- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................ 5
Глава Т. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДУ ИССЛЕДОВАНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКИ
НЕодаородаых и анизотропных сред........................ тз
1.1. Эффективные кинетические коэффициенты ..... 15
Т.2. Плоско-слоистые среда и их модификации .... 21
1.3. Среды, допускающие точные решения .................. 22
1.4. Метод теории протекания ............................ 24
Глава 2. ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД ... 33
2.Т. Эффективные свойства слоисто-неоднородных сред
и критерия применимости эффективного описания 33
2.2. Проводимость слоисто-неоднородных сред
с мелкомасштабными искажениями ..................... 39
2.3. Эффективная проводимость дву- и трехмерных
сред специально« структуры ......................... 47
2.4. Критические индексы проводимости двумерных анизотропных систем. Доказательство гипотезы Шкловского................................... 64
2.5. Модель слабого эвена сильно неоднородно«
среда вблизи порога протекания ..................... 67
2.5.Т. Модель "слабого звена" ниже порога протекания 67
2.5.2. Модель "слабого звена" выше порога протекания 71
2.5.3. Модель "слабого звена" и масштабные
преобразования .................................... 76
2.5.4. Иерархическая модель "слабого звена" .... 77
2.6. Модель "слабого звена” и эффективные упругие свойства сильно неоднородных композитов
вблизи порога протекания ........................... 79
2.7. Критическое поведение I// шума
в перколяционных системах .......................... 33
Основные результаты главы 2 ....................... 90
- 3 -
Глава 3. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В КОМПОЗИТНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ 92
З.Т. Структура и физические характеристики
композитных сверхпроводников ........................ 92
3.2. Эффективная проводимость вблизи порога протекания при конечно« диссипации энергии. Нелинейность ВАХ....................................... 96
3.3. Гистерезисные явления в композитных сверхпроводниках вблизи порога протекания . . . ЮТ
3.4. Наведенная анизотропия электрических свойств композитных сверхпроводников вблизи порога протекания.....................................106
3.5. Самоподобная модель макроскопически неоднородно# смеси сверхпроводник - нормальны# проводник вблизи порога протекания..............Ю7
Основные результаты главд 3......................1Т8
Глава 4. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД . . И9
4.1. Эффективные свойства плоско-слоистых сред при непрерывно# зависимости локальных кинетических коэффициентов от координат.................................П9
4.2. Критери# применимости эффективного описания термоэлектрических сво#ств плоско-слоистых сред 124
4.3. Термоэлектрические сво#ства плоско-слоистых
сред с мелкомасштабными искажениями..................131
4.4. Эффективные коэффициенты поликристаллических
пленок...............................................140
4.5. Термоэлектрические сво#ства полупроводниковдх пленок с макроскопическими неровностями поверхности...............................................145
4.6. Двусторонние ограничения эффективных термоэлектрических коэффициентов ........................ 148
Основные результаты главы 4...........................Ю7
Глава 5. ГАЛЬВАНО- И ТЕРМОГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД..................................... Т58
5.1. Гальваномагнитные свойства плоско-слоистых сред
с малкомасштабщми искажениями....................... 158
- 4 -
5.2. Об одщом свойстве сред Длхне .........................161
5.3. Гальваномагнитные свойства среды вблизи порога протекания при конечной диссипации энергии. Нелинейность ВАХ...................................165
5.4. Гальваномагнитные свойства неоднородных пленок вблизи порога протекания в наклонном магнитном поле. Размерный эффект . 174
5.4.Т. Случай конечных металлических кластеров . . . 175
5.4.2. Случай бесконечных металлических кластеров . . 180
5.4.3. Поведение ЭКК на пороге протекания ................ Т86
5.5. Термогальваномагнитные свойства неоднородных пленок вблизи порога протекания .............. Т88
5.6. Термогальваномагнитные свойства трехмерных композитов вблизи порога протекания .................. 197
Основные результаты главы 5 ......................... 202
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................204
Приложение I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТИВНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЛОСКО-СЛОИСТЫХ СРЕД ........... 208
Приложение 2. КОНЦЕНТРАЦИОННОЕ И ПОЛЕВОЕ ПОВЕДЕНИЕ
ТЕРМОЭДС И ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА ПРОТЕКАНИЯ В РАМКАХ МОДЕЛЕЙ "СЛАБОГО ЗВЕНА".............................................218
Приложение 3. ВИХРЕВЫЕ ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ
В АНИЗОТРОПНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ .... 226
Приложение 4. НАМАГНИЧИВАНИЕ ЭКРАННЫХ ТРУБ ПАРОГЕНЕРАТОРОВ
ВИХРЕВЫМИ ТЕРШЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ТОКАМИ .... 244
Приложение 5. АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕРМОЭЛЕМЕНТЫ.........................248
Приложение 6.....................................................270
Приложение 7................................................271
Приложение 8. АНДЕРСОНОВСКАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ В ПЕРКОЛЯЦИОННЫХ
СТРУКТУРАХ.........................................273
ЛИТЕРАТУРА ..................................................276
- 5 -
ВВЕДЕНИЕ
Одним из определяющих 'факторов научно-технического прогресса и важнейшей задачей физики твердого тела является создание новых материалов с заданными свойствами. Возможности чистых (однофазных, однородных, гомогенных) материалов в значительной мере исчерпаны. Создавая композиты во многих случаях удается достичь комбинации свойств, не присущей каждому из исходных материалов по отдельности /1-117. Использование неоднородных сред - это необходимый и, по-зидимому, единственный реальный путь удовлетворения запросов техники в новых материалах. Большое место в решении этой задачи принадлежит разработке макроскопически неоднородных сред, свойствами которых можно управлять в весьма широких пределах. Материалы, созданные на основе макроскопически неоднородных и анизотропных сред, используются при создании термоэлектрических устройств /12-18/, конденсаторов /9,19/, мощных резисторов /20/, других элементов электронной техники /97, сверхпроводящих устройств /21/.
