ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. Проблема реализации неметрических связностей, ее
становление и развитие............................................. 4
ГЛАВА 1. О погружении проективной связности с полу кручением с различными размерностями базы и слоя в проективное
пространство...................................................... 17
§ 1 Главное расслоенное пространство с различными размерносгями базы и слоя в расслоении касательных проективных реперов и связности в нем.............................................. 17
1.1. Главное расслоенное пространство Р(Мп, Р2)^ )................ 17
1.2. Связность в Р(Мл,Р&т)........................................ 19
1.3. Связность в с полукручением....................... 21
1.4. Связность в Р(М„,РО'т) без кручения.......................... 23
§ 2 Конструкция связности с полукручением с различными
размерностями базы и слоя на поверхности проективного
пространства.................................................... 25
§ 3 Постановка и решение задачи погружения проективной
связности с полукручением в проективное пространство.............. 29
§ 4 Уточнение оценки размерности проективного пространства, в
которое погружается проективная связность Р^т* 1.................. 37
ГЛАВА 2. О погружении проективной связности с кручением с различными размерностями базы и слоя в проективное
пространство...................................................... ^2
§ 5 Главное расслоенное пространство с различными размерностями базы и слоя, возникающее в главном расслоенном пространстве проективной структуры с одинаковыми размерностями базы и слоя,
и связность в нем................................................. 52
§ 6 Конструкция связности с различными размерносгями базы и
2
слоя па поверхности проективного пространства и постановка
задачи погружении такой связности в проективное пространство 55
§ 7 Оценка размерности проективного пространства, в которое погружается проективная связность с различными размерностями
базы и слоя....................................................... 58
ГЛАВА 3.0 связностях, индуцируемых на многообразиях
проективного пространства оснащением Бортолотти................. 67
§8 Связности Бортолотти......................................... 67
8.1. Многообразие М”п ™........................................... 67
8.2. Отношение параллельности в Мпт™.............................. 69
8.3. Связности Бортолотти......................................... 71
§9 Оснащение Бортолотти и индуцируемая им связность на неевдоповерхноегк, ассоциированной с подповсрхностыо.............. 75
9.1. Псевдоповсрхность, ассоциированная с данной т-мерной подповерхностью /г-мерной поверхности............................. 75
9.2. Оснащение Бортолотти псевдоповерхности, ассоциированной
с данной т-мерной подповерхностью /7-мерной поверхности 80
9.3. Специальное оснащение Бортолотти............................ 83
9.4. Оснащение Бортолотти в собственном смысле.................... 86
9.5. Связность, индуцируемая оснащением Бортолотти на особой псевдоповерхности, ассоциированной с подповерхностью.............. 88
9.6. Оснащения Бортолотти и реализуемые ими связности на гиперповерхности и особой исевдоповерхности, ассоциированной
с гиперповерхностью............................................. 90
§ 10 Постановка и решение задачи погружения связности
Бортолотти в проективное пространство............ .............. 92
Рисунки......................................................... 99
Таблица......................................................... 101
Цитированная литература......................................... 102
з
Введение
Проблема реализации неметрических связностей, ее становление и
развитие
