛИТЕРАТУРА ..................................... 220
КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ
Цель работы — разработка адекватных теоретических методов, позволяющих исследовать корпускулярно-оптические свойства различных конфигураций электрических и магнитных полей, обладающих средней плоскостью, и осуществлять конструирование и расчет высокоэффективных ионно-оптических систем на основе этих полей.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
• получены точные релятивистские уравнения траектории заряженной частицы в криволинейных координатах и разработаны методы их численного интегрирования, позволяющие с .высокой точностью моделировать прохождение широких пучков заряженных частиц;
• разработана корпускулярно-оптическая теория диспергирующих и фокусирующих свойств, а также аберраций произвольных ионно-оптических систем, обладающих средней плоскостью, и выявлены условия обращения в нуль некоторых видов аберраций;
• выявлены общие диспергирующие и фокусирующие свойства ионно-оптических систем со средней плоскостью;
• развиты аналитические методы расчета статических электрических и магнитных полей ионно-оптических систем, обладающих средней плоскостью, а также мультипольных систем для случая, когда конфигурация электродов имеет группу симметрии Спу;
• получены аналитические выражения для распределения электрического и магнитного полей в некоторых корпусолярно-оптических отклоняющих системах конического и квазиконического типа, а также в некоторых мультипольных системах;
• разработаны приближенные методы расчета диспергирующих свойств пекоторых систем со средней плоскостью;
• разработан пакет прикладных программ для расчета корпускулярно-оптических свойств конических отклоняющих систем;
• подробно исследованы корпускулярно-оптические свойства некоторых типов конических отклоняющих систем, в частности, получены аналитические соотношения между аберрационными коэффициентами;
• предложены и рассчитаны схемы энерго- и масс-спектрометров на
V
основе нолей конического и квазиконического типа.
В диссертационной работе предложены и развиты методы исследования произвольных корпускулярно-оптических систем, обладающих средней плоскостью. В основе разработанных методов лежит использование криволинейных координат с осевой траекторией лучка в качестве криволинейной оси, что позволяет единым образом описать корпускулярно-оптические свойства любых систем со средней плоскостью и доказать ряд важных общих положений относительно их диспергирующих и фокусирующих свойств.
Получены конформно-инвариантные уравнения траектории заряженной частицы в конических отклоняющих полях. Развиты также методы расчета электрического и магнитного полей некоторых корпускулярнооптических систем со средней плоскостью, в том числе метод решения многоэлсктродной граничной задачи для уравнения Лапласа в случае многосвязных границ, обладающих определенной симметрией. Получены аналитические выражения для распределения потенциалов в некоторых конических и квазиконических отклоняющих системах, а также в некоторых мультииолных системах. Разработаны приближенные методы расчета диспергирующих и фокусирующих свойств конических и квазиконических полей.
На основе развитых методов предложены и рассчитаны высокоэффективные схемы энерго- и масс-анализаторов с рекордной удельной дисперсией.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Метод интегрирования точных уравнений траектории заряженной частицы в криволинейных координатах, позволяющий с высокой точностью анализировать прохождение пучков заряженных частиц в различных системах, обладающих средней плоскостью.
2. Корцускулярно -оптическая теория диспергирующих и фокусирующих свойств, а также аберраций произвольных корпускулярно-оптических систем со средней плоскостью.
3. Доказательство некоторых общих положений относительно фокусирующих и диспергирующитх свойств и аберраций как произвольных полей, обладающих средней плоскостью, так и полей конических отклоняющих систем.
4. Методы расчета электростатических и магнитных полей конических и квазиконических отклоняющих систем, включая метод решения граничной задачи для уравнения Лапласа в случае многосвязных облас-
7
тей с определенной симметрией, использующий теорию представлений групп и методы ТФКП.
5. Простые аналитические соотношения, которые связывают аберрационные коэффициенты, обусловленные шириной предмета, с коэффициентами, определяющими аберрации для бесконечно узкого источника, и позволяют сделать вывод о равенстве нулю некоторых видов аберраций в конических отклоняющих системах.
6. Конформно-инвариантные уравнения траектории заряженной частицы в конических отклоняющих системах.