Особое место при изучении и использовании макроскопически неоднородных сред занимают случайно-неоднородные среды - среды со случайным расположением компонент, однородные, хотя возможно и анизотропные в среднем. Основной характеристикой таких сред являются эффективные кинетические коэффициенты (ЭКЮ, связывающие, по определению, средние по объему термодинамические потоки и силы. Теоретическое исследование неоднородных сред представляет собой сложную задачу. До последнего времени вычисление ЗКК было возможно только при определенных приближениях - малой концентрации одной из фаз, слабой неоднородности, простой геометри-
- б -
ческой структуре. В последнее время появились новые теоретические методы изучения случайно-неоднородных сред /22-31/. Значительный прогресс на цути изучения кинетических свойств неоднородных сред был достигнут благодаря созданию теории протекания /22-29/, в рамках которой появляется возможность изучить интегральные характеристики и определить ЭКК в наиболее интересном как теоретически, так и экспериментальном случае сильной неоднородности - вблизи и на самом пороге протекания, когда ЭКК сильно зависят от концентрации, имеют необычные (аномальные)зависимости от магнитного поля, появляется аномально высокая тензочувствительность электропроводности и т.п. Большую роль сыграл метод точного вычисления эффективной электропроводности для двумерных случайно-неоднородных сред на пороге протекания /30/, обобщенный в дальнейшем на ряд более сложных кинетических явлений /31-40/. Среды вблизи порога протекания могут быть и, уже частично применяются, как материалы для различного рода чувствительных элементов измерительных приборов.
Несмотря на интенсивные исследования, проводящиеся в области теоретического и экспериментального изучения кинетических явлений в макроскопически неоднородных и анизотропных (кинетические явления в макроскопически однородных анизотропных средах подробно изучены в /41,42/) средах и большое число публикаций, к моменту начала исследований практически отсутствовали регулярные методы вычисления ЭКК в ситуациях, приближенных к реальным, с учетом джоулевого тепловыделения, нелинейности, конечности размера образцов и т.п. Так, например, численные расчеты указывают, что локализация джоулевого тепловыдения резко возрастает при приближении к порогу протекания и существенно зависит от степени неоднородности среды. При этом, при незначительном суммарном ра-
- 7 -
зогреве возможен сильный локальный разогрев, который может изменить концентрационное и полевое поведение ЭКК, т.е. свойства среды в целом. Кроме того, не были достаточно разработаны способы конструирования композитных материалов с заданными свойствами.
Целью работы является развитие теории кинетических явлений в макроскопически неоднородных и анизотропных средах, определение ЗКК неоднородных сред, установление критического поведения и определение критических индексов ЭКК вблизи порога протекания, разработка методов и построение моделей, позволяющих вычислять ЭКК в экспериментально осуществляемых условиях, разработка методов конструирования композитов с заданными свойствами.
Научная новизна
I. Предложена иерархическая модель "слабого звена" сильно неоднородной среда выше и ниже порога гротекания, на основании которой:
- исследовано критическое и пэлевое поведение эффективных термогальваномагнитных коэффициентов в дву- и трехмерном случаях, определены критические индексы, найдено их выражение через критические индексы проводимости;
- исследовано джоулево тепловыделение в композитах в критической области и найдено аналитическое выражение для локального перегрева; сформулированы условия появления нелинейности вольтам-пе рной характеристики выше и ниже порога протекания, связанной
с тепловым перегревом слабых звеньев;
- предсказан размерный эффект - зависимость интегральных гальваномагнитных свойств сильно неоднородных пленок в наклонном магнитном поле вблизи порога протекания от толщины пленки; получены аналитические выражения эффективных компонент тензора про-
водимости ниже, выше и на самом пороге протекания;
- 8 -
- установлена возможность тегшового гистерезиса и наведенной анизотропии в сверх про водящих керамиках вблизи порога протекания;
- исследовано критическое поведение шума в перколяцион-ных системах, определены критические индексы относительной спектральной плотности выше, ниже и на троге протекания;
- установлена возможность теплового гистерезиса и наведенной анизотропии в сверхпроводящих керамиках вблизи порога протекания;
- определена структура макроскопически неоднородной смеси идеальный проводник (сверхпроводник) - гроводник с конечной проводимостью на размерах меньших корреляционной длины и методом ренормализационной группы вычислен критический индекс проводимости.
