Проблема изотопической реализации

Содержание
Введение
I. Дискретная реализуемость не влечёт изотопическую
II. Об отображениях дуг в К3
III. О ручных отображениях и модификациях определений
IV. Отображения в подпространство коразмерности к
V. О дискретной реализуемости
VI. Отображения 5П —► 5П С К2п
VII. Общее отображение в метастабилыюм ранге
1. Отображения Бп —* К2п-* с К2п
1.1. Первое препятствие к изотопической реализуемости
1.2. Отображения в гиперплоскость
1.3. Немного вычислений
2. Доказательство теоремы 2
2.1. Отображения 5™ —* 5П С К2п
2.2. Нерасщспимость на бесконечности
2.3. Отображение, пропущенное через коразмерность к
3. Отображения 5П —♦ Кт, т >
3.1. Критерий непрерывной реализуемости
3.2. Подтаскивание по остовам
3.3. Неполнота первого препятствия
Приложение. Гомологии Стинрода-Ситникова (Вореля-Мура) и бордизмы Кошорке-Ахметьева
1
2
ВВЕДЕНИЕ
Напомним, что иод вложении* понимается отображение, являющееся гомеоморфизмом на свой образ, а под изотопией - гомотопия в классе гомеоморфизмов, тождественная при нулевом значении параметра.
Непрерывное отображение / компактного полиэдра X в PL-многообразие Q (без края) называется дискретно реализуемым [Si], если для каждого е > О оно е-аппроксимирусмо вложением, и изотопически реализуемым [ЩШ], если существует псевдоизотопия Ht: Q —♦ Q, t € / = [0,1] (т.е. изотопия с параметром t £ [0,1), Н0 = idg, продолжающаяся до непрерывного отображения при t —► 1), переводящая в / некоторое вложение д (т.е. Н\ од = /). Очевидно, изотопическая реализуемость влечёт дискретную. Вопрос о справедливости обратной импликации был поднят Е. В. Щспиным в 1993 году (см. [А1; проблема 2]) и известен как проблема изотопической ресихизации.
Истоки этого вопроса восходят к проблеме JI. В. Келдыш о реализуемости дико вложенных полиэдров псевдоизотоиией подиолиэдров, которая была сформулирована в 1966 году (см. [К1]) и решена в последующее десятилетие положительно для диких поверхностей в 3-многообразиях (см. [К1] и обобщение в [Сг]) и диких вложений в коразмерности > 3 [Ed] (см. [Ml; Theorem 3.5]), и отрицательно для некоторых диких узлов п R3 [Sik], [К2]. Также следует отметить, что в силу теоремы Чсрнавского о локальной стягиваемости группы гомеоморфизмов многообразия [Че], [ЕК] дискретно реализуемые отображения замкнутого компактного многообразия на себя реализуемы изотонически.
Связь с контролируемой топологией может быть описана следующим образом. Из теоремы /3, сформулированной далее во введении, вытекает, что в условиях коразмерности > 3 отображение компактного полиэдра X в PL-многообразие Q изотонически реализуемо, если и только если оно лежит в образе каноническою отображения1
е: holink(A4,£>) —* Р,
где М - пространство отображений X —* Q (в компактно-открытой топологии), V - «дискриминант», т.е. дополнение в М к множеству вложений, holink - гомотопический линк в смысле Квинна [Qu], т.е. пространство путей ср: I —* Ait таких что v?-1(X>) = {1} (в компактно-открытой топологии), и отображение е даётся взятием значения в единице.
Легко строятся отображения компактов, реализуемые дискретно, но не изотопически (интересный пример - композиция проекции двух псевдодуг на одну и некоторого вложения последней в плоскость [Ml; Example 1.1]). Однако в случае, когда X - полиэдр, вопрос о существовании таких отображений, особенно в коразмерности > 3, оказался непростым.
Замечание. В этой связи может быть интересен следующий пример. Рассмотрим последовательность отображений /*: S1 —► Е2\{0), таких что /* индуцирует на 7Г1 умножение на i и совпадает с /»_i вне 2 “‘-окрестности северного полюса N у которую переводит в 2 “‘-окрестность начала координат О. Прообраз
‘Напомним, что значение этой конструкции основано на теореме Фаделла (см. [HR]), согласно которой для произвольного локально-плоского топологического подмногообразия /Vn топологического многообразия Мт отображение с: holink(M,N) —* N есть расслоение Гуревича со слоем 5m-n_1t причём в гладком случае е послойно гомотопически эквивалентно сфсризации нормального расслоения.