7. Приближенные методы оценки диспергирующих свойств энерго- и масс-спектрометрических систем.
8. Новые схемы масс-спектрометров на основе конусовидной ахроматичной призмы.
8
ВВЕДЕНИЕ
Практика научного приборостроения постоянно ставит перед корпускулярной оптикой новые, все более сложные задачи по управлению потоками заряженных частиц малой концентраций. Здесь особенно можно отметить задачи, связанные с увеличением разрешения и чувствительности приборов, используемых для разделения пучков заряженных частиц по массам и энергиям, а также задачи сверхточной транспортировки и фокусировки пучков и др.. Требования к разрешению приборов, их чувствительности и качеству фокусировки постоянно повышаются, причем в ряде приложений ставятся очень жесткие ограничения на габариты и вес приборов, что особенно существенно, например, в масс-спсктрометрии, где, в частности, до сих пор не решена задача создания переносного статического масс-сиектрометра для химического анализа [1]. Остановимся на последней проблеме более подробно.
Являясь наиболее универсальным методом исследования элементного, изотопного и химического состава веществ, находящихся в любых агрегатных состояниях, масс-спектрометрия постоянно завоевывает все новые и новые области применения, приводя к существенному прогрессу в самых различных областях научных исследований и производственных технологий. Результаты применения масс-спектрометрии могли бы быть еще более значительными, если бы удалось создать масс-спектрометрические приборы небольших размеров с высоким разрешением и чувствительностью. Такими приборами можно было бы оборудовать передвижные лаборатории, аэрозонды и спутники для проведения экспресс-анализа в космических исследованиях, экологии, геологии, медицине и других областях науки и техники.
В настоящее время масс-спектрометры высокого разрешения (с разрешением в несколько тысяч и более), с помощью которых можно было бы проводить не только элементный, но и химический анализ вещества — это, как правило, статические масс-спектрометры достаточно больших размеров, минимальный вес которых порядка 1000 кг. В лучших статических масс -спектрометрах используются традиционные ионно-оптические элементы с круговой осевой траекторией — секторные однородные магнитные поля и поля сферического, цилиндрического или тороидального конденсаторов (см., например, [2]). Многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями, проводимыми уже более полувека [2-32], они,, что называется, доведены до ’’блеска”,
9
поэтому их дальнейшее совершенствование достаточно проблематично.
Уменьшение размеров традиционных приборов приводит к пропорциональному уменьшению их линейной дисперсии и, как следствие, к уменьшению разрешения и чувствительности. В связи с этим имеющиеся в настоящее время статические масс-спектрометры высокого разрешения, в основном, являются стационарными установками с линейными размерами более метра (до 10 метров), их большой вес во многом обусловлен наличием в них тяжелого магнита. Уменьшение размеров статических масс-спектрометров связано с необходимостью уменьшения радиуса R траектории ионов в магнитном поле, что, в свою очередь, приводит к значительным уменьшению величины максимальной анализируемой массы, определяемой выражением
-eR2ß2 т
ттах — 2 JJ * W
Здесь В — индукция магнитного поля, eU — кинетическая энергия ионов с электрическим зарядом е. Возможность же увеличения ТПтах за счет увеличения В ограничена явлением насыщения, так при использовании железа В не превышает 2Тл. Попытка сохранить достаточно большую величину максимальной анализируемой массы за счет уменьшения энергии ионов приводит к увеличению относительного энергетического разброса и угловой расходимости пучка.