2. Установлены пределы применимости традиционного описания плоско-елоистых макроскопически неоднородных сред, путем перехода от локально неоднородных к однородным и анизотропным в среднем, связанные с конечными размерами образца, нелинейностью локальных кинетических коэффициентов, мелкомасштабных искажений структуры; найдены аналитические выражения эффективных кинетических коэффициентов с учетом нелинейности, мелкомасштабных искажений, внешнего магнитного поля, наличия в среде одновременно двух обобщенных потоков и сил.
3. Развит метод, позволивший найти класс изотропных в среднем сред, установить структуру и найти асимптотически точные выражения эффективной проводимости при любых концентрациях компонент, размерности задачи в случае как угодно большой неоднородности; показана ренормгрупповая природа таких сред.
4. Для двухпотоковых кинетических явлений с учетом перекрестных эффектов (термоэлектрических, термодиффузионных и т.п.) в двухфазных макроскопически неоднородных средах установлены но-
- 9 -
вые двухсторонние ограничения эффективных кинетических коэффициентов; для поликристаллических пленок точные аналитические выражения, годные для как угодно большой анизотропии локальных кинетических коэффициентов.
5. Доказана гипотеза Б.И.Шкловского о равенстве критических индексов изотропизации эффективной электропроводности поликрис-таллических пленок.
Научная и практическая ценность работы определяется возможностью использования ее результатов для описания кинетических явлений в макроскопически неоднородных средах, в частности,вблизи порога протекания, определения интегральных характеристик макронеоднороцных и анизотропных сред. Проведенный теоретический анализ поведения слоисто-неоднородных сред в магнитном поле может служить основой экспериментального метода определения планарности плоско-елоистых сред; явления теплового гистерезиса и наведенной анизотропии в композитных сверхпроводниках могут быть использованы для создания элементов памяти. Исследования вихревых токов в неоднородных средах, примененные к расчету вихревых термоэлектрических токов в экранных трубах парогенераторов могут послужить основой метода контроля их состояния. Теоретические результаты, полученные в работе, стимулируют постановку новых экспериментов в области физики твердого тела - физики гальвано-магнитных явлений, фликкер шума и т.п. В целом результаты работы могут быть использованы в области твердотельной электроники и материаловедения.
Достоверность основных результатов и выводов защищаемой работы подтверждается строгой постановкой задач, выбором адекватных теоретических моделей и методов решения, ясной физической трактовкой основных положений и выводов, согласием вытекающих из
- то -
теории частных результатов с полученными ранее другими авторами, с результатами численных экспериментов, согласием с результатами экспериментальных работ.
Диссертация подразделена на пять глав, заключение, дополнения и список цитируемой литературы. В конце каждой главы, кроме вступительной первой, приведены основные результаты.
В первой главе дано краткое описание основных понятий и различных типов макроскопически неоднородных сред и теоретических методов их исследования. Определена связь усреднения в теории гетерогенных сред для получения ЭКК и усреднения в статистической физике. Во второй главе рассмотрена эффективная проводимость неоднородных и анизотропных сред. Изучены одно-,двух- и трехмерные случаи, определены границы применимости эффективного описания, проанализирован класс сред, для которого существуют точные аналитические выражения эффективной проводимости, введена и обоснована иерархическая модель слабого звена, рассмотрены эффективные модули упругости, критическое поведение относительной спектральной плотности к/$ шума и некоторые другие задачи. В третьей главе рассмотрены кинетические явления в композитных сверхпроводниках вблизи пэрога протекания, введена модель структуры смеси сверхпроводник - проводник с конечной проводимостью на размерах меньших корреляционной длины; в рамках модели слабого звена рассмотрены различные возможные последствия локальных перегревов композитов вблизи порога протекания. В четвертой главе рассмотрены термоэлектрические свойства неоднородных сред,дан критерий введения эффективного коэффициента термоэдс для пространственно ограниченной среды, получено точное решение для ЭКК оэликристаллических пленок, рассмотрено влияние шероховатости гшенок на эффективные свойства и другие вопросы. В пятой главе
- ТГ -
рассмотрены гальвано- и термогальваномагнитные свойства неоднородных сред, влияние мелкомасштабных искажений структуры на эффективные свойства, изучены гальваномагнитные свойства неоднородных пленок вблизи порога протекания и установлена возможность существования размерного эффекта, определено критическое поведение термогальваномагнитных коэффициентов вблизи порога протекания.
