Оглавление
Введение 3
1. Вычисление родов Хирцебруха многообразий в терминах действия группы Z/p 18
1. Коборднзмы, формальные группы и роды Хирцебруха..................... 18
2. Роды Хирцебруха и теорема Атьи-Зингера об индексе .................. 22
3. Обобщенная теорема Лсфшеца о неподвижных точках (формула Атьи-
Ботта) и приложения к действиям Ъ/р и родам Хирцебруха..............26
4. Вычисления для рода Тодда, эйлеровой характеристики и /.-рода (сигнатуры) ................................................................ 27
4.1. Вычисления для эйлеровой характеристики.....................27
4.2. Вычисления для рода Тодда.................................. 28
4.3. Вычисления для L-рода (сигнатуры)............................. 29
5. Общие результаты о вычислении родов Хирцебруха через инварианты
действия Z/p....................................................... 33
6. Вычисления для Арода и \„-характеристики............................ 36
А
6.1. Вычисления для .4-рода..................................... 36
6.2. Вычисления для у у-х ар акт ери ст и к и................... 39
7. Связь с кобордизмами и уравнениями Коннера-Флойда................. 42
8. Эллиптический род и приложения, связанные со специальными многочленами ................................................................ 45
9. Действия группы Z/р с неподвижными подмногообразиями, имеющими тривиальное нормальное расслоение (простые действия)..................52
2. Описание множества классов кобордизмов многообразий, несущих
■ простое действие Z/p 55
10. Кольцо U*(Z/p) эквивариантных кобордизмов со свободным действием Z/p и уравнения Коннера-Флойда . . . .............................. 55
J1. Образующие i}{/ Q Z/p-модуля Л (1) © Z/p и i0 Zp-модулей А( 1) О
Ар( 1) О ...........................................................58
1
12. Описание множества классов кобордизма многообразий с простым
действием Z/p и некоторые следствия................................. 62
3. Применение методов алгебраической топологии для изучения действий тора на многообразиях, определяемых простыми многогранниками 66
13. Простые многогранники и их кольца граней............................. 66
14. Многообразия, определяемые простыми многогранниками ................. 69
15. Спектральная последовательность Эйленберга-Мура...................... 74
16. Вычисление когомологий многообразия Зр .............................. 76
16.1. Аддитивная структура когомологий Зр........................... 77
16.2. Мультипликативная структура когомологий Зр................... 80
Литература
85
Введение
Настоящая работа посвящена изучению алгсбро-топологических инвариантов многообразий, допускающих действие циклической группы простого порядка. Z/р или компактного тора Trt = (51)".
Изучение действий группы 2/р(т.е. преобразований простого нечетного периода.) — одно из классических приложений методов алгебраической топологии. С начала 60-х годов в задачах такого рода начинают применяться обобщенные теории когомологий. Одним из основных подходов к изучению действий конечных групп и торов на многообразиях становится применение теории кобордизмов. Основы этого подхода были заложены в монографии Коннера и Флойда [8], где в рамках теории кобордизмов были решены многие задачи теории неподвижных точек действий конечных групп на многообразиях и обозначены новые проблемы. Решению одной из таких проблем и посвящена глава. 2 данной работы. Обширность применения методов теории кобордизмов в задачах о неподвижных точках объясняется ее геометричностью, которая позволяет описывать инварианты действия групп непосредственно в терминах классов кобордизмов неподвижных подмногообразий. Дальнейшее развитие этот метод получил благодаря применению аппарата теории формальных групп. Техника формальных групп была впервые применена в задачах о неподвижных точках действий конечных групп в работах С.П. Новикова [15),(16). В работах A.C. Мищенко [12), [13] в наиболее общем случае описан класс кобордизма многообразия с действием Z (р через наборы весов в неподвижных подмногообразиях и предъявлен полный набор образующих кольца унитарных Z/р-кобордизмов. Важные результаты о действиях Z/p были получены применением теории формальных групп в работе Г.Г. Каспарова [7). В наших исследованиях мы получаем ряд результатов, обобщающих результаты этой работы. Одной из первых работ, посвященных применению методов теории кобордизмов к .^-действиям, явилась работа С.М. Гусейн-Заде [6]. В работе O.P. Мусина [М) найдены образующие колеи унитарных 51-ко6орднзмов и унитарных S1 -кобордизмов без неподвижных точек. Метод формальных групп для изучения действий группы Ъ/р получил существенное развитие в работе В.М. Бух-штабера и С.П. Новикова [4), где были также получены первые результаты для родов Хирцебруха многообразий с действием Z/р. Многие результаты Коннера, и Флойда получили красивую и простую интерпретацию в терминах так называемой "формальной группы геометрических кобордизмов”. Метод формальных групп оказался очень плодотворным и способствовал дальнейшему развитию взаимосвязей действий групп и алгебраической топологии. В наших исследованиях мы также в значительной мере опираемся на. аппарат теории формальных групп.
Параллельно с применением теории кобордизмов и формальных групп развивался другой подход к изучению инвариантов действий групп Z/р, S1 и Тп на многообразиях, основанный на применении общей теоремы Атьи-Ботта о неподвижных точках [20), обобщающей классическую формулу Лефшеца, и теоремы Атьи-Зингера об индексе эллиптического оператора [1]. Здесь естественно возникает вопрос о взан-
3
моотношении результатов относительно действий групп, получаемых в рамках подходов теории кобордизмов и теории индекса. Первые важные результаты в этом направлении были получены в работе [4], где была описана связь формул, получаемых для рода Тодда многообразия с действием 2/р методами теории индекса и теории кобордизмов, с уравнениями Коннера-Флойда. В нашей работе мы также проводим анализ взаимосвязи результатов, получаемых в рамках двух подходов, и, в частности, обобщаем результаты [4] на случай произвольного рода Хирцебруха. Исследованию действий окружности в рамках теории кобордизмов и теории индекса лосвяшена работа И.М. Кричевера (9].