В связи с этими трудностями при создании малогабаритных приборов предпочтение отдается квадрупольным и времяпролетным масс-спектрометрам, которые в отличие от статических вообще не нуждаются в магнитах. Они обладают и рядом других преимуществ (см., например, [33,34]), однако проигрывают статическим в разрешении, чувствительности и надежности. Их разрешение, как правило, не превышает нескольких сотен. Попытки же повысить разрешение, например, квадрупольного масс-спектромстра, также приводят к значительному увеличению его размеров. Поэтому, как нам кажется, при создании малогабаритных приборов дальнейшие перспективы связаны с разработкой новых высокоэффективных схем статических масс-спектрометров, которые при малых размерах обладали бы достаточно
10
большой дисперсией, высокой степенью ахроматичности и качеставом фокусировки. Для сравнения эффективности ионно-оптических схем масс-спектрометров в [8] используется параметр ’’качество” или <3 ~ параметр:
<5 = Ятах32а. (2)
Здесь 5 —ширина щели источника ионов, 2а —угловая расходимость пучка в направлении дисперсии в средней плоскости анализатора, а
Ктах = ш ^
— максимальное разрешение масс-анализатора. В последней формуле О
— линейная дисперсия по массе, М — линейное увеличение. Подставляя
(3) в (2), получим
^ = М2а- ^
При одинаковом угле расходимости пучка 2а ’’качество” анализатора определяется отношением О/М, размеры анализатора в которое явно не входят. В то же время линейная, дисперсия статических масс-спектрометров с секторным однородным магнитным полем пропорциональна их линейным размерам. В результате оказывается, что ” качество” масс-спектрометров пропорционально их линейным размерам, что явно неудовлетворительно. Поэтому, так же как в [3], мы будем сравнивать эффективность анализаторов по их удельной дисперсии
°уд = Ш’ (5)
здесь О/М отнесено к длине Ь (от источника до детектора) осевой ионной траектории в анализаторе.
У секторных статических масс-спектрометров Оу() ~ \мм/м на
1% изменения массы. Вот почему даже при микронных ширинах
щелей источника и приемника ионов для получения разрешения порядка 100 ООО необходимо создавать приборы с размером в несколько метров. Эффективным способом улучшения характеристик секторных масс-спектрометров является применение к вадру вольных линз для преобразования пучка на входе в анализатор [8]. Одно из последних
11
достижений в этом направлении свяэано с созданием небольшого настольного прибора [1], у которого Оу() = 6.2мм/М на 1% изменения массы.
К увеличению дисперсии по массе приводит использование различных неоднородных полей [3,6,35-38], в частности, полей типа Т~ (см., например, [3,6,36-38]), замена конденсаторов электростатической призмой [39] и создание призменных масс-спектрометров [3,41,42], аналогичных по своей схеме призменному светооптическому спектрометру. Так, в симметричном призменном масс-спектрометре [42] Оу$ — 7.1 мм/м на 1%, а в масс-спектрометре Матсуда [36], где используется магнит с полем типа г“1, Г)уд = 7.2мм/м на 1% изменения массы. Подробное обсуждение работ Матсуда проведено в [43].
Что же позволяет увеличить удельную дисперсию во всех этих случаях? Как показано в [8], для систем с осевой ионной траекторией, имеющей форму окружности на всех участках с магнитным полем, при прочих равных условиях ф-параметр определяется потоком напряженности магнитного поля, пронизывающим сечение ионного пучка в средней плоскости. Во всех рассмотренных случаях и происходит увеличение потока. В [1] оно достигается за счет расширения пучка с помощью квадрупольных линз, в [36] — за счет увеличения секторного угла магнита с неоднородным полем типа г”1, в [39] и [42] — за счет расширения пучка в электростатическом поле двумерной отклоняющей системы. Однако этим возможности увеличения потока магнитного поля далеко пе ограничены. Так, например, в случае неоднородных полей большие возможности для его увеличения открывает использование некруговых траекторий (см., например, [38,43]). Однако этот вопрос нуждается в тщательной теоретической проработке, так как теорема о потоке в [8] доказана лишь для случая круговой осевой траектории.
Одним из наиболее примечательных качеств полей типа г является их способность осуществлять безаберрационное отклонение парллельных плоских моноэнергетических пучков заряженных частиц с одинаковым удельным зарядом, что обусловливает их ценность для масс-спектрометрии. Свойства симметрии конических отклоняющих полей позволили выявить и другие общие закономерности в свойствах корпускулярно-оптических систем, в которых используются такие поля [3,43,44]. Однако для проведения направленного поиска и оптимизации перспективных масс-спектрометрических систем на основе полей типа Г~1 выявленных закономерностей еще не достаточно.