В заключении к диссертации сформулированы вывода, суть которых составляют основные изложения и результаты, выносимые на защиту:
1. Иерархическая модель ’’слабого звена”, позволяющая единым образом описывать кинетические процессы в случайно-неоднородных средах вблизи шрога протекания для широкого класса явлений и полученные на основании этой модели результаты: I) критические индексы термогальваномагнитных эффективных коэффициентов и упругих модулей, 2) наличие нового гальваномагнитного размерного эффекта, 3) механизм наведенной анизотропии и теплового гистерезиса в композитных сверхпроводниках и механизм нелинейности вольтам перной характеристики в композитах вблизи порога протекания,
4) критические индексы относительной спектральной плотности Уу шума и ее значение на пороге протекания, 5) фрактальная структура сильно неоднородной среды на размерах меньших корреляционной и критический индекс проводимости, полученный методом ренормали-зационной группы.
2. Результаты вычислений эффективной электропроводности
О -мерных т -фазных композитов и коэффициентов поликристалли-ческих пленок для двухпотоковых кинетических явлений с учетом перекрестных эффектов.
3. Новые двухсторонние ограничения эффективных кинетических
- 12 -
коэффициентов термоэлектрических композитов произвольной структуры с произвольными значениями локальных кинетических коэффициентов.
4. Равенство критических индексов изотропизации эффективной электропроводности поликристаллических пленок.
- 13 -
Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКИ
неоднородных и анизотрошых сред /43/
Под макроскопически неоднородными средами понимают такие среды, характерный размер неоднородности которых много больше характерных длин свободного пробега носителей тока. В частности, это означает, что в каждой точке такой среды можно задать соответствующий описываемому явлению, материальный закон, например, закон Ома, связывающий плотность тока У и напряженность электрического поля в : у- в Неоднородность среды при этом проявляется в зависимости локальной проводимости от координат: б'.е'(г) .
Основной характеристикой кинетических процессов в макроскопически неоднородных средах являются ЭКК, связывающие средние по объему термодинамические потоки и силы. Простейшим примером ЭКК является коэффициент , который связывает средние по объему плотность тока и напряженность электрического поля
& Е . При этом предполагается, как правило,что
7* ^
локально имеет место закон Ома у - 6~(г)'€* , а усреднение
<^ У’ V 1 5* •• ^ производится по объему, много большему куба характерного размера неоднородности. Если среда однородна в среднем, то ЭКК являются самоусредняющими величинами, дисперсия которых убывает с увеличением объема. В этом случае при экспериментальном изучении кинетических эффектов в макроскопических образцах измеряются именно ЭКК. Необходимо также отметить еще одно условие - размер контактов должен значительно превышать характерный размер неоднородности.
Одним из первых задачу вычисления ЭКК сформулировал Макс-
- 14 -
велл, он же получил ее решение в определенном приближении. Большое количество результатов работ по вычислению ЭКК можно разделить на несколько групп, согласно используемым приближениям.
(Для определенности рассмотрим эффективную электропроводность.)
1. Малое различие проводимостей разных фаз, в случае непрерывного распределения значений электропроводности - малые флуктуации ® УУ ^7 (см.,например,/44-47/).
2. Малая концентрация одной из фаз (с«1 ) для двухфазной среды (см., например, /48-527).
3. Сравнительно простая геометрическая структура среды, например, плоскослоистые среды, состоящие из анизотропных слоев.
Итоги этих приближений изложены в ряде монографий и обзорных работ /§,19,49-6§7 (за исключением работ в основном по исследованию термоэлектрических явлений).
История развития исследований по вычислению 6“е рассмотрена в обзоре /667•
В последнее время появились новые подходы, позволяющие рассмотреть ЭКК в сильно неоднородных средах. Первый из них - теория протекания. Как оказалось, поведение ЭКК вблизи порога протекания имеет ряд сходных черт с поведением термодинамических коэффициентов вблизи фазового перехода второго рода /25,67/. Второй подход связан с выявлением (в работе /307) симметрии материальных уравнений (у» (?€ ) и уравнений Максвелла (<Л«^-о } го1е = о ). Обнаруженная симметрия позволяет получить точное (годное для как угодно большой неоднородности) решение некоторых задач об ЭКК. В ряде случаев удается более сложную задачу (галь-ваномагнитные, термоэлектрические явления) свести к более простой (проводимость) /37,687. Метод сведения сложной задачи к более простой (т.н метод изоморфизма) можно применить к распростране-
- 15 -
нию двусторонних оценок эффективной проводимости, например, на случай сред, для которых существенны термоэлектрические явления.