С появлением в 1827 году мемуаров Гаусса «Disquisiones generales circa superficies curvas» («Общие исследования о кривых поверхностях») возникло понятие о внутренней геометрии поверхности. Выяснилось, что длины, углы и площади на поверхности выражаются только через коэффициенты первой квадратичной формы. Выдающимся достижением Гаусса явилось доказательство того факта, что полная кривизна поверхности выражается через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные первого и второго порядка. При дальнейшем изучении геометрии, индуцируемой на поверхносгях трехмерного евклидова пространства, обнаружилось, что поверхность изометрична двумерному евклидову пространству только в том случае, когда ее полная кривизна равна нулю. А так как для огромного числа поверхностей кривизна отлична от нуля и даже не является величиной постоянной, то геомстрия этих поверхност ей не является евклидовой. Тот факт, что неевклидовы геометрии существуют и даже допускают' реализацию на поверхностях трехмерного евклидова пространства, впервые заметил Б.Риман. Он был первым, кто отчетливо понял, что на поверхностях 3-мерного евклидова пространства реализуется необычайное многообразие различных геометрий. Риман стал изучать всевозможные пространства любого числа измерений, в которых геометрия определяется заданием дифференциальной квадратичной формы или, говоря по-другому, заданием поля метрического тензора. Основы теории таких пространств Б.Риман изложил в знаменитой лекции «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» («O гипотезах, лежащих в основании геометрии»), опубликованной в 1868
4
году уже после его смерти. В том же 1868 году были опубликованы мемуары Э.Бельтрами «Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea» («Опыт интерпретации неевклидовой геометрии»), в котором было доказано, что геометрия 2-мерного пространства Лобачевского реализуется на поверхности 3-мерного евклидова пространства, а именно, на псевдосфере. Этим Бсльтрами доказал существование геометрии Лобачевского и, по сути, решил задачу погружения 2-мерного пространства Лобачевского в 3-мерное евклидово пространство. В 1871 г. Л.Шлефли [1] поставил задачу реализации геометрии произвольного риманова пространства на поверхности многомерного евклидова пространства и сформулировал теорему о том, что любое «-мерное риманово пространство локально реализуемо на «-мерной поверхности евклидова пространства размерности «(«+1)/2. Однако, доказательство этой теоремы, предложенное самим Шлефли, было не вполне корректным. Строгое доказательство дал М.Жане [2] в 1926 г. В 1927 г.
Э.Картан [3] представил изящное доказательство теоремы Шлефли, применив созданную им теорию систем уравнений Пфаффа в инволюции и установил произвол решения.
Вплоть до начала XX столетия изучение римановой геометрии и геометрии неметрических пространств шло независимо друг от друга. Возможность единого подхода ко всем как к метрическим, так и к неметрическим пространствам возникла только в 20-х годах XX века, когда шало ясно, что эти пространства можно рассмагрива гь как частные случаи расслоенных многообразий, на которых задана дифференциально-геометрическая связность. Как эго не парадоксально, определение расслоенного пространства появилось позднее - во второй половине 30-х годов 20-го века. До этого понятие расслоения воспринималось интуитивно. Общее оггределение связности в расслоенном пространстве дал Эресман [4] в 40-х г одах прошлого века.
5
Первоначально в 1917 году Леви-Чивита [5] ввел понятие параллельного переноса векторов в римановом пространстве. Он показал, что параллельный перенос на многообразии определяется объектом, компоненты которого выражаются через компоненты метрического тензора и их производные. Затем в 1918 году Г.Всйль [6] спал изучать пространства, в которых отсутствует метрика, но параллельное перенесение определено посредством задания компонент объекта параллельного перенесения, заданного произвольно. Такое пространство было названо Г. Вейлем пространством аффинной связности. В 1922 году Э.Картан в пяти заметках в парижских «Comptes Rendus» обобщил и уточнил понятие пространства аффинной связности, и одновременно ввел понятие пространства конформной связности. Основы теории пространств аффинной и конформной связности были им развиты и подробно изложены в 1923-1925 годах [7, 8]. В 1924 году Картан [9] ввел понятие пространства проективной связности. Картан [10] также предложил конструкцию, с помощью которой на w-мерной поверхности Ът «-мерного проективною пространства возникает проективная связность. Для этого каждой точке М поверхности сопоставлялась («-/«-1)-мерная плоскость не пересекающаяся с