Общим свойством всех рассмотренных выше ионно-оптических
12
систем является то, что они обладают средней плоскостью, которая является плоскостью симметрии электрического и антисимметрии магнитного полей системы. Такие системы получили особенно широкое распространение при создании как масс-, так и энерго-анализаторов. Однако традиционные ионно-оптические системы со средней плоскостью подробно изучены лишь в предположении, что лежащая в их средней плоскости осевая траектория пучка заряженных частиц в магнитном поле и электрическом поле сферического или тороидального конденсаторов является круговой [1-37]. Это ограничение не позволяет полностью реализовать весь запас диспергирующих и фокусирующих свойств известных конфигураций электрических и магнитных полей.
В тех же случаях, когда системы со средней плоскостью исследовались при произвольной форме осевой траектории, их рассмотрение было основано на использовании симметрии реализуемых в них полей, т.е. строились теории корпускулярно-оптических свойств двумерных отклоняющих полей или клиновидных и конусовидных отклоняющих полей и др. [3,41,43-49]. Такой подход позволяет изучить корпускулярно-оптические свойства, обусловленные симметрией полей. Так, например, использование свойства идентичности траекторий частиц в системах с двумерными отклоняющими полями позволило найти обусловленные этим свойством интегралы движения [3,41], а также аналитические соотношения между аберрационными коэффициентами [50,51]. Однако при таком подходе трудно выявить общие закономерности, имеющие место для всех ионно-оптических систем со средней плоскостью.
Корпускулярно-оптические свойства самых различных типов электрических и магнитных полей, обладающих средней плоскостью, можно описать единым образом, используя криволинейные координаты с лежащей в средней плоскости осевой траектория пучка в качестве криволинейной оси. При этом естественным образом разрешаются трудности, связанные с отказом от круговой формы осевой траектории, облегчается доказательство некоторых общих теорем и их обобщение на случай произвольной формы осевой траектории.
Использование криволинейных координат облегчает решение также и проблемы корпускулярной оптики, связанной с необходимостью теоретического рассмотрения пучков заряженных частиц, для которых разброс в начальных данных по координатам, углам, массам и энергиям уже не может считаться малым. Как известно, традиционные ряды электронной оптики по этим параметрам, с помощью которых строятся
13
аберрационные теории второго, тетьего и более высоких порядков, могут оказаться явно недостаточными для корректного описания таких широких пучков в силу расходимости используемых рядов. При этом всегда остается актуальным вопрос о том, когда эти ряды начинают расходиться и какие значения параметров можно еще считать малыми.
На этот вопрос можно ответить, проводя численное интегрирование точных уравненний траектории. Расчет совокупности траекторий заряженных частиц при этом необходимо проводить с очень высокой точностью, так как поведение пучка определяется разницей в значениях координат частиц, которая, как правило, представляет собой малую разность больших чисел.
Эта трудность автоматически преодолевается при использовании криволинейных координат с осевой траекторией в качестве криволинейной оси, так как при этом в теории рассматриваются непосредственно малые величины, определяющие отклонение частиц пучка от осевой траектории, что позволяет значительно повысить точность численных расчетов. Это обстоятельство особенно существенно при проектировании приборов, в которых использутся широкие потоки заряженных частиц с большим разбросом в начальных данных.
Созданные ранее корпускулярно-оптические теории [53-59], использующие криволинейные координаты, не были ориентированы на проведение численных расчетов и потому мало пригодны для компьютерного моделирования. Отсюда следует необходимость разработки новых, все более точных методов расчета, основанных на применении адекватных теоретических и расчетпых моделей, позволяющих с высокой точностью проводить исследование корпускулярно-оптических свойств как новых, так и уже известных конфигураций электрических и магнитных полей, обладающих средней плоскостью, выявляя оптимальных режимы и способы их эксплуатации, в частности, и в случае использования широких пучков заряженных частиц с большим разбросом в начальных данных.
Отметим, что расчет траекторий заряженных частиц путем численного интегрирования точных уравнений траектории в криволинейных координатах предполагает знание всего поля системы, а не только его распределения в средней плоскости или вблизи осевой траектории. Таким образом, проблема повышения точности вычислений напрямую связана с проблемой улучшения точности расчета поля. Как правило, именно неточности в расчете поля являются наиболее серьезным источником ошибок, поэтому необходимо разработать адекватные
14
аналитические методы, позволяющие находить точное распределение поля в различных системах со средней плоскостью, в том числе и в системах конического и квазиконического типа, а также в различных мультипольних системах.