Применение методов алгебраической топологии оказалось весьма плодотворным и при изучении специальных '/'"-действий, известных как торические многообразия. а также в возникающих в связи с этим комбинаторных задачах, связанных с многогранниками. Торические многообразия возникли в алгебраической геометрии (см. [5]), и оказались весьма полезными благодаря применениям в теории многогранников и алгебраической топологии. В связи с этим перспективным представляется исследование э того специального типа действий тора наработанными методами теории кобордизмов и теории индекса. Кроме того интерес представляет также другой специальный тип действий тора на многообразиях, определяемых комбинаторикой простых многогранников.
Далее мы перейдем к изложению основных результатов данной работы и описанию результатов других авторов, связанных с темой наших исследовании.
Работа состоит из 3-х глав, включающих в себя 16 разделов. Нумерация теорем, лемм, предложений, следствий, т.д. начинается заново в каждом разделе. Нумерация формул начинается заново в каждой главе.
Глава 1 посвящена вычислению родов Хирцебруха многообразий с действием группы 2/р. Для действий, имеющих конечное число неподвижных точек, в рамках теории индекса эллиптических операторов получены общие формулы, выражающие род Хирцебруха через инварианты действия — наборы весов в неподвижных точках. Ряд результатов обобщен на случай так называемых простых действий — когда все неподвижные подмногообразия имеют тривиальные нормальные расслоения. Явные формулы приводятся для классических родов и для эллиптического рода. Описана связь полученных соотношений с результатами о неподвижных точках, полученными в рамках теории кобордизмов, в частности с так называемыми уравнениями Коннера-Флойда на наборы весов неподвижных точек.
Глава 2 посвящена изучению простых действий Ъ/р с точки зрения теории ко-бордизмов. Здесь приводится решение задачи об описании множества классов кобордизмов многообразий, несущих простое действие, группы 2/р. поставленной в работах [4],[8]. Эта проблема была решена в [8] в частном случае. В настоящей работе получена полная классификация классов кобордизма многообразий, несущих простое действие группы 2/р в терминах коэффициентов формальной группы геометрических кобордизмов и в терминах характеристических чисел, что дает полное решение рассматриваемой проблемы. Формулировка классификационного результа-
4
та в терминах характеристических чисел указывает на обсуждавшуюся в [4] аналогию с теоремой Стонга-Хаттори [17] о выделении наборов целых чисел, являющихся числами Чженя стабильно комплексных многообразий.
Глава 3 посвящена изучению специальных действий тора на многообразиях, определяемых простыми многогранниками. Методы алгебраической топологии (в частности. спектральная последовательность Эйленберга-Мура) позволяют вычислить кольца когомологий таких многообразий и описать взаимосвязь с комбинаторикой простых многогранников.
Г разделе 1 приводится необходимая для формулировки результатов главы I информация о комплексных кобордизмах и родах Хирцебруха. Известно (Милнор, Новиков), что кольцо комплексных кобордизмов Оц представляет собой кольцо полиномов 2(ль а2,... , ап,... ] от образующих четных размерностей а, € (1ц2'• В качестве образующих кольца Пу 0 О можно взять комплексные проективные пространства СР". Родом называется произвольный кольцевой гомоморфизм : IV О О1 —>
^(1) = 1 где И. — некоторое кольцо с 1 и без делителей нуля (обычно полагают Я = 2, но нам также понадобятся роды со значениями в других кольцах). Ф. Хирце-брухом [18] было показано, что каждый род соответствует некоторому формальному ряду 0(х) = 1 + ... с коэффициентами в Я 0 С каждым родом Хирцебруха соответствующим ряду 0{х). связывается формальная группа, логарифмом которой является ряд с/(а), функционачьно обратный к ряду /{х) = и соответствующая степенная система [«]£ (см. [4]). В разделе 1 приводятся формулы для рядов /(«), д{и) и [ц)„. соответствующих основным родам, исследуемым в главе 1 (за исключением эллиптического рода, которому посвящен раздел 8).
Многие важные роды Хирцебруха впервые возникли в алгебраической топологии как индексы оллиптичестх комплексов (см. определение 2.1) — наборов векторных расслоений на многообразиях, связанных комплексом дифференциальных операторов с дополнительным условием, обобщающим определение эллиптического оператора. Теорема Атьи-Зингера в когомологической форме (см. теорему 2.2) позволяет свести вычисление индекса эллиптического комплекса к вычислению характеристических классов расслоений входящих в комплекс и характеристических классов касательного расслоения к многообразию. Все необходимые формулировки и определения приводятся в разделе 2. Здесь же приводятся два эллиптических комплекса для вычисления ^-характеристики и .4-рода (теоремы 2.3 и 2.5; доказательство обеих теорем основано на теореме Л гьи-Зингера). Эти комплексы будут затем применены для вычисления соответствующих родов многообразий с действием 2,/р.
Используемый нами подход к вычислению родов Хирцебруха многообразий с действием группы 2/р основан на применении обобщенной теоремы Лефшеца, полученной Атья н Ноттом в [20]. Формула Атьи Ботта-Лефшеца обобщает классическую формулу Лефшеца для числа неподвижных точек и позволяет вычислять эквиварнаптный индекс эллиптического комплекса расслоений на многообразии че-
5
- Київ+380960830922