касательной плоскостью ТШ(М) к поверхности в этой точке. Такое оснащение индуцирует на поверхносги (или, говоря точнее, в расслоении касательных реперов) проективную связность. В 1937 г. С.С.Черн [11] сформулировал проблему о возможности погружения проективной связности Рп,п с «-мерной базой и «-мерными слоями в проективное пространство размерности N в случае, если №(«2+2«-1)/2. Однако доказательства этой теоремы Черн не представил. Г.Ф.Лаптев [12] в 1941г. предложил оснащение, которое индуцирует аффинную связность без кручения на «-мерной поверхности N-мерного аффинного пространства, а именно, каждой точке М «-мерной поверхности
6
сопоставляется (М-я)-мерная плоскость, проходящая через эту точку, и не имеющая с касательной плоскостью ТП(М) других общих точек. Г.Ф.Лаитев решил задачу погружения пространства аффинной связности А„,„ с «-мерной базой и «-мерными слоями без кручения в N-мерное аффинное пространство, если Ы>(«2+2«-1)/2. Задачей погружения аффинной связности А„,п с кручением занимался О.Гальвани [13],
который в 1946 г. доказал, что погружение возможно при М^л2. В 1960 г. А.К.Рыбников [14], значительно уточнил оценку, полученную Гальвани, показав, что погружение возможно при Кг>(«2+4«-4)/2 в случае четного п и при 1^>(«2+3«-2)/2 в случае нечетного «. А.П.Норден [15] построил оснащение т-мерной поверхности «-мерного проективного
пространства, при задании которого на поверхности индуцирустся аффинная связность без кручения. При гаком оснащении каждой точке М поверхности Ът сопоставлены две плоскости:
1) (н-гн)-мерная плоскость 8„_т, проходящая через точку М, и не имеющая с касательной плоскостью Тт(М) других общих точек (нормаль первого рода в смысле Нордена);
2) (т-І)-мерная плоскость Т/Я.,(М), лежащая в касательной плоскости и не
проходящая через точку М (нормаль второго рода в смысле Нордена).
В вышеупомянутых работах, опубликованных в период с 1937г. по 1960г. рассматривались задачи реализации связностей в расслоениях с одинаковыми размерностями базы и слоя. Начало изучению геометрии расслоенных пространств с различными размерностями базы и слоя было положено работами Г.Ф. Лаптева и Н.М.Остиану [16, 17], опубликованными в 1971 г. Они рассматривали распределение «2-мерных линейных элементов, то есть поле т-мерных подпространств, расположенных в «-мерных слоях расслоения проективной структуры над «-мерной базой. Появилась возможность рассматривать связности в таких расслоениях. Задача погружения пространства проективной
7
связности с различными размерностями базы и слоя была поставлена и решена С.И.Соколовской [18, 19, 20]. Ниже, при изложении содержания, мы будем говорить об этом подробнее.
Научная новизна. С появлением работы Л.Шлефли [1] стало ясно, что решение проблемы реализации является одним из основных направлений геометрических исследований. В настоящей работе впервые сгавится и решается задача реализации связностей с различными размерностями базы и слоя.
Цель диссертационной работы состоит в решении задач погружения связностей с различными размерностями базы и слоя в проективное пространство.
Основными задачами нашего исследования являются следующие:
1. Описать главные расслоенные проаранства с различными размерностями базы и слоя, возникающие в главных расслоенных пространствах проективной структуры с одинаковыми размерностями базы и слоя, и ввести связности в них.
2. Определить связносгь Борю л огги, как связность в главном расслоенном пространстве с различными размерностями базы и слоя.
3. Предъявить конструкции описанных связностей на многообразиях проективного пространства.
4. Поставить и решить задачи погружения описанных связностей в проективное пространство. 11редъявить оценки размерностей объемлющих проективных пространств, в которые можно погрузить каждую из рассматриваемых связностей.
Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим главные:
1. В диссертации введено новое понятие - понятие связности, заданной в расслоении с различными размерностями базы и слоя. На многообразии Мп как на базе, при задании на нем поля т-мерных цен фопроективных плоскостей в касательном расслоении к этому
8
- Київ+380960830922