1.1. Эффективные кинетические коэффициенты
Из всевозможных макроскопически неоднородных сред можно выделить среды, являющиеся однородными (но возможно анизотропными) в среднем. К таким средам относятся, например, слоисто-неоднородные среды, образованные последовательным чередованием полос толщиной £”1 , 8"2 из материалов с проводимостями Фь , . Такая
среда - в среднем однородна, но анизотропна. Однородной в среднем является среда типа шахматной доски (черным и белым клеткам которой отвечают разные проводимости) - одна из реализаций сред Дыхне. Однородной в среднем является и случайно-неоднородная среда.
Основной задачей при изучении таких однородных в среднем сред является задача определения ЭКК исходя из локальных свойств среды.
Задавать локальные свойства среды при вычислении ЭКК можно двумя различными способами: либо считать известной зависимость локальных кинетических коэффициентов (ЛКК) от координат - детерминистический подход, либо задавать ЛКК как случайные поля -статистический подход. Последний подход изучается в обзоре /54? (см. также /69,70/). Каждый из этих подходов имеет свои преимущества и недостатки. Детерминистический подход позволяет исследовать, как правило, среды с наиболее простой структурой, трудности статистического связаны со сложностью сопоставления изучаемых сред и соответствующих им случайных полей ЛКК.
Вообще говоря, при строгом теоретическом подходе к вычисле-
- 16 -
нию ЗКК случайно неоднородных сред задача должна разбиваться на два этапа: вычисление ЭКК при фиксированной зависимости ЛКК от координат и последующее усреднение по различным реализациям.
ЭКК, вычисленные на первом этапе, зависят, конечно, от. данной конкретной реализации распределения ЛКК, однако "...мы всегда ожидаем, что в правильно поставленной теории должно так или иначе иметь место "самоусреднение", а с другой стороны, и теория, и эксперимент имеют дело с образцом, в котором и в самом деле существенна одна определенная реализация" /71/.
Под самоусредняющимися ЭКК будем понимать такие функционалы ЛКК, которые при стремлении объема усреднения к бесконечности стремятся к неслучайному пределу. Понятие самоусреднякхцихся величин подробно исследовано в квантовой теории неупорядоченных систем (для твердых растворов, аморфных тел и т.д.). Между само-усреднением в теории неупорядоченных систем и проблемой обоснования классической статистической механики существует глубокая аналогия /72/.
В /?3/ приведена таблица, в левом и правом столбцах которой указаны соответствующие понятия и операции статистической физики и теории неупорядоченных систем. Можно дополнить эту таблицу третьим столбцом, указывающим соответствующие понятия в задаче о вычислении ЭКК - табл. I.
Средние по объему поля и токи для самоусреднякяцихся величин совпадают со средними по всем реализациям случайного поля ЛКК.
И, таким образом, в этом случае при вычислении ЭКК достаточно усреднения по объему при одной определенной реализации ЛКК.
Укажем две принципиальные трудности, которые встречаются при таком подходе. Во-первых, даже при полной информации о ЛКК определение ЭКК в явном виде является очень сложной математичес-
- 17 -
кой задачей. Во-вторых, получение полной информации о ЛКК реального материала является, вообще говоря, проблематичным.
Таким образом, одной из наиболее актуальных проблем при вычислении ЭКК сильно неоднородных сред является поиск таких классов сред, которые, с одной стороны, реализуются экспериментально, а с другой - описываются конечным небольшим числом параметров. В одномерном случае указанным требованиям удовлетворяют среды Дыхне /30/ и их обобщения. Для трехмерного случая такие среды пока неизвестны.
При большом количестве работ, использующих различные приближения, иногда недостаточно обоснованные, особое значение приобретают методы и модели сред, позволяющие получить точные, пригодные для случая больших флуктуаций ЛКК аналитические выражения ЭКК. Именно такие ситуации (в основном) рассмотрены в обзоре
/43/.
Ситуация, имеющая место при описании кинетических явлений в макроскопически неоднородных анизотропных средах, аналогична таковой в статистической механике. И в том, и в другом случае имеется большое количество приближенных методов. Несмотря на большую пользу таких приближенных методов, модели, допускающие точные решения (в статистической физике - модель Изинга, сферическая модель, модели типа льда и т.д. /?47)> играют особую роль в физике - достаточно вспомнить "...о той важнейшей роли, которую исторически сыграло решение Онзагером модели Изинга" /74/. Точные модели позволяют, кроме всего прочего, указать границы применимости приближенных методов и отсеять неверные приближения.
Задача вычисления ЭКК является частью более общей проблемы -усреднения физических полей. Последняя встречается в тех ситуациях, когда полная информация о сложным образом флуктуирующем
Таблица I
Статистическая механика
Теория неупорядоченных систем Теория гетерогенных сред
Фазовое пространство - пространство точек где р и^
суть наборы обобщенных импульсов и координат
Любая неусредненная физическая величина - функция ^{р> ?)