Мультипольные отклоняющие и фокусирующие системы (дефлекторы и линзы) используются для формирования и транспорти-ровки пучков заряженных частиц, а также в приборах, разделяющих пучки заряженных частиц по массам и энергиям. Наблюдающийся в
последнее время интерес к таким системам связан с их использованием в электронной и ионной литографии, которая осваивает сейчас нанометровый уровень дискретности при создании интегральных микросхем. Таким образом, прогресс в самых различных областях науки и техники, где применяются такие микросхемы, напрямую связал с совершенствованием отклоняющих и фокусирующих мультипольных систем, используемых в электронной и ионной литографии.
В связи с этим любые достижения в теоретическом рассмотрении электронной оптики мультипольных систем, в частности, развитие аналитических методов, позволяющих улучшить точность расчета поля таких систем, представляет значительный интерес.
Точность электронно-оптических расчетов прежде всего определяется точностью расчета электрических и магнитных полей, реализуемых в рассматриваемых системах. Потенциалы, задающие поле двумерных или конических мультипольных систем, могут быть найдены в аналитическом виде в том случае, когда зазоры между электродами считаются бесконечно узкими и полезадающие поверхности образуют односвязную область. Для расчета потенциала поля реальных мультипольных систем с зазорами конечной ширины в известных работах зарубежных авторов используется метод конечного элемента (см., например, [59,60]). Однако этот метод, как впрочем и другие итерационные численные методы, не позволяет получить достаточно точное распределение потенциала вблизи полезадающих поверхностей, имеющих резкие выступы, заострения или тонкие пластинчатые элементы. В то же время именно такие системы часто используются на практике, так как позволяют создавать сильные поля в малых областях, что существенно для нанотехнологий. Поэтому не вызывает сомнения необходимость развития аналитических методов расчета потенциалов поля мультипольных систем с полезадающими элементам в форме пластин, образующих многосвязную граничную область.
Потенциалы поля вне полезадающих элементов удовлетворяют урав-
15
нению Лапласа. В известных монографиях [61-63] говорится, что замкнутое однозначное и устойчивое решение уравнения Лапласа можно получить лишь в том случае, когда граничные условия задаются на замкнутой поверхности. Однако поверхности полезадающих элементов реальных мультипольных систем образуют многосвязную незамкнутую граничную область, для которой неизвестны общие аналитические методы нахождения решений уравнения Лапласа. В то же время при наличии заострений или пластинчатых элементов расчет распределения поля численными методами, например, методом конечного элемента, не дает точности, необходимой для вычисления корпускулярно-оптических характеристик мультипольных .систем с необходимой точностью. Поэтому разработка аналитических методов, позволяющих находить решение граничной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в случае многосвязных областей, обладающих определенной геометрической симметрией, представляется весьма важной. Наличие даже квадратурного выражения для потенциала позволит рассчитывать оптические характеристики мультипольных систем с необходимой точностью.
Для успешного поиска наиболее эффективных схем ионно-оптических систем со средней плоскостью важно выявить как общие закономерности в их корпускулярно-оптических свойствах, так и закономерности, связанные с характером симметрии реализуемых в них полей. Кроме того, необходимо развитие приближенных методов расчета, позволяющих оценивать наиболее важные характеристики большого числа возможных вариантов таких систем.
Таким образом, остается актуальной проблема создания строгих теоретических методов для исследования корпускулярно -оптических характеристик систем, обладающих средней плоскостью. Использование этих методов должно упростить доказательство общих положений, регламентирующих свойства таких систем, при любой форме осевой траектории пучка заряженных частиц, а также должно позволить проводить численный расчет их диспергирующих и фокусирующих свойств, включая и аберрации, даже в случае широких пучков заряженных частиц с большим разбросом в начальных данных, с высокой точностью. Кроме того, необходима разработка простых приближенных методов, позволяющих выполнять предварительную оценку наиболее существенных характеристик таких систем.
