Содержание
0 Введение 3
1 Теоретико-числовые решетки и критические определители 12
1.1 Краткие сведения о теоретико-числовых решетках.......... 12
1.2 Критический определитель................................ 14
1.3 Критические решетки и кубатурные формулы................ 17
1.4 Малое шевеление допустимой решетки...................... 20
1.5 Преобразование решетки узлов кубатурной формулы .... 24
2 Построение серий решетчатых кубатурных формул 34
2.1 Предварительные сведения................................ 34
2.2 Построение серий для случая п = 4....................... 46
2.3 Таблицы серий........................................... 52
2.4 Анализ полученных результатов........................... 54
3 Построение решетчатых кубатурных формул 56
3.1 Предварительные сведения................................ 56
3.2 Алгоритм построения формул.............................. 63
3.3 Таблицы формул, анализ результатов...................... 69
2
О Введение
С развитием вычислительной техники появились новые возможности решения прикладных задач, в которых требуется вычислять интегралы от функций двух, трех и более переменных по различным областям интегрирования.
Основная проблема состоит в том, что далеко не каждый интеграл можно вычислить точно. Поэтому остается актуальной задача приближения интегралов конечными суммами.
Общая задача теории численного интегрирования состоит в построении и исследовании формул вида
где Ф С Кп, ш(х) — весовая функция, х^ — узлы формулы, С,- — коэффициенты формулы. При п = 1 формулы вида (0.1) называют квадратурными формулами, при п ^ 2 — кубатурными.
В отличии от квадратурных формул, известных со времен Ньютона, разработка теории кубатурных формул началась сравнительно недавно.
Теория кубатурных формул сложилась, в основном, из трех ветвей: алгебраически точные формулы; функционально-аналитические методы исследования кубатурных формул, и вероятностные методы приближенного интегрирования.
Одна из задач построения алгебраически точных формул — это построение таких формул вида (0.1), которые точно интегрируют функции некоторого класса, используя возможно меньшее число узлов.
В частности, существенный интерес представляют решетчатые ку-
N
(0.1)
3
батурные формулы, точно интегрирующие все тригонометрические мономы степени не выше с1 на единичном гиперкубе [0,1)п, исследованию и построению которых, в основном, для 4-х мерного случая посвящена данная диссертация. Эти формулы интересны тем, что помимо прямого вычисления интегралов они тесно связаны с многомерным дискретным преобразованием Фурье [4].
Решетчатой кубатурной формулой называется формула вида
[ f(x)dx~ - VУ)---+ + +
(0Д)П I г-1
(0.2)
где 1 ^ г ^ гг, N = ■ Мг, р№ € 2П — порождающие векторы, {х}
означает взятие дробных частей от всех компонентов вектора х € Кп. Наименьшее из таких чисел г называется рангом данной кубатурной формулы. Коэффициенты решетчатой кубатурной формулы равны между собой, а система узлов определяет некоторую пространственную решетку. Построение и изучение решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим ^-свойством и имеющих минимально возможное число узлов, является одной из наиболее активно развивающихся в последнее время ветвей теории кубатурных формул.
Особый интерес в изучении кубатурных формул, в том числе и решетчатых, представляет задача определения точной нижней границы числа узлов формул.
Определение точной нижней границы для числа узлов N кубатурной формулы (0.1), обладающей ^-свойством, было центральной задачей в 1960-1990 гг. Если для четного (1 простейшая нижняя граница определя-
4
ется достаточно просто, то случай нечетного сі и симметричной области был далеко не тривиален. Для п-мерной сферы оценку нижней границы впервые дал И. П. Мысовских [5]. Позднее эти результаты Мысовских были обобщены X. Мёллером [33] для широкого класса симметричных областей интегрирования. Найденная им априорная нижняя граница для числа узлов ^-точной кубатурной формулы называется границей Мёллера. Формулы, число узлов которых совпадают с границей Мёллера, носят название минимальных. Значение границы Мёллера для формул, обладающих тригонометрическим ^-свойством, была найдена и в работах М. В. Носкова [10], [13] и И. П. Мысовских [7]. Более того в [10], [12] были получены первые примеры минимальных кубатурных формул с тригонометрическим ^-свойством для п = 2. Позднее в работе [17] были описаны все минимальные формулы для случая п = 2 и нечетного сі.
При п > 3 исследования и построения кубатурных формул с тригонометрическим ^-свойством ведутся исключительно в классе решетчатых кубатурных формул. Таблицы таких формул для п = 3,4 непрерывно улучшаются, то есть в них появляются новые формулы с меньшим числом узлов. Хронологически можно выделить для п = 3 таблицы из [10], [12], [22], [27], для п = 4 таблицы из [13], [27].
Отметим, что, как правило, в основе методов построения формул заданной точности <1 лежит обработка большого объема экспериментальных данных. Основная проблема известных алгоритмов построения формул, обладающих тригонометрическим сі-свойством, заключается в том, что объем вычислений существенно зависит от тригонометрической точности формулы (1} поэтому остается актуальной задача разработки но-
5
вых, более эффективных алгоритмов построения формул.
Другим не менее важным подходом в построении решетчатых куба-турных формул, является построение серий кубатурных формул [12], то есть задание числа узлов и их координат, а также коэффициентов ку-батурной формулы как функций от тригонометрической точности куба-турной формулы с1. Первые серии для п = 3,4,5 построены в работах М. В. Носкова и А. Р. Семеновой: [15], [16], [24], [25]. Однако, все эти серии хотя и описывают формулы сколь угодно высокой тригонометрической точности, но состоят далеко не из минимальных формул. Построению серий для п = 3 также посвящены работы [19], [20], так, например, в [19] получены наилучшие серии решетчатых кубатурных формул в трехмерном случае. Наилучшие серии для п ^ 4 на настоящий момент неизвестны.
Отметим, что из работ, посвященных изучению решетчатых кубатурных формул, стало известно, что минимальные решетчатые формулы, обладающие тригонометрическим ^-свойством, существуют лишь для некоторых малых значений (I при п ^ 3. Поэтому возник вопрос об уточнении нижней границы числа узлов решетчатой кубатурной формулы (0.2), обладающей тригонометрическим (/-свойством.
Определение уточненной нижней границы числа узлов для решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим (/-свойством, берет начало в теории числовых решеток, одной из характеристик которых является так называемый критический определитель. Точные определения, связанные с решетками, мы дадим в первой главе, но в целом, ситуация складывается следующим образом. С каждой теоретико-числовой
6
- Київ+380960830922