Усреднение по времени дает физически достоверные величины
Эргодическая гипотеза: среднее по времени совпадает с фазовым средним
Пространство функций и (г-)
Любая неусредненная физическая величина - функционал
Усреднение по объему дает физически достоверные величины
Эргодическая гипотеза: среднее по объему совпадает со средним по всем реализациям случайного поля
Пространство функций локальных кинетических коэффициентов, например,
ГЪля и потоки, например,
Усреднение по объему дает физически достоверные величины
Средние по объему ПОЛЯ и токи совпадают со средними по всем реализациям случайного поля локальных кинетических коэффициентов
поле не нужна (интерес представляет плавно изменяющаяся составляющая) и практическое ее использование ввиду необозримого реального количества информации невозможно. В общем случае "сжатие" информации о физическом поле /?§7, например, , мож-
—*
но представлять как операцию усреднения функцией еСэск) По независимым переменным Хк,:
<е(х1,хл, ■ = О
где<е(эск)>- линейный функционал от ^ 9 £2<^Д1А2... Л к _ объем области усреднения , окружающей точку 9ДК _ ха-
рактерный размер этой области.
Принципиальный и прикладной интерес представляет разработка методов определения <е (оск) У , не требующих предварительного определения ^С«хк), что, как правило, невыполнимо. При этом возможны ситуации, когда задача об определении средних полей и ЭКК имеет не одно решение, а целое множество, зависящее от масштабов усреднения Л к и конфигурации объема усреднения, причем поля и ЭКК при разных Лк могут существенно различаться.
фи переходе от локального описания (ЛКК) к усредненному (ЭКК) предполагалось, что характерные размеры неоднородности остаются постоянными, а размеры среды стремятся к бесконечности. Возможен и такой подход к задаче - размеры среды конечны, а характерные размеры неоднородностей стремятся к нулю. В случае, например, периодических сред ЛКК становятся быстро (а в пределе - бесконечно быстро) осциллирующими функциями. Задача о вычислении ЭКК при таком подходе ставится так - исходным является уравнение для ^ , если речь идет о 6'е , полученное с учетом зависимости 6" - эс,у, %)
- 20 -
Необходимо найти усредненное дифференциальное уравнение,которому удовлетворяет решение неусредненной задачи при предельном переходе к бесконечно быстрой осцилляции ЛКК. Коэффициентами усредненного уравнения и являются ЭКК /76-83/. Развитие указанного подхода для случая, когда усредненные уравнения имеют существенно иной вид, чем исходные, дано в /84/.
Отметим, что понятие ЭКК является четко определенным, если ЛКК зависят от координат таким образом, что среда в целом (в среднем) является однородной, хотя, возможно, и анизотропной. Пространственная однородность системы в среднем необходима для того, чтобы ЭКК были самоусредняющимися величинами. Если же ЛКК, например,коэффициент теплопроводности, зависят от температуры,то среда при уТ*о неоднородна в среднем. Более того, при зависимости ЛКК от "потенциалов" (например, от температуры, если речь идет о теплопроводности и термоэлектричестве, или от концентрации при исследовании задачи о диффузии) возможно неустойчивое поведение системы и возникновение пространственной диссипативной структуры /55-897.
Другим типом нелинейности является зависимость ЛКК от градиента "потенциалов", т.е. от термодинамических потоков и сил.
В ряде случаев при такой нелинейности возможно корректное введение и вычисление ЭКК. Так, например, вычисление ЭКК возможно для линейно проводящей среды с нелинейно проводящими эллипсоидальными включениями малой концентрации /90,917. Хотя в /907 и не вы-числяется непосредственно б’ , но тот факт, что поле внутри
эллипсоидального включения не зависит от координатой что ^
Е'
его можно явным образом выразить через среднее полеЕ^“
(именно это и проделано в /90/), дает возможность, почти дословно повторяя вывод 6е при С« 1 получить 6"е как функцию
- 21 -
среднего поля б^СЕ)* б"5+ а|(Е)£б^[{(Е)£ ]~^ ^ ? где 6^
и 6^ - соответственно проводимости матрицы и включения, и для простоты рассмотрен случай сферических включений - б- С Е) изотропна.
1.2. Плоскослоистые среды и их модификации
В плоскослоистых средах можно найти ЭКК при как угодно большой неоднородности. В простейшем случае эти среды представляют собой чередующиеся изотропные слои размеров 4 и 4 с проводимостями 64 и 6], соответственно. Такая среда анизотропна в среднем; компоненты тензора эффективной проводимости ее хорошо известны. Их выражения не что иное как выражения для последовательно и параллельно соединенных сопротивлений. Можно найти ЭКК и в более сложных случаях, например, когда в среде из двух чередующихся изотропных слоев протекает не только электрический ток, но и поток тепла, зацепляющиеся друг с другом через термоэлектрические эффекты /147. Такие среды имеют большое значение для термоэлектрического приборостроения. На их основе были созданы анизотропные термоэлементы /927.
Если не существует резкой границы между слоями, но ЛКК по-прежнему зависят от одной координаты (одномерный случай), возникает задача вычисления ЭКК при непрерывной зависимости ЛКК от координат. Расчет ЭКК в такой задаче с учетом термоэлектрических явлений приведен в /937 (глава 4, разд.4.1).