Цель работы заключается в том, чтобы разработать адекватные теоретические методы, позволяющие исследовать корпускулярно-оптические свойства различных конфигураций электрических и магнитных
16
полей, обладающих средней плоскостью, и осуществлять конструирование' новых высокоэффективных ионно-оптических систем на основе этих полей.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе предложены и развиты методы исследования произвольных корпускулярнооптических систем, обладающих средней плоскостью. В основе разработанных методов лежит использование криволинейных координат с осевой траекторией пучка в качестве криволинейной оси, что позволяет единым образом описать корпускулярно-оптические свойства любых систем, обладающих средней плоскостью, и доказать ряд важных общих положений относительно их диспергирующих и фокусирующих свойств.
Получены конформно-инвариантные уравнения траектории заряженной частицы в конических отклоняющих полях. Разработаны также методы расчета электрического и магнитного полей некоторых корпускулярно-оптических систем со средней плоскостью, в том числе, метод решения многоэлектродной граничной задачи для уравнения Лапласа в случае многосвязных границ, обладающих определенной симметрией.
Получены аналитические выражения для распределения потенциалов в некоторых конических и квазикоиических отклоняющих системах, а также в некоторых мультиполыгых системах. Развиты приблы-женные методы расчета диспергирующих и фокусирующих свойств конических и квазикоиических полей. Разработан пакет прикладных программ для расчета корпускулярно- оптических свойств конических отклоняющих систем.
На основе развитых методов предложены и рассчитаны высокоэффективные схемы энерго- и масс-анализаторов с рекордной удельной дисперсией.
Для разработки малогабаритного прибора с заданным целевым назначением были проведены специальные теоретические исследования и расчеты, которые позволили выявить возможности дальнейшего улучшения характеристик ахроматичной конусовидной призмы и масс-спсктрометров, в которых она используется. Развиты методы расчета, позволяющие учитывать влияние на корпускулярно-оптические свойства наиболее существенных для реальных систем конструктивных факторов.
17
1 ГЛАВА.
ОБЩИЕ КОРПУСКУЛЯРНО-ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛЕЙ СО СРЕДНЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ
Корпускулярно-оптические системы с круговой осевой траекторией весьма немногочисленны. Движение по круговой траектории осуществляется лишь в однородном магнитном ноле и полях цилиндрического, сферического и тороидального конденсатора. В других полях движение по окружности является скорее исключением, чем правилом.
В настоящей работе исследуются широко используемые в корпускулярно-оптических системах электрические и магнитные поля, обладающие средней плоскостью. Такая плоскость является плоскостью симметрии электрического и антисимметрии магнитного полей. Обычно в этой плоскости лежит осевая траектория пучка заряженных частиц, форма которой, вообще говоря, может быть произвольной. Для описания корпускулярно-оптических свойств таких систем необходима адекватная теория, в которой бы не использовалось условие близости формы осевой траектории к окружности.
1.1. ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРАЕКТОРИИ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
В самом общем случае статические электрическое и магнитное поля можно описать скалярными потенциалами (р пи. Напряженности полей Е и Н связаны с потенциалами соотношениями
Ё = -Ур, Й = (1.1.1)
Пусть в этих полях движется пучок заряженных частиц, заряд которых равен е, а масса покоя т = тс( 1 + 7), где 7 характеризует разброс частиц по массе относительно некоторой средней массы тс. Введем безразмерные потенциалы Ф и П , связанные с электростатическим потенциалом (р и магнитостатическим со соотношениями [65, 66]:
1 ГЛАВА
18
Ф = —2^, П = —2^5, (1.1.2)
тссг тсс/
где С — скорость света в вакууме. 1 Тогда уравнение движения заряженной частицы в нерелятивистском приближении можно записать в виде
(1 + 7)^= УФ + ^ х У12. (1.1.3)
Здесь точки обозначают дифференцирование но переменной с1, где £ — время.
В дальнейшем будем предполагать, что поля обладают средней плоскостью, являющейся плоскостью симметрии электрического и антисимметрии магнитного полей. Пусть эта плоскость совпадает с плоскостью ху декартовой системы координат х , у , г , и в ней лежит осевая траектория пучка заряженных частиц. Введем криволинейные координаты д , х , в , предполагая, что криволинейная ось «9 совпадает с осевой траекторией пучка, ось г имеет постоянное направление, перпендикулярное к средней плоскости, и совпадает с декартовой координатой г , а ось (] лежит в средней плоскости и направлена по нормали к осевой траектории, причем в каждой точке орты этих осей ея , €ж , е$ образуют правую систему [67], как показано на Рис. 1.