3
О при предельном отображении /: S1 —» 1R2 есть N; образ / можно описать как объединение двух спиралей, закрученных вокруг О в противоположных направлениях. Может показаться «очевидным», что / не допускает мгновенного снятия с начата координат, т.е. не существует гомотопии ht: Sl —♦ IR2, такой что Ло = / и образ ht не содержит О при t > 0. Но это неверно, в чём несложно убедиться, заметив, что / является также равномерным пределом нульгомотопных отображений S1 —* R2 \ {О}, где /,• совпадает с /, вне 4-,-окрестности Дг, которую переводит в 4"‘-окрестность О.
I. Дискретная реализуемость не влечёт изотопическую
Лишь недавно выяснилось, что отображение полиэдра в многообразие, реализуемое дискретно, но не изотопически, существует. А именно, автором было построено такое отображение дизъюнктного объединения 3-мерного шара и полнотория в М6 [Ml; Example 1.9].
Пример Ао. Построим сначала отображение /: S1 х В2 —*R3, снимающееся с начата координат сколь угодно малым ^-сдвигом (т.е. аппроксимирующееся в С0-топологии отображениями со значениями в К3 \ 0), но не мгновенно (т.е. такое, что не существует гомотопии htf такой что hi = / и образ ht не содержит начата координат при t < 1).
В полнотории Т0 = S1 х В2 рассмотрим бесконечную цепочку полноторисв
... С Г2 С Т[ С 7\ с Tq С Т0,
пересечение которых гомеоморфно 3-адическому соленоиду £з, причём каждый Ti+j закручен в Т/ три раза (т.е. включение 7*+1 С Т/ индуцирует умножение на 3 в одномерных гомологиях), но каждый Т/ закручен в 7* только один раз: Т< = 51 х \В2 С S1 х В2 = Т*. Толстый тор 7Г\7? = S1 х дВ2 х I сначала спроектируем на кольцо дВ2 х /, которое затем профакторизусм но основаниям, так что внешний край дВ2 х 0, являющийся образом тора dTi, целиком сожмётся на северный полюс п полученной 2-сферы, а внутренний край
- на южный полюс. После этого сферу S2 вложим в IR3 \ 0 таким вложением Sj, чтобы при г > 0 её южный полюс перешёл в Si_i(n) - предыдущий образ северного полюса, а все остальные точки - в ограниченную компоненту дополнения до s,_i(S2) в R3. При этом требуется дополнительно, чтобы каждый образ S*(S'2) попадал в ^-окрестность начала координат. Этим отображение / определено на всех толстых торах Т< \ Т/, которые переводятся им в сферы Si(52), причём внешние края dTi переходят в точки Sj(n), а внутренние дТ<
- в точки s*+i(n). Положим / на каждом изгрызенном полнотории Т- \ Ti+i равным Si+i(n), и продолжим его но непрерывности на предельный соленоид £з, который тем самым попадёт в начало координат.
Отображение / аппроксимируется отображениями /< со значениями в R3 \0, где fi совпадает с / вне Т<+1, который переводит в s;+i(n). Покажем, что не существует мгновенного снятия / с начала координат. Пусть р - образ южного полюса при so. Достаточно показать, что для любого отображения <р: (То,дТ0) —V (R3 \0,р), достаточно близкого к /, абсолютная величина различающей d(ip,/o) € Я2(7о,97о’»7Г2(К3\0)) скапь угодно велика. В самом деле, поскольку каждой гомоморфизм в строчке
Я2(Г0,Г0 \Г2) - Я2(Го,Г0 \Ti) - Н2(Т0,дТо)
4
есть умножение на 3 в группе Z, несложно видеть, что, во-первых, </(/», /о) = 1+ЗН—+3t_1 = дли каждого i > 0 и, во-вторых, d(ip^) G 3'Z для любых
двух отображений <р(Т0,дТ0) —► (R3\0,p), совпадающих с / naT0\Tj. Если задано i > 0, выберем if настолько близким к /, чтобы оно было гомотопно в R3 \ О отображению, совпадающему с /, и тем самым с /*, на Т0 \ 7*. Тогда d(v,fo) € ^f1 + 3‘Z и, следовательно, \d(ip,f0)\ > 2-f1.
Пример А. Перейдём к построению отображения F, реализуемого дискретно, но не изотопически. С помощью / и стандартного включения В3 *—* R3 определим F: Т0 U В3 —► R3 xOUOxR3 — R6. Оно дискрегно реализуемо: вложения Fi'. TU В3 —♦ Re могут быть определены формулами Fi\r0(p) = (Л(р)*&(р))» где g{i То «-* В? С R3 - произвольные вложения, и = F\q3. С другой
стороны, если бы F реализовалось изотонически, согласно [Ml; Remark 6.1] без ограничения общности можно было бы предположить, что образ В3 неподвижен при пссвдоизотопии, откуда следовала бы мгновенная снимаем ость / с начала координат.