В конкретных экспериментальных ситуациях неоднородные среды имеют конечный объем и, следовательно, при переходе от локального описания к усредненному (объем усреднения предполагается бесконечным) допускается погрешность. В одномерном случае
- 22 -
удается оценить влияние ограниченных размеров образца и тем самым указать критерий применимости эффективного описания /93/ (глава 2, разд.2.1).
фи изготовлении слоисто-неоднородных сред возможны различные нарушения структуры, в том числе такие, когда слои не строго параллельны друг другу - задача определения ЭКК при этом уже не одномерна. В /94-97/ было рассмотрено влияние мелкомасштабных искажений (слабое отклонение от плоскослоистого случая) на эффективные упругие свойства. В /98,997 рассмотрено влияние мелкомасштабных искажений на электропроводность (глава 2, разд.2.1), гальваномагнитные (глава 5, разд.5.1) и термоэлектрические эффективные свойства.
Линейный закон, например, закон Ома, при повышении поля /100-103/ или градиента температуры /104/ перестает быть линейным. Как правило, учет нелинейных членов в материальном уравнении существенен в больших полях (см.»впрочем, /105/). В плоскослоистых средах, однако, возможна такая ситуация, когда среднее поле мало - (в однородной среде оно не вызовет сколько-нибудь заметной нелинейности),но сильная неоднородность слоев (по ЛКК и размерам слоев) приводит к сильной неоднородности поля (или градиента температур). В тех слоях, где локальное поле большое -может оказаться существенной нелинейность, что приведет к нелинейности среды в целом /1067 (филожение I).
1.3. Среды, допускающие точное решение
В работе /30/ был предложен класс сред, допускающих точное (справедливое для как угодно сильной неоднородности ЛКК) решение задачи о вычислении ЭКК. Метод работы /30/ не опирается, в отли-
- 23 -
чие от многих других, известных до него, на какой-либо малый параметр и связан с преобразованиями симметрии. Среды, допускающие точное решение, являются двумерными, двухфазными с геометрически эквивалентным расположением фаз. Последнее означает, что при взаимной замене проводимостей фаз эффективная проводимость среды не меняется. В дальнейшем такие среды будем называть средами Дыхне. Одной из возможных реализаций сред Дыхне является шахматная доска, черным и белым клеткам которой соответствуют проводимости ^ . Эффективная проводимость /30/ равна
£-€ = (1Л)
причем выражение (1.1) справедливо при любых отношениях ,
в том числе и при Уб~2 »1 .
Существенно то, что другими возможными реализациями сред Дыхне являются случайно-неоднородные среды.
Обнаруженная в /30_/ симметрия, в этой же работе применена и к поликристаллическим средам, однородным в среднем. Эффективная проводимость такой среды
<1.2,
где б"г , - главные значения локального тензора проводимости.
В дальнейшем метод работы /30/ обобщался и применялся в различных задачах (см.,например, /31-40/ и обзор /43/), в том числе, как оказалось, этот метод можно применить в задаче о вычислении ЭКК поликристаллических сред с учетом термоэлектрических явлений /107,108/ (глава 3, разд.3.4).
Дальнейшее подробное изучение сред с геометрически эквивалентным расположением фаз позволило обнаружить соотношение, из которого следуют многие результаты, полученные для сред Дыхне /109/ (глава 5, разд.5.2).
- 24 -
Существует более узкий класс сред, для которых можно получить точные решения не только в двух, но и в трехмерном случаях. Впервые такие среды были предложены в работе /110/. Оказалось, что метод, при помощи которого происходит построение таких сред (так называемый метод перемешивания /108/) можно развить для многофазного случая и любой мерности пространства /108,111/. Выход за рамки двумерности и двухфазности приходится "оплачивать"
- среды, полученные методом перемешивания, обладают рядом аномальных свойств, так, например, как правило, порог протекания для таких сред о . Необходимо отметить, что в природе встречаются среды, обладающие таким поведением - это трещиннова-тые горные породы. Среды с рс~*с? изучаются с использованием такого мощного подхода, как теория протекания /112-114/.
В настоящее время большой популярностью в различных областях физики пользуется метод ренормализационной группы (РГ). Созданный для нужд квантовой электродинамики /115-117/ он впоследствии был перенесен на теорию фазовых переходов второго рода.
В главе 2, разд.2.3 показано, что среды, получаемые методом перемешивания (в том числе и некоторые из реализаций сред Дыхне) могут обладать РГ природой.
1.4. Метод теории протекания.
Одним из самых мощных методов исследования неоднородных сред является теория протекания.
Метод теории протекания основан на аналогии между поведением величин, описывающих усредненные свойства случайно неоднородных сред и параметра порядка в теории фазовых переходов второго рода. С точки зрения такой аналогии (она подтверждается численны-
- 25 -
ми и натурными экспериментами) теория протекания описывает геометрический фазовый переход - переход от топологически несвязной структуры к топологически связной.