Уравнения траектории получим, переходя в (1.1.3) к криволинейным координатам и исключая переменную с помощью закона сохранения энергии:
(1+7 )г* = 2Ф. (1-1.4)
При этом предполагается, что потенциал
л
Ф = <%, г, й) = Фс(</, 2, в) + еФс0 (1.1.5)
и нормирован таким образом, что он равен нулю там, где равна нулю скорость частиц. Через б обозначен относительный энергетический разброс в пучке. Индекс ” 0 ” здесь и в дальнейшем говорит о том, что соответствующая величина берется на входе в поле при 5 = 5о в плоскости, где расположена входная диафрагма, через которую пучок поступает в поле. Частицы с массой тс , движущиеся по осевой тра-
Выбор криволинейных коЬрдинат.
1 ГЛАВА
20
ектории, обладают кинетической энергией гасс2/ (з) , причем распределение потенциала на осевой траектории /(з) = Фс(0 , 0 , з) , а ФсО = 1Ы = /О •
Полученные таким образом уравнения траектории могут быть
записаны в следующем виде [68, 69]:
д" + (1 - кд)к + д' =
г'2 Ф,
+
г" + я'ІІп г/2Фг
2Ф /2Ф(1 + 7)
\Хф\1
(1.1.6)
+
(1 _ кд)а,-
(1.1.7)
2Ф ^2Ф(1 + 7)
Здесь и в дальнейшем штрихи обозначают дифференцирование по 3 ; к
кривизна осевой траектории, причем
Ф,
г' = ]/(/2 + г'2 + (1 - кд)2;
(1.1.9)
индексы при Ф и $7 обозначают частные производные по соответствующим координатам; а производная
ІП
л/фУ
з
1
з2 1 — кд
г/2Ф,
2Ф(1 — кд)
+
^2Ф(1 + 7)
(д'Пг — г'Пд) + дк' + 2 д'к
При необходимости учета релятивистской зависимости массы частицы от скорости уравнения (1.1.6) и (1.1.7) легко могут быть обобщены и на релятивистский случай. Для этого во всех приведенных
I ГЛАВА
I
21
выше выражениях, содержащих потенциал Ф , его необходимо заменить на ’’релятивистский потенциал”
Фл = Ф (l + |) . (1.1.11)
Наиболее важной особенностью полз'ченных уравнений (1.1.6) и (1.1.7) является то, что они позволяют сразу вычислять отклонения ф) и z{$) частиц пучка от осевой траектории. Это значительно повышает точность вычислений, так как освобождает от необходимости вычислять такие отклонения как малую разницу больших чисел (обычных коордипат частиц). Таким образом, появляется возможность с высокой точностью описывать прохождение практически любых пучков, рассматривая их сечения плоскостями s = const . Единственное условие, ограничивающее применение этих уравнений, определяется неравенством |#| < к~J .
С помощью полученных уравнений можно анализировать прохождение пучков, образуемых шестипараметрическим семейством траекторий. Эти шесть параметров определяют для каждой траектории пучка граничные условия в плоскости входпой диафрагмы при S = Sq , а также относительную энергию и массу. Будем использовать для них также следующие обозначения: €\ = #о > ^2 = #о > €3 = z0 > е4 == zo > = е >
6б = 7 •
Применение уравнений (1.1.6) и (1.1.7) особенно эффективно в тех случаях, когда известны явные выражения для потенциалов, так как это позволяет найти аналитические формулы и для их производных, используемых в этих уравнениях. При этом потенциалы Ф и Q могут быть заданы в тех координатах, которые наиболее удобны для их расчета. Это могут быть и декартовы, и цилиндрические, и сферические, и любые другие координатные системы. Переход к криволинейным координатам при этом осуществляется с помощью соответствующих соотношений связи, которые в случае декартовых координат х ,у ,2 могут быть записаны в виде:
ж = xc(s)-qy'c,
У = yc{s) + qx'c, (1.1.12)
Z — Z.