Возможно альтернативное доказательство изотопической нерсализуемости F, без использования [Ml; Remark 6.1]. Изотопическая реализуемость F влекла бы существование гомотопии Ht: То х В3 —► R6, такой что Hi (р, q) = F(p)—F(q) для каждой пары (р, q) € Т0 х В3, и im Ht С Re \ 0 при t < 1; а именно, Ht определяется как произведение ограничений псевдоизотопии на вложения Т0 и В3, скомпонированное с проекцией R6 х R6 на антидиагональ. Это приводит к противоречию как в вышеприведенном рассуждении.
Определение. Отображение f:X—+Q непрерывно реализуемо [Ml], если оно реализуемо дискретно, и Ve > 0 36 > 0 так что любое вложение, ^-близкое к /, переводится на / некоторой е-псевдоизотопией.
Пример А'. Несложно видеть, что если отображение (дБ2 х 1,0) —* (S2,S°) степени 1, использованное выше, заменить на отображение степени к ф 1 mod 3, или если 3-адический соленоид заменить на 2-адический, полученное отображение F будет реализуемо изотопически, но не непрерывно.
II. Об отображениях дуг в R3
Согласно [Ml; Corollary 1.8] (см. также §1.1 ниже) при п > 1 любое отображение компактного n-мерного полиэдра в кусочно-линейное (2п + 1)-мерное многообразие реализуемо изотонически и даже непрерывно (дискретная реализуемость здесь выполнена по общему положению). Непрерывная реализуемость не имеет места уже для произвольного кусочно-линейного вложения S' С R3 [Ml; Example 1.4], [М3] (локальных узелков для этого, однако, недостаточно).
Вопрос об изотопической реализуемости отображений 1-многообразий в R3 оказался весьма сложным. Особо интересен случай локальноплоского топо логического погружения, т.е. отображения, в окрестности каждой точки про образа являющегося ручным вложением.
Замечание. В диссертации (см. пример 1 в §1.2) построено дискретно, но не изотопически реализуемое локазыюплоское топологическое погружение в ко размерности 3.
5
Пример Б. Локально-плоское топологическое погружение / :/ □/ —* / V/ *—► К3, образ которого показан на рис. 1, не реализуется исевдоизотопией никакого кусочно-линейного вложения.
Под струнным зацеплением будем понимать PL-вложение L: (/+ и/_, д) t-> (/ х R2,0), такое что L(i, ±) = (г, ±р) для г = 0,1 и некоторой фиксированной р Є К2 \ {0}. Струнные зацепления рассматриваются с точностью до объем-лсмой изотопии, неподвижной на dl х R2, и их связная сумма доставляется склейкой двух экземпляров (/+,/_,/).
Предположим, что задано PL-вложение g: IU I <-+ R3, достаточно близкое к /. Если взять PL-вложение h: I х К2 <—> К3, такое что д = hL для некоторого струнного зацепления L и h(dl xR2) удалено на достаточное расстояние от /(/ U /), за исключением малой окрестности концов, легко видеть, что L представимо в виде связной суммы IV# ... #W#.Z/ сколь угодно многих экземпляров струнного зацепления Уайтхеда W (показанного трижды на рис. 4), и некоторого дополнительного струнного зацепления И. Следовательно, достаточно найти инвариант v струнных зацеплений со значениями в неотрицательных целых числах, такой что v(W) > 0 и v(Li#L2) > v(L\) + v(L2) для любых L\ и Z-2. Такой инвариант доставляется родом «знаменателя» струнного зацепления, т.е. узла, полученного из струнного зацепления добавлением двух дуг вдіх R2. □
Замечание. На рис. 2 ниже уже каждая из двух диких дуг по отдельности не реализуется псевдоизотопией никакой кусочно-линейной дуги [К2], [Sik] (ср. [Ml; Example 1.2]).
Пример В. В [Ml; Example 1.3] утверждалось, что отображение /: / L) I -* І У I <-» R3, образ которого показан на рис. 2, не реализуемо изотопичсски. Однако, в доказательстве недавно была найдена ошибка; на данный момент известно лишь, что утверждение вытекает из гипотезы ниже.
Ввиду принципиальности вопроса приведём указанную редукцию. Для этого нам понадобится инвариант PL-зацеплений. Для зацепления I: S\ USj с нулевым коэффициентом зацепления рассмотрим разложение первой компоненты К := l(S\) в связную сумму простых узлов. Другими словами, фиксируются PL-шары £?1,...,2?р С S3, высекающие из К по дуге, так что при
Рис. 1