Согласно указанной аналогии геометрические характеристики случайно-неоднородной среды вблизи порога протекания (аналог критической температуры) ведут себя критическим образом - имеют особенности степенного характера. Такими геометрическими характеристиками являются, например, плотность и средний размер кластера, периметр кластера и т.п. Критический индекс (степень особенности) является универсальной характеристикой, не зависит от выбора модели (задача узлов, связей) и определяется лишь размерностью пространства.
Если на размерах больших корреляционной длины случайно-неоднородная среда является однородной в среднем, то на размерах меньших корреляционной длины, но много больших минимального размера С1 , существует т.н. область промежуточной асимптотики, в которой все характеристики кластеров подобны их характеристинам в самой критической области. Их свойства в этой области характеризуются самоподобием (масштабной инвариантностью). Характеристикой самоподобия геометрических объектов является их фрактальная размерность.
Выше речь шла о геометрических характеристиках случайно-неоднородных сред и способах их описания. Это первый круг задач, методов, касающихся только геометрии безотносительно к каким-либо физическим свойствам и процессам. Второй круг задач связан с возможными физическими процессами, разыгрывающимися на перколя-ционных структурах. Такими процессами могут быть протекание тока и потоков тепла, упругие нагрузки, выделение джоулева тепла и т.п. Поведение величин, характеризующих кинетические явления и
- 26 -
другие физические процессы в случайно-неоднородных средах вблизи порога протекания так же, как и геометрических характеристик,является критическим.
Так, например, если электропроводность двухфазной случайнонеоднородной среды 6*4 и 6^ сильно отличается (б* »6; ), то
вблизи определенного значения концентрации Рс порога протекания наблюдается резкое изменение эффективной проводимости . Среда в целом переходит от плохо проводящего состояния к хорошо проводящему. "Скачок11 проводимости аналогичен поведению термодинамических величин вблизи точки фазового перехода второго рода. Эта аналогия легла в основу теории протекания.
Согласно теории протекания эффективная проводимость вблизи критической концентрации ведет себя следующим образом /25/
-4. г -*/<- 7 Т-<0
$■(/0*6;/Г/ 4<г/г/«4 (1в3)
$*(р) * + 4 .. . } /т I « л
бе(р) * *Л^ д «I, *
>о
(1.4)
(1.5)
где „ _
А , к -
г - (р'рс;/рс (1.6)
а , 5 и ^ - критические индексы.
Выражение (1.3) описывает поведение 6“ (р) ниже ( р < рс ) порога протекания, т.е. в том случае, когда хорошо проводящая ("металлическая") фаза разорвана на отдельные фрагменты (в дальнейшем будем говорить о фрагментах металлического кластера - МК). Как видно из (1.3), при р~*рс. растет степенным образом,ес-
p
Рис, 1,1,
Качественный вид зависимости 0е -<5еСр') /25/. Согласно теории протекания &*CV,h)/5, х А 9(£/hD, где в первой приближении при Р^Рс % ot= ~<j, при р >рс t0/=C
PCO) *4, h- frz/fr, , Т=(р-рс )/р. .
- 28 -
ли пренебречь в первом приближении слабыми (нестепенными, а потому несущественными) зависимостями Вс от Г . Зависимость (1.3) ограничена по значениям концентрации с двух сторон, с одной стороны концентрация должна быть достаточно близка к порогу протекания IV/ I , с другой стороны система еще не должна попадать в область размазки - л(1£1^> л ) . В области размазки (1Ъ\«А) 6”е в первом приближении (пренебрегая вторым слагаемым в Фигурных скобках в (1.4) ) от концентрации не зависит. Справа от
порога протекания (1.5) хорошо проводящая фаза объединена в бесконечный МК, по которому протекает в основном электрический ток.
Выражения для (1.3)-(1.5) являются асимптотическими и "работают” при больших неоднородностях А«1 . Как правило, вторыми слагаемыми в фигурных скобках пренебрегают (возможны, однако, ситуации, когда главную роль играет именно второе слагаемое /118/), в этом случае (1.3)-С 1.5) принимают особенно простой вид
б-е(?<0)* &-е(г>о)
ве(ъ*о) *б;156;5 (1?)
6 €
На рисунке 1.1 показана качественная зависимость 6“ = (Г (р) .
Порог протекания /°с не является универсальной величиной и может для различных случайных структур принимать любые значения от нуля до единицы /112-1147. Универсальными величинами, зависящими только от размерности задачи, согласно теории протекания, являются критические индексы. Только два из них для рассматриваемой здесь задачи о проводимости являются независимыми, поскольку
£ * Т~ I (1.8)
Их значения, найденные численными методами (моделирование случайно-неоднородных сред - случайными решетками /27,119-121/) и раз-
- Київ+380960830922